Об устойчивости листовых инвариантных множеств трехмерных периодических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 3

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИСТОВЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ТРЕХМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ*

Н. А. Бегун

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

В этой статье мы рассматриваем малые C1 -возмущения дифференциальных уравнений. Мы вводим понятия слабо гиперболического множества K и листа Y системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Липшицево условие не предполагается. Мы показываем, что если возмущение достаточно мало, то существует непрерывное отображение h : Y —Y Yy, где Yy —лист возмущенной системы. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: устойчивость, инвариантное множество, малые возмущения, гиперболические структуры.

Введение. Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. В работах [1] и [2] В. А. Плисс и G. R. Sell изучали устойчивость слабо гиперболических инвариантных множеств, предполагая, что нейтральное и устойчивое подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица. Они показали, что при достаточно малых C 1-возмущениях слабо гиперболическое инвариантное множество является устойчивым. Другими словами, возмущенная система имеет слабо гиперболическое инвариантное множество в малой окрестности слабо гиперболического инвариантного множества невозмущенной системы. В то же время известно, что липшицевость нейтральных и устойчивых подпространств является весьма существенным ограничением. В работах [4] и [5] рассматривалась проблема устойчивости инвариантных множеств двумерных периодических систем, не обладающих вышеупомянутым свойством. Для этих целей было введено понятие листа слабо гиперболического инвариантного множества и была построена система координат в окрестности листового инвариантного множества. Оказалось, что метод, позволивший построить эти координаты, неприменим в п-мерном случае. В данной статье произведено построение координат и доказана устойчивость слабо гиперболического инвариантного множества для случая п = 3. 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x = X (t,x), (1.1)

где t G к, x G r3, а X — это C 1-функция, действующая из r4 в r3. Предполагается, что существует число ш > 0 такое, что

X (t + ш,х) = X (t,x).

Обозначим через x(t,to,хо) максимально продолженное решение системы (1.1), удовлетворяющее условию x(t0,t0,x0) = х0.

Заметим, что в силу периодичности системы (1.1) мы можем провести факторизацию

t ~ t + kw, t G r, к G Z,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00624).

и в дальнейшем рассматривать систему в пространстве S = S х r3 (так называемое цилиндрическое пространство), где S — это окружность длины ш.

Обозначим через <&(t,to,xo) фундаментальную матрицу линейной системы

±= dX(t,x(t,tо, ж0)) ^ ^

удовлетворяющую условию Ф(£о,£о,хо) = I, где I — тождественный оператор на r3.

Будем говорить, что система (1.2) слабо гиперболична на интервале J С r с константами a, Ai и A2, если A2 < Ai, Ai > 0, a > 1, и существуют дополняющие друг друга линейные подпространства Un(t,t0,x0) и Us(t,t0,х0), dim Un(t,t0,x0) = k, dim Us(t, t0, x0) = 3 — k, 0 < k < 3 такие, что

<^(t,t0,X0)Us(t0 ,t0,x0) = Us(t,t0,x0),

Ф(t,tо ,x0)Un(t0 ,t0,x0) = Un(t,t0,x0), для любого t € J и если x € Us(r,t0,x0), то

\^(t,t0,x0)<^-1(T,t0,x0)x\ < a\x\e-Xl(t-T\ (1.3)

для t > т, t,T € J, и если x € Uп(т, t0,x0), то

\^(t,t0,x0)<^-1(T,t0,x0)x\ < a\x\e-X2(t-T\ (1.4)

для t < т, t,T € J.

Линейное подпространство Us(t0,x0) = Us(t0,t0,x0) называется устойчивым линейным подпространством, линейное подпространство Un(t0,x0) = Un(t0,t0,x0) — нейтральным линейным подпространством.

Заметим, что если k = 1, то задача решается методами, изложенными в статьях [4] и [5]. В этой работе рассматривается случай k = 2. Таким образом, пространства Us являются прямыми, пространства Un — плоскостями.

Предположим, что существует K С S — компактное инвариантное множество системы (1.1).

Положим Kt0 = {x € r3 : (t0,x) € K}.

Множество K будем называть слабо гиперболическим, если выполнены следующие два условия:

(1) линейная система (1.2) слабо гиперболична на r с константами a, Ai и A2 для любой точки (t0,x0) € K;

(2) существует r > 0 такое, что для любой точки (t0,x0) € K существует 2-мерный диск D(t0, x0) С Kt0 радиуса r, такой что

(i) x0 — центральная точка D(t0,x0);

(ii) если x € D(t0,x0), то в точке (t0,x) линейное подпространство Un(t0,x) касается диска D(t0,x0);

(iii) множество

D(t0,x0) = {(t,x) : \t — t0\ <r,x € D(t,x(t,t0,x0))}

является локально инвариантным.

В этой работе мы не предполагаем липшицеву зависимость Un(t0, x0) и Us(t0, x0) от x0, теряя, очевидно, при этом свойство единственности дисков.

Вместо липшицевости мы потребуем выполнения следующего условия: (гу) если I 1 (¿о,хо) и I2(го,хо) — это два диска в точке (го,хо) со свойствами (1),(п),(ш), то 11 (¿о, хо) = В2(Ьо,хо).

Известно, что если К является слабо гиперболическим, то существует а > 0 такое, что А(ив(го,хо), ип(го,хо)) > а для любых (¿о,хо) € К. Не умаляя общности, будем считать, что а < 0.1.

Для (го,хо) € К определим множества Т^г^хо), Т2(го,хо),... ,Т(го,хо) следующим образом:

Т^о,хо)= У 0(г,х), Т»+1(4о,хо)= У Б(г,х) для I > 1,

ж

Т(4о,хо) = У Т^о,хо).

г=1

Множество Т(го,хо) будем называть листом, проходящим через (го,хо). В том случае, когда нам не важна точка (¿о,хо), мы будем обозначать лист просто Т. Введем обозначение

Т4о = {х € м3 : (¿о, х) € Т}. 2. Наряду с системой (1.1) рассмотрим ее возмущение

у = X (г, у) + у (г, у), (2.1)

где У — это С 1-функция, действующая из м4 в м3.

Функция У тоже предполагается ^-периодичной, т.е.

у (г + ш,у)= у (г, у), у € м3, г € м.

Обозначим через у(г,го,хо) максимально продолженное решение системы (2.1), удовлетворяющее условию у(го,го,хо) = хо. Сформулируем основную теорему.

Теорема. Пусть К — компактное слабо гиперболическое инвариантное множество системы (1.1). Предположим, что выполнено свойство единственности дисков. Тогда для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что если

УУ ус 1 < 6,

а Т — это лист, проходящий через (г',х') € К, то существует непрерывное отображение

Н : Т —> 2,

удовлетворяющее условиям

(0) если Н(го, хо) = (г1, у\), то г1 = го;

(1) \Н(г,х) - (г,х)\ < е;

(2) Т¥ = Н(Т) — это инвариантное множество системы (2.1);

(3) линейная система

¿у д(х (г,у(г,го,уо)) + У (г,у(г,го,уо)))

А =-д~у-У (2'2)

слабо гиперболична для любой точки (Ьо,уо) € Т¥;

(4) нейтральное подпространство иу(Ьо,уо) системы (2.2) касается множества Н(Ьо,В(Ьо,хо)) в точке (Ьо,уо), где (Ьо,уо) = ЦЬо,хо);

(5) множество

ку = и тУ

гек

является замкнутым.

Доказательство. Зафиксируем число а > 0 такое, что 11а = шт(Ах, Ах — А2). Зафиксируем Т > 0, для которого выполнены следующие два условия:

е-(Ах-а)Т < 8ш(а/4) -(*1-3<7)Т < 8т(о:/5) (2 ^

~ 1000а2 ' ~ 500а2 ' 1 ' ;

Зафиксируем с, 0 < с < 1/10, такое, что для любого вектора С, удовлетворяющего неравенству

А(ип(Ьо, хо), С) < са, (Ьо, хо) € К, (2.4)

выполнены неравенства

а

¿(ип(Ь, ¿0, хо), Ф(*, ¿о, х0)С) < о < í - ¿0 < 2Т,

и

са

¿{ип{±,±о,хо)М*,*о,хо)0 < т<г-г0 <2Т.

256

Существование такого с доказано в работе [4].

Пусть N(Ьо,хо) С {Ь = Ьо} х м3, (Ьо,хо) € К, —1-мерное подпространство, перпендикулярное ип(Ьо,хо) в точке (Ьо,хо).

По выбранному с зафиксируем г > 0 такое, что для любых (Ьо,хо), (Ьо,хх) € К таких, что \хо — хх \ <г и хх € О (Ьо ,хо), выполнено

А(ип(Ьо,хо),хо — хх) < са, (2.5)

81пА(ип(г0,х0),х0-х1) < (2.6)

са

/.{ип{и,х0),ип{и,х{))<—, (2.7)

8т(/([/"(*о, х0), ип{Ь0, хО)) < (2.8)

Из теоремы Перрона об устойчивом многообразии следует, что для любой точки (Ьо,хо) € К существует 1-мерный диск Вр(Ьо,хо) (так называемый диск Перрона) такой, что если хх € Вр(Ьо,хо), то

\х(Ь,Ьо,х1) — х(Ь,Ьо, хо) \ < 2а \хх — хо\в-(Х1 -(т)(1-1°) (29)

при Ь > Ьо.

Известно также, что радиус Ь диска Ор(Ьо,хо) не зависит от (Ьо,хо) и диск Вр(Ьо,хо) сколь угодно мало (при должном выборе Ь) отличается от ив(Ьо,хо). Заметим, что диски Перрона Вр(Ьо,хо) непрерывно зависят от (Ьо,хо) € К.

Зафиксируем такое х, что диски Dp(t,x), (t,x) G D(t0,x0) образуют расслоение в х-окрестности диска D(to,xo) для любой точки (to,xo) G K. Существование такого X было доказано в [6].

Нашей задачей будет построение координат в окрестности листа Y. Заметим, что в силу отсутствия липшицевой зависимости угла между Un(t, x) от точки x мы не можем воспользоваться теоремой о трубчатой окрестности. В противном случае, в качестве координат мы могли бы рассмотреть пару (v, u), где

v G Y, u G N(v).

Подобные рассуждения были проведены в [1].

Зафиксируем (0,x) G Y. Обозначим через xi, x2 и x3 граничные точки диска D(0, x) такие, что

\xi - xj \>r, i,j = 1, 2, 3, i = j,

П П

— < /.(xixj, XiXk), < —, i, j, к = 1,2, 3.

(Такие точки можно выбрать при достаточно малом r).

Обозначим через S плоскость, проходящую через точки xi, x2, x3. Выберем r достаточно малым для того, чтобы

/([/"(0, х), S) < sin(Z([/"(0, х), S) < 1.

Обозначим через zi точки, лежащие на N(0, xi), i = 1, 2, 3, такие, что

r

| Xi Zi | —.

5

Будем считать, что точки zi лежат по одну сторону от плоскости S.

Оценим расстояние от точек zi, i = 1, 2, 3, до плоскости S. Опустим перпендикуляры zihi, i = 1, 2, 3, из точек zi на плоскость S. Легко видеть, что

\zi - hi\ = \xi - zi\sinÁzixihi.

Учитывая (2.7), получим, что |z¿ — hi\ >

Каждой точке x G xix2 сопоставим точку z G ziz2 такую, что

\z — zi\ \x — xi\

\Х2 - z1| \х2 — хгУ

и проведем через эти точки прямую XZ.

Зафиксируем точку г, обозначим = ц и оценим угол между хг и х\х\.

Очевидно, что

—г = (1 — ц)х—г\ + цх2г2.

Отсюда, учитывая близость углов /1гух\х2 и /2:2X2X1 и то, что \хг\ > у^, получим, что ¿.(хг,Х1г{) < са/15.

Подобную операцию проделаем со всеми точками, лежащими внутри и на границе треугольника х 1X2X3.

Каждой такой точке X сопоставим пару чисел (Х,^), 0 < < 1, по следующему правилу. Проведем через X прямую, параллельную Х1Х2. Обозначим через Х1 и Х2 точки пересечения этой прямой с прямыми Х1Х3 и Х2Х3 соответственно.

Положим

\хх — хх \ х — х2 \

А=

\хз — хх \ \хз — х2У

\х — хх \ |х2 ~ XI |'

Ровно таким же образом сопоставим пару чисел каждой точке г, лежащей внутри треугольника ххх2гз.

Соединим прямой точки х и г, соответствующие одинаковой паре чисел (А,и). Обозначим х € О(0,х) точку пересечения прямой хг с То. Обозначим эту прямую

М (0,х).

Заметим, что

са

А(Щ0,х),М(0,х))<-.

Легко видеть, что прямые М(0, х) образуют координаты в ^-окрестности множества, гомеоморфного треугольнику (далее — криволинейный треугольник), лежащего в То.

Известно, что каждое двумерное многообразие можно триангулировать. В силу компактности множества К и равномерной непрерывности пространств ип мы можем считать, что все криволинейные треугольники, образующие триангуляцию, удовлетворяют условиям, наложенным на криволинейный треугольник ххх2хз. При достаточно малом г, вводя вышеизложенным способом координаты на каждом криволинейном треугольнике, получим координаты в ^-окрестности листа Т на уровне Ь = 0.

Далее будем рассматривать листы двух типов. К первому отнесем те, которые на уровне Ь = 0 представимы в виде объединения конечного числа криволинейных труегольников (разумеется, каждый такой лист будет замкнут). Ко второму типу отнесем все остальные листы.

Сначала изучим листы второго типа.

Построим координаты на уровне Ь = Ь. Заметим, что при изменении времени мы можем через промежуток Ь = кш пересечь ту область, на которой уже были построены координаты (такое может случиться в силу того, что пространство 2 является цилиндрическим).

В случае, если вышеупомянутое пересечение не происходит, мы будем выбирать триангуляцию непрерывной по Ь и потребуем от всех криволинейных треугольников выполнения условий, наложенных на криволинейный треугольник ххх2хз. Таким образом получим непрерывные координаты в окрестности листа Т.

В том случае, если через промежуток Ь = кш произойдет пересечение с областью, на которой мы уже построили координаты, мы введем функции г^ (Ь), г = 1, 2, 3, такие, что {(Ь,г^(Ь))} € Т, г(0) = г^(кш) = х^, и на каждом уровне г криволинейный треугольник гх(Ь)г2(г)гз(Ь) удовлетворяет условиям, наложенным на криволинейный треугольник ххх^хз. Триангуляцию на каждом уровне Ь = Ь будем выбирать таким образом, чтобы одним из ее элементов являлся криволинейный треугольник гх(1)г2 (г)гз(Ь).

Кроме того, мы будем выбирать триангуляцию непрерывной от Ь. Таким образом получим непрерывные координаты в окрестности листа Т.

Перейдем к изучению листов первого типа.

Напомним, что в этом случае, объединяя диски на уровне t = 0, мы получаем замкнутое множество. Обозначим его D(0,x).

Докажем сначала, что в этом случае найдется такое k G n, что через время kw множество D(0,x) перейдет само в себя. Предположим противное. Обозначим

Di = x(iw, 0,D(0,x)), i G Z.

Рассмотрим множество

Ko = {x G r3 : (0, x) G К}. Заметим, что Di С Ко, i G Z.

Зафиксируем число n : 0 < n < X. В силу компактности К существует такое число N G n, что множество Ко не может пересекаться более чем с N непересекающимися шарами радиуса п. _ _ _

Рассмотрим множества Dо, D..., Dn-i. Эти множества в силу нашего предположения и в силу единственности дисков не могут пересекаться. Обозначим

I = {0,1, ...N - 1}.

Обозначим также

в = min dist(_Di, Dj).

i,j£i

Выберем теперь такое число N G n, что если x принадлежит n-окрестности множества Di, i G z, то

dist(x(Nw, 0, x), x(Nw, 0, Di)) < в.

Заметим также, что такое N мы можем выбрать в силу слабой гиперболичности. Рассмотрим теперь множества

D-Я, D-N+V ..., D-N+N-1.

Несложно видеть, что их n-окрестности не пересекаются, иначе мы бы получили,

что

min dist(Di, Dj) < в.

Но это, очевидно, противоречит тому, что множество Ко не может пересекаться более чем с N непересекающимися шарами радиуса n.

В результате, найдется такое k G n, что через время kw множество D(0,x) перейдет само в себя.

Далее построение координат проводится тем же образом, что и для листов второго типа.

Итак, мы ввели непрерывные координаты в окрестности листа Т. Положим ß = min('|,r) и определим для каждой точки (to,xo) G К множество

r(to,xo,ß) = {x + y : x G D(to,xo),y G M(to,x), \y\ < ßj . Рассмотрим отображение

V = <P(t0,x0) : r(to, xo, ß) —D(to, xo), (2.10)

удовлетворяющее условию

ф(х + y) = x, x е D(to,xo), y e M(to,x). (2.11)

Заметим, что если xi e D(t0,x0), то p(t0,x0) и P(t0,xi) согласованы на множестве

r(to, xo, в) П r(to,xi,e).

Липшицевость отображения доказывается тем же способом, что и в работе [4]. Таким образом, мы ввели липшицевы координаты в окрестности листа Y.

Все дальнейшие рассуждения проводятся тем же образом, что и в статьях [4, 5].

Литература

1. Pliss V.A., Sell G.R. Perturbations of attractors of differential equations // J. of Differential Equations, 1991. Vol.92. P. 100-124.

2. Pliss V.A., Sell G.R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets // J. of Differential Equations, 1997. Vol. 149. P. 1-51.

3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

4. Бегун Н.А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 4. С. 3-12.

5. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущенной системы // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. №1. С. 80-88.

6. Монаков В. Н. Расположение интегральных поверхностей у слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1973. Вып. 1. С. 68-74.

Статья поступила в редакцию 27 марта 2014 г.

Сведения об авторе

Бегун Никита Андреевич — кандидат физико-математических наук; matandmeh@gmail.com

ON THE STABILITY OF LEAFED INVARIANT SETS OF THIRDDIMENSION PERIODIC SYSTEMS

Nikita A. Begun

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; matandmeh@gmail.com

In this paper we study small ^-perturbations of a differential equations. We introduce the concepts of a weakly hyperbolic set K and leaf Y for a system of ordinary differential equations. Lipschitz condition is not suppose. We show, that if the perturbation is small enough, then there is a continuous mapping h : Y —> Yy, where Yy is a leaf of perturbed equation. Refs 6.

Keywords: stability, invariant set, small perturbations, hyperbolic structures.