О существовании решений, суммируемых с квадратом, для систем с малой нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926.4

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 2

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ, СУММИРУЕМЫХ С КВАДРАТОМ, ДЛЯ СИСТЕМ С МАЛОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Н. А. Бегун

С.-Петербургский государственный университет, студент, matandmeh@gmail.com

Введение

Вопрос о структурной устойчивости является одним из основных в современной теории дифференциальных уравнений и, в частности, играет решающую роль при изучении возможности численного моделирования систем. Имеется ряд ставших уже классическими результатов о структурной устойчивости аносовских систем и их инвариантных множеств (см. [1]). При доказательстве этих результатов рассматриваемая проблема сводилась к вопросу о существовании ограниченного решения у линейной неоднородной системы. Ряд интересных результатов в этой области приведен в статье [2].

Основным результатом настоящей статьи является теорема 3. Приводятся условия, достаточные для того, чтобы для каждого решения возмущенной системы существовало решение исходной системы, близкое по норме Ь2(М) к решению возмущенной системы.

Дана система

х = А(г)х + /(г,х), г е м, х е М", (1)

где А(г),/(г,х) непрерывны. Предполагаем, что ее линейная часть

х = А(г)х

гиперболична. Относительно / считаем, что

II/(г, 0)11 ¿2 = н, где Н е М. (2)

Кроме того, выполнено условие Липшица:

|/(г,хг) - /(г,х2)|< /|х! - х2| для всех х^ е М", г е м, (3)

где |.| —евклидова норма.

Теорема 1. Существует /о > 0 такое, что система (1) при / < /о имеет единственное решение, принадлежащее классу ЬТО(М).

Доказательство теоремы 1. Сначала найдем, при каких / ограниченное решение существует. Не умаляя общности, можем считать, что в системе (1) матрица А(г) имеет блочно-диагональный вид:

( А+(г) о N V о А-(г) ) .

© Н. А. Бегун, 2010

При этом, если Ф+(г, т) и Ф_(г, т) суть матрицы Коши линейных систем

у = А+(г)у и ¿ = А_(ф,

то в силу гиперболичности существуют такие х > 1 и Л > 0, что выполняются неравенства

|Ф+ & т) | < хе_Л(4_т) при 4 > т (4)

Положим X

|Ф_(4, т)| < хеЛ(4_т) при г < т. и перепишем систему (1) в виде

у = А+ (г)у + л (г, X), 2 = А_ (ф + ^ (г, х).

Ясно, что функции ^(г, х) и х) обладают свойствами (2) и (3) функции /(г, х). Наряду с (1) рассмотрим систему интегральных уравнений

с сю

у(г) = У Ф+(г,т)^1 (т,х(т))^т, £(г) = ~уФ_(г,т)^2(т,х(т))^т.

(5)

Несложно видеть, что любое решение системы (5) является решением системы (1). Систему (5) будем решать методом последовательных приближений. Опишем эти приближения следующим образом:

хо

Уо

£0

0, хп

Уп

где

с

Уп(г)= У Ф+(г,т)^1(т,х„_1(т))йт,

_с

сс

£п(г) = ~У Ф_(г,т )^2 (т,х„_1(т ))йт.

(6)

Оценим эти приближения. Сначала рассмотрим первое и воспользуемся неравенством Гельдера:

|У1(г) | <

|Ф+(г,т )|2 ¿т

|^1(т, 0)|2^т < н

с

У х2е-2Л(4-т) = #х( 1/л/2А).

Все эти рассуждения мы можем повторить и для | £ 1 (г) |. В результате получим

(7)

Итак, мы доказали ограниченность х1. Теперь покажем, что для всех г и п выполнено

(8) 71

и

У

2

_с

Для п = 1 доказываемое утверждение верно в силу (7). Предположим, что (8) выполнено. Оценим |хп+1(г) — хп(г)|. Рассмотрим, как и ранее, отдельно |1 ) — Уп(г)| и

(г) (*)|:

г

|Уп+1(*) — Уп(*)| |Ф+(*,т)||Л (т,Хп) — ^1(т,Хп-1)|^Г.

Используя (3), (4) и (8), получаем

¿т

1 /Х^ п

п—1 п

Аналогично,

Из этих двух неравенств вытекает требуемое:

\хп+1(г) - хп(г)\ < 2"Г

Для равномерной сходимости хп нам достаточно, чтобы

«А.

3х

Итак, если I удовлетворяет этому условию, то хп сходятся равномерно к какой-то функции ш. Из (8) следует

2Л

Н<

Л — 21х "

Переходя в (6) к пределу, получим, что ш(г) является решением системы (5). Учитывая то, что, как уже было отмечено, любое решение системы (5) является решением системы (1), мы завершаем доказательство первой части теоремы.

Итак, мы доказали, что существует ограниченное решение. Докажем, что оно единственно.

Произведем замену и = х — ш(г). Уравнение примет следующий вид:

и = Л(г)и + / (г, и + ш(г)) — / (г, ш(г)).

Очевидно, что и1(г) = 0 является его решением. Предположим, что существует еще одно ограниченное решение и2(г). Рассмотрим отдельно устойчивую и неустойчивую

компоненты. Обозначим их соответственно у (г) и — (г). Тогда М2(^) = ^ у^) Ь Обозначим = —2(0). Тогда

г

-2(г) = Ф_(г,0)-° ^у Ф_(г,т)(*2(т,«2(т) + ш(т)) - *а(т,и(т)))^т =

о

= Ф_(г) 1-2° + 1 Ф_1(т)(^2(т,«2(т)+ и(т)) - *2(т,и(т)))Лт I .

о

Ясно, что из соотношения

|Ф_(г,т)|< хеЛ(г_т) при г < т автоматически следует, что

|Ф_(г,т)| > -ел(4~т) при г > г. х

Итак, в силу неограниченности Ф_(г) на [0, для ограниченности —2 (г) нам необходимо выполнение соотношения

—2 = - У Ф_1(т)(^2(т,И2(т)+ ш(т)) - *2(т,и(т)))йт.

о

Тогда

г

—2(г) = Ф_(г,0)—0 + у Ф_(г,т)(*2(т,«2(т) + ш(т)) - *а(т,и(т)))^т =

о

= - I Ф_(г,т)(^2(т,М2(т)+ ш(т)) - *а(т,и(т)))йт.

г

Положим В = 8иргеК М2(г). В силу предположения об ограниченности М2(^) справедливо В < то. Рассмотрим цепочку неравенств

<1x1 еЛ(4-т)|М2(т)Иг < ^ < |•

г

Оценка для у (г) выводится аналогично. В результате получим

1 , , 2В < —•

Из того, что неравенство выполнено для всех г, а В = 8иргеК «2(г), можно вывести, что В = 0 и, следовательно, и2(г) = «1(г). Теорема 1 доказана.

ж = А(4)ж + /(¿), t е м, ж е мп,

где А (4),/(4) непрерывны. Ее линейная часть

(9)

(10)

ж = А(4)ж

гиперболична. Относительно /(4) предположим, что

II/= н, н е м.

Теорема 2. При сделанных предположениях система (9) имеет единственное решение, принадлежащее классу Ь2(М).

Доказательство теоремы 2. Докажем только для гиперболически устойчивого случая. Для гиперболически неустойчивого это доказывается аналогично, а в общем случае матрица А (4) разбивается на две части (устойчивую и неустойчивую компоненты), после чего утверждение доказывается покомпонентно. Как и в теореме 1, рассмотрим константы из определния гиперболичноти х > 1 и А > 0. Рассмотрим решение у(4) системы (9):

где Ф(4, в) — матрица Коши системы (10).

Покажем, что скалярное произведение в Ь2(М) функции у (4) и произвольной функции г(4) е Ь2(М) меньше некоторого вещественного числа, зависящего только от г(4):

Ф(4, в)/(в)^

А

+ 0 < х/ №)1

— О + 0

— О " 0

х| |г(*)| У еЛт|/(4 + т)|йт

о

О

|г(*)||/(4 + т

=

X е

¿т.

В первом переходе мы воспользовались гиперболичностью, во втором — сделали замену переменной т = в — 4, в третьем — воспользовались теоремой Фубини. Теперь несложно оценить получившееся выражение. Действительно, существует J > 0 такое,

оо 0

что / |г(4)||/(4 + т)|Л < 7, так как г,/ принадлежат Ь2(М), / еЛт¿т = 1/А. В резуль-

—о —о

тате, скалярное произведение ограничено числом 7х/А.

Осталось доказать единственность. Каждое решение системы (9) представимо в виде у(4) + Ф(4)С, где С — вектор из Мп, Ф(4) —фундаментальная матрица системы (10), Ф(0) = Е. Из гиперболичности следует, что |Ф(£)С| > ^е_А4|С| при £ < 0 и, следовательно, Ф(4)С не принадлежит Ь2(М) при всех С, отличных от нуля, по уже доказанному, у (4) принадлежит Ь2(М). Из этого следует, что при С, отличных от нуля, у (4) + Ф(4)С не принадлежит Ь2(М). Теорема 2 доказана.

г

X.

х = X(г,х), х е мп, г е м. (11)

Предполагаем, что правая часть системы (11) непрерывна и, кроме того, непрерывны все частные производные правой части по х, и найдется такая константа М > 0, что

IX(г, х)| < м,

Предположим, что

дХ. ,

< м, х е мп, г е м.

X(г, 0) е ь2(м). (12)

Решение системы (11) с начальными данными (0, х°) будем обозначать х(г, х°). Введем обозначение:

ж0) = -т—ж0)). дх

Пусть любая система вида

х = Р (г, х°)х

гиперболична с константами х и Л для любого хо. Рассматривается возмущенная система

х = X (г,х)+ у (г,х). (13)

Теорема 3. Для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что если отображение У (г, х) : М"+1 ^ Мп непрерывно, непрерывны его частные производные по х и, кроме того,

||У(гмг))||ь2 < 6, (14)

дУ

6,

где о>(г) —произвольное решение системы (11), то для любого решения х(г) системы (11) найдется решение у(г) системы (13) такое, что ||х(г) - у(г)||^2 < е.

Доказательство теоремы 3. Из предположения (12) вытекает следующее утверждение:

X(г, у(г)) е ь2(м) для любой у е ь2(м). (15)

Действительно,

»X(г, у(г))|Ь2 < ||^^(г,0)||Ь2 + (г, у(г)) - X(г,0)||Ь2. (16)

Рассмотрим правую часть этого неравенства. Слагаемое X(г, 0) принадлежит Ь2(М) по условию (12). Покажем, что X(г, у(г)) -X(г, 0) тоже принадлежит Ь2(М). Заметим, что

2

IX(г,у(г)) - X(г,0)|2^ < м2 у |у(г)|2^

Для получения требуемого утверждения воспользуемся тем, что у(г) принадлежит Ь2(М). Итак, правая часть неравенства (16) ограничена в силу того, что оба ее слагаемых принадлежат Ь2(М). Из этого следует, что X (г, у (г)) принадлежит Ь2(М), что и требовалось показать. Зафиксируем хо. Не умаляя общности, будем считать, что

_с

с

ж(4, жо) = жо = 0. Этого можно добиться заменой ж = у + ж(4, жо). Аналогично, из предположения (14) следует, что

У(4, у(4)) е Ь2(М) для любой у е Ь2(М). (17)

Положим X(4, ж) — Р(4, жо)ж = ж). Тогда система (13) примет вид

ж = Р(4, ж0)ж + ж) + У(4, ж).

Обозначим

Д(4,ж) = д(4,ж) + У(4, ж). В результате система (13) примет вид

ж = Р(4, жо)ж + Д(4, ж).

Покажем, что

Д(4, у(4)) е Ь2(М) для любой у е Ь2(М). (18)

Действительно,

Д(4, у(4)) = у(4)) + У(4, у(4)) = X(4, у(4)) — Р(4, жо)у(4) + У(4, у(4)).

Первое и третье слагаемые принадлежат Ь2(М) в силу (15) и (17). Второе слагаемое принадлежит Ь2(М) в силу того, что у принадлежит Ь2(М), и того, что по условию теоремы |Р(4, жо)| < М. Таким образом, мы доказали утверждение (18).

В дальнейшем нам потребуется следующее свойство: по любому ^ > 0 существует окрестность жо такая, что в ней выполнено неравенство

дй. ,

< ^ + 5.

Действительно,

dR

дх

dQ . dY .

< 5 +

9g

дх

В силу того, что X(t, х) — P(t, жо)ж = Q(t, х), в достаточно малой окрестности хо выполнено |dQ/dx(t, х)| < что и требовалось показать.

Ниже будем по умолчанию пользоваться следующим фактом: если для непрерывной функции f : R ^ Rn выполнено ||/(t)||_L2(R) = H, |f(t)| < D, то верно неравенство sup\f(t)\ < \/3H2D. Докажем это неравенство. Представим f(t) в виде f(t) = /(¿о) + ¡0 /(т)dr. Из этого вытекает |f(t)| > |f(t0)| — ¡0 |/(т)|dr > |f(t0)| — D|t —10|. Возьмем ti°: ti — to = |f(to)|/D. Тогда H2 = ¡^ |f(t)|2dt > |f(t)|2dt > (|f(to)| — D|t — to|)2dt = |f (to)|3/(3D). Отсюда немедленно следует требуемый результат.

Рассмотрим линейный оператор T, определенный на пространстве непрерывных функций из L2(R): T сопоставляет непрерывной h(t) G L2(R) единственное ограниченное в L2(R) решение системы х = P (t, + h(t). Существование этого решения немедленно следует из теоремы 2. Отметим, что T естественным образом продолжается до оператора из L2(R) в L2(R). Очевидно, что ||T|| < K (здесь ||.|| — это обыкновенная

операторная норма) для некого К > 0, это немедленно следует из определения операторной нормы и оценки в завершении доказательства теоремы 2. Рассмотрим такие «1 и ¿1, что К(¿1 + «1) < 2-1. Пусть для всех |ж| < а выполнено

дН

дж

(г, х)

< «1 + ¿1.

То, что такая окрестность существует, показывалось ранее. Теперь рассмотрим 6 = д\ — у такое, что •у/ЗМ(4(5х/А)2 < а. В качестве /х возьмем /л = + г/. Для них будут выполнены неравенства К^ + «) < 2—1 и |дД/дж(г, ж)| < « + ¿ для всех |ж| < а.

Рассмотрим приближения Пй(г, жо), определенные следующим образом: по(г, жо) = 0, жо) = Т(Д(г, жо))). Из определения Т следует, что Пй(г, жо) является ре-

шением системы ж = Р(г, жо)ж+Д(г, 1 (г, жо)). Оценим жо). Эта функция по определению является решением системы уравнений ж = Р(г, жо)ж + Д(г, 0). В силу оценки решения из теоремы 2 и того, что || Д(г, 0)||^2 < ¿, получим оценку ||^1(г, жо)||р2 < ¿2х/Л. Далее будем действовать по индукции. А именно, будем доказывать, что все жо) корректно определены и для всех выполнено соотношение

:2Х

Л

(19)

Для доказательства нам потребуется следующее очевидное неравенство:

||Д(в,%(«,жо)) - Д(в,%—1(«,жо))||Ь2 <

<

дД

тах —— (£, ж)

||Пй(й,жо) - %—!(«, жо)||ь2

Так как ||пй(г, жо)||р2 < 4¿x/Л и |Х(г, ж)| < М, выполняется неравенство жо)| <

3М(-^)2 < а, которое влечет

дД

тах —— ж)

|Пк-1(я,жо)|<|ж|<|пк(я,жо)| дж

< ¿ +

Доказывать неравенство (19) мы будем по индукции. Для к =1 оно очевидно. Допустим, что это верно для некого к. Рассмотрим цепочку неравенств:

||пй+1(г,жо) - %(г,жо)||ь2 < ||Т||||Д(г,пй(г,жо)) - Д(г,1(г,жо))||ь2 <

< К{5 + и)2-к+16^ < 2-чЦ-.

ЛЛ

Таким образом, мы получим, что жо) ^ ??(£, жо) в Ь2(М). Из того, что |?7й-1-1 жо) — жо)| < ^6М(2~Й(5^)2, следует, что гудД, жо) равномерно сходится к непрерывной жо). Докажем, что ту (г, жо) = п(г, жо). Зафиксируем произвольное

Р > 0. Тогда

р р

У (^Д, жо) - жо))2^г = J (гД, жо) - жо) + жо) - ??(г, жо))2^г <

—р —р

р р < 2 J (?Д) - щ;(г,жо))2^ + 2 J(щ(г,жо) - П(г,жо))2^.

—р

—р

Устремим k к бесконечности и получим, что оба интеграла стремятся к нулю, из чего немедленно следует

P

j (íy(t, x0) — r)(t, x0))2dt = O. -P

В силу произвольности P, получим

í?(t, xo) = r)(t, xo).

Неравенство ||fjT(t, Х0)Уь2 < 4Sx^ выполнено. Очевидно, что взяв S достаточно маленьким, мы можем добиться того, что H^(t, xo)Hl2 < е.

Очевидно также, что x(t, xo) + íy(t, xo) = íy(t, xo) является решением системы (l3). В результате, Hx(t, xo) + íy(t, xo) — x(t, xo)У^2 = Hñlt, xo)Hl2 < e , то есть мы нашли решение системы (l3) близкое в L2(R) к решению x(t, xo) системы (ll).

Литература

1. Robinson G. jj Ann. of Math. 1974. Vol.99. N3. P. 447-493.

2. Palmer K. J. Exponential Dichotomies and Transversal Homoclinic Points jj J. Diff. Eqns. 1984. Vol. 55. P. 225-256.

3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1976. 304 с.

4. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. О структурной устойчивости неавтономных систем jj Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 10. С. 1325-1333.

5. Плисс В. А. jj Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. №9. С. 1599-1616.

6. Плисс В. А. jj Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. №10. С. 1891-1892.

7. Плисс В. А. jj Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. №5. С. 828-835.

8. Goppel W.A. Dichotomies in Stability Theory jj Lecture Notes in Mathematics. N629. Springer-Verlag. Berlin, 1978.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.