О теореме Гельмгольца для почти-периодических в среднем квадратичном векторных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 81Р20

О ТЕОРЕМЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ДЛЯ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Л.Т. Фат, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Теорема Гельмгольца о разложении векторного поля Ai(x), x Є М3, i = І, 2, З

на сумму потенциального и еоленоидального векторных полей обобщается на случай, когда

поле Ai(x) не стремится к нулю при |x| ^ то, а, наоборот, принадлежит пространству почти

М3

М3

произведением 1ішл^мз |Л|-1 /л(-, (■)*)dx.

Ключевые слова: потенциальное поле, еоленоидальное поле, функции почти периодические в среднем квадратичном, теорема Гельмгольца.

1. Введение. В математической физике часто используется важное утверждение о векторных нолях, которое называют теоремой Гельмгольца. Оно состоит в том, векторное поле М3 может быть представлено в виде суммы двух слагаемых - потенциального и еоленоидального векторных нолей, причем, при некоторых дополнительных условиях такое представление векторного ноля однозначно (или, с точностью до постоянного вектора). Это утверждение, хотя и является довольно попятным с физической точки зрения, однако, при проявлении его точного математического смысла, оно оказывается стесненным ограничениями, которые носят, но видимому, технический характер. Во всяком случае, авторам неизвестен такой контрпример, когда гладкое векторное, заданное на М3, не обладало бы указанным свойством. Существенно также то, что для гладкого поля, заданного в компактной области в М3, доказательство теоремы Гельмгольца очень просто и не требует дополнительных ограничений на поле Аг(х), г = 1, 2, 3 для ее справедливости.

При распространении теоремы Гельмгольца па некомпактные области и, в частпо-

М3

уточнение ЭТОГО утверждения, при котором требуется, чтобы поле Аг (х) достаточно быстро стремилось к нулю на бесконечности при |х| —^ [1, 2, 3]. Однако, для многих

М3

требование является сильно ограничительным, что обесценивает содержание теоремы Гельмгольца. В этом сообщении мы покажем, что утверждению теоремы Гельмгольца

М3

рые составляют специальное гильбертово пространство (см., но этому поводу |4|.), образованное пополнением линейного многообразия всевозможных периодических нолей

на М3, Мы называем их векторные поля почти-периодические в среднем квадратичном.

2. Теорема Гельмгольца. Пусть Аг(х), г =1, 2, 3 — гладкое векторное поле на М3. Оно представимо в виде суммы двух нолей

А(х) = БДх) + У*Ф(х) , г = 1, 2, 3 , (1)

где V гБ г (х) = 0.

Доказательство утверждения, составляющее содержание теоремы Гельмгольца, основано на однозначном определении потенциальной составляющей УгФ, г = 1, 2, 3 при каких-то дополнительных ограничениях на поле Аг(х), г = 1, 2, 3. Из разложения (1) следует, что

/(х) = ДФ(х), (2)

где введено обозначение /(х) = (V, А(х)). Тогда потенциал Ф(х) может быть определен как решение этого уравнения, если таковое существует на всем М3,

При стандартном доказательстве теоремы Гельмгольца этот подход реализуется в случае, когда поле Аг(х) достаточно быстро стремится к нулю при |х| ^ то вместе со своими производными, то есть, когда |/(х)| ^ 0. Это позволяет применить преобразование Фурье в М3 к обеим частям уравнения (2), определяя его для функций /(х) и

ад,

/(к) = У /(х)ехр(-г(к,х))йх, Ф(к) = У Ф(х)ехр(-г(к,х))йх,

М3 М3

/(к) = -к2ф(к)

так, что при этом выполняется

С |/(к)1

|к|2

йк < то . (3)

Последнее позволяет применить обратное преобразование Фурье и восстановить однозначным образом потенциал Ф(х) в виде

Ф(х) = - [ Й^-ехр(г(к,х))йк =(4) 3 |к|2 4^3 |х - у|

М3 М3

причем скалярное поле Ф(х) является гладким и имеет место

Г / (к)

\7Ф(х) = — г к-.—— ехр(г(к, х))с?к .

3 |к|2

М3

После ЭТОГО, Бг(х) = Аг(х) — ^Ф(х) И VгБг(х) = 0 по построению. Ясно, что выполненное при таком подходе разбиение (1) можно видоизменять, добавляя к функции Ф(х), определяемой (4), произвольную гармоническую функцию Ф(х), ДФ(х) = 0.

3. Почти-периодические в среднем квадратичном векторные поля. Введем

М3

|х| ^ то, а, наоборот, ведут себя «квазипериодическим образом». Пространство скалярных нолей такого типа мы обозначим посредством 1Ь2(М3), соответственно, аналогичные векторные ноля составляют пространство 1Ь2(М3) х 1Ь2(М3) х 1Ь2(М3), Элементы этих пространств мы будем называть, соответственно, скалярными и векторными нолями, ночти-нериодическими в среднем квадратичном.

Пусть комплекснозначная функция и(х) такова, что для нее существует некомпланарный набор векторов еь е2, е3 такой, относительно которых она обладает свойством

и(х + ще1 + П2е2 + щ^) = и(х) , щ € з = 1, 2, 3 . (5)

Такую функцию мы будем называть 3-периодической с набором векторов е1; е2, е3 -периодов этой функции.

На линейном многообразии Т3 всех 3-периодических функций на М3 введем билинейный функционал

(и, и) = Ит —— [ и(х)г>*(х)с?х , (6)

л^м3 |Л| 7

Л

где Л — произвольный расширяющийся набор самоподобных друг другу относительно некоторого центра в М3 параллелепипедов и |Л| — объемы этих параллелепипедов. Легко проверяется, что этот функционал представляет собой невырожденное скалярное произведение на Т3,

Определение. Пространство Ь2(М3) является пополнением линейного многообразия Т3 всех 3-периодических на М3 полей и(х) в топологии, порождаемой скалярным произведением (6).

Это пространство иесепарабелыю.

Для векторных комплекснозначных полей и(х) на М3 определения свойства 3-периодичности и скалярного произведения на линейном многообразии Т3 х Т3 х Т3 всех 3-периодических векторных нолей даются аналогичным образом,

и(х + ще1 + П2е2 + щ^) = и(х), щ € з = 1, 2, 3; (7)

(и, V) = л1т1з щ J С/Дх)У/(х)йх. (8)

Л

В соответствии с данными определениями и базовыми утверждениями теории гильбертова пространства |4|, любая комилекснозначная функция м(х) из 1Ь2(М3) представима в виде разложения по набору взаимпоортогопальпых относительно скалярного произведения (6) функций ехр(г(к,х)), к € К(и),

и(х) = и(к)ехр(г(к, х)) , (9)

в котором суммирование ведется по не более чем счетному набору векторов К(и), определяемому функцией и(х). При этом коэффициенты ряда

Существенно, что коэффициенты и (к) не равны нулю ТОЛЬКО ЛИШЬ дл я векторов К ИЗ набора Я(и) |4|,

Ряд (9) сходится в смысле метрики пространства Ь2(М3), порождаемой скалярным произведением (6). Наоборот, если функция и(х) определяется рядом (9), в котором коэффициенты удовлетворяют условию (11), то она принадлежит пространству Ь2(М3), Аналогично, любое векторное поле и(х) из 1Ь2(М3) х 1Ь2(М3) х 1Ь2(М3) представимо в виде сходящегося в метрике этого пространства ряда

с квадратично суммируемым по набору векторов К(и) рядом коэффициентов - ком-пекспозпачпых вектор-фупкций

4. Теорема Гельмгольца в [1Ь2(М3)]3, Покажем, что утверждение теоремы Гельмгольца справедливо для векторных полей из пространства [1Ь2(М3)]3, Пусть поле А(х) - гладкое и принадлежит [1Ь2(М3)]3 вместе со своими частными производными. В частности, это означает, что имеет место

к€й( А)

Кроме того, их этого предположения следует, что (V, А(х)) € 1Ь2(М3), Следовательно, справедливо разложение

(10)

л

удовлетворяют условию

(11)

к£Я(и)

(12)

кеК(и)

кеК(и)

(13)

л

к€й( А)

где коэффициенты

л

обладают свойством

^ |А(к)|2 < то .

к€й( А)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К,Д Серия: Математика. Физика. 2013. №26(169). Вып. 33 103 такое, что коэффициент ряда равен нулю при к = 0 и

Будем искать теперь компоненты разложения (1) ноля А(х) в пространстве [1Ь2(М3)]3, Тогда представим искомый потенциал Ф(х) в виде ряда

Подстановка разложения (15) в уравнение ДФ(х) = f (х) и сравнение полученного выражения с разложением (14) дает

так как коэффициент разложения при к = 0 по построению равен нулю. Таким образом, в пространстве Ь2(М3) уравнение ДФ(х) = f(х) однозначно разрешимо и при этом векторное ноле

ввиду (16), принадлежит пространству [1Ь2(М3)]3,

Заметим теперь к полю УФ(х) можно добавить постоянный вектор (слагаемое с к=0

содержится в рЬ2(М3)]3.

После определения потенциала Ф(х) определим поле

которое, по построению, является соленоидальным. Изменение поля УФ(х) на постоянный вектор оставляет поле В(х) быть соленоидальным. Таким образом, мы убедились в справедливости следующего утверждения.

Теорема. Если векторное ноле А(х) гладкое вместе со своими частными производными и принадлежит пространству [1Ь2(М3)]3, то оно представимо однозначным образом в виде суммы А(х) = В(х) + С(х) с точностью до постоянного слагаемого, составляющие которой принадлежат пространству [1Ь2(М3)]3 и иоле В(х) соленойдалыюе, а иоле С(х) = УФ(х) потенциальное.

^2 |(к, А(к))|2 < го .

к€й(А)

(15)

кЄЙ(Ф)

в котором коэффициенты Ф(к) обладают свойством

(16)

кЄЙ(Ф)

кЄЙ(Ф)

кЄЙ(Ф)

Литература

1. Ко чин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорнох’о анализа / М.: Наука, 1965. 428 с.

2. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник но математике для научных работников и инженеров /

М.: «Наука», 1981. 720 с.

3. Ли Цзун Дао Математические методы в физике /пер. с англ./ М.: Мир, 1965.

(Lee T.D. Mathematical methods of physics / New York: Columbia university, 1963. 296 e.)

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / М.: Наука, Физматлит, 1966. 544 с.

ON HELMHOLTZ’S THEOREM OF AVERAGE QUADRATIC ALLY ALMOST-PERIODIC VECTOR FIELDS

Lam Tan Phat, Yu.P. Virchenko

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:[email protected]

Abstract. The Helmholtz theorem concerned to the decomposition of vector field Aj(x), x € R3, i = 1,2,3 on the sum potential field and solenoidal one is generalized in the case when the field Ai(x) does not tod to zero at |x| ^ to, but, conversely, it belongs to the space of

R3

the linear manifold of all periodic functions on R3 according to the metrics generated bv scalar composition limA^R3 |Л|-1 JA(-, (•)*)dx.

Key words: potential field, solenoidal field, quadratieallv average almost periodic functions, Helmholtz’s theorem.