О топологии, порождаемой семейством квазинорм Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.4.2001

>ДК 517.982

О ТОПОЛОГИИ, ПОРОЖДАЕМОЙ СЕМЕЙСТВОМ КВАЗИНОРМ А.А.Порошкин, А.Г.Порошкин

В векторном пространстве или абелевой группе вводится семейство квазинорм. Отмечаются некоторые свойства порождаемой им топологии.

1, В литературе по векторным пространствам встречались различ--абобщения нормы или полунормы, в которых обычно одно из усло-иЗ:. определяющих полунорму, заменялось более слабым. В [1] была ;зелена весьма общая функция — квазинорма, охватывающая извест-

- - обобщения нормы. — и изучена порожденная ею топология. В

- агтности, было показано, что если квазинорма удовлетворяет неко-прзшу дополнительному условию, то она порождает отделимую, ло-• 5Л5>но ограниченную векторную топологию. Некоторые дополнительнее вопросы, связанные с топологиями, порожденными такими квази-

: ».«ами, были изучены также в [2].

По существу аналогичная квазинорма с некоторыми дополнительного требованиями норма) введена в [3]. Некоторые вопросы, :гз:осящиеся к пространствам, изучены в работах [3-6].

В настоящей работе продолжается изучение топологии, которая по-^х-злается семейством квазинорм, заданных на векторном простран-:гзе (или абелевой группе). Такой переход от пространства с одной -зазинормой к пространству с семейством квазинорм как бы обобщает " • "ггход от нормированного пространства к локально выпуклому топонимическому векторному пространству.

Тезисы первой части статьи были опубликованы в [7] (к сожалению, большим числом типографских ошибок). Во второй части кратко излагается материал депонированной работы [8].

2. Пусть X - векторное пространство над полем А (А = К или 1 = С). Квазинорма в А' — это функция п : А' —>• со свойствами:

|) Порошкин А.А., Порошкин А.Г., 2001.

а) Пш ж(х + у) = 0 при 7г(х) 4- ж(у) —> О;

б) Нш7г(А:г) = О для каждого х € X при А —» 0;

в) Пт7г(А.т) = 0 для каждого А 6 А при 7г(;г) —> 0;

г) Нш7г(Аж) = 0 при |А| + тг(х) 0.

Условия а)-г) естественным образом формулируются "по Коши" или "по Гейне". Условие б) (при А = 0) сразу дает 7г(0) = 0, а из в) следует, что

1°. ж(-х) 0 тг(х) -» 0. В свою очередь, из условия а) и 1° следует: 2°. Пт7г(т — у) = 0 при ж(х) + ж (у) —> 0;

Квазинорма называется симметричной, если 7г(—х) = ж(х) Ух € А", и разделяющей нуль, если ж{х) > 0 Уж € ЛД{0}. (В работе все нули — скалярный, векторный, групповой — обозначаем одним и тем же символом 0.)

Обычным образом определяем шар радиуса г > 0 с центром в точке х € X: Вт(хш, ж) := {у 6 X : ж (у — х) < г} (для несимметричной квазинормы ж порядок записи у та х существен).

3. Пусть теперь П = (я^ен — семейство квазинорм в пространстве

X. Его называем разделяющим нуль, если Ух ф 0 Зж^ € П : тг^(х) > 0

(или равносильно: Р| тг^"1(0) = {0}). л-^бП

Квазишар радиуса г с центром в точке х, порожденный конечным набором квазинорм ж^, ,..., ж^п € П, определяем как множество

__п

Уг(.т; 7Г6,7Г6,..., тг(п) := {у £ X : ж^{у - х) < г, г = 1, л} = П

¿=1

(его обозначаем также кратко: У (ж), V(.г), У, У).

Систему всех квазишаров с центром в точке х обозначим Вх и пусть В — У Вх. Тогда выполняются следующие условия:

1)6т € V УУ € Вх;

2) УУ, V" е Вх ЗУ 6 Вх : V С У П V";

3) УУГ е Вх ЗУ, £ Вх\ у е ВД У(у) С %(х).

Первое очевидно. Проверим второе. Положим 5 = тт{г!,г2}. Тогда

У (ж; тг6;...; тг^; жт;...; жПт) = У (ж; ж^;...; тг{п) У (ж; жт;...; 7гЧт)

будет искомым квазишаром.

Проверим, наконец, условие 3). Выберем произвольно У (х; ж^;...; ж^п)

п

= р) € Вх. В силу аксиомы б) для каждого г найдется

<5,- такое, что из тг< 8 следует тг^Дгг + v) < е. В частности, если у 6 Л" удовлетворяет условию тг^(у — х) < и z £ X удовлетворяет условию tt^{z — у) < ¿¿, то — х) < е. Пусть

п

8 = ггш1<5,\ Тогда из условий — х) < 8 и — у) < 8 тем бо~ 1

лее следует, что 7— ж) < г. Это же условие можно записать так: у е Bs (я; £ В<,(у\ 7r(i) г £ Ве(х;7г^) или Vy £ Bs{x;ir^) будет

С Б,(ж;тг6), г = Т~гг. (*)

Поскольку У5(ж;7г€1; . . .;7Tin) С Bs{x; ж^) и V«(j/; тт^; ...; тге„) С Bs{y\Kit) Vi, то из (*) получаем: Vy £ ...; 7rin), справед-

ливо включение Vs(y, ;...; тг?п) С Откуда следует, что

п

у £ тг?1; . . . ; тг€п) У5(г/; тг6 ;. . .; тг6г) С р| Ве{х; ж(.) = Ve(x; тг^; . ..;:

¿=1

и условие 3) выполняется.

Значит в X имеется топология гп, для которой В будет базой, а Вх — базой в точке х (см. [9], с. 19, теорема 1). тп назовем топологией, порожденной семейством квазинорм П.

Установим теперь непрерывность векторных операций в X в топологии тп.

Теорема 1. Векторные операции в пространстве X непрерывны в топологии ~п, так что (Л",тп) есть топологическое векторное пространство. Локальной базой топологии тц будет семейство квази-шаров {Vr(0; л^, .., 7г(п) : г > 0,£ П, г = 1, п, п £ N}.

Доказательство. Покажем, что операция сложения непрерывна в топологии тп- Выберем произвольно Ve(x + у; ;...; 7Г^П). Для Ве(х + у\7r(t) 38г : тг^(и ~ х) < 8г, тrit(v - у) < 8г =Ф- Tit(u + v - х - у) < е, i ~

__п

1, п. Положим 8 = min <5,. Тогда — х) < 8,— у) < 8 =Ф-

¿=1

7г^(и + v — х — у) < е. Иными словами и £ Вв(х\ж^),у £ Bs(y, =>■

___п

и -f v £ Ве(х + у, тг^) Vi = 1,п. Но тогда для u е f| В${х] тг^)

■

п

Vs(x; ;...: v £ f] = Vs{y\тг6;...; тг?J, будет и + v £

¿=i

Ve(x + у; . ..; Ж(_п). Условие 1) выполняется, т.е. операция сложения в топологии тп непрерывна.

Покажем, что и операция умножения на скаляр непрерывна в X.

16

Порошкам Л..-4» Ик^ошюш А.Г.

Пусть Л0 е Л, ж0 е А" и У(Л0жо;7Г?1,7ГЬ,... ,тг?п) € ВХохо. Для произвольных Л 6 А и х £ А справедливо равенство:

А.с - А0ж0 = (А - А0)(ж - ж0) + (А - А0)ж0 + А0(ж - ж0). (1)

По выбранному е (в силу аксиомы а) квазинормы) найдем 5г > О, удовлетворяющее условию: тг^(и), тг^(у) < й + < 1 =

так что, взяв 6 = пни 8г, будем иметь для каждого г:

7Г6(и), тг^(и) < 6 =4> + и) < е. (2)

Теперь по числу 8 выберем числа Д,, г = 1 , п так, чтобы из неравенств |А - А0| < Дм - ^о) < 01 следовали (по аксиомам а.)-г) квазинормы) неравенства:

тг4,.((А - А0)(ж - жо)) < ^ - Ло)1о + А0(ж - ж0)) < 6, г = 1 (3)

Если взять Д — ттД', то при |А - А0| < в, - ж0) < /3

будут выполнятся все неравенства (3), а тогда., по (1) и (2) будет 7г^(Аж — А0ж0) < е, г = 1 , га. Таким образом по числу с мы нашли такое /3, что для любых А € Вр(А0) и ж 6 Уз(ж0; ж^, тг^2,..., ) будет Аж 6 У5(А0ж0;7г^,7г^2,. .. ,7Г£„). В силу произвольности А0 € Л, ж0 Е X получаем, что и операция умножения на скаляр непрерывна в X.

Теорема 2. Топология тп хаусдорфова тогда и только тогда, когда семейст.во П разделяет нуль.

Доказательство. По следствию 2 на с.92 в [9] хаусдорфовость векторной топологии равносильна условию Р) = {0}, где В0 есть база

окрестностей нуля. Поскольку в нашем случае каждая окрестность У 6 Во является пересечением некоторого семейства шаров Д.(0, то условие Р) У — {0} равносильно условию р) Вг(0,ж^) = {0},

а оно, в свою очередь, равносильно условию р| тг^1 (0) = {0}, которое

означает, что семейство П разделяет нуль в X.

Замечание. Если заменить каждую л>; функцией тг^, где ж'^(х) = 7г^(ж) + 7г^(—ж), то 7г£ будет симметричной квазинормой в А'. При этом Уе > 0 38 > 0 : Ве{х\ ж{) С Ве(х]ж'^) С Ве(х; ж(). Следовательно, семейства окрестностей У (ж; ж^, ж^,..., 7г^п) и У (ж; ж^, ж'ь,..., 7г^п) удовлетворяют аналогичному условию: Уе > 0 3<5 > 0 : У(ж; 7Г^2,..., ж^п) С У (ж; тг^, ..., ж[п) С У (ж; тг^, тг6,..., жы). Отсюда следует, что тп совпадает с топологией тп<, порожденной семейством П' =

4. Аналогично, с небольшими естественными изменениями, можно двести квазинорму в абелевой группе, обобщающую квазинормы, использовавшиеся ранее в работах разных авторов.

Квазинормой в абелевой группе А назовем функцию тг : X —> со свойствами:

а) Пт 7г(.г + у) = 0 при тг(;г) + тг (у) —► 0;

б') тг(0) = 0;

в') Пт7г(—х) = 0 при 7г(.7') —> 0 (или равносильно: ж(х) —> 0 -!1 —х) —> 0).

Простейший пример квазинормы в группе — функция тг(,т) = 1 при и тг(0) = 0. (Эта квазинорма порождает в А" дискретную топологию.)

Если в группе X введено семейство квазинорм 11 = со свой-

•твами а), б'), в'), то, как выше, введем систему шаров Д(.г;тг) = •„ € А' : ж{у — х) < ?'}. а с их помощью систему квазиша-

п

К(;г; , 7г4-,, .... тг^„) = р| Д.(.г; к^) по любым конечным наборам

¡=1

. гг^.....7г^п € П. Эта система квазишаров также удовлетворяет усло-

:2мм 1), 2), 3) из п.З, а поэтому порождает в X топологию тп, для копрой система Вх квазишаров с центром в точке х будет базой в А, а тггема В = У Вх — базой.

Теорема 3. (А", гп) есть топологическая группа.

Доказательство. Непрерывность операции сложения доказыва-повторением рассуждений из первой части доказательства тео-*т2зы 1 (здесь использована лишь аксиома а) квазинормы). Проверим -.•-прерывность операции А : х >-»• —.г'.

Пусть х £ X и У£ (—х; 7г^2,..., ж^п) — окрестность точки —х. В условия в') для выбранного е найдется положительное 8{ такое, т? неравенство ж^(и — х) < 8г влечет неравенство — (—ж)) <

__п

= 1,71. Выбирая, как и раньше, 8 — тт ¿8- получим, что если

! = 1

€ В$(х] то —и € Ве(—х\тг^). А значит, для и € У (ж; ж^;...; 7Г^„) гет выполнено соотношение — и £ У£{ —х; \...; ж$п).

Гаким образом, операция перехода к противоположному элементу [ -.азе непрерывна и (X,тп) есть топологическая группа. При этом - :-гйство квазишаров

В0 = {К(0; тг6;...; тг^ ), г > 0, тге,;. ..; т㈄ £ П, п е М} <т> локальной базой топологии тп-

Как и выше, топология тп будет хаусдорфовой тогда и только тогда-когда семейство П разделяет нуль, т.е. когда \/х ф 0 Зтг^- £ П : 7г^(;г) > Далее, если для каждой ж^ ввести симметричную квазинорму как з конце п.З, то семейство П' = (тг£) будет порождать ту же топологию, что и П.

5. Воспользуемся теперь теоремой Какутани-Биркгофа ([10], с.95. теорема 8.2). Согласно ей для каждой симметричной квазинормы 6 П и для каждой последовательности чисел гд. > 0, удовлетворяющей условию ж^(х),ж^(у) < г к.(.1 =Ф- ж$(х + у) < г к найдется (как в случае группы, так и в случае векторного пространства) инвариантная псевдометрика р^ такая, что выполняются следующие условия: 1) ж^(х — у) = 0 тогда и только тогда, когда р$(х,у) = 0; и) если р(.(х,у) < 2*^2, то ж^(х - у) < гк\

) если р^(х,у) ^ ¿х, то ж^(х - у) ^ гк. Сопоставив каждой квазинорме соответствующую псевдометрику получим семейство Р = (р^). В силу условий 11) и ш) можем сказать, что шары, порожденные квазинормой ж^ и псевдометрикой р^, взаимно погружаются друг в друга, .т.е.

а) УЩО: тс-) ЭВб(0; р{) С Ве{0;ж() и ¡3) 0;^) БВб1(0;те) С Ве1(0;р().

Условия типа а) и (3) будут выполнятся также и для семейств ква-31 пиаров Уг(0; ;...; тг?п) и К(0; р^;.. .; р^ „).

Значит, топология тп совпадает с топологией тр. На. основе сказанного можно сделать выводы. Если по каждой псевдометрике р^ построить функцию &{(х) = р{(0,х), то в случае группы последняя будет симметричной квазинормой, для которой условия а), б'), в') можно заменить условиями: а') а^х + у) < а^х) + <г€(у), б") <г€(0)=0, в"') <74(-х) = <7({х).

Семейство квазинорм Е = (<т^)4-ен порождает ту же топологию, что и семейство П. Таким образом, с точки зрения топологических свойств можем считать, что квазинорма всегда удовлетворяет аксиомам а'), б'}, в") и фактически совпадаете с квазинормой, расматривавшейся, например, в работе [11]. Что касается векторных пространств, то и здесь каждая функция а^ также будет удовлетворять аксиомам б), в), г) из п.2, так. что будет квазинормой в том же смысле. Действительно, в силу совпадения топологий тц и тр соотношения —+ 0 и 7Г^(..т) —► 0

равносильны, а отсюда следует выполнимость этих аксиом и для

Литература

1. Порошкин A.A. Топология в векторном пространстве с обобщенно]'! нормой // Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз.сб.научн.тр. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т. 1980. С. 83-92.

2. Порошкин A.A. О непрерывных функционалах в некоторых ква-31 г нормированных пространствах // Вопросы функционального анализа (т.сория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения): Межвуз.сб.научн.т.р. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1991. С.73-81.

3. Lew ick i С. Bernstein " Letargy" Theorem in Metrizable Topological Linear Spaces // Monatshefte für Mathematik. N 113. 1992. P.213-226.

•1. Пратусевпч М.Я. О некоторых свойствах S/''-пространств и связанных с ними линейных операторов / РГПУ им. А.И.Герцена. Санкт-Петербург. 1997. /Деп. в ВИНИТИ, 2^.03.1997г. N881-В97.

5. Пратусевич М.Я. О топологических и квазитопологических свойствах .^-пространств /РГПУ им. А.И.Герцена. Санкт-Петербург. 1997. /Деп. в ВИНИТИ. 24.03.1997г. N 882-В97.

6. Пратусевпч М.Я. О проекциях и дополняемости подпространств в Л'/'1-пространствах ¡РГПУ им. А.И.Герцена. Санкт-Петербург. 1997. /Деп. в ВИНИТИ, 24.03.1997г. N 880-В97.

7. Порошкин A.A., Порошкин А.Г. О топологии, порождаемой семейством квазинорм // Проблемы современного математического образования в педвузах России. Тезисы докладов Межрегиональной научной конференции: Киров. 1998. С. 189-190.

8. Порошкин A.A. О топологии в группе, порожденной семейством квазинорм ¡Коми педагогический институт. Сыктывкар, 1997. 8 с. / Деп. в ВИНИТИ, № 3599-В97 ДЕП.

9. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977. 742 с.

10. Хьюитт ' ).. Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: Наука. 1975. Т.1. 654 с-

11. Гусельников Н.С. Треугольные функции множества и теорема Никодима о равномерной ограниченности семейства мер // Машем. сборник. 1978. Т. 106(Ц8). №(1). С. 340-356.

Summary

Poroshkin A.A., Poroshkin A.G. On the topology generated by the collection of quasi-norms

A collection of quasi-norms in a vector space or Abelian group is introduced. Some properties of the corresponding topology is investigated.

Коми педагогический институт

Сыктывкарский университет Поступила 20.10.2000