Гауссовские почти периодические в среднем квадратичном соленоидальные векторные поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 81Р20

ГАУССОВСКИЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Л.Т. Фат, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассматриваются случайные гауссовские векторные поля в R3 с нулевым средним значением, реализации которых с вероятностью единица являются почти-периодичеекими в среднем квадратичном. Находится общий вид корреляционной функции таких случайных полей в том случае, когда они с вероятностью единица являются гладкими и обладают свойством соленоидальности.

Ключевые слова: еоленоидальное поле, функции почти периодические в среднем квадратичном, гауссовское случайное поле, корреляционная функция.

Пусть Аг(х), г = 1, 2, 3 — гауссовское случайное векторное поле с нулевым средним,

(Аг(х)) = 0. Оно полностью характеризуется корреляционной функцией

кгз(х У) = (А(х)Аз(у)) , х, у € Е3 ; г,] = 1, 2, 3.

Пусть это поло является гладким с вероятностью единица и с той же вероятностью обладает свойством солепоидалыюети, то есть дня почти каждой его реализации выполняется

УгЛ(х)=0 . (1)

Это приводит к тому, что корреляционная функция Кз (х, у) удовлетворяют уравнению

аКц(х,у) = аКц(х,у) = о

дхг дуз

Будем, далее, считать, что поле Аг(х), х € Е3 таково, что с вероятностью единица его реализации представляются ночти-нериодическими в среднем квадратичном функциями. Это означает, что почти каждая случайная реализация представима в виде ряда

Аг(х) = ^йг(к)ехр(г(к, х)), (2)

где суммирование производится по случайному не более чем счетному множеству А векторов к из Е3, однозначно определяемому реализацией Аг(х), а набор случайных коэффициентов аг(к), к € А, г =1, 2, 3 квадратично суммируем

У, |«г(к)|2 < ТО ,

(3)

где множество А векторов к определяется условием

йг(к) = lim — Äj(x) ехр(—г(х, к))с?х ф 0 . (4)

л^к3 |Л| J л

Заметим, во избежание возможного ошибочного представления, что наличие разложений (2) случайных реализаций гауссовского поля Aj(x), x Є R3 не означает, что это поле обязательно обладает дискретным спектром. Это связано с тем, что множество А векторов к, по которому производится суммирование в (2), не является фиксированным, как это было бы при наличии только дискретного спектра v поля Aj(x), а это

эффективно может приводить К появлению непрерывного спектра у ПОЛЯ Ai (x).

Формулу (2) можно представить в следующем виде

Äi(x) = J ехр(г(к, x))Ä(k)dk , (5)

R3xR3

где A(k) — обобщенная случайная функция

1

І7Ї

к'єА ' r3x

Äi(k) = ^2 щ(к')8(к - к') = J Äi(x) exp(~г(к, x))dx , (6)

Целью настоящего сообщения является доказательство общего представления дня корреляционных функций случайных гауссовских векторных полей описанного выше тина.

1. Основная теорема. Пусть гауссовское случайное векторное ноле Аг(х) является с вероятностью единица иочти-иериодическим в среднем квадратичном и с той же вероятностью все его частные производные УгАз- (х) реализаций поля Аг(х) локально квадратично интегрируемы и являются почти периодическими функциями в среднем квадратичном, для которых выполнено условие УгАг(х) = 0.

Тогда для корреляционной функции поля {Аг(х)} справедливо следующее представление

К11Ъ2 (х1, х2) ^¿131^1 ^¿232^2 V,.! ^32 ^к\к2 (х1, х2) , (7)

где Яг1г2 (х1, х2) — корреляционная функция некоторого гладкого с вероятностью единица гауссовского ноля с пулевым средним.

(Операторы ^Х1), V3*2) обозначают градиенты, соответственно, по переменным х1 х2

П Ввиду наличия соленондальностн у реализаций Аг(х) с вероятностью единица, подставив разложение (2) в (1), получим

ViAi(x) = ^2 kä(k) ехр(і(к, x)) = 0 ,

кЄА

где в левой части, ввиду гладкости случайных реализаций Лі (х) в среднем квадратичном, стоит ряд, квадратично суммируемый с вероятностью 1,

кЄА

к2|аі(к)|2 < то. (8)

Вследствие однозначности разложения ночти-нериодической в среднем квадратичном в ряд вида (2), получаем бесконечный набор условий дня коэффициентов разложения

KiCii (к) = 0 , к G A. (9)

Рассмотрим набор случайных коэффициентов cii(к), к G A, занумерованных случайным счетным множеством A с R3, который представляет ненулевые значения линейного преобразования (4) некоторой реализации АДх) исходного случайного поля. Этот набор можно рассматривать как реализацию случайного поля {сц(к); к G R3}, которое получается линейным преобразованием (4) случайного поля {АДх); х G R3} и которая обращается в нуль при к G R3 \ A (по этой причине такое случайное поле {аДк); к G R3} несепарабельно). Такой подход позволяет избавиться от явного учета случайного множества A, Кроме того, при таком рассмотрении поле {аДк); к G R3} является гауссовским, так как оно получается посредством линейного преобразования гауссовского случайного поля {АДх); х G R3}, Оно имеет нулевое среднее значение,

{щ(к)) = lim [(Л(х)) ехр(-г(х, к))с?х = 0 , л^к3 |Л|У л

где к может (после усреднения) принимать любые значения из R3,

На основании (5) и (6) имеет место

Dibi2 (кь «2) = / Ki1,i2 (хь х2)ехр(-г[(к1, х:) - (к2, х2)])^х1^х2 =

= у (,4г1 (х1)Аг2 (х2)) ехр(-г[(кЬ х1) - (к2, х2)])^х^х2 = (А(^)А (К2)) , (10)

К3хК3

А'}ь,2(х1,х2) = -^ J А1,г2(к1,к2)ехр(г[(к1,х1) - (К2,Х2)])ЙК1ЙК2. (11)

К3хК3

Поэтому обобщенная случайная функция А(к) полностью характеризуется корреляционной функцией Дгьг2 (к1, к2) и эта обобщенная тензор-функция однозначно характеризует корреляционную функцию Кгьг2 (х1, х2) для случайных полей, реализации которых принадлежат пространству ночти-нериодических в среднем квадратичном случайных нолей.

Свернув тензор Дгьг2 (к1, к2) с вектор ом к1 ИЛИ ВеКТОр ом к2 и применив формулу (9) и (6) для усредняемых реализаций аг1 (к1) аг2(к2), получим необходимое и достаточное условие для корреляционной функции Дгьг2(к1, к2) для того, чтобы поле {аг(к)}

Проанализируем это условие. Для этого представим общее решение уравнения (9) в

к

где егз-к — псевдотензор Леви-Чивитта, 4к (к) — некоторый случайный вектор. Такое представление связано с тем, что весь класс векторов а, ортогональных вектору к, описывается формулой а = [к, Ъ], оде Ь - произвольный вектор, неколлинеарный век-к

(к) при фиксированном значении вектора ак (к) имеет вид (еели к = 0)

где А(к) - произвольная функция от к. Если рассматривать это решение для всей совокупности случайных реализаций аг(к), то совокупность всех функций 6г(к), к € Е3 будет составлять случайное поле { Ьг(к)} при условии, что, дополнительно, определено

А(к) к € Е3

{А(к)}

в клада в поле аг(к) и поэтому его можно выбрать произвольно. Положим его равным нулю. Тогда Ьг(к) = —к-2егзккзак(к) и поле { Ьг(к)}, как линейное преобразование гауссовского поля является тоже гауссовским и обладает вслед за полем {аг(к)} нулевым средним значением. Его реализации обращаются в пунь в тех же точках, что и порождающие их реализации аг(к), то есть семейством векторов к € Е3, в которых реализация (к) не обращается в нуль, является семейство А, соответствующее порождающей реализации. Тогда распределение вероятностей поля { Ьг(к)} порождается распределением вероятностей поля {аг(к)}. При этом в силу выполнимости свойства (8) для реализаций аг (к) с вероятностью 1, для реализаций Ьг (к) выполняется с той же вероятностью

с тем же семейством А. И обратно, езди выполняется (14), то поле {аг(к)}, определяемое формулой (13), является гауссовским ноле с пулевым средним, дня которого

левым средним и с реализациями, удовлетворяющими с вероятностью 1 условию (15), мы, тем самым, определим однозначным образом случайное поле {аг(к)}.

Введем обобщенное случайное поле {В¿(к)} с реализациями

соответствовало соленоидальному полю {А ¿(х)},

(к1)г1 Аьг2 (кЬ к2) = (^¿2 (кЬ ^) = 0 .

(12)

aг(к) ^¿3кк3 4 к (к)

(13)

41 (к) = А(к.)к — к ^кК' ак (к)

(14)

(15)

выполняется условие (8). Тогда определив произвольное гауссовское поле { 4г(к)} с ну

¿¿(к) = ^ — к) .

Оно является гауссовским полем с пулевым средним, так как получается из поля АДк) на основе его линейного преобразования. Поэтому поле {¿¿(к)} полностью определяется своей обобщенной корреляционной функцией

(кЪ к2) = (В¿1 (к1)В¿2 (к2)) .

Определив фурье-преобразование

к)

Е3

¿¿(х) = В¿(к)ехр(г(х, к))^к = ЬДк^’^

которое является линейным преобразованием поля {В¿(к)} и которое, таким образом является гауссовским случайным нолем с пулевым средним, выразим, аналогично формуле (11), корреляционную функцию (х1, х2) = (В^ (х1)Вг2 (х2)), следующим образом его ПОЛНОСТЬЮ определяющую через корреляционную функцию (к1, к2),

Дгьг2(хьх2) = J С^л2(к1,к2)ехр(г[(к1,х1) - (к2,x2)])dк1dк2 (16)

Е3хЕ3

так, что имеет место обратная связь

6^2 (кЬ к2) ^ У -^¿1 ,¿2 (х1, х2)ехр (г[(х2, к2) — (х1, к^))^^ .

Е3хЕ3

Корреляционные функции (х1, х2), (к1, к2) являются положительно опре-

деленными, то есть имеют место неравенства

J ^,¿2 (хь х2)и*1 (х1)м*2 (х2)^х1^х2 > 0 ,

Е3хЕ3

J (к1, (к1)й*2 (к2)^к1^к2 > 0

Е3хЕ3

для любых финитных измеримых вектор-функций «¿(•). Кроме положительной определенности, корреляционная функция (х1, х2), дополнительно, должна быть диффе-

х1 х2

пепа доно.1шите.:1ьпому условию, которое является следствием (15). Такое условие формулируется В терминах корреляционной функции (х1, х2) случайного ПОЛЯ {Вг(х)} дня которого, в силу выполнимости условия (15), существуют все вторые частные производные

Vk^Вг(х) = — ^] КкК ^(к)^*^ ,

кеА

как интегрируемые и ночти-нериодические в среднем квадратичном функции.

Из формулы (13) вытекает следующая связь между корреляционными функциями (кЬ к2) и (кь к2),

(к1, к2)

^¿131 к1 ^¿232к2 (к1),1 (к2)з2 Ск1 ,к2 (к1, к2). (17)

Воспользовавшись определениями корреляционных функций (х1, х2) И Лг1г2 (х1, х2), получим формулу (7) формулировки теоремы. ■

Заметим, что корреляционная функция (7) удовлетворяет условию

(хъ х2) = (x1, х2) .

2. Пример гауссовского соленоидального поля. Пусть Sj, j = 1, 2, 3 псевдовектор bR4 âj, bj j = 1, 2, 3 — два гауссовских случайных эквивалентных вектора с нулевым средним значением (âj) = ( bj ) = 0 и ковариационной матрицей (âjâj ) = ( bbj ) = a25j, Эти векторы статистически зависимы так, что (âjbj) = r2£jksk и шестимерный случайный вектор (âj,j = 1, 2, 3; bj,j = 1, 2, 3) является гауссовским с ковариационной матрицей

р _ /а21 F \ „ _ 2

G I ^2^ ) 7 Г ^¿jfcsfc *

Эта матрица симметрична и неотрицательна при |s|r2 < а2,

((u,v), S(u, = а2(и2 + v2) + r2((u, [v, s]) - (v, [u, s])) > 0 ,

как это необходимо дня того, чтобы представлять ковариационную матрицу случайного вектора. Последнее неравенство следует непосредственно из неравенств (u, [v, s]) > — |s| ■ |u| ■ |v|, (v, [u, s]) < |s| ■ |u| ■ |v|.

Ковариационная матрица каждого из векторов â1; £jmrasmbra равна a2Sj, Sj =

s25ij — SjSj Так как среднее

£jmnsm(âlbn) r Sin£jmnsm ,

то ковариационная матрица соответствующего шестимерпого вектора равна

( a2S —SF N

V—(SF)T а28^ *

Определим стохастически трапсляциоппо инвариантное случайное поле

Bj(x) = âj cos(s, x) + bj sin(s, x)

ss

Rjj (xi, X2) = a2ij1j2 cos(s, xi — X2) + r2£j1j2iSi sin(s, X2 — Xi)

И поле А;(х) = ЄуйЗ,-Вк(х) С корреляционной фуНКЦИЄЙ ЄгііікіЄг2з2к:2 3 3 (хі, Х2).

Отметим появление в корреляционной функции Ду(х, у) слагаемого, пропорционального Є3-13-2г5г, на возможность существования гауссовских полей такого типа указывалось в работах |4-7|, однако, вопреки примененной в этой работе но отношению к нолям такого тина терминологии, реализации рассматриваемого нами поля не обладают какой-либо топологической петривиалыюстыо. Соответствующее обобщенное случайное поле В; (к) определяется формулой

в і {к) = - в) + ¿(к + в)) - 1-Ъ^5{к - б) - 8 {к + в)) .

Вычисление его корреляционной функции дает

~ ~ *

Су(кі, К2) = (В(кі)В (к2)) =

= ^5(кі - к2) [а28^{8{н,1 - в) + 8(кі + в)) + іг2єі:іі8і(8(кі - в) - 5(кі + в))] . Соответственно, корреляционная же функция Ву (к1; к2) шля А;(к) равна

Ву(кь к2) = ^(кі - кг) [ст2^(^(к1 - б) + 8(кі + б)) + /'/•2.Ч/. //./-^/(і - в) - 8(кі + б))] .

3. Стохастически симметричные гауссовские поля. Если почти-периодическое в среднем квадратичном случайное поле {АДх)} - стохастически трансляционно инвариантно (однородно), то его корреляционная функция (х1;х2) зависит только от

разности х = х1 — х2. В этом случае соответствующее обобщенное случайное поле {АДк)} обладает корреляционной функцией В^,^(к1; к2), которая пропорциональна ¿(к1 — к2), как это имело место в примере, приведенном выше. Тогда, вследствие (17), таким же свойством обладает корреляционная функция Ск1,к2(к1; к2), то есть корреляционная функция В^(х1; х2) = В^^(х) — также зависит от разности х = х1 — х2. В этом случае формула (7) принимает вид

Kгlг2 (х) ^¿131^ ^¿232к2^31 ^32 Вк1к2 (х) , (18)

х

Так как корреляционная функция В^ (к1; к2) обладает свойством В^ (к1; к2)(к1)г1 = В^ (к1; к2)(к2)^ = 0, то соленоидэльные случайные поля вырождены — корреляционный оператор имеет собственные функции с пулевым собственным значением. Это, в частности, приводит к тому, что эти ноля не могут быть стохастически сферически симметричным,и, то есть для них в каждой прострапствеп-

х

А(х) (радиус-вектор не поворачивается). Это означает, что корреляционная функция (х1; х2) не может обладать свойством

и*131 и*232 К3132 (х1, Х2) КІ1І2 (х1, Х2) ,

так как в противном случае должно иметь место равенство

U*1J1 U*2J2 Djlj2 (к1, К2) (к1, К2) ,

то есть Dj1j2 (к1; к2) = D(k1; K2)5j1j2, что противоречит существованию собственного вектора с пулевым собственным значением. Напротив, поле с локальной аксиальной стохастической симметрией возможно, у которого корреляционная функция имеет вид

Djij (кЪ к2) = D1(k1, «2^5,1,-2S2 - , Sja) + %ш^В2 (к1, к2) ,

где D1(k1, к2) > 0 и функция D2(k1; к2) такова, что имеет место неравенство

J D(k1; K2)u,1 (к1)и,2 (K2)dK1dK2 > 0

R3xR3

для любой вектор-функции u,(к).

Литература

1. Фат Лам Тан, Вирченко Ю.П. Стохастически однородные и изотропные магнитные поля /7 Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics к Phvsics. 2013. 19(162);32. C.176-183.

2. Скороход Теория случайных процессов.

3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / М.: Наука, Физматлит, 1966. 544 с.

4. Slczova Zh.V., Tur A.V., Yanovskii V.V. Effect of Topologically Non-trivial Magnetic Fields

on the Magnetic Moment Evolution / Functional Materials. 2000. 7; №3. P.384-389.

5. Chechkin A.V., Tur A.V., Yanovskii V.V. Anomalous Flow of Passive Admixture in Helical

Turbulence / Geophvs. Astrophvs. Fluid Dynamics. 1998. 88. P.187-213.

6. Tvp A.B., т1счкин A.B., Яновский В.В. Аномалии переноса в отражательно неинвариантной теории турбулентности / Электромагнитные явления. 1998. 1,№2. С.233-238.

7. Chechkin A.V., Tur A.V., Yanovskii V.V. Kinetic effects stochastic topological nontrivial

fields /7 Phvsiea A. 1994. 208. P501-522.

GAUSSIAN ALMOST-PERIODIC IN QUADRATIC AVERAGE SENSE SOLENOIDAL VECTOR FIELDS Lam Tan Phat, Yu.P. Virchenko

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-maiI:[email protected]

Abstract. Gaussian random vector fields in R3 with zero average value are under consideration. Their realizations are almost-pcriodic in the quadratic average sense with the probability one. The general form of the correlation function of such random fields are found when they are smooth and solcnoidal with the probability one.

Key words: solcnoidal field, almost periodic functions in the quadratic average sense, gaussian random field, correlation function.