Гауссовские модели флуктуационного электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532

ГАУССОВСКИЕ МОДЕЛИ ФЛУКТУАЦИОННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

© Лам Тан Фат, Ю.П. Вирченко

Ключевые слова: флуктуационное электромагнитное поле; гауссовское случайное поле; уравнения Максвелла; стохастическая модель; корреляционная функция.

Изучается стохастическое электромагнитное поле, описывающее его тепловые флуктуации в ограниченной полости. Находится общий вид корреляционной функции К/ (х, у, 8) в том случае, когда случайное электромагнитное поле является гауссовским и обладает нулевым средним значением при наличии стохастической пространственной однородности и стационарности по времени.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Начало изучения стохастических моделей электромагнитного поля восходит к работам Д. Рэлея, Д. Джинса, В. Вина и М. Планка при построении теории излучения абсолютно черного тела [1]. В связи с решением этой задачи в теоретической физике возникло, в частности, понятие квантования электромагнитного поля. Следует заметить, что в то время, когда были опубликованы эти исследования, раздел теории вероятностей, идеологически связанный с изучением таких стохастических моделей, как теория случайных процессов (полей), находился в зачаточном состоянии. Этим обстоятельством, в частности, обусловлен в значительной мере выбор пути построения теории излучения абсолютно черного тела, предложенный М. План-ком. К настоящему времени развитие теории случайных процессов в двадцатом столетии привело к построению стройной, довольно развитой математической теории, которая позволяет по-новому взглянуть на физическую проблему теплового излучения электромагнитного поля и, в частности, абсолютно черного тела и по-новому подойти к ее решению [2-3]. Наличие такого альтернативного подхода к изучению стохастических электромагнитных полей отнюдь не ведет к необходимости пересмотра современной квантовой точки зрения на электромагнитное поле, однако, дает новые математические возможности при теоретическом моделировании теплового электромагнитного излучения в статистической физике. В настоящем сообщении мы решаем математическую задачу об описании стохастического электромагнитного поля в ограниченной области пространства в предположении о его гауссовости, что допустимо в случае, если его случайные флуктации от среднего значения (в нашем случае, нулевого) малы. Кроме того, для простоты мы предполагаем, что тепловое электромагнитное поле пространственно однородно, находится в термодинамически равновесном состоянии и обладает стохастически независимыми и эквивалентными электрической и магнитной составляющими.

2. ГАУССОВСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Рассмотрим стохастическое электромагнитное поле <Е, Н> в ограниченной полости евклидового пространства. Электрическая и магнитная составляющие каждой случайной реализации поля подчиняются уравнениям Максвелла

1ЗН 1ЗЕ

- - +[У,Е] = 0,(У,Н) = 0,1 - =[У,Н],(У,Е) = 0.

Далее, при построении стохастической модели удобно использовать математический формализм, при котором для описания каждой реализации электромагнитного поля используется только одна комплексно-значная вектор-функция Р = Е + Ш, которая подчинена эквивалентной системе уравнений

~ = [У,Р],(У,Р) = 0. (1)

Простейшая стохастическая модель, у которой случайные реализации могут быть представлены с вероятностью единица в виде обычных (не обобщенных) гладких вектор-функций, удовлетворяющих уравнению (1), дается конструкцией гауссовского случайного поля. Эта математическая модель может считаться удовлетворительной в том случае, если описываются малые по интенсивности тепловые флуктуации. Мы ограничимся для простоты случаем, когда случайное гауссов-ское векторное комплекснозначное поле Е(х, Г) обладает нулевым средним. В этом случае распределение вероятностей поля полностью определяется набором вещественных корреляционных функций К/ (а,р)(х, £;у,б) = = (а )(хД)^-(р) (у, 5)}, а, р = ± , где ^ (+)=£;, которые с необходимостью удовлетворяют неравенствам

(|/ „«ою^. Н") =

= | К(а'р)(хД;у,5)М((а)(х,Щ(р)(у,Б)йхйуйЬйБ > 0,

в которых по повторяющимся индексам, как верхним а, в = ±, так и нижним I, ] = 1, 2, 3, подразумевается суммирование. Вектор-функции и,(а)(х, £), а = ± являются произвольными финитными и бесконечно дифференцируемыми, как по пространственным аргументам, так и по времени. Это неравенство является также достаточным условием (т. н. теорема Бохнера-Хинчина) для того, чтобы существовали два случайных поля р(а)(хД) , а = ±, для которых Ку (а,в\х^;у, б), а, в = ± являются корреляционными функциями.

При переходе к описанию случайного электромагнитного поля на основе комплекснозначного векторного гауссовского случайного поля Р(х, Г) набор указанных корреляционных функций заменяется на пару корреляционных функций

Кцш-,у, б) = х, Щ(у, б)}, Ь1}(х,г;у, 5) = (Р (х,Щ (у,5)),1,] = 1,2,3,

которые имеют комплекснозначные тензорные значения и обладают, вследствие их определения, свойствами симметрии Ку (х, Ь у, б) = К* (у, б; х, £), Ьу (х, К у, б) = = Ь^(у,Б;х,Ь). Заметим, что корреляционная функция Ку (х, Ь; у, б) определяет такую физическую характеристику, как плотность энергии электромагнитного поля Ки(хх,Ь)/8ж. Однако не всякая комплекснозначная тензор-функция второго ранга, обладающая указанным свойством симметрии, является корреляционной функцией векторного комплекснозначного случайного поля. Необходимым и достаточным условием для этого является свойство положительной определенности, которое следует непосредственно из определения корреляционной функции и формулируется в виде неравенства

¡Ку (х,ъу,б)щ(х,Оц*(у,Б)йхйу<ИйБ > 0. (2)

Оно должно выполняться для любой комплексно-значной, финитной, бесконечно дифференцируемой вектор-функции и,(х,£). Это условие является просто проверяемым следствием из указанного выше неравенства для набора корреляционных функций

Ку(а,р )(х,Р,у, з) = (Р(а )(х,Щ (р\у,Б)), а, р = ±.

Кроме общих свойств, которым должна удовлетворять корреляционная функция любого векторного ком-плекснозначного Р(х, Г) поля, нужно учесть трансформационные свойства электрического и магнитного полей по отношению к локальным (относительно точки наблюдения) отражениям пространства. Как известно, поле Е является истинным вектором, т. е. при отражении пространства оно умножается на (-1), а поле Н является псевдовектором, и поэтому при отражении пространства оно не изменяется. Тогда комплексно-значное поле F при отражении пространства заменяется на — Р*. Это приводит к тому, что стохастическое поле Р(х, Г) стохастически эквивалентно полю —Р*(—х,£). Это, согласно уравнениям (1), будет иметь место в любой момент времени, если такое положение существует в какой-то фиксированный момент. Следовательно, для корреляционной функции имеет место равенство Ку (х, 1; у,б) = К* (—х, —у, б), Ьу (х, 1; у,б) = = Ь*,(—х ,и —у, б).

Будем далее исследовать только случай, когда электромагнитное поле Р(х, Г) состоит из стохастически независимых и эквивалентных случайных электрического и магнитного полей, т. е. оно имеет стохастически независимые и эквивалентные реальную и мнимую части. Такое положение реализуется в квантовой оптике [4].

Стохастическая эквивалентность электрического и магнитного полей не противоречит указанным выше их различным трансформационным свойствам ввиду их гауссовости, статистической независимости и равенства нулю средних значений. При наличии стохастической независимости полей Е и Н, имеем (Е, (х,Щ(у,б)) = (Е, (х,Ь)Щ(у,Б)). В этом случае корреляционная функция вещественна

КуШ;у, б) = (Е1(х, Щ(у, б)} + (Щ(х, Щ(у, б)}.

В этом случае при проверке неравенства (2) достаточно ограничиться вещественными вектор-функциями и,(х,£). Если, кроме стохастической независимости, электрическое и магнитное поля стохастически эквивалентны, то Ку(х ,1;у, б) =2(Е, (х^)Е] (у, б)}. При этом корреляционная функция Ьу (х, Ь; у, б) равна нулю, т. к.

^ (х, Щ (у, з)} = (Е, (х, Щ (у, з)} — (Н (х, Щ (у, з)} + +,((Е, (х,1)Щ (у,з)) + Щ (у,з))(Н<(х,т = 0.

Перечислим важные частные случаи стохастических гауссовских комплексно-значных векторных полей.

Если случайное поле Р(х, Г) стохастически локально изотропно, то корреляционная функция Ку (х, Ь; у, б) пропорциональна 8у,т. е. Ку (х, Ь; у, б) = К(х, Ь; у, Б)8у . В этом случае при проверке неравенства (2) достаточно ограничиться скалярными функциями и(х, Ь). Здесь функция К(х,Ь;у,б) обладает свойством симметрии К( , ; у, ) = К*( у, ; , ).

Наконец, если поле Р(х, ^ обладает стохастическими пространственной однородностью и стационарностью по времени, то корреляционная функция предста-вима в виде Ку (х, Ь; у, б) = Ку (у — х,Б — Ь), где комплекснозначная тензор-функция Ку (х, Ь) зависит уже только от одного пространственного аргумента - радиус-вектора х и от одного временного аргумента Г. Для полей такого типа неравенство (2) запишется в форме

/Ку (х — ул — б)щ(х,Щ*( у,Б)йхйу<ИйБ > 0. (3)

Кроме того, учитывая свойство поля Р(х, ^ относительно отражений, получим соотношение Ку (х, Ь) = = Ку*(— х, 0.

Далее будем анализировать только стохастические электромагнитные поля, обладающие свойством стохастической трансляционной инвариантности в дополнение к сделанному выше предположению о стохастической независимости и эквивалентности электрической и магнитной составляющих. Мы получим общую формулу, описывающую все возможные корреляционные функции гауссовских электромагнитных полей при наличии их пространственной однородности в ограниченной полости и стационарности по времени. Это согласуется с физическим представлением об однородных тепловых флуктуациях электромагнитного поля в термодинамически равновесном состоянии. Для решения этой задачи нужно найти общий вид корреля-

ционной функции К/ (х, £), удовлетворяющей неравенству (3), для поля Е(х, Г), подчиняющегося уравнениям (1).

3. ОПИСАНИЕ КЛАССА ГАУССОВСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ

Для простоты будем считать, что полость А представляет собой куб с размером ребра Ь. Введем набор коэффициентов ряда Фурье, периодически продолженного по пространственным переменным электромагнитного поля с куба А на все пространство.

КДк, 0 = |А|-1 ¿КДх, 0 ехр(-¿(к, х)) йх,ке А,

(4)

А = ^к =2- (п1е1 + п2е2 + п3е3); п/ е При таком подходе мы должны с необходимостью считать, что корреляционная функция Ку (х, Ь) является трехмерно периодической с периодом в виде области А. Следствием свойства симметрии функции К£/ (х, £; у, б) является следующее свойство тензор-функции К (х, (х, 1) = К/1 (-х, -). Тогда набор {К£/ (к, £); ке А, £ = 1,2,3} обладает свойством

К» (к, О =КН (к, -).

(5)

Вместе с коэффициентами К£/ (к, Ь) определим коэффициенты аналогичного ряда Фурье для случайного поля Е(х, Г)

Р£(к,0 = |А|-1 /пЖх,0 ехр(-£(к,х))йх,к е А. (6)

Набор коэффициентов Фурье {Р£(к,£); к е А, £ = = 1,2,3} представляет собой в силу линейности преобразования (6) набор гауссовских случайных величин. Они обладают нулевым средним {Р£(к,Ь)} = 0 в силу (Р(х, Ь)} = 0 и характеризуются корреляционной функцией К£/(к, £),в том смысле, что имеет место следующее представление

К/(к1,1)8КъКг = (р£(щ, Щ'^)),

(7)

где 8к1 кг - символ Кронекера, определенный на наборе векторов А. Для того чтобы имело место неравенство (3), необходимо и достаточно, чтобы для корреляционной функции К£/ (к, Ь) выполнялось неравенство

£КеаСЛ](к,к - ЧШкЛ1Ц'(кЛг)<111<112 > 0, (8)

для произвольных комплекснозначных вектор-функций и£(к,Ь) = |А|-11 и£(х,Ь) ехр(-£(к,х))йх,

А

которые являются финитными, бесконечно дифференцируемыми по Г и служат коэффициентами Фурье для финитных бесконечно дифференцируемых функций по пространственным аргументам с носителем у каждой из них, расположенным в А.

Наконец, исходя из (6), находим ограничения на статистические свойства коэффициентов Р£(к,£), которые связаны с преобразованием отражения пространст-

ва. Выбирая в формуле (6) начало координат в центре кубической области и проделав очевидные преобразования интеграла, находим, что набор коэффициентов {Р£(к, £); ке А, £ = 1,2,3} стохастически эквивалентен набору р (к, Ь)--р (к, Ь) при любых Г.

Из уравнений (1) следует, что набор случайных коэффициентов {Р£(к, £); ке А, £ = 1,2,3} удовлетворяет с вероятностью единица системе уравнений

-F£ = ££/к (к)/Р ,(к)Л = 0,

(9)

что влечет выполнимость следующих тождеств для корреляционной функции

\К1} (к, V = ££Ы ккЩ (к, 0, кЩ (к, £) = 0. (10)

Из эволюционной системы уравнений следует, что каждая компонента тензор-функции К£/ (к, Ь) удовлетворяет уравнению

'-2К£j(к, О = ££к1кк£1тпктКп] (к, О = —к2К£j(к, О,

что приводит к следующей общей форме ее зависимости от времени

К£/(к, о = к(+) (к)е£с № +К(г)(к)е-£с ^

или, с учетом свойства (5), Щ )4(к) = К(+\к) = = Кц(к),

К£/ (к, Ь) = К£/ (к)е£с 1к1£ + К/\(к)е-£с 1к1£. (11)

Подстановка этого выражения во второе (алгебраическое) соотношение в (9) приводит, на основе линейной независимости временных экспонент с противоположными знаками в показателях, к условиям «попереч-ности» для коэффициентов {К£/(к, £); ке А, £ = 1,2,3}, кЩ (к) = 0, к^К£/ (к) = 0. Опишем общий вид тензорных коэффициентов К£/ (к) = 0, удовлетворяющих этим алгебраическим соотношениям.

Запишем общее решение первого уравнения (8)

Р(к, Ь) = Р(+)(к)е£с1к1с +р( )(к)е-£с1к1с.

(12)

Используя условие стохастической эквивалентности р(к, £)--Р/ (к, £), находим, что

р(+)(к)~р( )(к). Здесь гауссовские случайные коэффициента: р(+)(к) и р( )(к) обладают нулевыми средними значениями, т. е. полностью характеризуются корреляционными матрицами <р(а)(к)р(р ^(к)), <р(а)(к)р(р)(к)), где а, в = ±.

Подставим представление (11) в формулу (7). Сравнивая с общей формулой (10) для корреляционной функции, находим, что матричные коэффициенты К£/ (к) представляются выражением

К!

(к) = ^'(^^(к) +р(-\к)У

= 2 <Р£(+)(к)Р(+)*(к)),

(13) 127

где имеют место равенства

<р(+)(к)р (+)*(к)) = <р(—)(к)р (—)*(к)), (Р(—\к)Р (+)(к)) = <р(+)(к)р (—)(к)) = 0.

Равенство нулю в последнем случае вытекает из условия равенства нулю корреляционной функции Ьу (х, £;у, б), т. к. в этом случае равно нулю математическое ожидание

<1(к, 0^(к, 0)) = |а|—1 | Ьу (х, С) ехр(—¡(к,х)) йх = 0,

_ а

к Е а.

Подставляя в левую часть равенства явный вид решений (12) и пользуясь произвольностью момента времени Г, находим, что

<р(+)(к)(р (+)(к) + Р(—)(к))) = 2<р(+)(к)р (—)(к)) = 0.

Таким образом, в рассматриваемом нами случае набор корреляционных коэффициентов полностью характеризуется матрицей <р(+)(к)р(+)*(к)} и имеет место равенство (13).

Для описания общей структуры матрицы <р(+)(к)р(+)*(к)> воспользуемся условием поперечно-сти (второе уравнение в (9)). Из этого условия и (12) следует, что с вероятностью единица имеют место свойства поперечности коэффициентов р(+)(к)и р(—)(к), (к)кРк(+)(к) = 0, (к)кРк(—)(к) = 0. Общее решение каждого из этих уравнений имеет вид

где щ(к) = щ(к,£) ехр(¿с|к|£) - произвольные векторные коэффициенты, зависящие от номера к е а. Это последнее неравенство заведомо выполняется при положительной, при каждом к, матрице 0(у(к). Достаточно ввести векторные коэффициенты йг(к) = =£1к1(к)кшк, которые являются также произвольными

Яе^оц(к)щ(к)ц*(к) > 0.

кеО

Наконец, заметим следующее. Так как поле Р(х, Г) удовлетворяет уравнениям (1), то оно является дифференцируемым по пространственным аргументам с вероятностью единица, по крайней мере в среднем квадратичном. Это означает, что с той же вероятностью имеет место ограничение

«■21 иг* Л12

^ к2|р(к,£)|2 < да.

Оно приводит к ограничению на зависимость от к набора коэффициентов ку (к, £),

^к2|Ку(к, Ь) \ < да,

что устанавливается с помощью неравенства Коши-Бунковского. Подстановка выражения (14) приводит к ограничению для выбора зависимости от к матрицы оц(к),

р (±)(к) = £ук(к)ак (±)(к).

^К4|О,;(К)|

< да.

Случайные коэффициенты Ау (±)(к)в этом представлении определяются однозначно при дополнительном условии их поперечности (к)кАк (±)(к) = 0, А, (±)(к) = — 1 £ук (к)урк (±)(к).

Ввиду линейности этого преобразования набор случайных коэффициентов А, (±)(к) является гауссов-ским, и они имеют нулевые средние значения. По этой причине этот набор полностью характеризуется корреляционными матрицами <А(а)(к)А|р)*(к)),

<А(а)(к)А(р)(к)), где а, в = ±. Нам достаточно использовать только одну матрицу при а = р = 1. Введем корреляционную матрицу 2 <А(+)(к)А(+)*(к)) = = Оу(к), которая является эрмитовой и положительной согласно ее определению. На ее основе и формулы (13) матрица К ¡у (к) записывается в виде

Л(Р )

К (к) = £Ш Щтп (К)к (к)тОы (К).

(14)

Проверим выполнимость неравенства (8) для корреляционной функции вида (11). Непосредственной подстановкой находим, что для его выполнимости нужно, чтобы

Яе ^К0-(К)^(К)Щ*(К) > 0,

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем полученный нами результат в виде отдельного утверждения.

Теорема. Класс всех случайных стохастически пространственно однородных гауссовских электромагнитных полей с нулевым средним значением в ограниченной полости П со стохастически независимыми и эквивалентными электрической и магнитной составляющими описывается формулами (11) и (14), которые определяют общий вид коэффициентов Ку (к, £) фурье-разложения корреляционной функции Ку (х, £) по пространственным аргументам.

Непосредственным следствием наших рассмотрений в этом сообщении является вывод о том, что в рамках теории гауссовских случайных полей возможно построение модели стохастического электромагнитного поля (в вакууме) с интегрируемой спектральной плотностью. При этом спектральная плотность энергии может иметь довольно произвольный (в частности, планковский) вид.

ЛИТЕРАТУРА

1. БорнМ. Атомная физика. М.: Мир, 1965. 492 с.

2. Рытов С.М. Теория электрических флуктуаций и теплового излучения. М.: Изд-во АН СССР, 1953.

3. Рытов С.М., Татарский В.И., Кравцов Ю.А. Введение в статистическую радиофизику: в 2 ч. М.: Наука, 1978. Ч. 2. Случайные поля. 464 с.

4. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970. 428 с.

5. Фат Л.Т., Вирченко Ю.П. Движение частицы в случайном стохастически однородном и изотропном магнитном поле с частотным спектром белого шума // Дифференциальные уравнения и их приложения: материалы Междунар. конф., 26-31 мая 2013 г., г. Белгород. Белгород: Политерра, 2013. C. 192-193.

6. Фат Лам Тан, Вирченко Ю.П. Стохастически однородные и изотропные магнитные поля // Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & Physics. 2013. Т. 19 (162). № 32. С. 176-183.

7. Фат Лам Тан, Вирченко Ю.П. О теореме Гельмгольца для почти-периодических в среднем квадратичном векторных полей // Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & Physics. 2013. Т. 26 (169). № 33. С. 99-104.

8. Лам Тан Фат, Вирченко Ю.П. Стохастически однородные и изотропные соленоидальные гауссовские поля // Тезисы зимней математической школы С.Г. Крейна. Воронеж: ВГУ, 2014. C. 204208.

9. Лам Тан Фат, Вирченко Ю.П. Гауссовские почти периодические в среднем квадратичном соленоидальные векторные поля //

Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & Physics. 2014. T. 5 (176). № 34. C. 134-141.

Поступила в редакцию 23 декабря 2014 г.

Lam Tan Phat, Virchenko Y.P. GAUSSIAN MODELS OF FLUCTUATION ELECTROMAGNETIC FIELD

Stochastic electromagnetic field that describes its thermal fluctuations in bounded cavity is studied. The general form of the correlation function K (x, t; y, s) is found in the case when the random electromagnetic field is gaussian with zero average and the stochastic space uniformity and the stationarity are assumed.

Key words: fluctuation electromagnetic field; gaussian random field; Maxwell 's equations; stochastic model; correlation function.

Лам Тан Фат, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация, аспирант, кафедра теоретической и математической физики, e-mail: lam_tan_phat@yahoo.com

Lam Tan Phat, Belgorod State National Research University, Belgorod, Russian Federation, Post-graduate Student, Theoretical and Mathematical Physics Department, e-mail: lam_tan_phat@yahoo.com

Вирченко Юрий Петрович, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической и математической физики, e-mail: virch@bsu.edu.ru

Virchenko Yuri Petrovich, Belgorod State National Research University, Belgorod, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical and Mathematical Physics Department, e-mail: virch@bsu.edu.ru