О СВОЙСТВАХ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА И.И. ПРИВАЛОВА В КРУГЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О СВОЙСТВАХ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА И.И. ПРИВАЛОВА В КРУГЕ

Е.Г. Родикова

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского»

В работе установлено свойство корневых множеств функций из класса И.И. Привалова Пд (0 < q < 1) в круге, а именно найдено необходимое условие, близкое к достаточному.

Ключевые слова: класс Привалова, нули, единичный круг.

Пусть С - комплексная плоскость, Б - единичный круг на С. Символом Н(Б) будем обозначать множество всех функций, аналитических в Б; X/ - множество всех нулей

функции /, О - множество всех измеримых положительных функций на (0,1], для которых существуют числа то, до из (0,1] и Мо , такие что (см. [5, с. 10])

о (Ли) г ,

Мо, и е (0,1], Ле[до,1].

о (и )

При всех 0 < д < рассмотрим класс И.И. Привалова (см. [2])

Пд = [/ е Н(Б) : вир £( 1п + | /(геЮ) \)4 ёв

....... < ;

. 0<г<1

где 1п + а = тах{1п а,0}, а > 0.

С помощью неравенства Гёльдера нетрудно доказать цепочку включений:

Пд(д > 1) с N СПд(0 < д < 1). (1)

Здесь N = П1 - класс Р. Неванлинны, хорошо известный в научной литературе. Из (1)

следует, что корневые множества функций из класса Пд (д > 1) полностью характеризуются

условием Бляшке (см. [6]). Вопрос о характеризации нулей класса Пд (0 < д < 1) до сих пор

открыт. В работах [2]-[4] были исследованы некоторые свойства корней функций из указанного класса. В работе Ф.А. Шамояна [3] найдены необходимое и достаточное условия на нули функций, расположенные в углах Штольца. В этой заметке мы также установим свойство корней функции из класса Пд (0 < д < 1) , а именно установим необходимое условие

на нули функции из класса Привалова, близкое к достаточному.

Всюду далее, если не оговорено иное, будем считать, что 0 < д < 1. Через

С (.. ), с2 (.. ), . .,с] ( . ) будем обозначать положительные константы, зависящие от (...),

значения которых несущественно. Справедлива

Теорема. Если {г^ } = X/, / - нетривиальная функция из Пд, то

£о(1-Ы )(1-Ы )2 <+^, (2)

к=1

где а> е С® (0,1]ПГ2 удовлетворяет следующим условиям:

1 ор (и) ,

\ ижрё" <+", (3)

0 и

.. C(t) ■ t ас - lim——— > -1. tc(t)

Доказательство. Наметим основные этапы доказательства. Пусть со удовлетворяет условиям (3), (4).

Не ограничивая общности, можно считать, что f (0) -1. По формуле Иенсена имеем:

(4)

Г^г <— \ 1п+ | /(гвф) | йф

0 -л

Умножим обе части неравенства на функцию гэ(1 - г) и проинтегрируем по г е [0,1). Возведем обе части получившегося неравенства в степень q и рассмотрим интеграл в правой его части.

( „ 1 л Л9

I -

— fc(1 -r) f ln+ | f (rei<p) | dy

'7Г J J

V 2— 0

Затем зададим диадическое разбиение единичного круга:

л i ni 1 1 —К — + 1)"

Ak l =[z Л--< z < 1--17Г — < afgz <—+-

l = -2k,2k -1, k -1,2,...

Имеем:

I -

+» 2k -1

\q

£ £ f c(1-1 z|)ln +|f(z)|d^(z)

k-01=-2k Ak,

откуда

I <

£ max (ln + | f (z) |) ■ c(1-1 zkj |> | Ak,i

„ 7сД , , V /

\q

К k-0 zeA k ,i

где I - центр криволинейного прямоугольника А^ /. Но, как установлено в [5] (см. с. 39), Поэтому

q | Ak,i |< (1-1 zk,i |)2 < С2(1-1 z |)2, с(1-1 zk,i |) < сзс(1-1 z |).

I < Cq £ max (ln + | f (z) | ) cq (1-1 z | )(1-1 z | )2q.

, „zpAt ,' '

Продолжим оценку:

k-0 zeA k ,i

1 —

I < cq ffcq (1 - r )(1 - r)2q-2 (ln + | f (reiy) |) dyrdr. 0 -—

Таким образом, имеем:

(\ г ^

-^гёг 0 ' у

Так как / е П^ и ввиду условия (3), получаем:

f®(1 - r) f -^-^dtdr < sup f (ln + | f(rei(p) |) dyxf®q (1 - r)(1 - r)2q-2 dr. 10 0 t ) 0<r<1 — 0

1

J - fc(1 - r)f n(t)dtdr

0 0

Дважды проинтегрировав по частям, получим:

< +ГО.

r

J >| _v)dvdu

значит, сходится ряд

1 1 ^

dn(r),

V ru J

1 1

-v)dvdu <+сю. (5)

k=1 rk u

Используя условие (4) теоремы, нетрудно убедиться в том, что

1

J 0)(1 - v)dv = O (ю(1 - u)(1 - u)), u ^ 1 - 0.

u

Поэтому (5) эквивалентно

1

-u)(1 -u)du <+го. (6)

k=1 rk

В свою очередь, (6) эквивалентно (2). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 18-31-00180 мол-а.

Список литературы

1. Привалов И. И. Граничные свойства однозначных аналитических функций - М.: Изд. МГУ, 1941. - 206 с.

2. Родикова Е. Г., Шамоян Ф. А. О нулях аналитических классов И.И. Привалова // Материалы 16-й Саратовской зимней школы. - Саратов: Научная книга, 2012. - С. 141 - 142.

3. Шамоян Ф. А. О некоторых свойствах нулевых множеств функции из класса И. И. Привалова в круге // Зап. Научн. семин. ПОМИ. - 2019. - Т. 480. - С. 199 - 205.

4. Шамоян Ф. А., Беднаж В.А., Приходько О. В. О нулевых множествах некоторых весовых классов аналитических в круге функций // Вестник Брянского гос. ун-та. - 2008. -№4. - С. 85 - 92.

5. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Введение в теорию весовых Lp-классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 152 c.

6. Nevanlinna R. Eindeutige analytische Funktionen, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1953.

Сведения об авторе

Родикова Евгения Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

1

ON PROPERTIES OF ZEROS OF FUCTIONS FROM THE PRIVALOV CLASS IN A DISK

E. G. Rodikova

Bryansk State University named after acad. I.G. Petrovsky

The property of zero sets of functions from the I.I. Privalov class nq (0 < q < 1) in the disk is found

in this paper, namely we established the necessary condition for root sets, close to sufficient. Keywords: the Privalov class, zeros, unit disk.

References

1. Privalov I. I. Boundary properties of single valued analytic functions. - M.: P.h. of Moscow St. Univ., 1941. - 206 p.

2. Rodikova E. G., Shamoyan F. A. On zeros of the Privalov analytic classes // Proceedings of the 16-th Saratov's winter school. - Saratov: Nauch. kniga, 2012. - P. 141 - 142.

3. Shamoyan F. A. On some properties of zeros of a function from the Privalov class in a disk // Zap. nauch. semin. POMI. - 2019. - V. 480. - P. 199 - 205.

4. Shamoyan F. A., Bednazh V. A., Prihod'ko O. V. On zero sets of some weighted classes of analytic functions in a disk // Vestnik Bryanskogo gosud. univ. - 2008. - №4. - P. 85 - 92.

5. Shamoyan F. A., Shubabko E. N. Introduction to the theory of weighted Zp-classes of meromorphic functions - Bryansk: Desyatochka, 2009. - 152 p.

6. Nevanlinna R. Eindeutige analytische Funktionen, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1953.

About author

Rodikova E. G. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of the Department of Mathematical analysis, algebra and geometry, Bryansk State University named after acad. I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].