О связи режимов динамического гашения колебаний со структурой системы внешних воздействий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621: 534; 833 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., проф., ректор ИрГУПС, тел./факс: 83952638311 Елисеев Сергей Викторович,

д. т. н., проф., директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования, тел./факс: 8-395-2-59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

О СВЯЗИ РЕЖИМОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СО СТРУКТУРОЙ СИСТЕМЫ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

A.P. Khomenko, S. V. Eliseev

ABOUT CONNECTION BETWEEN REGIMES OF DYNAMICAL ABSORBTION AND STRUCTURES OF SYSTEMS OF EXTERNAL FORCE FACTORS

Аннотация. Рассматриваются дополнительные связи в системах динамического взаимодействия, которые могут быть получены путем введения нескольких внешних силовых факторов. Показано, что использование передаточных функций механической колебательной системы является эффективным средством оценки возможностей изменения статических и динамических свойств в задачах вибрационной защиты.

Ключевые слова: виброзащита, приведенные жесткости, режимы динамического гашения, устойчивость.

Abstract. Influence of additional ties which can be introduced by combination of several external force factors is considered. Using of transfer functions for mechanical oscillation systems for estimation and change of statical and dynamical properties in tasks of vibroprotection is offered.

Keywords: vibroprotection, generalized stiffness, regimes of dynamical absorbtion, stability.

Введение

Динамическое гашение колебаний в виброзащитных системах можно отнести к вопросам, внимание к которым не ослабевает в течение многих лет, инициируя поиск и разработки новых способов и средств защиты машин, оборудования, приборов и аппаратуры от вибрационных воздействий [1-4]. В большинстве работ рассматриваются условия динамических взаимодействий между отдельными элементами системы, сопровождающихся компенсацией силовых факторов, что при фиксированных частотах гармонических внешних

возмущений обеспечивает неподвижность по одной из координат механической системы. Однако такие подходы не исключают расширения представлений о формах динамических процессов, например одновременного гашения по двум и более координатам виброзащитной системы [5, 6]. Настройка динамических гасителей колебаний обеспечивается, как правило, соответствующим выбором параметров самой системы, состоящей из упругих и инерционных звеньев. Вместе с тем существуют и другие возможности, связанные с учетом особенностей построения самой системы внешних возмущений, что предполагает возможности использования эффектов взаимного силового уравновешивания всей системы динамических воздействий [7]. В предлагаемой статье развиваются подходы, позволяющие ввести в рассмотрение при определении свойств механических колебательных систем при статических и периодических нагрузках особенности внешнего возмущения. Предполагается возможность введения понятия о комбинационном внешнем воздействии, при котором несколько внешних силовых факторов могут быть объединены в одну структуру, отражающую одновременно и геометрические особенности внешних сил. Для оценки статических и динамических ситуаций используются передаточные функции системы (ПФ). В работах [4, 8] показано, что знаменатель передаточной функции - характеристическое уравнение является, в определенном смысле, инвариантным в отношении выбора пар точек «вход-выход» и учитывается для нахождения частот собственных колебаний, оценки устой-

(1)

чивости системы и др. Специфика задач виброзащиты и виброизоляции заключается в том, что, как правило, динамическое состояние связано с обобщенными координатами положения объекта, которые являются «выходными сигналами», а «вход» представляет собой смещение основания (кинематическое воздействие) или силу, прикладываемую к объекту защиты или фрагментам виброзащитной системы («силовое воздействие»). Отношения выходных и входных сигналов могут иметь различную физическую природу, а следовательно, и размерность: отношение выхода в виде смещения к силе, как входному сигналу, характеризует податливость виброзащитной системы (ВЗС) в данной точке, инверсия отношения определяет упругие свойства (жесткость). Последнее дает возможность ввести в рассмотрение понятия динамической и статической жесткостей. Динамическая жесткость определяется через соответствующую передаточную функцию системы и является комплексной величиной, а характеристики динамической жесткости зависят от частоты внешнего воздействия. По-существу, механическая система между основанием и выбранным объектом защиты, состоящая из различных звеньев, в том числе из расширенного набора типовых элементов [1], может рассматриваться как обобщенная пружина.

Аналогично может рассматриваться и ситуация в статике, когда в передаточной функции (ПФ) принимается р = 0 (р = ]о — переменная Лапласа) и оценивается статическая жесткость или коэффициент упругости для данной пары выбранных точек «вход-выход». Если в системе имеется несколько степеней свободы, то коэффициент упругости (или жесткости) может определяться не только в точке приложения силы, пару соответствия могут составить любые две точки, что предполагает в системе возможность оценивать различные виды коэффициентов упругости.

Методологические основы подхода. Постановка задачи исследования

Рассмотрим несколько примеров. На рис. 1 приведена расчетная схема цепной системы с двумя степенями свободы.

Система дифференциальных уравнений движения имеет вид [ 1 ]:

щу\ + КУ\ + л - к2У2 = <2\, ЩУ2+к2У2+к2У1=Я2-

Соответствующая (1) структурная схема представлена на рис. 2.

02

m

A,

У2

У1

ki m1

Рис. 1. Расчетная схема цепной виброзащитной системы ( у, у — обобщенные координаты; к^, к2 — упругости пружин; т, т2 — массы элементов ВЗС)

ko

01

k + k^^^T

1 2 a mip

-1

У1

о- kn

-1

0

a m2 p

У2

Будем полагать, что особенность системы заключается в том, что между внешними силами а и О существует связь, определяемая соотношением а =а02 или а = 0, 02 = Оа. (2)

Здесь а— коэффициент связи между силами (может быть положительным и отрицательным). Запишем передаточные функции системы для возможных пар «сила - смещение»:

W ( p) = А = Z = m2Р + k2(1 + а) 1 01 0 A '

W2 (p) = а(m1P2 + k1 + kl)

0

Ao

(3)

(4)

где

£

(5)

A0 = (m1P2 + k1 + k2 )(m2P2 + k2) - k2 характеристическое уравнение.

Полагая, что p = 0, 0 = const, 0 = const, а изменяется в пределах от 0 до некоторого значения 0. Точки приложения сил 0 и 02 на рис. 1 и 2 обозначены как точки A и A2. Если 0 приложена в точке A и точка наблюдения совпадает с точкой приложения силы, то £п определится из передаточной функции (3), тогда

k1

k11 =

1 + а

(6)

2

k

2

Если сила 61 приложена в т. А1, а наблюдается точка А, то приведенная жесткость к12 может быть найдена из следующих соображений.

Система имеет два входных сигнала 61 и

62, поэтому

= + ^02, (7)

при этом

Ж ' = __^2_= к2.

1 61(62 = 0) А,

Ж'=

62(61 = 0) Так как у2 = у2 + у2, то

тхр2 + кхк2

АО

_к201 + 62 (т1Р + к1 + к2)

У2 = А

к12 ='

к1к2

к1к2

к22 = '

к1к2

к1к2

У1

т р2 + к9 у

2 2 • окончательно 41 =

6

61(62 = 0) А

(тр2 + к7 )а + к7 п , к,

2 —, откуда при р = 0 к21 =—-

кп = кх; из выражения (12) - к12 = ; из (12'), с учетом того, что в знаменателе один член к ухо-

дит, получим к22 =

(8) (9)

(10)

к^2 , а к21 = к1. Таким обра-

к + к2

зом, если сравнить результаты с данными в [7], то с учетом одноканальности внешнего воздействия в [7] представленные в настоящей статье результаты можно рассматривать как обобщение, приводимое к ранее полученным данным. II. Динамические свойства цепных систем

Из выражений (3) и (4) можно получить режимы динамического гашения колебаний: по координате у1

2 (а + 1)к

2 .

I. Статические взаимодействия в цепных системах

С учетом соотношения (2) получим

у2 = к2 +а(к + к2) (при р = 0) (11)

6 к1к2 Приведенная жесткость к12 в конечном итоге определится:

т0

по координате у2

2 ак1 + к2(1 + а) (к1 + к2) + к2/ а

ю

2 дин

атл

тл

по координатам у2 - у1

ю

\У2 - У1) дин

к

(13)

(14)

(15)

-• (12)

к2 +а(к1 + к2) 2к1 + (1 + а)к2

Если сила 6 приложена в точке А2, то приведенная жесткость в точке А имеет вид (при совпадении точки приложения силы и точки наблюдения), исходя из (4):

- (12')

к2 +а(к1 + к2) к1а -к2(1 + а)

то есть к и к совпадают. При силе 6 , приложенной в точке А2 и точке наблюдения А аналогично, у = у + у", где у1 = Ж11162 + ЖУ6ь в

свою очередь, Ж111 = =—У-=—• =

62(61 = 0) А'

А 1 * 21 1 + а

что совпадает с выражением (6). Таким образом, в данном случае к11 = к21, к22 = к12 . Полученные результаты, на первый взгляд, не совпадают с данными, приведенными в статье [7], однако, если в [7] принять, что для определения к11 и к12 было принято: а = 0, а при вычислении к22 и к21 было взято 61 = 0, а 62 = 6(а = 1), то из (6) следует

Таким образом, рассмотрение расчетной схемы на рис. 1 с учетом групповых или комбинационных связей между внешними силовыми воздействиями вносит существенные изменения в представления о динамических свойствах системы; в частности, частота динамического гаше-нияпо координате у становится зависимой от а , которое, в свою очередь, может изменяться в пределах (—ж<а<ж) (во всяком случае, а может принимать положительные и отрицательные значения). Кроме того, при двухканальном возмущении появляется возможность получать и другие режимы динамического гашения. В этом плане использование или учет групповых или комбинационных свойств силового возмущения (в данном случае физический смысл заключается в реализации двухканального входа) представляет собой способ управления динамическим состоянием системы вибрационной защиты объекта. Ряд интересных исследований в этом направлении получил отражение в работах [9-10].

Если рассматривать цепные механические системы с большим числом степеней свободы, то методическая основа исследований остается той же, однако, исходная система может рассматриваться уже с тремя входными сигналами при соответствующем установлении связей с сигналом, который будет считаться основным; к примеру, при трех внешних воздействиях 61, 62, 6з можно

OA = I";

y, р, y1, y2 — обобщенные координаты объекта в неподвижной системе координат; кх, к2 — упругости, M, I — массоинерционные параметры. Используя обычные приемы, составим систему уравнений движения в координатах y и y2 :

ад+ai2y2 = Q" ад+^22y2 = Q", (16)

где Q", Q" — обобщенные силы, соответствующие координатам y1, y2 ;

an = (Ma2 + Ic2)p2 + к, a12 = (Mab—Ic2)p2, (17)

ai2 a21,

a22 = (Mb2 + Ic2)p2 + к2 .

В выражении (17) приняты следующие обозначения и соотношения:

к

a = -

к +12

b = -

к

1

к +12

С =-

к + к

(18)

У = Уха + У2b, ( = е(У2 — Уl),

У = У — ( Ул = У — l"(, уАъ = У + Г у.

Обобщенные силы О" и О" в (16) зависят от выбора системы обобщенных координат и мест приложения силовых факторов.

1. Выберем систему координат у и у и используем подходы, изложенные в работе [7], перенесем в точку О (центр тяжести) параллельно самим себе силы а и а, что

А

Л

полагать, что рассматривается групповая или комбинационная система 21; 02 = Оа ; 03 = 01 //. Коэффициенты а и / имеют особое значение при равенстве нулю, поскольку система в этом случае переходит в иное состояние - меняется число внешних каналов.

Система с двумя степенями свободы барачного типа

В транспортных подвесках в качестве базовой модели часто используется система с двумя степенями свободы. Рассмотрим схему на рис. 3, где точки наблюдения (т. А1 и А3) вынесены за пределы твердого тела.

Примем для дальнейших расчетов ряд обозначений: ОА = I, ОА = и, ОА = /',

сформирует силу О0 = 01 + 02; одновременно относительно точки может быть сформирован момент сил М0 = О}' — 04". Запишем суммы работ на виртуальных перемещениях для систем координат У1 и У2 (силы а1 и а2 соответственно) и для у и у.

ёуОо + 5(рЫо = ёуО + 5у2<2" . (19) Примем, Оо = 01 (1 + а); (01 = О), при этом О2 =а&, М = 01" — а01" = 0(1" — а1 ") = 01"(1 — а/3),

I "

где / = —. Таким образом, в системе коорди-

II

нат у и у обобщенные силы определяются:

Оо = О (1 + а),

М о = 01' (1 — а/), где а, / — коэффициенты, которые изменяются в пределах от —да до , переходя через 0. Отметим, что случай / = 0 и а = 0 рассмотрен авторами в [7]. Используем (18) и (19) и получим

8уа0{1 + а) + Зу2Ь0(1 + а) + её у 2 01' (1 — а/) — —Зу1е01' (1 — а/) = ёу1 [0а(1 + а) — е1 0(1 — а/) + ёу" ]х

х [Ь0(1 + а) + еО1' (1 — а/)] = ёу& + ёу2О3, откуда

01 = 0(0(1 + а)) = е1" (1 — а/), (21)

О" = 0[Ь(1 + а) + е1' (1 — а/)]. (22)

В соответствии с [11], между обобщенными силами и координатами в (16) существуют зависимости

(20)

T_Q 0 a22 — M0a12 y _ Л _ ,

—Q0a12 + Ma11 A ' Q1a22 — Q2a12 A ' —Q1a12 + Q2a11 A

р =

yi =

y2 =

(23)

(24)

(25)

(26)

\\\\\\\\

\\\\\\\\\

Рис. 3. Расчетная схема системы для определения её статической устойчивости

где ап, ^22, а12 = а21 Для (25), (26) определяются из (17); для (23), (24) имеем соответственно

а11 = Mp2 + k + k2, а12 = а21, а22 = Ip2 + k^ + k2/i2;

A = (Mp2 + к + k2)(/p2 + +kl + k£)-(kjlj -k2l2)\,

Уа =-

Ao

+1 Q(1 + а)а12 - Q(l' )2(1 -а)3 ап .

A

Wa ( P) = ^ =

-(l ' )2(1 -а)3 ап +

Ao

+1'[(1 + а)аи - (1 - aß)^2 ] + а22(1 + а)

Из числителя (30)

- (l 'f(1 - aß)(k + k ) +1'x x[a(1 + ß)(k2l2 -kl)] + (1 + a)(k£ + k2l2) = 0

или

a)

Q

(Ic2 -МаЬ)p2

T"

(mМа2 + Ic )p

-1

(Ic2 -МаЪ)рг

К

У1

О- k,

iL

Q2

fh2 j. 1ггЛпг

-1

lk

У 2

(l')2 -1

шшт

,а(1 + ß)(k2l2 -Kk)

(1 -aß)(kl + k2) (1 + a)(kj2 + k2l\)

(32)

= 0.

(27)

(28)

A = [ (Ма2 + Ic2) + k ]x

x[(Mb2 + Ic2)p2 + k2] - (Ic2 -МаЪ)2.

Структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления приведены для систем обобщенных координат yx, y2 и р соответственно на рис. 4 а, б.

Полагая, что сила Q приложена в точке A, координата движения которой обозначается y^, запишем, что

Уа = У -1'(Р) (29)

и найдем y и р из выражения (18).

Используем (23) и (29) и получим в более общем случае:

Q(1 + а)а22 - Ql'(1 - aß)al2 +

(1 -aß)k + К)

Решение квадратного уравнения (32) имеет вид: [а(1 + ß)(k2l2 - k111)]

l2 = (l' )2 =-

Led (l )1,2

2(1 -aß)(k + k2)

i

[ ] (1 -aß)k + k2)Ц (1 + a)(k,l2 + k2ll)

(33)

(29')

b (30)

р(1 — ар)2 к + к2 )2 Для (I')2 получим одно положительное решение, то есть положительное число, откуда может быть найдено ±1, которое можно назвать критическим. Если сила 6 прикладывается в точке А, отстоящей от центра тяжести на величину I' или —I', то податливость системы в этой точке будет равна нулю. В выражение (30) можно подставлять значения I' = 0,1' = I, а также I' = —/2 — и получать соответствующие значения податливостей и приведенных жесткостей в точках О, А, А .

Например, при I' = 0 для определения податливости получим:

_ Уа = (1 + аХк11? + к£) 6 (I'=6) Кк(к + к) , ( )

а для приведенной жесткости соответственно к к1к2(11 + \2)2 пр (1 + а)(кх12 + кД) В свою очередь, примем, что I' = ¡х, используем (30):

(35)

(31)

б)

Qo

k1 + k2

k\l\ k2l2

A

mp2

-1

Mn

i

OH ktf + kl1

j L

-1

K

Рис. 4. Структурные схемы, соответствующие расчетной схеме системы на рис. 1: а) для системы координат у, у2 ; б) для системы координат у и ср

kl - U.

1 "22

k

A1

2

W (p )^~УА

-/2(1 -а/)(к + к2 ) +

ША + 4)2

пусть / = -/2:

у (/2) (к + к2 )(1 - а/) - /2ааи - а/а1212

Q

А)

_(к/2 + к2/22)(1 + а) _

= А) "

а//(к/2 + к//2) + а (к/2 + кх/х/2)

к,, =

аЦ2 (1 + /) + а(/2/ + /2);

при / = -/2

к„„ =-

к2(/1 + hf \/2 а(1 + /) + а(/2 + /а2)

Q(/' = /1) ША + /2 )2 "' +/1 [а(1 + /)(к2/2 -кА)] + (1 + а)(к1/12 + к2/2) = (36)

_ кг//га(1 + /) + а(к2/2 + /к2/2)

/'=L >

а(1 + /)(к2/2 - к/ )

(1 -а/)(к + к2 ) Режимы динамического гашения могут быть получены при p Ф 0 из выражений (23)-(26) путем соответствующих преобразований. Например, по координате у из (23) общее выражение принимает вид:

у _ (1 + а)(1р2 + к/2 + к/22) -

Q ~ :

кк2(К + к)2

-(к2/ 2- к/)/' (1 -а/)

(40)

(37)

при /[ = 0, когда сила прикладывается к центру тяжести,

(к1к2)(11 + /2)2 _ к^¡2а(1 + /3) + к!а(¡2 + /¡2)

= (к,к2)(1, + ¡2 )2 "

Приведенная жесткость системы при приложении силы 0 в т. I будет определяться

к(1 + ¡2 )2

2 _ (к/2 + к/22)(1 + а)

^¿Ш т '

(41)

(38)

(39)

Если подставить в (30) I' = 1.5, определенное

из уравнения (32), то приведенная жесткость в точках I' = ¡.д и I' = -¡.д будет равна ж . Для приближенного определения ¡.д можно записать условия, используя (32):

Развивая аналогичный подход, можно получить необходимые соотношения и для других случаев приложения силовых факторов, когда силы будут ориентированы на точки приложения, определяемые ¡' = ^ и ¡' = ¡2- В табл. 1 приведены необходимые данные.

Приведенные жесткости (и приведенные податливости) определяются таким же образом, поскольку для расчетов частот динамического гашения и жесткостных параметров используется одна и та же передаточная функция (перемещение по силе). В этом случае предельное значение приведенной жесткости на плече можно рассматривать как формирование состояния равновесия, при котором система проявляет возможность поворота вокруг точки. Отрицательное значение к связано

с представлениями о потере статической устойчивости. Полученные соотношения определяют, как

Таблица 1

Квадратные частоты динамического гашения

№ п/п Расстояние Центр тяжести (у) Угол поворота (ф) Координата у Координата у2

1. /' = 0 к /2 + к/2 I Режим отсутствует к2 к1

Ic2 + Mb2 Ма2 + Ic2

2. /' = /; к, /2 (1 + а) + /2(1 -/) + к [/ (1+а)-/ 2(1 -а/]- к [а(1 + а) - c/l (1 -а/] к [b(1 + а) + c/l (1 -а/]

+к [42(1 -а) -/ /2(1 -а/)] - к [/3 (1 + а)-/ 2(1 -а/)] Ic2 (1 + а) - Mbc/l (1 -а/) Ic2 (1 + а) + Мао\ (1 - а/)

I (1 + а) "' -М2(1 -а/)

3. 1' = -12 к [/2(1 + а) -///2(1 -а/\ + к [/ (1+а)+/(1 -а/]- к [а(1 + а) + c/2 (1 -а/] к [b(1 + а) - c/2 (1 -а/]

+к [/2(1 + а) + /22(1 -а/)] - к [/2(1 + а)-/ 2(1 -а/)] Ic2 (1 +а) + Mb(1 -а/) Ic2 (1 + а) - Mbc/2(1 -а/)

I (1 + а) ''' М\

показано на рис. 3, границы возможной области изменения параметров системы внешних воздействий.

Заключение

Таким образом, при действии на виброзащитную систему нескольких сил при установлении между ними некоторых соотношений между величинами сил и геометрическими параметрами их приложения могут возникать ситуации расширения возможностей настроечных процессов. Учет особенностей системы внешних воздействий находит отражение в соотношениях, которые определяют, в частности, режимы динамического гашения колебаний, позволяя тем самым изменения границ частотных интервалов для эффективной виброзащиты. Поскольку параметры внешних сил входят в числитель передаточных функций системы, то параметры внешних силовых факторов оказывают влияние и на форму амплитудно-частотных характеристик, создавая основу для решения задач динамического синтеза.

Расширение набора настроечных параметров обеспечивает возможности новых направлений синтеза, в которых определенные условия накладываются одновременно на режимы динамического гашения по нескольким координатам виброзащитной системы. Такие ситуации можно рассматривать как проявление групповых или связанных режимов динамического гашения, а также как и одну из форм в подходах рационального конструирования виброзащитных систем.

При нескольких одновременно действующих факторах часть из них является внешними возмущениями, параметры которых могут быть заранее определены путем соответствующих измерений. Другие факторы могут быть сформированы искусственным путем, что требует разработки специальных средств формирования дополнительных сил, прикладываемых в соответствующих точках виброзащитной системы. Отметим, что предлагаемый подход в задачах виброзащиты и виброизоляции машин, оборудования и аппаратуры по сущности своей очень близок к тем направлениям изменения динамического состояния механических колебательных систем, которые связаны с уравновешиванием и балансировкой вращающихся объектов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Ден-Гартог Дж. Механические колебания. М. : Наука. 1962. 530 с.

2. Коренев Б. Г., Резников П. М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. М. : Наука, 1963. 535 с.

3. Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск. : Наука. Сиб. отд-ние, 1982. 212 с.

4. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties / Irkutsk State University of Railway Engineering ; Eliseev S. V., Lukyanov A. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. Irkutsk, 2006. 310 p.

5. Ермошенко Ю. В. Управление вибрационным состоянием в задачах виброзащиты и виброизоляции : дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. - Иркутск: ИрГУПС, 2002. 185 с.

6. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Трофимов А. Н. Задачи динамического гашения колебаний как задачи введения обратных дополнительных связей в управлении состоянием // Информационные и математические технологии в науке и управлении : тр. XVI Байкал. Всерос. науч. конф. Т. 2. Иркутск, 2010. С. 7-16.

7. Елисеев С. В. Ермошенко Ю. В., Гордеева А. А. Приведенная жесткость и передаточная функция виброзащитной системы при стационарных и периодических воздействиях // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 1 (29). С. 74-80.

8. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко, А. А. За-сядко. Иркутск. : Изд-во Ирк. гос. ун-та, 2008. 523 с.

9. Банина Н. В. Структурные методы динамического синтеза колебательных систем с учетом особенностей физических реализаций обратных связей : дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Иркутск : ИрГУПС, 2006. 196 с.

10. Пат. 56858 Российская Федерация, МПК6 A1, B 60, L 9/00. Устройство для управления состоянием объекта защиты / Хоменко А. П., Елисеев С. В., Гозбен-ко В. Е., Банина Н. В. ; заявитель и патентообладатель Иркут. гос. ун-т путей сообщ. № 200611367/22 ; заявл. 21.04.2006 ; опубл. 27.09.2006, Бюл. № 27. 5 с. : ил.

11. Дружинский И. А. Механические цепи. Л. : Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1977. - 242 с.