CC BY
27
MS С 81Р20
ПАРНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Лам Тан Фат, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Изучается стохастическое электромагнитное ноле, описывающее сх'о тепловые флуктуации. Находится общий вид матрицы парных корреляционных функций этеих) но-
Ключевые слова: стохастическое электромагнитное ноле, гауееовекое случайное ноле, уравнения Максвелла, стохастическая модель, корреляционная функция.
1. Постановка задачи. Понятие о стохастическом электромагнитном поло возникает естественным образом при статистическом подходе к описанию электромагнитного ноля, имеющего тепловое происхождение. В этом смысле представление о стохастическом электромагнитном поло восходит к работам Рэлея, Джинса, Вина и Планка при попытке построения ими теории излучения абсолютно черного тела (см., например, |1-4|), Следствием предложенной М.Планком |5| теоретической корпускулярной модели электромагнитного излучения, позволяющей объяснить экспериментальные данные, связанные с тепловым излучением абсолютно черного тола, в теоретической физике возникло, в частности, понятие квантования электромагнитного ноля. При построении этой теории авторы, в то время, исходили из термодинамических соображений, так как не могли последовательно использовать какой-либо формализм теории вероятностей при построении статистической теории теплового излучения, так как соответствующего ее раздана, идейным образом связанного с изученном случайных полой, - теории случайных процессов, фактически, еще не существовало, К настоящему времени развитие теории случайных процессов в двадцатом столетии привело к построению стройной довольно развитой математической теории, которая позволяет но новому подойти к теоретической задаче математического описания теплового излучения электромагнитного ноля (см., например, монографии |2, 3|, идеи которых развиваются в настоящей работе). Наличие такого подхода к изучению стохастических электромагнитных полой отнюдь но ведет к необходимости пересмотра современной квантовой точки зрения на электромагнитное ноле, однако дает новые математические возможности при теоретическом моделировании теплового электромагнитного излучения в статистической физике.
В более ранних публикациях мы исследовали частный случай стохастического электромагнитного ноля - т.н. гауссовскую ,модель со статистически независимыми и эквивалентными электрической и магнитной составляющими, которая естественна в том случае, когда физически имеется малость величины ноля в среднем квадратичном. Нами полностью был изучен случай, когда ноле, сосредоточенное в ограниченной полости прямоугольной формы, является стохастически однородным (в частности, находится в термодинамическом равновесии). В настоящем сообщении, мы находим общие ограничения на вид парных корреляционных функций стохастического электромагнитного ноля, В частности, наше рассмотрение распространяется и на случай, когда ноле сосредоточено в ограниченной полости. Полученный результат применим как в случае, когда ноле является гауссовским, так и в случае, когда его гауссовость не предполагается. Это, в частности, дает полное описание всего класса гауссовских электромагнитных полой, без дополнительных предположений об их стохастической пространственной однородности и независимости электрической и магнитной компонент. При этом мы, с самого начала, считаем, что ноле обладает нулевым средним значением, что, с одной стороны, с физической точки зрения, всегда выполняется в случае его теплового происхождения электромагнитного ноля, а, с другой стороны, не является каким-то существенным ограничением с математической точки зрения, так как исследование любого случайного ноля всегда может быть сведено к изучению ноля с нулевым средним подходящим неслучайным сдвигом значений его реализаций.
2. Стохастические электромагнитные поля. Электромагнитное поле в вакууме, в пространственной области Q, описывающей полость (она, в частности, может быть и неограниченной и распространяться на все физическое пространств о К3), где сосредоточено тепловое электромагнитное поле, представляется парой (Е(х, Ъ), Н(х, ¿)) векторного и псевдовекторного полей на п, значения которых в кажд ой точке х € пи момент времени Ъ подчиняются системе уравнений Максвелла
с - скорость света в вакууме. При записи этой системы уравнений использован векторный дифференциальный оператор Гамильтона V. Если электромагнитное поле сто-
ЕН
циями. Конкретная математическая модель стохастического электромагнитного ноля определяется распределением вероятностей, заданном па семействе всех допустимых реализаций, В дальнейшем, усреднение случайных величин - всевозможных характеристик электромагнитного ноля но этому распределению вероятностей будем обозначать угловыми скобками (•), Самым важным в математической конструкции стохастического электромагнитного поля является то, что каждая (с вероятностью 1) случайная реализация пары полей (Е(х, Ъ), Н(х, ¿)) должна удовлетворять уравнениям (1), то есть являются их решениями. При этом, однако, нужно уточнить в каком смысле эти решения должны пониматься, так как в теории случайных полой их реализации определи-
+ [V, Е] = 0 , (V, Н) = 0
с оъ
— [V, Н] = 0 , (V, Е) = 0
ъ € К
(1)
ются только лишь на счетном всюду плотном множестве точек. Значения полей Е(х) и Н(х) в конкретной фиксированной точке не являются наблюдаемыми с физической точки зрения, а, наоборот, наблюдаемы только лишь их интегральные характеристики но физически малым областям пространства. Поэтому пространственные производные в уравнениях (1) нужно понимать в смысле какой-то интегральной метрики но пространственным областям. Принимая во внимание, что для каждой случайной реализации (Е(х, Ъ), Н(х, ¿)) в любой момент времени должен оставаться конечным интеграл по любой пространственной области от функции (Е2(х,Ъ) + Н2(х,¿)), который пропорционален энергии электромагнитного ноля в этой области, то естественно выбрать в качестве функционального пространства, в котором расположены случайные реализации электромагнитного ноля, пространство локально квадратично интегрируемых функций, то есть пространственные производные в дифференциальных уравнениях (1) должны пониматься в смысле метрики этого пространства. Таким образом, случайные реализации Е(х) и Н(х) с вероятностью 1 локально квадратично интегрируемы и имеют локально квадратично-интегрируемые производные но пространственным переменным.
Заметим следующее. В теории вероятностей принято различать па письме случайные величины от неслучайных посредством некоторых дополнительных соглашений. В настоящей работе, мы, с цепью упрощения изложения, не будем следовать этому пра-
ЕН
предетавлять случайные математические объекты.
Таким образом, распределение вероятностей Р стохастического электромагнитного ноля таково, что каждая из реализаций удовлетворяет уравнениям (2) с вероятностью 1, и это свойство является ограничением па возможный выбор распределения вероятностей Р. Это ограничение состоит, в частности, в том, что каждая случайная реализация (Е(х,Ъ), Н(х, ¿)) в момент времени Ъ определяется однозначно своими значениями в какой-то фиксированный момент времени ¿0, то есть она является условно неслучайной, если заданы ее значения (Е(х, 0), Н(х, 0)) = (Е(х), Н(х)). Это связано с тем, что система уравнений (1) не содержит стохастических источникев. Следовательно, для описания случайного электромагнитного поля (Е(х, Ъ), Н(х, ¿)) нужно задать распределение вероятностей Р0 для случайной пары электрического и магнитного полей (Е(х), Н(х)). В свою очередь, па выбор конкретной модели ноля (его распределения вероятностей) должны быть наложены ограничения в виде удовлетворения случайными реализациями с вероятностью 1 тех уравнений в системе (1), которые выражают свойство их бездивер-гептности. Поэтому задача описания всего класса допустимых моделей стохастических
ае
статических бездивергентных случайных полей (Е(х), Н(х)).
Заметим, наконец, что при построении конкретной модели стохастического электромагнитного ноля нужно учитывать что электрическая и магнитная составляющие но разному ведут себя при отражениях физического пространства, так как Е(х) является векторным полем, Н(х) - псевдовекторным. Это обстоятельство накладывает ограничения па возможный вид их совместного распределения вероятностей с точки зрения его преобразования при поворотах системы координат.
Далее, будем предполагать, что совместное распределение вероятностей случайных
полей (Е(х), И(х)) таково, что остаются конечными их вторые моменты, то есть существуют конечные парные корреляционные функции
К«'в)(х; у) = <^(а)(х)^(/3)(у)> , а, в = е, н , г,з = 1, 2, 3 (2)
(далее, наряду с векторными обозначениями, будем применять индексные обозначения для их компонент), где Е(Е) = Е, Е(н) = И. Такое ограничение естественно, с физической точки зрения, так как только такие стохастические электромагнитные ноля можно рассматривать могут представлять интерес, ввиду того, что должно быть конечно среднее значение ^Кг(Е'Е)(х; х) + К(н'н)(х; х)^ /8п в любой фиксированный момент времени ¿0, которое определяет среднюю величину плотности энергии стохастического электромагнитного ноля в этот момент времени (здесь и далее подразумевается, что по повторяющимся нижним индексам производится суммирование по их значениям 1,2,3). Набор корреляционных функций (3) обладает очевидным свойством симметрии
4*'в)(х; у) = К(?'а)(у; х) . (3)
Если оказываются конечными все моменты пары полей (Е(х), И(х)), что имеет место в таком частном, по важном случае гауссовского случайного ноля, то полный набор п ( )
этих моментов <П ^ )(х^-)>, п € N полностью определяет распределение вероятностей з=1 '
стохастического электромагнитного ноля.
Принимая во внимание, что условие дифференцируемое™ с вероятностью 1 случайных реализаций (Е(х), И(х)) также можно сформулировать в терминах корреляционных функций Кг(?а'в)(х; у) и, в связи с конечностью парных корреляционных функций
К(а'в)(х; у), задачу описания всех возможных моделей стохастических электромагнитных полой мы будем понимать как задачу об описании таких необходимых и достаточных условий для матрицы функций с тензорными значениями К(за'в)(х; у), которые дают возможность трактовать их как соответствующие корреляционные функции
^(х)^ (у)>.
вт
основано на явном представлении пары случайных полей (Е(х), И(х)), удовлетворяющих с вероятностью 1 условию бездивергептпости. Это представление, наряду с учетом условия положительной определенности матрицы парных корреляционных функций, которому должна удовлетворять матрица парных корреляционных функций пары случайных полой, приводит к общей формуле дня этой матрицы, описывающей весь класс допустимых матриц такого тина дня стохастического электромагнитного ноля. Условие положительности мы обсудим в настоящем раздело.
Очевидно, что корреляционные функции <^(а)(х)^(в)(у)> пары, состоящей из элек-
Е, И
/ ^) (хН(а) (х)с1х2> = / (х; у Йа) (хцв) (у)^у > 0 , (4)
/П Jn^2
в которых по повторяющимся индексам, как нижним г,^ = 1, 2, 3 (см. замечание выше), так и верхним а, в = е, н, подразумевается суммирование. Здесь вектор-функции (и>(а) (х), и>2а) (х), и>3а) (х)), а = е, н являются произвольными финитными и бесконечно
х
является также достаточным условием для того, чтобы набор, перечисляемый посредством а, в = е, н матриц-функции (х; у) с г,^ = 1, 2, 3 представлял собой набор
парных корреляционных функций <^(а)(х)^(в)(у)> для некоторой пары (Е(х),Нз-(х)) векторных случайных полой, что является следствием из известной теоремы Бохпера-Хинчина в применении к рассматриваемому нами случаю |6|,
В силу (3), имеется три независимых корреляционных матриц-функций: К(Е'Е)(х; у) =
К(Е)(х; у) К(зн'н)(х; у) = К(зн)(х; у), Кг(Е'н)(х; у). В терминах этих матриц условие положительности (4) записывается виде
(К(Е)и, ит + (К(н)V, + 2(К(Е'Н)и, > 0 , (5)
где для и(х) и v(x) — обозначения для соответствующих компонент пары вектор-функций w(a)(x), а = е, н; К(Е), К(н), К(Е'н) - интегральные операторы с ядрами в виде соответствующих корреляционных функций и скобками обозначены скалярные произведения в Ь2(п),
Условие положительности в форме (5) можно переформулировать эквивалентным образом. Для этого воспользуемся тем, что функция и н V произвольны. Тогда заменим функцию V на Л^ ^ множителем А € К. Тогда (5) запишется в виде
(К(Е)и, ит + А2 (К(н)v, vт + 2А(К(Е'н)и, vт > 0 ,
Л
к следующему набору неравенств, которые будут, тем самым, эквиваленты неравенству (5),
(К(Е)и, ит > 0 , (К(н)v, vт > 0 , (К(Е)и, иТ(К(нЧ vт > (К(Е'н)и, . (6) 4. Описание класса всех допустимых наборов (К(Е), К(н), К(Е'н)). Наша зада-
вт
ций (К(Е) (х, у), Кг(н) (х, у), К(Е'н) (х, у)), которые удовлетворяют требованию, чтобы соответствующие им случайные векторные поля (Е(х), И(х)) удовлетворяли с вероятностью 1 уравнениям (V, Е) = 0 (V, И) = 0.
Так как оба уравнения математически одинаковы, то будем рассматривать только второе из них. В классической электродинамике используется общее решение этого уравнения, которое дается формулой [V, А] = И, где векторное поле А(х), х € п представляет собой т.п. векторный потенциал. Тот факт, что такое представление является
И
казать, что оно является также и необходимым, что тесно связано с так называемой
теоремой Гельмгольца об однозначном, с точностью до постоянной, разложении любого ноля па сумму потенциального и солепоидалыюго слагаемых. Эта теорема обычно
Н
области П его определения, которое выражается в виде стремления поля к нулю на бесконечности. Здесь мы строго докажем необходимость представления [V, А] = Н для решений уравнения (V, Н) = 0 для областей П С К3 довольно произвольного вида, равно как и соответствующее уточнение теоремы Ге.ньмго.ньда без использования этого дополнительного условия. Ранее, в работе |4|, нами было дано доказательство теоремы Гельмгольца в случае, когда электромагнитное поло является почти периодическим в среднем квадрати чпом.
Теорема 1. Пусть П - связная обла.сть в К3. Тогда уравнение Н = [V, А] относительно векторного поля А(х), где Н(х) - гладкое (локально в среднем квадратичном) иоле на П, удовлетворяющее условию (V, Н) = 0, разрешимо внутри П, где А(х) -
П
сущеатвует единственное решение А(х), которое удовлетворяет дополнительному условию (V, А(х)) = 0.
□ Выберем пару чисел Ь,е > 0 так, что е < Ь/2. Определим для каждого ] =
3
(3ъ32>33) € кубическую область П, = — е, (^ + 1)Ь + е]. Пара областей П
1=1
и Пк с ] = к = {к^ к2, к3} имеет непустое пересечение только в том случае, если jl € {к — 1,к1,к1 + 1} I = 1, 2, 3 при выполнении условия ] = к. Тогда семейство областей {П,;] € ^3} образует атлас, так как у П, = К3, которые являются его картами.
Пусть П - связная компактная область в К3. Доопределим поле Н(х) для всех точек х € К3 \ П равенств ом Н(х) = 0, Очевидно, что (V, Н) = 0 вне области П. Тогда такое расширение векторного поля Н(х) является гладким в среднем квадратичном локально и в том же смысле удовлетворяет условию (V, Н) = 0. Рассмотрим уравнение Н(х) = [V, А(х)] на всей внутренней части каждого куба П,, ] €
Зафиксируем целочисленный вектор ]. Сужение поля Н(х) та куб П, будем обозначать Н](х). При этом поле Н(х) является дифференцируемым продолжением поля Н,(х), Поле Н,(х) представим в виде ряда Фурье
Н,(х) = £ Н,(к)е*(к>х) (7)
{к}
по счетному множеству векторов {к}, определяемому величиной ребра куба П,, к = (п1е1 + п2е2 + н3е3)/(Ь + 2е), (п1,п2,п3) € Z3. Ряд (7) сходится в среднем квадратичном, так как поле Н,(х) локально квадратично интегрируемо и ввиду компактности П,, причем в окрестности точек гладкости поля Н,(х) он сходится равномерно. Решение А,(х) уравнения
Н|(х) = [V, А_|(х)] (8)
будем искать в виде суммы двух слагаемых А,(х) = А(0)(х) + А(1)(х), где первое ела-
гаемое равно А(0)(х) = [И,(0),х]/2, а второе дается рядом Фурье
А(1)(х) = £ А,(к)в*(к'х) (9)
к=0
с суммированием по тому же множеству {к} векторов. Подставляя разложения Фурье для И, (ж) и А(1)(х) в уравнен не И,(х) — И,(0) = [V, А(1)(х)], находим уравнение для коэффициентов А,(к), И,(к) = г[к, А,(к)], которое разрешимо при к = 0,
= (10) к
Из явного вида коэффициентов А,(к) следует, что ряд (9) сходится в среднем квадратичном (при |к| > 1 ряд ^ |А(к)|2 мажорируется рядом ^ |И(к)|2),
Построенное решение единственно, если потребовать (V, Aj(x)) = 0, так как под-
вт
коэффициентов (к, А,(к)) = 0. Тогда выражение (10) является единственным решением уравнения И,(к) = г[к, А,(к)] при к = 0. Автоматически, из этого представления коэффициентов Aj(к) следует, что поле А(1)(х) является гладким в среднем квадратичном, так как сходится ряд
^]к2|А,(к)|2 < то,
{к}
в чем легко убедиться непосредственной подстановкой в него выражений для Aj(к), 1 € Ъ3.
Если поле И(х) - гладкое в точке х, то ряд (7) сходится к нему равномерно в малой окрестности этой точки, что имеет место дня любого ряда Фурье. Поэтому решение А(1)(х) и, следовательно, поле А(х) также являются гладкими в этой точке х, х
п, и пк и, следовательно в этой точке определены, соответственно, поля Aj(x) и А^(х). Тогда вычитая, уравнения (8) при значениях 1 и к, находим [V, (А, — Ак)](х) = 0. Общим решением этого уравнения является А,(х) — Ак(х) = Vф(x), Доопределим эту функцию на каждом из кубов п, и пк нулем в точках, которые находятся внутри симметрической разности (п, \ пк) и (пк \ п,), Тогда такая расширенная функция ф(х) представляется на п, рядом Фурье
ф(х) = ^ф(к)е4(к'х) . {к}
Следовательно,
Vф(x) = г ^ кф(к)ег(к'х).
{к}
Так как каждое из слагаемых А,(х) и Ак(х) дифференцируемо в среднем квадратичном, то таким же свойством обладает VФ(x), Тогда, в частности, ряд
ДФ(х) = ^] к2Ф(к)ег(к'х) (11)
{к}
сходится в среднем квадратичном. Теперь, так как оба векторных поля А,(х) и Ак(х) бездивергептпые, то вычисляя дивергенцию от обеих разности этих полой так, что дифференцирование возможно производить почленно, ввиду квадратичной сходимости ряда (11), получим
^]к2Ф(к)ег(к'х) =0.
{к}
Таким образом, Ф(к) = 0 ПРИ всех к = 0. Следовательно, А,(х) совпадает с Ак(х) в любой внутренней точке х пересечении П, П Пк-
Так как доказанное совпадение решений А,(х) и Ак(х) имеет место для внутренних точек пересечения любого конечного набора кубов П|, то мы тем самым построили
А(х)
из П, которое на каждом из кубов П, совпадает с А,(х). Это поле, по построению, единственное, которое удовлетворяет условию (V, А) = 0.
Положим, теперь, что поле Н(х) - гладкое в П. Тогда оно является, в частности, гладким в среднем квадратичном, и поэтому, по доказанному, имеется единственное А(х) Н =
[V, А] и (V, А) = 0. Так как в левой части стоит гладкое поле Н(х), то поле А(х) может быть продолжено до гладкого во всех точках П поля, ■
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что известная теорема Гельмгольца о разложении любого векторного ноля па два составляющих, одно из которых является потенциальным, в второе - солепоидальпым, допускает следующее обобщение.
Следствие. Пусть поле А(х), заданное в произвольной связной области П С К3, является гладким в среднем квадратичном. Тогда оно допускает такое представление А(х) = В(х) + С(х) в любой точке х € П, что имеют место равенства (V, В) = 0, [V, С(х)] = 0 (разложение Гельмгольца). Любые два таких представления А(х) = В1(х) + С1(х) = В2(х) + С2(х) отличаются друг от друга на градиент VФ(x), где Ф(х) - гармоническая в П функция.
□ Пользуясь дифференцируемостью поля А(х) сформулируем уравнение [V, А(х)] = [V, В(х)] относительно поля В(х). Это уравнение имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (V, В) = 0. Определим поле С(х) = А(х) — В(х), Очевидно, что, но построению, ротор этого ноля равен пуню. Таким образом, по крайней мере, одно разложение поля А(х) требуемое вида существует. Рассмотрим два произвольных
С1 С2
равенство
(V, А(х)) = (V, С1(х)) = (V, С2(х)).
С другой стороны, ввиду выполнимости для этих составляющих равенств [V, С1(х)] = 0 и [V, С2(х)] = 0, на основании критерия потенциальности поля, существуют функции
ф^х) и ф2(х) такие, что С1(х) = Уф^х), С2(х) = Уф2(х). Подставляя в приведенное выше равенство, получим, что дф1 = дф2,
Так как при этом В1(х) — В2(х) = Уф(х) вместе с С2(х) — С1(х) = Уф(х), где введено скалярное поле ф2 — ф1 = ф, для которого выполняется дф = 0 ■
Таким образом, из доказанной теоремы следует, что дня задания стохастического поля Н(х) необходимо и достаточно задать стохастическое поле векторного потенциала А(х). При этом в силу линейности связи между Н(х) и А(х), для парной корреляционной функции случайного поля Н(х) полностью определяется парной корреляционной функцией поля А(х). В нашем случае, эта связь между парными корреляционными функциями имеет вид,
^г(х,у) = ([v, А(х)]г[у, А(У)Ь) = у)) =
52
= (12)
где К(А)(х; у) - парная корреляционная функция случайного поля А(х).
Дня обеспечения положительной определешюети парной корреляционной функции К(н)(х, у), ввиду произвольности функций у(х), необходимо и достаточно, чтобы была
положительно определена парная корреляционная функция К(.А)(х; у), так как
/52
r:\xirjiy) 'Р>„, у) =
ж3
= / ^'(х)<(у)К|(гаА)(х, у) = (КV') ,
ж3
v'(x) = [V, v(x)].
Тогда достаточность положительной определенности функции К^^х, у) для положительной определенности функции К(^н)(х, у) очевидна. Необходимость же положительной определенности функции К^^х, у) следует из ее определения как парной корре-
А(х)
Обратимся, теперь, к удовлетворению условия, случайное поле Е(х) должно удовлетворять условию (V, Е) = 0. Так как в предыдущих рассуждениях нигде не было использовано условие, что поле Н(х) является псевдовекторным. Существенно было лишь, что оно представляет собой общее решение уравнения (V, Н) = 0, то мы можем воспользоваться уже полученными результатами для поля Н(х) и применить их к описанию случайного поля Е(х).
Вводя случайное поле В(х), как общее решение уравнения (V, Е) = 0 запишем представление Е = [V, В]. Тогда общий вид корреляционной функции К(Е)(х; у) дается
формулой, аналогичной (12),
д2
(х; у) = ./,/ Г/ /;,Л) КЫ (х> У) • (13)
При этом введенное поле В(х) является псевдовекторным и мы отходим от общепринятой схемы, когда электрическое поле Е посредством соотношения
в котором частная производная по времени является независимым от поля А(х) случайным векторным полом. Для положительной определенности корреляционной ф\ч:к-
(Е) ^
ции К- (х; у), как и выше необходимо и достаточно, чтобы была положительно определенной корреляционная функция К(В)(х; у) При этом имеет место (К(Е)и, и) = (К(В)и', и'), где достаточно, чтобы и' была произвольной финитной функцией.
Наконец, проанализируем возможность удовлетворить последнему неравенству из набора неравенств (6). Прежде всего, нужно найти выражение дня корреляционной функции К^Е'Н)(х; у). Подставляя в определение этой функции (см. (2) при а = Е, в = Н) выражения для стохастических полей Е(х) = [V, В(х)] и Н(х) = [V, А(х)], получим
д2 д2 /\^Е,Н)(х;у) = —-—(Б/(х)Дг(у)) = —-—А^'А)(х;у).
' джйдут д^дут
Деперь, подотавляя в лквую часть последнего равенства в (6) выражения
и, и =
(К(В)и', и') и (К(НЧ у) = (К(А)у', V'), а в правую - выражение дня и, у), по-
лученное в результате преобразований
/д2
4(х)г/п(у)К£?'А)(х, у) = (К(В'АЧ у'К
в результате, находим эквивалентное неравенство
(К(В)и', и'к (К(А)у', у'к > (К(В'А)и', у'^ , (14)
которое достаточно, чтобы оно выполнялось при всех непрерывных финитных функциях и' и V.
Полученная совокупность неравенств (14) и (К(В)и', и') > 0 (К(А)у', V') > 0 означает, что матриц-фупкция вида
К("'в)(х; у) , а, в = В, А , г,;/ = 1, 2, 3
ху
Это влечет за собой возможность определить пару случайных полей (В(х), А(х)), для которых эта матрид-фупкдия является матрицей парных корреляционных функций
К(;,в) (х; у) = (В(х)А (у)),, а,в = в, а , г,;/ = 1, 2, 3 .
Таким образом, нами доказано следующее утверждение.
Теорема 2. В общем случае, совокупность парных корреляционных функций К(а'в)(х; у) а, в = е, н стохастического электромагнитного поля (Е, Н) допускает представление в виде
sfЕ)(х; у) = •/■/ .......¡).nj)!hll /ч /''''' (х; у)' (х; у) = ......¡).nj)!hll к'" л (
где совокупность
AlfH)(x; у) = £iH£jmn dxkdym Kin А) (х; у)' KiB'B)(x; y) , KiA'A)(x; y) , KB'A)(x; y)
является набором парных корреляционных функций упорядоченной пары случайных полей (B (x), A (x)).
Эта теорема дает ответ па поставленный во введении вопрос об общем виде корреляционной функции стохастического электромагнитного ноля.
Литература
1. Бори М. Атомная физика/ М.: Мир, 1965 - 492с.
2. Плапк М. О законе распределения энергии в нормальном спектре /7 Избранные труды / М.: Наука, 1975. С.259-267.
3. Федорюк М.В. Метод перевала / М.: Наука, 1977. 368 е.
4. Лам Тан Фат, Вирчснко Ю.П. Гауееовекие почти периодические в среднем квадратичном еоленоидальные векторные поля /7 Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & Physics. 2014. 5(176);34. C.134-141.
5. Рытов C.M. Теория электрических флуктуации и теплового излучения.- М.: Изд. АН СССР, 1953.
6. Рытов С.М., Татарский В.И., Кравцов Ю.А. Введение в статистическую радиофизику, ч.2 Случайные поля/ С.М. Рытов.- М.: Наука, 1978.- 464с.
7. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики / М.: Мир, 1970. - 428 с.
8. Фат Л.Т., Вирченко Ю.П. Движение частицы в случайном стохастически однородном и изотропном магнитном поле с частотным спектром белого шума// Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"26-31 мая 2013, Белгород/ Белгород: Политерра, 2013.- С.192-193.
9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Эдиториал, УРСС, 2001.
10. Фат Лам Тан, Вирченко Ю.П. Стохастически однородные и изотропные магнитные поля// Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & Physics.- 2013.- 19(162); 32.'-'C.176-183.
11. Фат Лам Тан, Вирченко Ю.П. О теореме Гельмгольца для почти-периодических в среднем квадратичном векторных полей// Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & Physics.- 2013,- 26(169); 33,- C.99-104.
12. Лам Тан Фат, Вирченко Ю.П. Стохастически однородные и изотропные еоленоидальные iwceoBCKHC ноля// Тезисы зимней математической школы С.Г.Крейна/ Воронеж: ВГУ, 2014,- С.204-208.
13. Лам Тан Фат, Вирченко Ю.П. Гауееовекие почти периодические в среднем квадратичном еоленоидальные векторные поля// Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & Physics.- 2014,- 5(176); 34.-' C.134-141.
PAIR CORRELATION FUNCTIONS OF STOCHASTIC ELECTROMAGNETIC FIELD
Lam Tan Phat, Yu.P. Virchenko
Belgorod State University, Studericheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-maiI:[email protected]
Abstract. Stochastic electromagnetic field that describes heat fluctuation in vacuum is studied. The general form of pair matrix correlation functions of the field is found.
Key words: stochastic electromagnetic field, gaussian random field, Maxwell's equations, stochastic model, correlation function.
