Стохастические электромагнитные поля в диэлектрической среде. 2. Вычисление корреляционных функций Текст научной статьи по специальности «Физика»

MS С 81Р20

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ. 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Лам Тан Фат, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virch@bsu.edu.ru

Аннотация. Конструируется гауееовекое случайное ноле, описывающее стохастическое электромагнитное ноле в диэлектрической среде, связанное с ее тепловыми флуктуациями. Случайное ноле порождается стохастической динамической системой, эволюционными уравнениями которой являются уравнения Максвелла с аддитивным шумом.

Ключевые слова: стохастическое электромагнитное ноле, гауееовекое ноле, уравнения Максвелла, стохастическая модель, корреляционная функция.

1. Постановка задачи. В предыдущей публикации авторов была поставлена задача о построении подходящей модели стохастического электромагнитного ноля для математического описания тепловых электромагнитных флуктуаций при решении теоретических задач, связанных с переносом излучения в твердотельной среде. Теоретический подход, основанный на построении вероятностных моделей для описания тепловых флуктуаций электромагнитного ноля был ранее предложен в |2, 3|. В рамках такого но-луфеноменологичеекого подхода не учитываются конкретные микроскопические механизмы, посредством которых осуществляется перенос излучения, однако, он позволяет описывать теилоиереное внутри среды посредством излучения уже с учетом его волновых свойств, в отличие от традиционной теории переноса излучения, основанной на представлениях геометрической оптики (см., например, |4|), В работе |1| нами была построена, но нашему мнению, одна из простейших моделей стохастического электромагнитного ноля, в рамках которой допустимо статистическое изучение радиационно-кондуктивного теплообмена в твердых диэлектриках. Стохастическое электромагнитное поло в этой модели определяется как решение системы стохастических дифференциальных уравнений Максвелла, в котором имеются распределенные стохастические источники, но своему физическому смыслу, описывающие на микроуровне флуктуа-ционные электрические токи. В этом случае статистические свойства стохастического электромагнитного ноля полностью определяются статистическими свойствами плотности флуктуациошюго электрического тока. Ввиду линейности уравнений Максвелла, стохастические дифференциальные уравнения, определяющие поло, являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Тогда, так как стохастические источники описываются гауееовеким случайным полом, то случайное поло, определяемое решениями уравнений Максвелла, также является гауееовеким. Более того, оно обладает нулевым средним значенном. Распределение вероятностей такого ноля полностью

определяется набором всех возможных парных корреляционных функций. В настоящей, второй части работы мы вычислим эти корреляционные функции. При этом мы будем существенно использовать результаты первой части и ссылаться в тексте на выписанные в ней формулы, необходимые в процессе изложения. Эти ссылки мы будем давать в скобках номерами форму:: из первой части и сопровождать его меткой I.

2. Вычисление корреляционной функции (Fll (k^t^j(k2,¿2))« Имея явные выражения из первой части работы дня траекторий процесса, мы в состоянии подсчитать корреляционные функции электромагнитного ноля. Ввиду определения флук-туационного тока (см. (12), (15), I), имеем (j^(k, s)) = 0. Парные же корреляционные функции поперечного тока j±(k,t) определяются корреляционными функциями поля ^(k),

(Ф11 (kiM2 (k2)) = Liii2 (ki, k2) , (Ф11 (kiM*2 (k2)) = Kii2 (ki, k2) .

Ввиду свойства ф* (k) = ф(-k), имеющего место с вероятностью единица, эти корреляционные функции пе являются независимыми, а, наоборот, выполняется соотношение

Llll2 (ki , k2) = Klll2 (ki , k2) .

Поэтому, в дальнейшем, мы будем использовать только корреляционную функцию Klll2 (kb k2) и, соответственно, корреляционную функцию ( jll (ki, ti)jl2 (k2,t2)), которая, ввиду (12), равна

(jl (ki,ii)jj2 * (k2,t2)) = ¿(¿i - t2)Klil2 (ki, k2) . (1)

Вычислим корреляционную функцию поперечного тока

(j)ll(ki,si)(jl)?2(k2,S2)) = ¿(si - S2)K4(ki, k2),

где, согласно определению (см. (15), I), имеем

Klfl2 (ki, k2)= [kfk2]-i <[ ki, [ ki, ^(ki)]]ll [ k2, [ k2, ф * (k2)]]l2 ) .

Выполняя вычисления согласно правилам тензорной алгебры, получим выражение и-l (ъ ъ \ (я (ki)zi(ki)miA (я (k2);3(k2)m3^

А/1/2(кьк2) = ^¡тч--Р-) (0/.2т2--Р-JAmim2(ki,k2) . (2)

Приступим к вычислению корреляционных функций (F^ (k^s^F^ (k2,s2)), (Hll (ki,si)Hl* (k2,s2)), (FFll (ki,si)Hl* (k2,s2)). Начнем с первой корреляционной функции из этого списка. Согласно формулам, определяющим решение стохастических уравнений движения (см. (24), I),

(Fll (ki,ti)Fl*2 (k2,t2))

4п

ftl

(S^(ii)Fo)/l(k1)+(S^(ii)H0)/i(k1)-^ / (S^(ki,t.i — si)]±(ki, si))hdsi

^ Jo

х

4П Г*2 ~

{^Е\Ь2)¥„)* (к2) + ^ЕН\Ь2)Н0)1(к2) - — / {^Е\к2,Ь2 - в2)1±(к2,в2))>2

Принимая во внимание равенство пулю среднего значение тока

(Р,1 (кьад*2 (к2.г2)) =

Р^)),.. (Го). (к,) + (Б(ЕН>((,))„„, (йо).(к,)

X

X

4п\

2 1-11

(Ё„) . (к2) + (Б(ЕН >(«2«;т, (Й о) . (к2)

г-12

Далее, не ограничивая общности, ввиду симметрии выражений относительно перестановок значений индексов 1 и 2, будем полагать, что *2 > Используя (1), преобразуем это выражение,

(Р,1 (кь^Р,2 (к2.(2)) =

(5(Е)(Ы) ,.„. (р о) т, (к,) + (Б(ЕН 4«) ,1.1 (Й о) „, (к,)

X

X

(-> *

,2.2 .2 (к2) + ^ЗД ,2.2 Й) .2 (к2) ,2 (к,, к^ Г Б^ (к,,*, - в)8((2Е.;(к2,^2 - 8^8

о

(3)

Подставляя явные выражения (ем. (26), (28), I) для операторов Б(Е)(*), Б(ЕН\Ь), вычислим последний интеграл в последней формуле.

Б((Е. 1 (к,,*, - 8)Б,. (к2,*2 - 8^8

(Е) */1„ ± 1.1 2.2

2г(к,) 2г*(к2)

х

х

Г+ (к,)г+ (к2Н ехр (г+ (к,)(*, - 8)+ Г* (к2)(*2 - 8^ ¿8 +

+ Г_ (к,)г- (к2Н ехр (г_ (к,)(*, - 8) + Г- (к2)(*2 - 8^ ¿8 -

- Г+ (к,)г* (к2Н ехр (г+ (к,)(*, - 8)+ Г* (к2)(*2 - 8)) ¿8 -

гН

- Г- (к,)Г+ (к2Н ехр (Г+ (к2)(*2 - 8)+ Г-(к,)(*1 - 8)) ¿8 . (4)

Интегралы, входящие в это выражение вычисляются явно,

ехр (Га(к,)(*, - 8) + Г**(к2)(*2 - 8))¿8

*

о

о

о

о

о

rti

exp (г*в(k2)(t2 - ¿i)) / exp [(ra(ki) + r^(ti - s)]ds

J* (k2)(t2-ti) ( X

e ,3 \ _ e(ra(ki)+r;(k2))ii

Гa (k1) + r;(k2)

(5)

где введены обозначения а, в £ {±}-

Заметим, что Яе г±(к^) < 0 г = 1, 2. Это становится очевидным после подстановки явных выражений для г±(к^), г = 1, 2,

r±CM = ±

|Г-а2к2

1/2

В связи с этим, существуют продольные значения дня вычисленных интегралов при t1 — ж, t2 — t1 = const, равные

ti

lim

ti —y^o , t2 — ti=const

exp (ra(k1)(t1 — s) + r*e(k2)(t2 — s))ds = —

er* (k2)(t2—ti)

ra (k1) + r ;(k2)

(6)

Подставим результаты вычислений в формулу дня корреляционной функции (3) < Fi i (k1,t1)FI2 (k2,t2)> =

"(S(E)(t1))iimi (Fc)mi (k1)+ (S(EH)(t1))iimi (H^ (Ъ)

(S^fe)) i2m2 (Fo) m2 (k2) + (S(EH^2))

i 2m2 (H°)m2 (k"2)

X

X

-

2 Ktll2(k1, k2)

V e ) 4r(k1)r*(k2)

r+ (k1) + r+ (k2)

1 +

и

I r* (k2)r-(kl) г*(кз)(*2-*1)Л _ (r_(ki)+ri(k2))ii\ _

^r*(k2) + r_(k!) V )

r_(ki)r*(k2) ^(k2)(t2_tl)/ _ e(r_(ki)+r;(k2))ii\_ r_(ki) + r*(k2) V J

r+(ki)r!(k2) r+(ki) + r* (k2)

r

e -

(k2)(t2— ti) ^! — e (r+ (ki)+r- (k2^ ti j

(7)

Полученная формула дает выражение дня корреляционной функции ((кх, ¿1)Ё* (к2, ¿2)) при произвольных значениях временных аргументов ¿х и ¿2. Однако, дня физических приложений, особый интерес представляет ее выражение в продело при ¿х ^ оо, ¿2-¿х ^ ^^пэ ¿2 > ¿х. Это важно во всех задачах, в которых электромагнитное поло (в данном случае стохастическое) обладает очень большой типичной частотой.

При таком иределыюм переходе, е математической точки зрения, изучаемый гауееоь-екий случайный процесс флуктуационных электромагнитных колебаний приближается к стационарному гауееоьекому случайному процессу.

Перейдем ь полученном выражении (7) к указанному пределу, то есть получим корреляционную функцию (Р^(к,,*,)(к2,*2)) для стационарного случайного процесса стохастического электромагнитного поля. Так как г±(к^) < 0 г = 1, 2, то из формул ((26), (28), I) следует, что (Б(Е)(кь*,))^ 0 (Б(ЕН)(к,,*,))^ 0 при ^ то. Тогда из (7) получаем предельную корреляционную функцию, которую мы пометим нижним индексом то,

(рР,1 (к,,*,)** (к2,*2))« =

(4п\2 А^(кьк2)

V £ / 4Г(к,)Г*(к2)

Г- (к,)Г+ (к2) Г+ (к,)Г+ (к2)

Г+ (к2)(*2-*1)

Г- (к,) + Г+ (к2) Г+ (к,) + г+ (к2)

е +

+

Г+ (к,)г- (к2) Г- (к2)Г- (к,)

г+ (к,) + Г- (к2) Г- (к2) + Г- (к,)

е

Г- (к2)(*2-*1)

либо, после сложения коэффициентов с применением тождеств

(г-(к,) + Г+ (к2)) (г+ (к,) + Г+ (к^) = 72 - 27г*(к2) + а2(к, - к2)

(г+ (к,) + г- (г- (к,) + Г- (к2)) = 72 + 27г(к,) + а2(к, - к2) ,

2|-2тгух4(кьк2)

г*(к2)

(рР,1 (к,,*,)^ (к2,*2))с

Г2* (к2)ег-(к2)(42-41)

г+*(к2)е

Г+ (к2)(*2-*1)

72 + 27г *(к2) + а2(к2 - к2) 72 - 27Г *(к2) + а2(к2 - к2)

(8)

В частном случае, когда флуктуациошюе электромагнитное поло физически пространственно-однородно, нужно считать, что в конструируемой модели случайное электромагнитное поло стохастически транеляциошю-ипвариаитпо. Это связано со стохастической трансляционной инвариантностью флуктуациошюго тока. Поэтому должна быть трансляционно инвариантной его корреляционная функция, К, 1,2(к,, к2) = ¿(к, - к2)К(к,), Полагая для такой корреляционной функции в формуле (8) к, = к, к2 = к', I = /,, /2 = /', = ¿, = ¿', и приводя к общему знаменателю выражения в скобках с учетом к = к', имеем

2('|) 7"^(к)

¿(к - к')

(9)

3. Вычисление корреляционной функции (Я^(к,¿1)Н*2(к'^2)). Ввиду определения флуктуационного тока (см. (12), (15), I), имеем (-^(к,з)) = 0. Парные же корреляционные функции поперечного тока -±(к, ¿) определяются формулой

(0±к (к1,81)01)?2 (к2,Я2)) = Ф1 - (кх, к2) ,

где (к1; к2) выражается посредством (2) через парную корреляционную функцию поля ^(к).

Так как случайные траектории поля И(к,£) определяются как

г

Й(М) = 5(яеНМГо(к) + 5(ЯНМН0(к)-— [ 5{НЕ)(к,г-з)]±(к,3)<18, (10)

то корреляционная функция (Я^(к1,81)Я1* (к2,^2)) дается следующей формулой

(Я,1 (к1,*1>Я2 (к2,*2)) =

4п

X

ряе)(*1):Ёо + ^(ьЩо)^) - — / (5(яе)(^1 - 51)]±(51))/1(к1)^1

е </ 0

(5(яе)(£2)Е0 + - ^ Г (5(яе)(£2 - *2)1±Ы);,(к2)<**2

е ,/0

X

Принимая во внимание равенство пуню среднего значение тока

(Я,1 (к1,*1>Я2 (к2,*2)> =

(¿1)^0) г1 (к1) + (Б(я ^(¿1)Но)г1 (к1)

^^о); (к2)+ РЯ ^¿2)Н^;2 (к2)

X

X

4п V

¿1

¿2

+ (т) I ^^-^ I ^гс^-82){

.- \ *

' т.1 4 ■*■ 'ч^^ / т2 ' 00

Данее, не ограничивая общности, ввиду симметрии выражений относительно нере-

¿2 > ¿1

разуем это выражение к виду

(Я,1 (к1,*1)Я1; (к2, ¿2)) =

ряе)^о), (к1) + (S(Я)(¿l)Hо)гl (к1)

X

X

^ЯЕ)№о): (к2)+ (S(Я^2)Но): (к2)

+

+ (у) ^1тз(кьк2) ^ 1 Б™^ - 8)^*{к2,Ь2 - 8^8 • (11)

Запишем явное выражение для эволюционной матрицы Б(НЕ)(к,*) (см. (28), I):

Б(НЕ)!

а2£ / \

(к, ¿) = ~?:9г('к\с(ехР (г+(к)^) ~ ехР

2г(к)с

Подставляя явные выражения для операторов Б(НЕ)(*), Б(Н) (*), вычислим интеграл в последней формуле:

X

(к2)

4с2

г(к,)г * (к2)

X

г*1

ехр (г+ (к,)(*, - 8) + Г+ (к2)(*2 - 8^ ¿8 +

+ / ехр (г- (к,)(*, - 8) + Г- (к2)(*2 - 8^¿8 -

ехр (г- (к,)(*, - 8) + Г+ (к2)(*2 - 8^ ¿8 -

ехр (г+ (к,)(*, - 8) + Г-(к2)(*2 - 8)) ¿8

(12)

Используя явные выражения дня интегралов, запишем формулу (11) дня корреляционной функции в виде

(Н,1 (кь£,)Я* (к2,*2)) =

(Б(НЕ)(£,)Е о),1 (к,) + (Б(Н) (*,)Й о),1 (к,)

X

X

(Б(НЕ)(*2)Р о)**2 (к2) + (Б(Н )(*2)й о)**2 (к2)

2па^2 к4„2 (къ к2)

с у г(к,)г * (к2)

(к,) (к2)

X

еГ+ (к2)(*2-*1)

г+ (к,) + г+ (к2)

1- ^' +

г , (к1)+г+ (к2))

+

е

г- (к2)(*2-*1)

г- (к2) + г- (к,)

^ - е (г- (к1)+г- (к2^ ^

о

о

er+ (k2)(t2-tl)

r_(ki) + r* (k2)

- e(r-(ki)+r+ to))tij.

er- (k2)(t2-tl)

r+(ki) + r* (k2)

^ __ e (r+ (ki)+rl (k2^ tij

(13)

Эта формула дает выражение для корреляционной функции (Hi(ki,ii)Hz* (k2,t2)) при произвольных значениях временных аргументов t1 и t2, Однако, как и ранее, для нас является выражение для корреляционной функции в пределе при t1 — o, t2-11 = const, t2 > t1; когда происходит переход стационарному гауссовскому случайному процессу, описывающему флуктуациошюе электромагнитное поло.

Перейдем в формуле (13) к указанному продолу, то ость получим корреляционную функцию (H1l(k1,t1)H*2(k2,t2)) для стационарного стохастического электромагнитного поля. Так как r±(kj) < 0 i = 1, 2, то (S(HE)(k1, m — 0 (S(H)(k1,t1^ m — 0 при t1 — oo. Тогда из (13) получаем предельную корреляционную функцию, которую мы пометим нижним индексом

(Hii (k1,i1)Hl2 (k2,i2))~ = 2

2тга2 \ 2 A"^im3(ki, k2) r * (k2)

Qimirai (k1) ni ei2m-2ra2

(k2)

X

e

r+ (k2)(t2-ti)

e

r 1 (ki)(t2-ti)

Y2 - 27r *(k2) + a2(k2 - k2) Y2 + 27r *(k2) + a2(k2 - k2)

(14)

Дня стохастически трапс.няциоппо-ипвариаптпого электромагнитного ноля, в терминах обозначений предыдущего раздела, когда К'(к, к') = ¿(к — к') К'(к), эта формула превращается в следующую:

( 2па \2 е^*'-4)/2

(Яг(к,*)Я;(к',0)оо = 2 (— ) —~2—К^гт1(к) е1тпкпе1/т,п/кп/ 6(к - к')х

х

ch(r(k)(t' - t))

Y

2r(k)

sh(r(k)(t' - t))

(15)

4. Вычисление корреляционной функции (^(к, ¿^Н* (к',£2)). Как и в предыдущих разделах, используя формулы для траекторий поля Рг(к,£):

4п

F(k,i) = S(e)(k,i)Fo(k) + S(eH}(k,i)Ho(k)-— / S(k,i - s)j±(k, s)ds

и (10) - для поля Н(к, ¿), запишем выражение для корреляционной функции

(4 (к1,в1)я;2 (к2,82)):

(Fi (kbt1)H* (k2,t2))

t

4п

(Б^х^о + ^ЕН)(Ь)Щ (кг) - — / (Б^х - Я1)1Х(Я1».(кх)^!

X

X

4п

^2

{^НЕ\ь2)¥0 + ^н\ь2)Н0У12(к2) - / (Б^2 - в2)Ы^))* (к2)Ж2

£ и 0

Выполняя точно такие же преобразования, имеем (рР,1 (кь£,)Я* (к2,*2)) =

(Б(Е)(£,)Е о),1 (к,) + (Б(ЕН)(*,)Й о),1 (к,)

(Б(НЕ)(*2)Р о)**2 (к2)+ (Б<* )(*2)Й о^ (к2)

X

X 2

+ (у) / - вх) I - з2)( (Д)т1(кх,вх)(Д)12(к2,в2))^х^2.

оо

При *2 > ¿,, после подстановки явного выражения для корреляционной функции поперечной плотности тока, имеем

(4 (к,,*,)Я£ (к2,*2)) = (Б(Е)(£,)Е о),1 (к,) + (Б(ЕН )(£,)Н о),1 (к,)

(Б(НЕ)(*2)Р о)**2 (к2)+ (Б<* )(*2)Й о^ (к2)

X

X

+

4пУ

+ ) Кш1т2(кьк2) Уо Б^Дкх^х - з)^\к2,ь2 - з)(1з , (16)

Подставляя явные выражения дня матричных элементов эволюционных операторов, вычислим интеграл в этой формуле:

2

га2£

/0 =

¿, 1.12П2.2 (к2)

X

г*1

Г+ (к,) / ехр (г+ (к,)(*, - 8)+ Г+ (к2)(*2 - 8^¿8 +

+ Г- (к,) / ехр (г- (к,)(*, - 8)+ Г- (к2)(*2 - 8^ ¿8 -

Г*1

- Г- (к,И ехр (г- (к,)(*, - 8)+ Г+ (к2)(*2 - 8^ ¿8 -

- Г+ (к,) / ехр (Г+ (к,)(*, - 8) + Г-(к2)(*2 - 8^¿8

о

о

о

о

о

На основе явных выражений для интегралов, находим формулу дня искомой корреляционной функции в виде

(Р! (к1,*1)я;2 (к2,*2>> =

(Б^Ёо), (к1) + (Б^^Но), (к1)

х

X

(к2) + (б(н )(*2)й^)г (к2)

+

¿(2па)2 ,

Н--/, ч .„/, ч • Q2m2ra2(k2)ra2лгlm2(kl, к2) х

сег(к1)г * (к2)

х

г ( к )еГ+ (к2)(*2-*1) . / ч

гЛкУе +__ е(г+(к1)+г;(к2)}*1

г+ (к1) + г* (к2)

+

г (к )ег -(ка)(*2-*1) , / ч ч

г*(к2) + г_(к1) V /

г _ (к1)ег+(к2)(42-41)

+

г _ (к1) + г+ (к2)

- е (г _ (к1)+г+ (к2^ ^ __

г+ (к^еГ _

г - (к2)(*2-¿1)

г+ (к1) + г *(к2)

1 - е

_(к1)+г - (к2)) ¿1

(17)

Эта формула дает выражение для корреляционной функции (р 1 (к1,^1)Н1* (к2,£2)> при произвольных значениях временных аргументов ¿1 и ¿2.

Выражение для корреляционной функции в пределе при ¿1 — оо, ¿2 — ¿1 = сопэt, ¿2 > соответствующее стационарному гауссовскому случайному процессу, описывающему флуктуационное электромагнитное поле, которое отметим индексом имеет вид

(Р1 (к1,*1)Н2 (к2, ¿2)>с

22

8т2а сег*(к2)

2Ш2П2 (к2)П2 Кг{т2 (к1> к2) х

X

г+ (к2)е

г+ (к2)(*2-¿1)

г *(к2)е

Г - (к1)(*2-¿1)

72 — 27г * (к2) + а2(к2 — к2) 72 + 27г * (к2) + а2(к2 — к2)

(18)

Дня стохастически трапс.няциоппо-ипвариаптпого электромагнитного ноля при К и'(к, к') = ¿(к — к'Ж'(к), в терминах тех же обозначений, что и ранее, имеем

8?'П2а2

с7е

^ А^(к)бг/тга(к).,^(к-к/). (19)

5. Вычисление корреляционной функции (р(к, ¿^р^к', ¿2)). Для завершения вычисления основных статистических характеристик модели стохастического электромагнитного ноля в твердотельных диэлектриках, учитывающей тепловые колебания твердого основа (в частности, узлов криеталлической решетки), нам нужно вычислить корреляционные функции связанные с наличием продольной составляющей электрического поля (см. (8) и (13),I).

— 4пг — — 4пг к

(Ё(к,*), к) = -—Д(к,I), Ё(к,I) = Ё(к,I) - —р(к,*) — . (20)

Здесь случайный процесс р?(к, £) описывает тепловые флуктуации заряда. Он подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению (см. (11), I)

ЖМ) + 7р(М) = -¿(к,I), ](М) = р(^(к) , (21)

с нормированным белым шумом р(£), (р(£)) = 0 (р(£)р(£')) = — ¿'). Таким образом, процесс р(к,£) является, при каждом фиксированном к приближается асимптотически при £ — то комплекснозначным процессом Орнштейна-Уленбека с траекториями

р(£) = Рсе-7* — ¿(к, ^(к)) /'р(я)е-^-в)Ж. (22)

Jс

Отсюда следует, что дня вычисления парных корреляционных функций (Ёл(к1,£1)ЕЁ*з(к2,£2)), (Ёл(к1,£1)11*2(к2,£2)), необходимы выражения для корреляционных функций (р(кь£1)р1*(к2,¿2)), (р1(к1,¿1)]Р*(к2,£2)), (/?(к1,¿1)|5*(к2,£2)), Вычислим их в порядке следования.

На основании выражения (22) дня траекторий, имеем

(р(кь£1)р*(к2,£2)) = ¿1

/ \ —+ - о- ) ч ^

([рс^е-*1 — г (кь ^(к^) / р^е-^1

х

Г*2

с

= е-^1 +42)(Дс(к1)ДС(к2)) + + (к1)л (к2^(к1, е-^1 -51) Г е-^2^(р^)^))«^ ,

сс

где мы учли, что случайные величины рс(к) и ^(к') статистически независимы и имеют нулевые средние значения, (рс) = 0 и (^(к)) = 0.

Вычисляя интеграл по з2, положив не ограничивая общности, что £2 > получаем искомое выражение дня корреляционной функции

(Жкь*1)р*(к2,*2)) =

(Po(k1)P0(k2))e-Y(il+i2) + (kij(k2)j2 j(ki, k2W e-Y(tl +t2-2s)ds =

Jo

1 - e-2^

(y§0(k1)^o(k2))e-^+i2) + (k1)J1(k2)j2ivJlj2(k1,k2)e-^-i^-

2Y

Асимптотически, при t1 ^ сю, тогда t2 — t1 = const, эта формула упрощается

(p-(kbt0p^(k2,t2)) = e-^-^(kl)fk2)j3ivJlj2(kbk2).

2Y

Наконец, в прострапствеппо-одпородпом случае, она принимает вид

e-Y(t'-i)

(23)

(Р(М)р (k',t'))

2Y

-kjkj'Kjj'(k)i(k — k').

(24)

6. Вычисление корреляционной функции (_р(к1, ¿1)1Ё*(к2, ¿2)>- Вычисление второй корреляционной функции из приведенного выше списка, согласно формулам дня траекторий случайных процессов р(к,£), Е * (к, ¿), сводится к усреднению следующего выражения

(¿(^,¿1^ *(к2^2)> =

rii

X

X

Ao(ki)e-Yi1 — i(kb ^(ki)) / ^(si)e-Y(i1 -si)dsi

o

(S(e)(i2)F0)*(k2) + (S(eH)(i2)H0)*(k2) - — Г S(e)*(k2,i2 - s2)T±(k2,s2)ds2

^o(ki) [(S(E)(t2)Fo)*(k2) + (S(EH)(t2)Ho)*(k2)

e-Yt1 +

4П Г*1 Г*2 ~

+— / / 5(е)*(к2^2-в2)(^(в1)(к1^(к1))Ц(к2,52))^2,

е Л Л

где мы воспользовались статистической независимостью случайных величин ро(к) и Ёг (к') и равенством нулю их средних значений. Положив ¿2 > ¿1 и выражение для поперечной части плотности тока ^ = j — к(к^)/к2 (см. (15), I), имеем

(Жк1Л)Р*(к2^)> =

= е-^1 (ро(кх) |~(Б(е)^2)Ёо)*(к2) + (Б(ея)^)Но);(к2)1)+

(k2)

^(к2,</>*(к2))] ) Г 2,t2 - s)ds

e-7il( A,(ki)[ (S(E)(t2)F^;(k2) + (S(EH)(t2)Ho);(k2)

+

ч I r

H--— (kl)j ( dim -

(к2)г(к2)„Л K3i(kbk2)

k2 J 2r*(k2)

Г

х / е Jo

-Y(tl-s)

r* (k2)e

r* (k2)(t2-s) *

- r- (k2)er-

r- (k2)(t2-s)

ds

Используя явные выражения для внутренних интегралов

fti r'ti

g-Y(tl-s) + r± (k2)(t2 s) dS = er± (k2)(t2 t1) I g-Ys + r± (k2)sds g-Yt1 + r± (k2)t1 _ 1

/0

'0

r* (k2) - 7

r± (k2)(t2-ti)

-e ±

получаем выражение дня искомой корреляционной функции. Более важное, с физической точки зрения, ее асимптотическое выражение при ¿i ^ оо, t2 — ti = const получается при учете неравенства Re(Y — r± (k2)) > 0,

t1

-Y(ti-s) + r± (k2)(t2-s)

ds —

gr± (k2)(t2-tl)

./0 Y — r± (k2)

Тогда асимптотическое выражение дня корреляционной функции имеет вид

(P(ki,ii)jp;(k2,i2))^ =

27r?;(ki) er * (k2)

3 1 —

(k2)i(k2)m

k2

Kjl (ki, k2)

r+ (k2)

r+ (k2)(t2-tl)

Y — r+ (k2)

— r- (k2)

r- (k2)(t2-tl)

Y — r-(k2)

В нрострапствеппо-одпородпом случае эта формула переходит в с.недующую:

(25)

(P(M)F/(k',i'))

2т er * (k)

k2

r* (k)

gr+ (k)(t'-t)

Y — r* (k)

— r- (k)

gr- (k)(t'-t) Y — r- (k)

e 2y2 + a2k2

k2

x

x

Y2 /2 + a2k2 7chr(k)(i' - t) - У „ shr(k) (t! - t)

r(k)

(26)

где мы воспользовались тождествами г+(к) + г-(к) = — 7, г+(к)г-(к) = а2к2,

7. Вычисление корреляционной функции (рр(к1,£1)Й*(к2,£2)). Точно также как и выше, вычисляется последняя корреляционная функция,

(р(кь*1)Н *(к2,*2)) =

ftl

Po(ki)g-Ytl — ¿(kb ^(ki)) / p(si)e-7(tl-sl)dsi

X

х

4п

Г*2

(^НЕ)(Ь2)¥0У(к2) + (5(Я)(*2)Но)*(к2) - — / Б(яе)*(к2, ¿2 - з2)Мк2,з2)(1з2

рс(к1^ (Б™^)]) *(к2) + (Б^)!) *(к2)

е-7*1 +

4_г ^2 „;

+ — / е-^-^йз, / Б(яе)*(к2, ¿2 — з2)(р(з1) (кь ^(к1))]±(к2, з2))йз2 . £ Jс Jс

Подставляя выражение дня поперечной части плотности тока и производя усреднения, находим

(Р(кь£1)я;(к2,£2)) =

4пг [ 1 +- / е

£ Jс

рс(к1)[(Б(яе)(£2)^);(к2) + (Б(я)(£2)Н^;(к2^ )е-741 + - вЩЪЖЪ)) (¿тп - (к2)'к(2к2)т)

Рс(к1) [(Б(ЯЕ)(£2)]с);(к2) + (Б(я)(£2)Нс);(к2^ )е-741 +

) К,п{- з)йз =

,4тгг ( (к2)га(к2)

Н--— )] I Отп--^-

Рс(к1) [(5(ЯЕ)(£2)]с);(к2) + (Б(Я) (£2)Нс);(к2)

е-7*1 —

2тга2 сг ; (к2)

(к1)^' ^тп —

(к2)га(к2)г к2

К„(кь к2)егдт(к2)д х

Г*1

х I е-7(*1-^Чег+ (к2)(*2ег-(к2)(*2-в)

Учитывая значения интегралов

Г ¿1

е

-т(*1-«)+ (к2)(*2= ег± (к2)(*2-¿1) / е-7« + (к2)«^5 =

-7*1 + Г± (к2)41 1

г± (к2) — 7

находим выражение для корреляционной функции при конечных значениях ¿1. Асимптотическое же выражение при £1 — то находится с учетом то го, что Ие(7 — г± (к2)) > 0,

з-7(*1 -«)+ Г± (к2)(*2-я)

(к2)(*2-*1) 7 — г± (к2)

Тогда

(р(к1,£1)я;(к2,£2))с

с

с

с

Зтш2 ( (k2)ra(k2)m -(ki)j ( С--^- I Fjn{kl,k.2)eiqm{k.2)q

cr * (k2)

er+ (k2)(t2-tl) (k2)(t2-tl)

Y - r+ (k2) Y - r *(k2)

2na2 . Л (k2)

ral 2/ m 1 г./- /i i\ /i\

4ki)i in--n- kjn{ki,k2)6iqm{k2)q x

cr * (k2)v 4 k2

p-7(t2-tl)/2

x о 2 2i 2 [3Tshr*(k2)(i2 - ii) + 2r*(k2)chr*(k2)(i2 - h)] . (27) 2y + a k2

В пространственно-однородном случае, -

(ЖМ)Н* (k',t'))c

2na , (knkm

c

-kj ^§mn ^ Aj«(k)i(k k )tlqmkg x

e

X

-7(t'-t)/2

3-^-shr(k)(i' - t) + 2chr(k)(i' - t) r(k)

(28)

2y2 + a2k2

Вычисленные парные корреляционные функции (Ё^ (ki,ii)Ej2 (k2,t2)), (Ej1 (k1,t1)Hj2(k2,t2)), (Hj1 (k1,t1)Hj2(k2,t2)) позволяют выразить важнейшие физические характеристики теплового электромагнитного излучения - его плотности энергии и импульса, а также плотности потоков этих величин, которые представляются квадратичными формами от компонент электромагнитного ноля.

Литература

1. Фат Л.Т., Вирчснко Ю.П. Стохастические электромагнитные поля в диэлектрической среде. 1. Построение модели /7 Научные ведомости БелГУ. Сер. Физика, Математика. 2015. - 8(202);38. С.119-129.' '

2. Рытов С.М. Теория электрических флуктуации и теплового излучения.- М.: Изд. АН СССР, 1953.

3. Рытов С.М., Татарский В.И., Кравцов Ю.А. Введение в статистическую радиофизику, ч.2 Случайные поля/ С.М. Рытов.- М.: Наука, 1978.- 464с.

4. Спэрроу Э.М. Теплообмен излучением / Э.М. Спэрроу, Р.Д. Сесс. Л.: Энергия, Ленинградское отделение, 1972. 295с.

STOCHASTIC ELECTROMAGNETIC FIELDS IN DIELECTRIC MEDIUM.

2. CALCULATION OF PAIR CORRELATION FUNCTIONS Lam Tan Phat, Yu.P. Virchenko

Belgorod State University, Studericheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-maiI:virch@bsu.edu.ru

Abstract. Gaussian random field is constructed that describes the stochastic electromagnet it-field in dielectric medium caused by heat fluctuations in them. The field is generated by stochastic dynamic system of Maxwell's equations with additive noise.

Key words: stochastic electromagnetic field, gaussian random field, Maxwell's equations, stochastic model, correlation function.