CC BY
6
УДК 514.76
К. В. Полякова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия polyakova_@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2022-53-9
О расширении касательного пространства 2-го порядка гладкого многообразия
С использованием возмущения внешнего и обычного дифференциалов введены отображения, позволяющие строить несимметричные кореперы и реперы 2-го и более высоких порядков на гладком многообразии. Произведено расширение касательного пространства 2-го порядка к гладкому да-мерному многообразию за счет дополнения касательных векторов 2-го порядка к этому многообразию вертикальными векторами к расслоению линейных реперов над этим многообразием.
Ключевые слова: гладкое многообразие, возмущение дифференциала, деформация дифференциала, касательное пространство 2-го порядка, реперы и кореперы 2-го порядка
Основываясь на применении внешнего и обычного дифференциалов В и й на гладком многообразии Хт, построим расширенный аппарат, позволяющий получить несимметричные формы дифференциальных групп 2-го и более высоких порядков, а также несимметричные векторы касательного пространства 2-го и более высоких порядков.
Поступила в редакцию 21.05.2022 г. © Полякова К. В., 2022
Рассмотрим над га-мерным гладким многообразием Xт главное расслоение касательных реперов Ь( Хт) со структурными уравнениями [3]
йа = с л а,,
(1)
11 к ' к ' аю] =с лск + а л с¡к,
', 1, к = 1, ..., т. Его типовым слоем является линейная группа GL(m), действующая в касательном пространстве ТХт .
Формы инвариантного корепера {а , сС, с^к } относительно натурального корепера {йх , йх,, йх1,к } выражаются по формулам [3]
а' = х'^йх1, *
' к 1 ' 'к а, = — х,ахк — х^а , (2)
' 1 ' I ' ' I ' I / $ ' ' \ I а,к = ах,к + х]каг — х1ка, — хАтк +(х1кх$1 — х]Ы)а ,
где х — локальные координаты точки на многообразии Хт. Слоевые координаты 1-го порядка х, образуют невырожден-
ную матрицу, для которой
Л Л '
х1
— обратная матрица, то есть
х^хк = ¿>к . Слоевые координаты 2-го и 3-го порядков х,, х1к1
симметричны по нижним индексам, в остальном слоевые координаты произвольны и рассматриваются как независимые переменные [3, с. 149].
Вполне интегрируемая система уравнений а' = 0 фиксирует точку многообразия Хт , а значит, и слой расслоения Ь (Хт). Следовательно, касательное пространство ТЬ (Хт)
содержит вертикальное пространство VL(Xm) = [e/], касательное к слою в точке A. Вертикальные векторы имеют вид
ej = -х\д) [14], 5p = д/дхрр е TvL(Xm).
Каноническая форма 1-го порядка с = Csi на многообразии Xm связывает касательное TXm = span (si) и кокасатель-
ное T*Xm = span(C ) пространства к этому многообразию в
его текущей точке. Дифференциальные 1-формы C образуют кобазис, сопряженный к подвижному базису {si}, то есть
а (S)) = S'j. Относительно натурального (голономного) репера
= д / дх1 , д) =д2/ дх dxj | векторы si, sij- раскладываются
по формулам [9; 14]:
* * * *
1 >•> k I ^ k l -л
s = х 1 д 1 , sj = х гх j д kl + ху х kд l . (3)
Слоевые формы интерпретируются как компоненты инфи-нитезимального перемещения векторного репера si, s^, удовлетворяющего деривационным уравнениям [7]
ds = с s) + С s), ds = Cskj + jk + ) + csijk, (4)
которые получены дифференцированием векторов (3).
В силу (1) и (4) дифференциал канонической формы
с = с st равен нулю.
Пространство T2Xm = span(si,sij) в текущей точке многообразия называется касательным пространством порядка 2, а также соприкасающимся пространством порядка 1 [8];
dimT2Xm = -2m(m + 3).
Определим в пространствах T *Xm и TXm деформацию дифференциалов D и d с помощью внешнего поля f = f (х , х^)
и внутреннего поля /г = /г (х ), г = т + 1, т + 5 . Например, /г = А г , „. В общем случае можно рассматривать
^ ^ 1х =1, остальные=0 11
(хг) = (х'у,х'ук,...). В настоящей работе изучим случай, когда значения индекса г нумеруют элементы матрицы (х1), то есть (хг) = (х1), / = /(хк, х.) . Тогда 0 = А . „, то есть в
V ; V ^ ^ \ ^ ■> 1 ■> =1, остальные=0 '
качестве функций / рассматриваются значения функций / = /(х , х') на координатные линиях х',.
1. Деформация внешнего дифференциала Б в Т*Хт
Определение. Отображение 0 определяет возмущение внешнего дифференциала В на многообразии, если В + 0
снова является дифференциалом (В + 0)2 = 0 (см., напр., [10,
с. 8, 92].
Можно называть это возмущение внутренним, или голо-номным.
Определение. Отображение 0 определяет внешнее возмущение внешнего дифференциала В на многообразии, если В +0 является дифференциалом вдоль линии р этого многообразия, то есть (В + 0)2 = 0 .
р
Можно называть это возмущение неголономным. Для дифференциальной 1-формы с имеем (см.: [6])
Вс = Вс + (С/ лс)| 2 ,, (5)
где / = /(х1, хг). Будем называть многообразие деформирующимся и обозначать Хт, а отображение В — внешним дифференциалом на деформирующемся многообразии Хт, или внешней деформацией дифференциала В.
Закон (5) для р-форм имеет вид
Da = Da+ p(df ла)
f = f (x*, x*).
или коротко (см., напр., [1; 11])
D = D + pdf л |лp+ir..
Замечание. В работе [1] рассматривается идея Э. Виттена [16] использовать функцию h, заданную на многообразии, для возмущения внешнего дифференциала d, то есть dta =da + tdh л а, где t — вещественный параметр. При этом
d2 = 0.
Замечание. Выражение, по форме аналогичное (1), встречается у [2, с. 174] в следующей теореме. Пусть Л — тензорная р-форма типа р на главном расслоении H=H(Xm, Gr) со значениями в векторном пространстве VN. Тогда для внешнего абсолютного дифференциала D формы Л относительно связности т на главном расслоении H справедливо
DЛ=dЛ+р*(т)лЛ,
где р*: g ^ gl(V) — гомоморфизм алгебр Ли, отвечающий представлению р.
Найдем деформацию внешнего дифференциала для ковек-торов dx1:
D(dx') = D(dxl) + df л dx1 = дjf dxj л dx' = (ö[kдj f)dxJ л dxk .
Откуда
D(dxl) = NjkdxJ л dxk, Njk = ö{k дj ]f.
Замечание. В работе [5, с. 42; 13] рассматривается внешний дифференциал на деформирующемся многообразии [5, с. 38, 86; 13] со свойством й(йх1л йх1 л ...) Ф0.
л p+1 T *
Для 1-формы с= О'Сх1 справедливо равенство
Вс- Вс = хС л Сх, х'1 = а 1 д' ] / .
р
Отображение 0 = р(С/ лс)
определяет внешнее воз-
р+1Т *
л^ 'Т
мущение внешнего дифференциала В.
Теорема [6]. Справедливы следующие свойства отображения В:
1°. Аддитивность и градуированная косокоммутатив-ность:
^ р р ^ р ^ р ^ р Ч _ р Ч р ^ ч
В(с+ в) = Вс+ Вв, В(сл с) = (Вс) л с+ (-1)р ал Вс.
2°. Обобщенный дифференциал функцииg = g(x',хг), то есть 0-формы, совпадает с ее обычным дифференциалом Вg = dg , т. к. степень р = 0.
3°. Если ю = dg — полный дифференциал функции
г ^ д/ дg
g = g(х', хг), то Во = —:---Сх1 л Сх]. В частности,
° ° у ' ' Л. ' Л. 1
дх дх
В (С/) = 0, В (Схг) = 0.
4°. Если с = а' (х1, хг )Сх', то второй дифференциал дается формулой
В2с = с л Схг л dxj,
где
с =/ дан Схк+с / )а
= Я [ 1 я. к Сх + С (Л [' )а1 ].
дх дх дх
В частности, В2 (а^Схг ) = 0.
Для свойства 3 справедливы вычисления
Рю = Р^) = Р^) + ё/ л dg
дх' дх]
Р/ = Р/ + д 1/ёх1 л с
= 0,
Р(ёх?) = Р(сх4) + д /ёх1 л ёх-
= 0.
Для свойства 4 справедливы вычисления
Рю = р{рю) = Р[ л ёх1 +-д/-ёх1 л ю \ =
дх1
- ' - ' - д/ ' д/ ' -= Р(ёа 1) л ёх - л Р(ёх ) + Р(ёх ) л ю —— ёх л Рю =
дх1 дх1
^ к ' д/ дх1 к
) + \лёх1 -л—-ёх1 л—^ёх +
' ~ ' дх1 дх
дх 1 дх
к д/. , 1 д/ ,/ д/ , 1
+ d(—-)лdx лю+---dx л—-dx лю-
дх
дх 1
дх
д/
д/
—— ёх л (ёа4 л ёх +—— ёх лю) =
дх
дх 1
(
/^ + йа
у дх1 дх удх1) у
Л
л ёх л = юу л dx л dx3,
где юп =
д/ даг ] к
1 -г-—^ёх + ё (—г-)а1. ] — кососимметричные 1-фор-
дх[ 1 дх
'дх[!
мы.
Замечание. В работах [12; 13; 15; 16] рассматривается деформация внешнего дифференциала, которая является дифференциалом при ограничении на некоторое подпространство.
т
т
2. Деформация дифференциала й в ТХт
' ' д
Дифференциал касательных векторов V = уд' = V —- в ба-
дх
зисе {д'} = {д / дх1} определяется по закону
С :у = у'д, е ТХт ^ Су = Су ® д г + уСх] ® д11 е Т2Хт ® Т * Хт.
Аналогично определяется дифференциал касательных векторов V = у£' в базисе {в} [7; 14]:
С : V = у'в' е ТХт ^ Су = Су1 ® в + у'Св'. При этом В (Су) = 0 .
Определение. Внешней деформацией дифференциала касательных векторов у = у'д' назовем оператор С , определяемый по правилу
С: у е ТХт ^ С(у) = Су + с(у(/'^д^, е Т2Хп , /' = /' (хк). Будем считать, что
В (у) = С (у) = Су + С (у(/'))д1\Т,, /' = /' (хк).
Будем говорить, что отображение в определяет внешнее возмущение дифференциала С на многообразии, если С + в является дифференциалом вдоль линии р этого многообразия, то есть (В + 0)((С + в)2(у)) = 0, или формально
р
+ в)
=0.
р
Отображение в(у) = С (у(/1 ))д1
Т
мущение дифференциала С.
1 , * определяет внешнее воз-
Замечание. Отображение С (у(/г))э' * определяет внутреннее возмущение дифференциала С.
В д д
В частности, для касательных векторов д' =—- оператор
дх'
С дает
С(д') = Сдг +(д/рдр)®сх .
Таким образом,
С(д') = (д,- + д р) ® сх,
где коэффициенты Nобъекта ЫуЧрСх'' ® дчр имеют вид
Ы:р =д:/р '1Ч 'Н ч
Происходит расширение касательного пространства 2-го порядка Т 2 Хт с помощью вертикальных векторов
др =д / дхЧр е ГЦХп).
3. Совпадение внешних дифференциалов форм вдоль линий
Дифференцируем формы (21) с помощью В :
Вс = Сх1 л Сх + д/Сх? л с =
* *
/ I ' ' I эх 1 к л г к 1 \
= (-х1-с1 - х^хс ) л хс +дк/ х л с =
*
1 ' 'к I ^ г I 1 ы к
= с л с — хыт л с +д1]хс лос = =с +д1/х1°гк ]ск |
Откуда следует
Рю1 = ю1 лю1 , (6)
=ю1 + К)кюк (К)к =д/х1и 31к ]). (7)
Учитывая (22), найдем
*
— 1 к 1 1 — 1 к ю1 =- х 1ёхк - х1кю ,
где 1 = х1к - N)к, причем х'ик] = 1'¡к.
При фиксации точки многообразия структурные формы ю1, ю1 группы ОЬ(т) совпадают, то есть справедливо равенство
ю1
к =ю 1
ю =0 ■>
Линия р на многообразии Хт задается уравнениями ю' = рю . Параметрическая форма ю удовлетворяет внешнему уравнению Рю = юлю1 , позволяющему найти дифференциальные уравнения на коэффициенты р :
Ар - р юх = рю ,
где Ар = dр + р ю1.
Линия р на многообразии Х т задается уравнениями ю1 = рю , причем Рю = юлю1 и
Ар - рюх = рхю,
где Ар = dр + ра>1.
Очевидно равенство А| * 0 = Аю=0 дифференциальных тензорных операторов А и А при фиксации точки многообразия.
к
ю =0
Утверждение. Вдоль линии р: ю1 = рю дифференциалы Р и Р совпадают, то есть
Р ю 1
= Р ю 1
поскольку Рю' - Рю' = Ы'^кю 1 л юк.
Замечание. Если ю 1 = ёх', то есть х' = 33, то функции (ср.
[4])
*
х)к=-д1/х1Л ]+х)к
остаются несимметричными.
4. Несимметричные векторы репера 2-го порядка
Применим ё к касательным векторам si = х'д ■ (31). По-
лучим
dS'. = х "дj
+ х-К/чд^хк =
= — + хкюjsk -N юjsk + х'хкд 1кюj + х!хкк,крпд Р ю"
Тогда
dsi = ю' Sj + S¡J ю 1,
к 1Л "1,11к^ р1.
то есть Аsi = е^ю, где Аsi = dsг - ю 1sj.
Новые векторы 2-го порядка S11 имеют вид
1—11 = S1J - + х1,хк]Ы1крд 1 = х\х\1д к + + хгхк]Ы1кРЧ д Р
р
р
Т
Симметричные векторы е у (32) определяют касательное пространство 2-го порядка к многообразию Xm, то есть
T2Xm = span (ек, е у ). Новые векторы е у несимметричны и
e[j] = j.
Теорема. Касательное пространство 2-го порядка T2Xm = spa^ek, е у ) = sparlsk, eiy, dp ) деформирующегося многообразия Xm получается дополнением пространства T2Xm векторами дp = 8 / 8xqp е TvL(Xm ).
Замечание. Для построенных дифференциалов справедливо
Da' = Da1 + N'jka л aJ, dei = det + NnpaJ ®8qn.
' 1 U 4 P
Учитывая структурные уравнения (6), формула для внешнего дифференциала аналогична структурным уравнениям в работе [9].
5. Несимметричные формы корепера 2-го порядка
Продифференцируем выражения новых форм (7) с помощью дифференциала D:
ajk +f NSj[kNh]+8sf x ¡¡у ] V
^ ^ i ^ k ^ i , j Day = Vj лак + a л
Здесь и в дальнейшем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Откуда
ВаС = а* л ак + а] л а^, (8)
где
— ' ' , /V
0)к = -Щк + [N^N>1 ] + аsf х ^] I®'.
При фиксации точки базы имеем
лк =
1 = ® ,-к ®'=о ]к
' +в)к
с=0 = л + а их'ь.
Видно, что структурные формы лЛк, л* дифференциальных групп 2-го порядка, действующих в касательных пространствах 2-го порядка
г2 X = ХРаПЯ. ,
Т2Хт = $раг(ак ,аг])
Т2Хт =
5раП{8к, ¿Г , ) = 5раПК8к, , 5Р ),
не совпадают.
Замечание. В работе [4] рассматривается неголономная дифференциальная группа, определенная инвариантными формами, подчиненными лишь структурным уравнениям вида (6), (7) без дополнительных условий симметрии на эти формы.
Формулы (6), (8) аналогичны соответствующим формулам в работе [9].
Рассмотрим альтернирование форм сс :
]=]к ]+в11к ]=+í NN - щл* ] -а лх ^ ]11®1.
Поскольку f = f (х1, х,), то
Щк
= 1 Я' 5 f г! и
с=0=х [ Як ] Шй '
и
Значит, формы ajk несимметричны даже в точке. Получили расслоение несимметричных кореперов на гладком многообразии Xm. Отметим, что новые формы несимметричны даже при фиксации точки многообразия, то есть
a[jk] Ф 0 (mod a k). Замечание. Если f = f (x1), то ANjk t = 0. Тогда
Sj ]| a=0 = 0,
то есть в точке формы ijk симметричны. Получили расслоение симметричных кореперов.
Продифференцируем (6) с помощью D :
D2a1 = DDa1 ) = Daj л aj - aj л Dю1 у =
k ^ j ^ i j i ^ k ^ i , k ^ i \ = a л ak л a у - a л \a> у л ak + a л a jkJ =
j k ^ i j k r,i
= -a л a л a jk = -a л a л 6jk. Таким образом,
r\2 i /V j k
Da = -6jk л a л a , что соответствует свойству 40. Причем 9'[_Jk] ф 0 (mod a i). Вдоль линии p: со1 = p со получаем
D2a1 = 0 .
p
Дифференцируем каноническую форму с = со 8 с помощью й:
йю = йю'е1 - С лс1е1 = С лю']£1 - С л С+ 8 Щ )= лС =
1хкЫ рдч
1Л 11у1кдир
Учитывая симметрию входящих функций и антисимметрию внешнего произведения, получим
1. Аньар Г. Неравенства Морса (по Виттену) / пер. с фр. И. С. За-харевича // Математический анализ и геометрия. Избр. тр. семин. Н. Бурбаки : сб. ст. 1983—1987 гг. М., 1990. Вып. 45. С. 80—101.
2. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975.
3. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1966. Т. 1. С. 139—189.
4. Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях // Матем. сб. 1966. № 69. С. 419—454.
5. Петрова Л. И. Кососимметричные дифференциальные формы: Законы сохранения. Основы теории поля. М., 2006.
6. Полякова К. В. Обобщение внешнего дифференциала с помощью виртуальной функции // ДГМФ. Калининград, 2010. Вып. 41. С. 111—117.
7. Полякова К. В. Тангенциальнозначные формы 2-го порядка // Матем. заметки. 2019. Т. 105, № 1. С. 84—94.
8. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981.Т. 29, № 2. С. 279—290.
9. Рыбников А. К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Математика. 1983. № 1. С. 73—80.
йю = - 1 + х'х'НкРдI С л С ,
к
I к
то есть йщ = 0.
Список литературы
10. Солодов Н. В. Бивариантные когомологии с симметриями : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2003.
11. Ho F.-H. Witten deformation and its application toward Morse inequalities. arXiv:1710.09579v1
12. Petrova L. Evolutionary Relation of Mathematical Physics Equations Evolutionary Relation as Foundation of Field Theory Interpretation of the Einstein Equation // Axioms. 2021. Vol. 10, № 46. doi: https://doi. org/10.3390/axioms10020046.
13. Petrova L.I. Skew-symmetric differential forms. Conservation laws: The foundation of equations of mathematical physics and field theory. M., 2021.
14. Polyakova K. V. Prolongations generated by horizontal vectors // J. Geom. 2019. Vol. 110, № 53. doi: https://doi.org/10.1007/s00022-019-0510-2.
15. Witten E. Supersymmetry and Morse theory // J. Differential Geom. 1982. Vol. 17, № 4. P. 661—692.
16. Witten E. A new look at the path integral of quantum mechanics. arXiv:1009.6032v1.
7=sr-/Tj-(ПРЕДСТАВЛЕНО ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ
"ИЦЕНЗИИ CREATIVE COMMONS ATTRIBUTION (С С BY}(HTTP.ffCREATIVECOMMONS.ORG/UCENSES/BYM.O/)
MSC 2010: 53B05, 53C05, 58A10
K. V. Polyakova Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia polyakova_@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2021-53-9
On some extension of the second order tangent space for a smooth manifold
Submitted on May 21, 2022
This paper relates to differential geometry, and the research technique is based on G. F. Laptev's method of extensions and envelopments, which generalizes E. Cartan's method of moving frame and exterior forms. We consider a smooth m--dimensional manifold, its tangent and cotangent spaces, as well as the second-order frames and coframes on this manifold.
Using the perturbation of the exterior derivative and ordinary differential, mappings are introduced that enable us to construct non-symmetrical second-order frames and coframes on a smooth manifold. It is shown that the extension of the second order tangent space to a smooth m-dimen-sional manifold is carried out by adding the vertical vectors to the linear frame bundle over the manifold to the second order tangent vectors to this manifold.
A deformed external differential is widely used, which is a differential, i. e., its reapplication vanishes. We introduce a deformed external differential being a differential along the curves on the manifold, i. e., its repeated application along the curves on the manifold gives zero.
Keywords: smooth manifold, differential perturbation, deformation of differential, second order tangent space, second order frames and coframes
References
1. Henniart, G.: Les inégalités de Morse. Séminaire Bourbaki, exp. no 617, Astérisque, t. 121—122, 43—61 (1985).
2. Sulanke, R., Wintgen, P.: Differentialgeometrie und faserbundel. Basel (1972).
3. Laptev, G.F.: Fundamental infinitesimal structures of higher orders on a smooth manifold. Tr. Geom. Sem., 1, 139—189 (1966).
4. Lumiste, Yu. G.: Connections in homogeneous bundles. Sb. Math., 69, 419—454 (1966).
5. Petrova, L.I.: Skew-symmetric differential forms: Conservation laws. Fundamentals of field theory. Moscow (2006).
6. Polyakova, K.: Generalization of exterior differential by means of virtual function. DGMF. Kaliningrad. 41, 111—117 (2010).
7. Polyakova, K. V.: Second-Order Tangent-Valued Forms. Math. Notes, 105:1, 71—79 (2019).
8. Rybnikov, A. K.: Affine connections of second order. Math. Notes, 29:2, 143—149 (1981).
9. Rybnikov, A.K.: Second-order generalized affine connections. Iz-vestia Vuzov. Math., 27:1, 84—93 (1983).
10. Solodov, N. V.: Bivariant cohomology with symmetries. PhD thesis. Moscow, 2003.
K.B. noriAKOBa
11. Ho, F.-H.: Witten Deformation and Its Application toward Morse Inequalities. arXiv:1710.09579v1.
12. Petrova, L.: Evolutionary Relation of Mathematical Physics Equations Evolutionary Relation as Foundation of Field Theory Interpretation of the Einstein Equation. Axioms, 10:46 (2021). https://doi.org/ 10.3390/axioms10020046.
13. Petrova, L.I.: Skew-symmetric differential forms. Conservation laws: The foundation of equations of mathematical physics and field theory. Moscow (2021).
14. Polyakova, K. V.: Prolongations generated by horizontal vectors. J. Geom., 110:53 (2019). https://doi.org/10.1007/s00022-019-0510-2.
15. Witten, E.: Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom. 17:4, 661—692 (1982).
16. Witten, E.: A new look at the path integral of quantum mechanics. arXiv:1009.6032v1.
-m-1 SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNDER THE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE
t^lj^l COMMONS ATTRIBUTION (CC BY) LICENSE {HTTP://CREATIVECOMMONS 0RG/LICENSES/BY/4.0/)
