О точных значениях n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №6_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.С.Саидусайнов

О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ п-ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА В2/

Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.04.2010 г.)

В статье найдены точные значения аппроксимационных п -поперечников классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана В2 г ■

Ключевые слова: интеграл Лебега - весовая функция - модуль непрерывности т -го порядка - наилучшее приближение - п -поперечники.

1. Пусть N — множество натуральных чисел, Ж+ := N ^{0} , К+ - множество положительных чисел вещественной оси.

Говорят [1], что аналитическая в единичном круге функция

f(z) = 2 ckzk. z = pelt. 0 <p< І. 0 < t < 2* (1)

к=0

принадлежит весовому пространству Бергмана B . І < q < ад, если

(л 12* V7 q

—Ц py(p) \f (pe) \qdpdt

V 2* 0 0

< ад.

где у(р) - неотрицательная суммируемая весовая функция, и интеграл понимается в смысле Лебега.

Обозначим через /г)(г) (| 21< 1, г е Н) производную г -го порядка аналитической функции /(г) по аргументу t комплексного переменного г = рвхр(И), то есть

/П>(2) = Ш = Ш.Л = /•(2) . Й

а Ы йг д^

и при г > 2 производную г) (г) определим рекуррентным равенством

»(!)

Л’)={ лr л *)};■

Адрес для корреспонденции: Саидусайнов Муким Саидусайнович. Республика Таджикистан, 736000, г.Хорог, ул.Ленина, 28, Хорогский государственный университет. E-mail: [email protected]

Под В(г') понимаем класс аналитических в круге | г |< 1 функций /(г), для которых

г) б Б,.,.

Я ,У

Через

Еп (/Х = іп/ Ц/ - Л-Х : Рп-1(г) є^П-і

(2)

обозначим наилучшее приближение /(г) е В подпространством ^_1 - алгебраических комплексных полиномов степени < п — 1, а через

а (/. % , = 5иР| д;/||

2у і\<к 11 1

т (т\ , . ч

1 = 8иР Я. у \г\<к і т 7, ^<12 1к ; / р (9+“) )

(3)

обозначим модуль непрерывности т -го порядка в пространстве Бс ,г. 1 < Я < го . Для оценки наилучших приближений (2) функций /(г) є Б наряду с (3), используют усредненную характеристику гладкости (см.,напр. [2],[3])

П,

Г 1 гг 17!!

(/.‘). = ■■]\ьт/ре‘%а\..Лт\ . і>о.

где к = (к,. А, ..... к.,). Дт =Д), — Д1^ . Д„/ = /(• + к, ) - /(•) .

Для аналитических функций /(г) є Б(^ вводим в рассмотрение экстремальную характеристику следующего вида

2т72 • ПЕп-і(/)б

К,п,г,р (і) = виР

/ ^сопії (} П. (/!’' .9" п)!в

\1/ Р '

где т, п е К, г е Ъ+, р е М+, 1 / г < р < 2, 0 < ? <ж/ п .

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть т, п е К, г е Ъ+, 1 / г < р < 2 и 0 < ? <п/ п . Тогда справедливо равенство

к (')=Ц(

1 -

БІЙ 9

~9~

. тр/2 |

-1/р

Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливы равенства

Кт.п,.г!т (< ) = (' - »('))-""2.

Б

я .у

і

где Si(t) = ^в1 sin ede - интегральный синус. В частности,

К...

m/2

пЛ ' ° '

m,n,r,2/m

г- Si (г / 2)

2. Прежде чем привести другие результаты, нам понадобятся следующие определения и обозначения. Если М - некоторый выпуклый центрально-симметричный компакт в пространстве Б2 г ,

то через Ьи (М. Б у ). ^ (М. Б у ). ^п (М. Б у ). 8п (М. Б у ) и П (М. Б 7) соответственно обозначим бернштейновский, колмогоровский, гельфандовский, линейный и проекционный п -поперечники. Указанные поперечники связаны соотношениями

Ьп (М. Б2.у) < йп (М. Б2.у) < < (М. Б2.у) = ^ (М. Б2у) = П(М. Б2у).

Пусть Ф(і). і > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция, Ф(0) = 0. Через

(Ф) := (т.г. Ф). т. г є N , обозначим класс функций /(г) є Б2 для которых при любых і > 0

выполняется неравенство

' t V7 p

\пЦ/Г,т)1т < Ф(і ).

V 0 У

Следуя работе С.Б.Вакарчука [4], через t* обозначим величину аргумента х е (0,да) функции sin х / х, при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t* есть наименьший из положительных корней уравнения х = х(4,49 < t. < 4,51) .

При этом полагаем

(. sin х 1 I sin I Л 1 sin | I

I 1-------:=-j1--------, если 0<х<4; 1--------------------если х>tA.

V х У. I I t. J

Теорема 2. Пусть m, и е N. £сли «ри любых t е (0,да) мажоранта Ф удовлетворяет условию

Л -1/2 г 1/2

1^^ • Лт t / и / • ' “

Ф(t) >J Г(1 sinr 1 лЛ J Гh sinr

Ф(г/n) L 0

то справедливы равенства

I -1/2

у, W (Ф), Bv) = 2-m / 2. n-r+m .jJIl - J dt !■ .ф|Г|, (5)

0

где уп (•) — любой из вышеперечисленных п -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (4), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция

Ф(t) = ta'2, где a:=nj|( 1 -j dt.

Поступило 15.04.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шабозов.М.Ш. - Докл. РАН, 2007, т.412, 4, с.466-469.

2. Руновский К.В. - Матем.сборник, 1984, т.185, 8, с.81-102.

3. Стороженко Э.А., Кропов В.Г., Освальд П. - Матем.сборник, 1975, т.98, 140, с.395-415.

4. Вакарчук С.Б. - Мат.заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.

М.С.Саидусайнов

ДАР БОРАИ ЦИМАТИ АНИЦИ n-ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН В2у

Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев

Дар макола кимати аники п -кугрхои аппроксиматсионй барои баъзе синфи функсиях,ои дар давраи вох,идй аналитикй дар фазои вазндори Бергман ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: интеграли Лебег - функсияуои вазндор - модули бефосилагии тартиби m -ум -наздиккунии беутарин - п -цутр^о.

M.S.Saidusainov

ON THE EXACT VALUE OF n-WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE B

2,r

M.Nazarshoev Khorog State University

In article were founded the exact values of п -approximation widths for some class of analytical in the unit circle functions in the weighted Bergman space.

Key words: Lebegue integral - modulus of continuity of m order - best approximation - п -widths.