CC BY
4астрономических объектов должно происходить постепенно, по мере изучения необходимых для этого фактов[2].
Таким образом, исходя из основных положений диалектического развития природы и общества, приведенных наблюдательных фактов и доказательств, а также сопоставляя имеющихся взглядов и мнений, можно сформировать действительную картину мира и происходящих в нем процессов, что позволяет эффективно и всесторонне развивать мировоззренческую позицию студентов.
Литература:
1. .Карпенков С.Х.Концепции современного естествознания:- М, Академический проспект, 2006. - 626
2. Бобоев X. Мир астрономии и энциклопедия космоса, (на тадж.яз.): - Душанбе, Маориф, 2010, 181с.
Сведения об авторе: Бобоев Хаёл Бобоевич- доктор исторических наук, профессор, проректор по международным делам Технологического университета Таджикистана. Тел.: (991): 91-867-29-43.
Information about the author: Boboyev Hayol Boboyevich-doctor of historical sciences, professor, vice rector for the international affairs of Technological university of Tajikistan. Ph.: (991) : 91-867-29-43.
УДК 517.512
О СВЯЗИ СТЕПЕНИ СУММИРУЕМОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Ю.Х.Хасанов, М.Г.Ахмадиев
Российско- Таджикский Славянский университет, Казанский национальный исследовательский технологический университет
Пэли [1] доказал, что если /(х) е Ьр , 1 < р й 2 , с 1,с2 ,..., сп ,.. - ее коэффициенты Фурье по ортонормированной системе (рп (х) на [а, Ь ], | срп (х) |й М , п = 1,2,..., а й х й Ь , то
г . 1 17 р Г ь 1 17 р
|гыРпр -21 й Лр ы/|м ,
i п = 1 j i а j
где у1,у2, . ., уп, .. числа |сх |, |с2 \сп , расположенные в порядке убывания и Лр
зависит только от р и М . Если же р > 2 и с 1,с2,..., сп ,... - последовательность чисел, для которой
од
Т. I |р р - 2 п = 1
то существует функция / (х) е £ (а, Ь), для которой числа сп являются
коэффициентами Фурье по системе [фп (x)} и
Г ь Л17 p Г » Л17 р
Ul f ( x )| PdxT < Bp Г »\rn\Pnp - 2 L l a J L n = 1 J
где B зависит только от p и M .
Определение 1. Функцию / (х) называют В (р > 1) - почти - периодической, или
почти - периодической в смысле Безиковича, если |/(х)|р интегрируем на любом конечном отрезке,
1/р
Db {f( X )}=<
p
1 Т 1 . \ p
< да ,
lim - f f ( x ) dx
г —да 2T
и существует последовательность тригонометрических сумм {Pn (х)}
n
Pn(X) = S Ck exP( iÄkXУ' k = 1
для которой lim DBp {f (x) - pn (x)}= о •
B v X J
Bp
n —> да
Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть задан тригонометрический ряд
п
X Ак ехр( гЛкх), (1) где }- произвольное счетное множество
к=1
действительных чисел. Если при некотором р > 2
да
* р = X |Ап|РпР"2 <® , (2)
п = 1
то в пространстве В р найдется функция / (х), для которой ряд (1) будет ее рядом Фурье и
ВВ {/ (х )}< Ср*р р . (3)
П \ |2
Заметим, что, так как из условия (2) вытекает сходимость ряда X \АЛ , то на
к = 1
основании аналога теоремы Рисса-Фишера (см. [2], стр. 252) в пространстве В 2 найдется функция / (х), для которой ряд (1) будет ее рядом Фурье.
Сначала нам необходимо доказать справедливость следующего неравенства
Вв {Рп (х)}< п1/2-1/рВв2 {Рп (х)} (р > 2 ), (4)
Известно, что
n | 1 Т n
Pn (х) = Mt I Pn (х + t) S exp( -iÄkt 1 = lim - f Pn (х + t) S exp( -iÄkt)dt .
k = 1 J T — да 2T -T k = 1
Следовательно,
1/2
max \Pn (x)| < n1/2 ^M { p (х)|2 }j (5)
Тогда
1 T 2 1 T 2 - f pn (x)|p dx < max pn (х)|p--f pn (х)| dx <
2 T x 2 T
_ t X _ T
X
р - 2
Г
< п(р - 2)'2 (м {Рп (х )|2 }) 2 \Р„ (х )|2 ^х .
-т
После перехода к пределу по Т — да получим неравенство (4). Доказательство теоремы 1. При всяком натуральном N рассмотрим сумму
, N +1
2 п +1 -1
S2N +1( х) = X Ак ехр( гЛкх) =ХЛ п , где А п = Л п (х) = X Ак ехр( Пу х).
к = 1
п = 1
к = 2'
Поступая таким же образом, как и в работе [3], (см. [3], стр. 81), при г(г - 1)
г = [ р ] + 1, Я =-находим, что
2
2Т
N +1 (х)
-Т
■, Т
р 1 I*
dх =- Г
2
-Т
N
ХАУ
К = 1
dх <
1 (6)
N N
N
1
Лк,.Лк .
2 dх
Я
< X X ■■■ X п
У1 = 1 к2 = 1 кг = 11 < г < ]< г ^ -Т
Применяя неравенство Гельдера с показателями а = (р + 2) /2 и а' = (р + 2) / р , получим
■ 2 р
2Т
Т р а
Г АиАк 2^ < 1— {
-Т
I
2
Л
И
2 dх
2 р р а 2
Г
-Т
2
Т р + 2
{К) 2 dх
-Т
р + 2 2
После перехода к пределу, при Т — да , будем иметь
Т р
1 .
Ит - /
Т— да 2Т
Л И Л к
2 dх <
< 1т
Т —^ да
Г
2
Т р а
{ ЛИ 2 ^ >
■Т \
2 р
р а 2
Т
р + 2
2
/ |Л К 2 dх
2 р р + 2 2
р а
= 1т 1 Т— да I 2Т
/ Ли 2 Л '
\
2 р
р а 2
11т
Т — да
Т
р + 2
2
{ |Л к | 2 dх
-Т
2 р р + 2 2
или
м
I
ЛИЛк
ра
Л
И
2 р р а 2
2р
■! м \
< м
\ ( I ^
Применяя к правой части (7) неравенство (4), получим, что
р + 2 1Лк1 2
р + 2 2
г
1
т
1
1
1
1
1
» <
>
1
М
АиАу
I ]
и+1)(1 / 2 -1/а) 1/2 _(у +1)(1 / 2 -1/а') 1/2
< у^ • у
_ 2( ^ + 1)( р / 4 - 1 / а)
( Г 2 1)
М "I 1
V 1 J )
4 2(к + 1)( р / 4 - 1 / а')
1 /а')(М к |2 |) 4 . (8) где
У у = 2
_ ,(у + 1)( р / 2 - 1)
(М {|Лу |2 }) 2 = 2
2 I) 2 _ ,(у + 1)( р / 2 -1)
'2у +1 -1
V к = 2
I 1Лк|
у
Так как — = 1 - —, то из соотношение (8) вытекает, что
а
а
Благодаря (6), (7) и (9) имеем
1 N N
М
+1 (х )
М
N
А^Ау
р/2 (1/2-1/а ) 1/2 1/2
\ < 2 1 1 Ум У у . (9)
1/2 1/2
< I I ••• I П \у' У' 2
у - у
' ]
у 1 = 1 у 2 = 1 у „ = 11 < I < / < I
уу
[ ' ]
(1/2 -1 / а ) 1 К
Далее поступая как и в работе [3], находим, что
М ■
N+1 ( х)
N
N
п (р / 2 -1)
(2п +1 -1
й Ср I уп = Ср I 2
п = 1 п = 1
Покажем теперь, что из условия (2) вытекает сходимость ряда
I Л
к = 2'
. (10)
^ 2 п (р / 2 -1) п = 1
Сходимость ряда (11), очевидно, эквивалентна сходимости ряда
р
( 2 п +1 - 1
I Л
к = 2'
(11)
|2
2
N ( да ^
I пр/2-2 I |Лк|
п = 1 V к = п
Используя неравенство (см. [4], стр. 308),
да ( да Л
-с I л
I п
п = 1
'к
V к = п у
й Л I п с (п )5 ,
п = 1
р р I |2
при с = 2 - — < 1, 5 = — > 1, = Л^ , получаем
2 2
I п
п = 1
-(2-р/2)
(
I Л
V к = п
й Л I |Л^п
п = 1
р р - 2
1
Г
2
2
1
2
2
2
2
5
да
да
да
да
2
2
у
Следовательно, в силу условия (2)
M
S2n +1(x )
p |< Cp SNpnp_2 <да .
J n = 1
Из сходимости ряда £ 2
n = 1
n ( p / 2 - 1)
(2n +1 -1
£ Ы
n
k = 2
вытекает, что для любых т, п (т > п)
р
£ 2
k = n
k (p / 2 - 1)
'2k +1 -1
£ A
2
v = 2'
2
— 0
при т — да, п — да , и так как неравенство (10) верно для любого полинома и, в частности, для , т +1 (х) - +1 (х), то при т — да, п — да
~ т +1 (х) - S
„п +1 (х)}— 0 . в р 4 2 2 '
В силу полноты пространства Вр , найдется функция / (х) е Вр, для которой при
n — да
D
B
{f (х) _ S2„ +1(х)}— 0
и, следовательно, для нее будет верно неравенство (3).
Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1 (см. неравенство (10)), условие (2) в ней можно заменить более слабым условием
£ 2
n = 1
n (p / 2 -1)
(2 n +1 -1
k = 2'
< да .
Определение 2. Под ^ - пространством (пространство почти-периодических
функций Степанова) понимается совокупность функций, для которых
1
' х +1
В, {/ (х )}= '
J \f(t)pdt
< да
и можно указать последовательность тригонометрических сумм {Рп (х)}
Pn (X) = £ Ck exp( Икх) (12) k = 1
таких, что lim Ds {f (х) - Pn (х)} = 0 .
n — да
Теорема 2. Пусть задан ряд (1), где Л } - последовательность чисел, удовлетворяющая Лп +1 - Лп > а при некотором а > 0 для всех п .
Если выполнено условие (2), то в пространстве , (р > 2) найдется функция / (х), для которой {Ак } будут ее коэффициентами Фурье и имеет место оценка
да
2
m
2
да
2
k
х
х
n
D S „ {f ( * )}< C, • а1, Р
Схема доказательство теоремы 2. Можно показать, что для любого полинома (12) при выполнении условия Лп +1 - Лп > а имеет место
1
Do {Pn (х)}< A • n 2 p
1 1
-n 2Ï2
X \Ck\
v k = 1
Далее используя тот же метод, что и при доказательстве теоремы 1, найдем
DSp {Pn ( * )}* Cp ^ Р ' Р ■
В силу полноты пространства S получим утверждение теоремы 2.
Аналоги теоремы 1 и 2 в равномерной метрике целыми функциями получены автором [5].
Литература:
1. Paley R. Some theorems on orthogonal functions, St.M., 3, 1932, 205-208.
2. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1947.
3. Timan M.F. Analysis Math., t.4, 1978, 75-82.
4. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948.
5. Хасанов Ю.Х. Известия вузов. Математика. № 12, 2011, 64-70.
О СВЯЗИ СТЕПЕНИ СУММИРУЕМОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Ю.Х.Хасанов, М.Г.Ахмадиев
В работе приводятся результаты, которые обобщают теорему Пэли для почти -периодических в смысле Безиковича и Степанова функций по произвольной тригонометрической системе.
Ключевые слова: почти-периодические функции, ряд Фурье, коэффициенты Фурье, степени суммируемости, сходимость ряда.
ABOUT RELATIONSHIP SUMMABILITY AND FOURIERS COEFFICIENTS OF
ALMOST PERIODIC FUNCTIONS
Yu.Kh.Khasanov
This work highlights the results, generalizing Paley theorem for almost periodic functions according to Bezicovitch and Stepanov on arbitrary trigonometric systems.
Key words: almost periodic functions, Fourier series, Fourier coefficients, relationship summability, series convergence.
Сведения об авторах: Хасанов Юсуфали - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной технологии Росийско-таджикского (Славянского) университета. Тел.:(991) 93-500-40-86
М.Г.Ахмадиев - аспирант Казанского университета, тел.: .:(991) 93-500-40-86
Information about the authors: Chasanoff Yusufali - the candidate of physical and mathematical sciences, the associate professor of information technology of Rosiysko-tadzhiksky (Slavic) university. Ph.: (991) 93-500-40-86
M.G.Akhmadiyev - the graduate student of the Kazan university, ph.: . : (991) 93-500-40-86
