CC BY
0
УДК 514.76
К. В. Полякова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия polyakova_@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2023-54-2-3
О связности, кручение и кривизна которой не являются тензорами
Изучается многообразие, структурные уравнения и деривационные формулы которого построены с помощью деформаций внешнего и обычного дифференциалов. Рассмотрены расслоения несимметричных корепе-ров и реперов 2-го порядка на этом многообразии и задана аффинная связность. Доказано, что кривизна и кручение этой связности не являются тензорами. Построена каноническая связность и показано, что она является плоской и несимметричной.
Ключевые слова: возмущение дифференциала, касательное пространство 2-го порядка, несимметричные реперы и кореперы 2-го порядка, объекты кручения и кривизны, плоская и несимметричная связность
Введение
Введением деформации внешнего и обычного дифференциалов В и й на гладком многообразии Хт в [4] был построен аппарат, позволяющий построить многообразие Хт с несимметричными формами дифференциальных групп 2-го и более высоких порядков, а также несимметричными векторами касательного пространства 2-го и более высоких порядков. Рас-
Поступила в редакцию 21.12.2022 г. © Полякова К. В., 2023
сматриваемое многообразие Хт представляет собой деформацию обычного гладкого многообразия Хт и называется деформирующимся [2; 10].
В данной работе мы приводим структурные формы и деривационные уравнения полученного многообразия Хт. Задаем аффинную связность на этом многообразии, а также объекты ее кривизны и кручения. Рассматриваем каноническую аффинную связность, объекты ее кривизны и кручения. Полученные результаты в значительной степени согласуются с результатами работ по неголономным реперам [7] и неголономным многообразиям [8].
Деформации дифференциалов В и С в кокасательном Т Хт и касательном ТХт пространствах многообразия Хт были определены в [4] с помощью введения внешнего поля f = /"(х',х^) для возмущения внешнего дифференциала В и внутреннего поля для возмущения дифференциала С; ¿,у, к = = 1,..,т. В настоящей работе продолжаем изучать случай, когда значения индекса ^ нумеруют элементы матрицы (х]), то есть (х?) = (х)) и =Л^=1,остальнЫе=0; *=т + 1.....т + т2.
Замечание 1. В работе [11] рассматривается глобальная геометрия некоммутативных теорий поля с точки зрения деформации, где изучаемые пространства-время — это деформации классических пространственно-временных многообразий. Показано, как можно получить деформацию ассоциированных векторных расслоений.
Замечание 2. Следует отметить, что касательные (а также кокасательные) пространства многообразий Хт и Хт не различаются, различие проявляется для 2-го и более высоких порядков.
В [4] внешняя деформация внешнего дифференциала И (то есть отображение И) и внешняя деформация дифференциала касательных векторов (то есть отображение с1) определены по законам
= йш + {df Л о))|Л2Т*, ¿V = |,
где
Причем вдоль линии р на многообразии Хт выполняются традиционные равенства
Е)21 =0, 5(<Ь)| =0.
Замечание 3. Для дифференциала й справедливо Од = с1д, D(d/) = 0, = = 0 (см.: [4]).
Замечание 4. При ограничении на подпространство деформации внешнего дифференциала, рассматриваемые в работах [2; 9; 10; 12; 13], являются дифференциалами.
В частности, для элементов йх1 и д^ = операторы И и й дают
D(dx¿) = Л/;ífedxJ' Лdxfe,
где
— кососимметрический и симметрический объекты, задающие возмущения дифференциалов И и с1 на элементах йх1 и д^.
1. Структурные уравнения и деривационные формулы деформирующегося многообразия
Рассмотрим над га-мерным деформирующимся многообразием Хт главное расслоение реперов 2-го порядка со структурными уравнениями [4; 5; 7; 8]
Вы1 = а)1 ЛЩ, (1)
=¿5^ Лш1к + шк Л Щк, (2)
D(ЗÍ;■fe = ¿0^ Л — ш11к лЩ — й]г Л ш1к + ш1 Лш1-к1.
При фиксации точки многообразия структурные формы
Щк превращаются в формы, являющиеся инвариантными формами (обобщенной) дифференциальной группы 2-го порядка [7]. Уравнения (1), (2) задают главное расслоение касательных реперов 0^}п{Хт). Его типовым слоем является линейная группа =а(т), действующая в касательном пространстве ТХт в точке А, фиксируемой вполне интегрируемой системой уравнений ш1 = 0.
Замечание 5. Будем сохранять галочку над несимметричными формами (в том числе двухиндексными формами Щ) и несимметричными векторами, полученными в результате применения операторов И и с1, чтобы подчеркнуть их связь с И и с1, а также отметить их отличие от классических форм и векторов.
Формы ш1, о)!-, й/■fe относительно натурального корепера выражаются по формулам [3—5]
ш1 = , Щ = -х^х1к ~х]кшк, (3)
ш}к1 = АЩк1 ~х}зшк1 + + (-■
где х} — локальные координаты точки на многообразии. Тензорный дифференциальный оператор А действует по закону
Слоевые координаты 1-го порядка xj образуют невырож-
* -
денную матрицу, для которой (xj) — обратная матрица, то * . : есть xjxJk = Sк.
Слоевые координаты 2-го порядка Щк несимметричны по нижним индексам, причем
= ~Njk,
где
Njk = *x{jSlk]dlf.
Компоненты Nfk можно выразить с помощью ранее введенных Njk по формуле Njk = x{NpqxJxk.
Координаты xjk симметричны по нижним индексам, если Njk = 0. Значит, Npq = S[qdp]f = 0, что выполняется в случае dpf = 0, то есть / = f(xf). В этом случае = const, Dm = Dco, dv = dv, поэтому очевидно несимметричные формы и векторы не получаются.
Всевозможные альтернации слоевых координат 3-го порядка Xjki удовлетворяют соотношениям
^/[fci] = 0,
= -xis[kNJ!\l -NfkN^*0,
%U\m = -*hiN№ ~NJi*sk
Слоевые координаты 3-го порядка Xjki симметричны только по последним двум индексам к, I как следствие использования леммы Картана.
Альтернирование форм <Sjfc имеет вид
tff/fc] = -Щк + - ^xls[kx^il -х1т]1)ш1,
то есть
О)
i (mod шк).
Uk]
При фиксации точки многообразия получим
Значит, формы ¿ojfe несимметричны даже при фиксации точки многообразия, то есть
йущ i0 (mod шк).
Кроме того,
Щ[щ = (mod шк).
Каноническая форма 1-го порядка ш = 0)l£i на многообразии Хт связывает касательное ТХт = span(£i) и кокасатель-ное Т*Хт = span(o)1) пространства к этому многообразию в его текущей точке. Кобазис сопряжен подвижному базису {£(}, то есть wl(£j) = Sf. Для построенных дифференциалов справедливо
Doi1 =Dcol + Njka)} Ашк, d£i = d£i ,
где
NL = x}NLX?X?, , Nl = x^xkN^
I ] 1к
— кососимметрический и симметрический объекты, задающие возмущения дифференциалов И и с1 на элементах ш1 и £у.
Линия р на многообразии Хт задается уравнениями ш1 = р1ш, причем = и
Ар1 —р1ш1 =р[ш.
Слоевые формы со'- , ш'-к, интерпретируются как компоненты инфинитезимального перемещения векторного репера £(, , удовлетворяющего деривационным уравнениям
Д^ = ёч®ш>, Щ ~Щ®гк = шк®£1]к, (4)
которые получены дифференцированием касательных векторов 1-го и 2-го порядков
е1 = х/ д}, ёц = Цхкд1к + Х?]Ек + ,
Л — ^ Л — д _ _ д дхí, ^ ~ Эх^х^ $ ~ дх^
Векторы несимметричны, причем
= х1х!д1к + х£т£к + .
Размерность касательного пространства 2-го порядка Г2.?т = зрап(^£к,ё^деформирующегося многообразия равна dim,Г2Zm =т + т2.
2. Аффинная связность на многообразии Хт
В главном расслоении реперов со структурными
уравнениями (1), (2) зададим аффинную связность по Лаптеву с помощью форм
где Г^ — функции на расслоении 0^^п(Хт). Дифференцируя формы Щ, получим
ВЩ = 3] ЛЩ + шкл(А Г^ + Лшк Лш1. (5)
Согласно теореме Картана — Лаптева, аффинная связность задается полем объекта Г^
дГ^ + 4, = 1Г*,гйг. (6)
С учетом (6) уравнения (5) принимают вид: ЙЩ = Щ Л <Я] +Щк1 Л шк Лш1,
где — компоненты объекта кривизны аффинной связности, выражающиеся по формуле
Щк1 = Г][й,г] _Г/[йГ|5|г]. (7)
Кривизна аффинной связности не является тензором на деформирующемся многообразии Хт
аЩы-ГГ^+Щ^ = 0. (8)
Замечание 6. В работе [8, с. 52] сравнения на объект кривизны Щк несимметрической аффинной связности неголоном-ного гладкого многообразия имеют вид (8), то есть объект Щк образует геометрический объект (квазитензор) лишь вместе с объектом связности.
Учитывая, что выражения для альтернированных форм Й1[щ, йдщ известны, сравнения (8) можно записать в уточненном виде:
^ = , (9)
где тензор у'-к имеет вид у]к = Г]1к + *//£. Из (9) видно, что кривизна является тензором (причем нулевым) только при у]3 = 0, то есть для канонической связности, рассматриваемой далее.
Введем формы аффинной связности йу в структурные уравнения (1):
Йш1 = & ЛЩ + Т{кш1 Лшк,
где Т}к = — объект кручения аффинной связности. Альтернируя уравнения (5), получим уравнения
или сравнения
Д Т/к + ^к] -ГЬшйг
Д Т-к =д .
При фиксации точки многообразия имеем
= .
Откуда видно, что объект кручения Т]-к не образует тензор.
Утверждение 1. На деформирующемся многообразии Хт объект кручения Т]-к аффинной связности Г,^ не является тензором. Следовательно, аффинная связность на многообразии Хт всегда с кручением, то есть несимметрическая.
На деформирующемся многообразии Хт равенства Т-к = 0 не являются инвариантными, следовательно, они могут выполняться лишь в отдельных точках многообразия Хт.
По аналогии с [3; 6] справедливо
Утверждение 2. Для аффинной связности справедливо разложение
Г1к = -Щк + ¥]к, где У]к = гМ*г,<).
Выражения для кручения и кривизны с учетом тензора деформации у1-к имеют вид
Т}к = _*[/&] + /[/&] =Щк + /[/&], Цк1 = дзУ)[к*ц "Р/рА].
3. Оснащающее подпространство
Введем в уравнения (4]) формы аффинной связности Щ:
где
£ij ^ij + rij£k,
или ¿ij = xlxkdlk + +xfj)sk + xlixkN^kd^. С учетом тензора ft) имеем
% = *xli*xjc(dlk + + .
Векторы £tj удовлетворяют дифференциальным сравнениям
Д|г7- = 0 (mod шк),
значит, совокупность векторов £tj инвариантна (при фиксации точки многообразия). Для многообразия Хт векторы £tj определяют линейное подпространство Е = span((-^j): Е ^Т2Хт,
1 ~ о
-т(т + 1) < dimE <m .
Найдем векторы, принадлежащие пересечению пространств Ё ПТХт :
vk£k = viJiij ^vk£k = viJ(£ij + Г*£fc), vk£k = р4(х1*хкд1к +Xk-£k +*xl*XkN^kd? + Г*£*), vk£k = ^]Щд1к + ViJ(xtj +Гkj)£k + ViJxli*XkN^kd?. В силу линейной независимости £k,dik,d^ получим
V* = уЧ(хк1 + Г*), vVxlxf = 0, v^xlxfN^ = 0. Видим, что система
vk = vijfk, vVxfxV = 0, vijN^k = 0
имеет ненулевое решение. Таким образом, пространства Е и ТХт пересекаются.
Задание аффинной связности в расслоении реперов Ьп2 (Хт) над гладким многообразием Хт эквивалентно оснащению многообразия Хт полем подпространств Е = зрап(ё1]) [8, с. 50].
Несимметричные векторы можно представить в виде суммы кососимметричных векторов и симметричных векторов !((_,■-,:
где
= , (10) = (*/*/) д1к + + Г&)К + .
Альтернирование и симметрирование можно производить под знаком оператора А [8, с. 50]. Значит, инвариантными являются совокупности векторов £[(_/], ё^) и подпространства
Оснащающее пространство Е распадается на прямую сумму подпространств Е[ ] и Е^ ), то есть Е = Е[]@Е( ), размерности которых вычисляются следующим образом [8, с. 50]:
dim£;[ ] = + 1), dim£;(- ) = — 1).
С помощью тензора у^- равенства (10) можно записать короче: ^ ~к
ЧИ) = ^г^ + .
4. Каноническая связность
Равенство нулю тензора у^к = Г/к + х^-к выделяет канониче-
с
скую аффиную связность Г^ = —х'-к. Объект у^к = у!к(х1,Ху)
является тензором деформации от канонической аффинной
с с
связности Г)й к произвольной, то есть у-к = Г1к — Г^.
Теорема. Справедливы следующие свойства канонической
с
аффинной связности Г^ = — Щк •
1 Каноническая аффинная связность является плоской и несимметричной, то есть
с с
Т1к =Щк, Цк1 = 0
Действительно, в силу выражений (7) получим равенство
с
Т]к = м}к, то есть
с
Ъ'к = *L/^fc]дг/•
2.• Задание канонической аффинной связности в расслоении реперов над многообразием Хт эквивалентно осна-
с с
щению многообразия Хт полем подпространств Ё = зрап(ё1]~), дополняющих касательные пространства ТХт до соприкаса-
с
ющихся пространств Т2Хт: ТХт®Ё = Т2Хт [8, с. 49].
с
Для канонической связности Г^ = — Щк имеем у^- = 0, поэтому
с
= 0,
с
= *х1*4(д1к +
3• Равенство нулю ковариантных производных координат х{ векторов £( =х{д]- выделяет каноническую аффинную связность• При этом базисные касательные векторы £( переносятся абсолютно параллельно относительно канонической связности•
Действительно, внося формы связности в уравнения на m
* 1 *
тензоров х(-, ..., х™:
dx( = х]кшк + x]txlika)k,
получим dxf — xJk(tif = xfflka)k, то есть ковариантный дифференциал Vxf и ковариантные производные координат
* 7
xi векторов £( выражаются по формуле
Vx/ = dxj -x^Sf, Vfcx/ = xjflik.
Равенство = 0 имеет место, если у\к = 0, то есть векторы £( переносятся абсолютно параллельно в канонической связности.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
2. Петрова Л. И. Кососимметричные дифференциальные формы: Законы сохранения. Основы теории поля. М., 2006.
3. Полякова К. В. Канонические аффинные связности первого и второго порядков // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2021. Т. 203. С. 71—83.
4. Полякова К. В. О расширении касательного пространства 2-го порядка гладкого многообразия // ДГМФ. 2022. Вып. 53. С. 111—117.
5. Полякова К. В. О строении объекта аффинной связности и тензора кручения в расслоении линейных реперов // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2023. Т. 220. С. 99—112.
6. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 29, № 2. С. 279—290.
7. Рыбников А. К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Математика. 1983. № 1. С. 73—80.
8. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий : учеб. пособие. Калининград, 1998.
9. Belova O., Mikes J., Sherkuziyev M., Sherkuziyeva N. An analytical inflexibility of surfaces attached along a curve to a surface regarding a point and plane // Results in Mathematics. 2021. Vol. 76, № 2. P. 56.
10. Petrova L. Evolutionary Relation of Mathematical Physics Equations, Evolutionary Relation as Foundation of Field Theory. Interpretation of the Einstein Equation // Axioms. 2021. Vol. 10. Art. № 46.
11. Waldmann S. Noncommutative field theories from a deformation point of view // Fauser B., Tolksdorf J., Zeidler E. (eds.). Quantum Field Theory. Basel, 2009.
12. Witten E. Supersymmetry and Morse theory // J. Diff. Geom. 1982. Vol. 17, № 4. P. 661—692.
13. Witten E. A new look at the path integral of quantum mechanics. arXiv: 1009.6032v1 [hep-th].
Для цитирования: Полякова К. В. О связности, кручение и кривизна которой не являются тензорами // ДГМФ. 2023. № 54 (2). С. 29—44. https://doi.org/10.5922/0321-4796-2023-54-2-3.
ПрГ-ф-1П РЕДСТАВЛЕН0 ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ
ЛИЦЕНЗИИ CREATIVE COMMONS ATTRIBUTION (СС BY) (HTTP//CREATIVEC0MM0NS.0RG/LICENSES/BY/4 О/)
MSC 2010: 53B05, 53C05, 58A10
К. V. Polyakova Immanuel Kant Baltic Federal University 14, A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236041, Russia polyakova_@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2023-54-2-3
On a connection with a torsion non-tensor and a curvature non-tensor Submitted on December 21, 2022
This paper relates to differential geometry, and the research technique is based on G. F. Laptev's method of extensions and envelopments, which generalizes E. Cartan's method of moving frame and exterior forms.
A manifold is studied, the structure equations and derivational formulas of which are built using the deformations of the exterior and ordinary differentials. The manifold in question is a deformation of an ordinary smooth manifold. The bundles of non-symmetrical coframes and frames
of the second order on this manifold are examined and an affine connection is given. It is proved that the curvature and torsion of this connection are not tensors. A canonical connection is built. It is shown that the canonical connectionis flat and non-symmetrical.
Keywords: differential perturbation, second order tangent space, nonsymmetrical second order frames and coframes, torsion and curvature objects, flat and non-symmetrical connection
References
1. Laptev, G.F.: Fundamental infinitesimal structures of higher orders on a smooth manifold. Tr. Geom. Sem., 1, 139—189 (1966).
2. Petrova, L.I.: Skew-symmetric differential forms: Conservation laws. Fundamentals of field theory. Moscow (2006).
3. Polyakova, K. V.: Canonical affine connections of the first and second orders. Itogi Nauki i Tekhn. Sovrem. Math. and its App. Theme Reviews, 203:2, 71—83 (2021).
4. Polyakova, K. V.: On some extension of the second order tangent space for a smooth manifold. DGMF, 53, 111—117 (2022).
5. Polyakova, K. V.: On the structure of an affine connection object and the torsion tensor in the bundle of linear frames. Itogi Nauki i Tekhn. Sovrem. Math. and its App. Theme Reviews, 220, 99—112 (2023).
6. Rybnikov, A. K.: Affine connections of second order. Math. Notes, 29:2, 143—149 (1981).
7. Rybnikov, A.K.: Second-order generalized affine connections. Iz-vestia vuzov. Math., 27:1, 84—93 (1983).
8. Shevchenko, Yu.I.: Clothings of holonomic and non-holonomic smooth manifolds. Kaliningrad (1998).
9. Belova, O., Mikes, J., Sherkuziyev, M., Sherkuziyeva, N.: An analytical inflexibility of surfaces attached along a curve to a surface regarding a point and plane. Results in Math., 76:2, 56 (2021).
10. Petrova, L.: Evolutionary Relation of Mathematical Physics Equations, Evolutionary Relation as Foundation of Field Theory, Interpretation of the Einstein Equation. Axioms, 10:46 (2021).
11. Waldmann, S.: Noncommutative field theories from a deformation point of view. Fauser, B., Tolksdorf, J., Zeidler, E. (eds.). Quantum Field Theory. Basel (2009).
12. Witten, E.: Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom., 17:4, 661—692 (1982).
13. Witten, E.: A new look at the path integral of quantum mechanics. arXiv:1009.6032v1 [hep-th].
For citation: Polyakova, K. V. On a connection with a torsion nontensor and a curvature non-tensor. DGMF, 54 (2), 29—44 (2023). https:// doi.org/10.5922/0321-4796-2023-54-2-3.
B.
(Js »SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNDER THE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE EhJ LOMMONS ATTRIBUTION (CC BY) LICENSE (HTTP://CREATIVECOMMONS 0RG/LICENSES/BY/4.0/)
