CC BY
16
2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.938
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИСТОВЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
Н. А. Бегун
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, matandmeh@gmail.com
Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Имеется ряд ставших уже классическими результатов в этой области (см. [1], [2]). В этих работах делалось предположение о том, что нейтральное и устойчивое подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица. В то же время известно, что подобное ограничение является весьма существенным. В этой работе изучается проблема устойчивости инвариантных множеств двумерных периодических систем, для которых выполнение условия Липшица не предполагается.
1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
x = X (t,x), (1.1)
где t £ R, x £ R2, а X — это Cх-функция, действующая из R3 в R2. Предполагается, что существует число ш > 0 такое, что
X (t + ш,х) = X (t,x).
Обозначим через x(t,to,хо) максимально продолженное решение системы (1.1), удовлетворяющее условию x(to, to,xo) = хо.
Заметим, что в силу периодичности мы можем провести факторизацию t ~ t + kw,k £ Z, и рассматривать систему на S = S х R2 (цилиндрическое пространство), где S — окружность длины ш.
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант №2010-1.1-111-128-033). © Н.А. Бегун, 2012
Обозначим через Ф(2, ¿о,хо) фундаментальную матрицу линейной системы
дХ(¿,ж(^о,жо)) Ж=-^-(1'2)
удовлетворяющую условию Ф^о^о, хо) = I, где I — тождественный оператор на К2.
Будем говорить, что система (1.2) слабо гиперболична на интервале 7 С К с константами а, Л1 и Л2, если Л2 < Л1, Ах > 0, а > 1 и существуют дополняющие друг друга линейные подпространства и"(^¿о,хо) и ия(£,'£о,хо), и"(^¿о,хо) = 1, такие, что
Ф(Мо,хо)и^¿о^о^о) = ив¿о, хо), Ф(Мо, хо)ип(¿о,^о,хо) = и"(Мо,хо) для любого £ € 7 и если х € ия(т, ¿о,хо), то
|Ф(2, ¿о, хо)Ф-1(т, ¿о, хо)х| < а|х|е-Л1 (4-т) для £ > т, ¿, т € (1.3)
и если X € ип(т, ¿о, хо), то
|Ф(Мо,хо)Ф-1(т^о,хо)х| < а|х|е-Л2(4-т) для £ < т, ¿, т € 7. (1.4)
Линейное подпространство ия(£о,хо) = ия(£о,^о,хо) называется устойчивым линейным подпространством, линейное подпространство и"(¿о,хо) = и"(¿о,^о,хо) — нейтральным линейным подпространством.
Пусть К € 2 — компактное интегральное множество системы (1.1). Положим К,о = {х € К2 : (¿о,х) € К}. Множество К будем называть слабо гиперболическим, если выполнены следующие два условия:
(1) линейная система (1.2) слабо гиперболична на К с константами а, Ах и А2 для любой точки (¿о , хо) € К;
(2) существует г > 0 такое, что при любых (¿о,хо) € К существует 1-мерный диск I)(¿о, хо) С радиуса г такой, что
(1) хо —центральная точка I(¿о,хо);
(п) если х € -I(¿о,хо), то в точке (¿о,х) линейное подпространство и"(¿о,х) касается диска -I (¿о, хо);
(ш) множество -(¿о,хо) = {(¿, х) : ^ — ¿о| < г, х € -I(¿, х(2, ¿о, хо))} является
локально интегральным.
Заметим, что в этой работе мы не предполагаем липшицеву зависимость и"(¿о,хо) от хо, теряя, очевидно, при этом свойство единственности дисков. Вместо липшицевости мы потребуем выполнения следующего условия:
(IV) если -11 (¿о,хо) и -12(¿о, хо) суть два диска в точке (¿о,хо) со свойствами
(1),(11), (111) то -1 (¿о, хо) = -2 (¿о, хо).
Известно, что если К является слабо гиперболическим, то существует а > 0 такое, что /(ия(¿о,хо), и"(¿о,хо)) > а для любых (¿о,хо) € К.
Для (¿о, хо) € К определим множества Т^^хо), Т2^о,хо),..., Т(^,хо) следующим образом:
Т^о,хо)= У -(¿, х), Хг+^о,хо)= У -(¿,х) для г > 1,
Т(4о,хо) = У Тг^о,хо).
Множество Т(£о,жо) будем называть листом, проходящим через (¿о,хо). В том случае, когда нам не важна точка (¿о, хо), будем обозначать лист просто Т. 2. Наряду с системой (1.1) рассмотрим ее возмущение
у = X (¿,у)+ У (¿,у), (2.1)
где У — это С 1-функция, действующая из М3 в М2.
Обозначим через ¿о,хо) максимально продолженное решение системы (2.1), удовлетворяющее условию ^(¿о,^о,хо) = хо.
Теорема. Пусть К — компактное слабо гиперболическое инвариантное множество системы (1.1), (¿', х') £ К, Т — лист, проходящий через (¿', х'); тогда для любого £ > 0 существует такое 6 > 0, что если ||У||С1 < 6, то существует непрерывное отображение Н : Т —> 2, удовлетворяющее условиям
(0) если Н(£о, хо) = (¿1, У1), то ¿1 = ¿о;
(1) |Н(г,х) - (¿, х)| < £;
(2) Т^ = Н(Т) — интегральное множество системы (2.1);
(3) линейная система
Л =-^-у (2-2)
слабо гиперболична при любых (¿о,Уо) € Т^;
(4) нейтральное подпространство V"(¿о,Уо) системы (2.2) касается множества Н(£о,—(¿о,хо)) в точке (¿о,Уо) где (¿о,Уо) = Н(£о,хо).
Доказательство. Пусть а таково, что 11а = ш1п(А1,А1 — А2). Зафиксируем Т > 0, для которого
е-(А1-<х)т < вт(а/4) -(Ах-з^т < 8™(а/5) С2 3)
~ 1000а2 ' ~ 500а2 ' 1 ' ;
Очевидно, что найдется с, 0 < с < 1/10, такое, что для любого вектора С, удовлетворяющего неравенству
/(Vу (¿о, хо), С) < са, (¿о, хо) € К, (2.4)
выполнено
а
/(£/"(£, ¿о, хо), Ф(£, ¿о, хо)С) < —, 0 < ^ — ^о < 2Т, (2.5)
са
/(£/"(*,¿0,х0),Ф(*,¿о,х0)С) < —, Т < £ — ¿о < 2Т. (2.6)
256
Обозначим N(¿о,хо) С М2 х = ¿о}, (¿о,хо) € К, — 1-мерное подпространство, перпендикулярное V"(¿о,хо) в точке (¿о,хо).
По выбранному с зафиксируем Г1 > 0 такое, что для любых (¿о, хо), (¿о, х1) € К таких, что |хо — х11 < Г1 и х1 € -О(¿о, хо), выполнено
/(V"(¿о, хо), хо — х1) < са, (2.7)
8т/([/"(^,хо),хо-X!) < (2.8)
са
А(ип(г0,х0),ип(г0,х1)) <—, (2.9)
^(/([/"(¿схо),^™^^!))) < (2.10)
Из теоремы Перрона об устойчивом многообразии нам известно, что для любой точки (¿о,хо) € К существует 1-мерный диск !р(^;о,хо) (так называемый диск Перрона) такой, что если х1 € -р(¿о,хо), то
|х(^, ¿о, х1) — х(^, ¿о,хо)| < 2а |х1 — хо| е-(Л1-ст)(4-4о), t > ¿о. (2.11)
Известно также, что радиус Ь диска ,хо) не зависит от (¿о, хо), и диск
-^¿о^о) сколь угодно мало (при должном выборе Ь) отличается от и8(2о,хо). Зафиксируем такое х, что диски х), (¿, х) € -(¿о,хо), образуют расслоение в х-окрестности диска -(¿о,хо). Существование х доказано в [3].
Далее нашей задачей будет построение системы координат в окрестности листа Т. Мы рассмотрим два типа листов и построим координаты для каждого из них. Зафиксируем (0,х) € Т. Обозначим через х1 и х2 «граничные» точки диска -(0, х). Рассмотрим соседний диск -(0, х) с центром в х и крайними точками хз и х2. Понятно, что этот процесс мы можем продолжить, рассмотрев диски с крайними точками х4 и хз, х5 и х4 и так далее. К первому типу мы отнесем те листы, у которых каждый последующий диск не пересекает ни один из предыдущих, ко второму типу — те, у которых такое пересечение существует.
Сначала построим координаты для листов первого типа. Будем считать, что г < Г1/2. Зафиксируем (0,х) € Т. Обозначим через х1 и х2 «граничные» точки диска И(0, х). Предположим, что N(0, х1) и N(0, х2) пересекаются в точке О. Проведем прямую через точки О и х и обозначим ее М(0, х)(в том случае, если N(0, х1) и N(0, х2) не пересекаются, в качестве М(0, х) мы берем прямую, параллельную N(0, х1) и N(0, х2), проходящую через х). Заметим, что в силу (2.9) и (2.10)
са 1
¿(ЛГ(0,ж),М(0,ж)) < —, зт(/(Ж(0,ж),М(0,ж))) < —.
Рассмотрим треугольник Охх2. Несложно показать, что |х — х2|/вш(/хОх2) = |Ох|/вш(/хх2О). Из этого, учитывая (2.8) и (2.10), следует, что |Ох| > 17г.
Рассмотрим теперь х € -(0, х). Проведем прямую через точки О и х и обозначим ее М(0, х). Рассмотрим треугольник Охх. Очевидно, что |Ох|/вш(/ххО) = |Ох|/вш(/ххО). Из этого, с учетом (2.8) и (2.10), следует, что |Ох| > 10г.
Таким образом, в окрестности диска -(0, х) мы можем ввести координаты (V, и), где V € -(0, х), и € М(0, V) и |и| < 10г.
Теперь рассмотрим соседний диск -(0,х) с центром в х и крайними точками хз и х2. Координаты на нем мы можем ввести тем же самым образом, что и на -(0, х). Этим же способом мы введем координаты на всех последующих дисках. Таким образом мы построим координаты на уровне = 0.
Теперь будем строить координаты на уровне = Заметим, что при изменении времени мы можем через промежуток = пересечь ту область, на которой уже были построены координаты (такое может случиться в силу того, что пространство 2 является цилиндрическим).
В том случае, если вышеупомянутое пересечение не происходит, мы ровно таким же образом, как и на диске -(0, х), введем координаты на -(¿, х(£, 0, х)). После этого
мы построим координаты на диске, соседним с -О(£, х(£, 0, х)) и так далее. Таким образом, повторяя рассуждения, изложенные выше, мы построим координаты на уровне í = £
В том случае, если через промежуток £ = кш произойдет пересечение с областью, на которой уже построены координаты, мы можем рассматривать множество
{(¿, г(2))} € К, * € [0,кш],
такое, что г(0) = г(кш) = х, г(2) —непрерывная функция (т. е. точка х соединена сама с собой), и после построения координат на И(0, х) строить координаты на О(£, г(£)).
Теперь перейдем к изучению второго типа листов. Напомним, что в этом случае, объединяя диски на уровне 2 = 0, мы получаем замкнутую кривую. Обозначим ее -О(0, х). Докажем сначала, что в этом случае найдется такое к € М, что через время кш кривая (0, х) перейдет сама в себя. Предположим противное. Введем обозначение А = х(гш, 0,-0(0, х)), г € Z.
Рассмотрим множество Ко = {х € М2 : (0, х) € К}.
Зафиксируем число п : 0 < п < X. В силу компактности К существует такое число N € М, что множество Ко не может пересекаться более чем с N непересекающимися шарами радиуса п. Рассмотрим кривые О о,-01,...,-° N-1. Эти кривые, в силу нашего предположения и в силу единственности дисков, не могут пересекаться. Введем обозначение I = {0,1,..., N — 1}. Обозначим также в = ^в^А, °).
Выберем такое число N € М, что если х принадлежит п-окрестности кривой Т°¿, г € то dist(x(7Vw, 0, х), х(Т°ш, 0, -О,)) < в.
Рассмотрим кривые °-N, -7у +1,..., -7у-1.
Несложно видеть, что их п-окрестности не пересекаются, иначе мы бы получили, что dist(JD,, °) < в. Но это, очевидно, противоречит тому, что множество Ко
не может пересекаться более чем с N непересекающимися шарами радиуса п.
Таким образом, найдется такое к € М, что через время кш кривая °(0, х) перейдет сама в себя. Так же, как и в случае с листами первого типа, мы можем рассмотреть множество {(^г^))} € К, t € [0, кто], такое, что г(0) = г(кш) = х, г^) —непрерывная функция.
Обозначим через Ь длину замкнутой кривой х(^ 0, Б(0, х)), t € [0, кш]. Обозначим также Ь = шах4е[о йш] I = шш4е[о йш] Рассмотрим такое М € М, что Ь/(2М) <п.
Теперь мы можем построить координаты на каждом из дисков О(£, г(£)), £ € [0, кто], тем же способом, каким мы строили координаты для листов первого типа, только в качестве радиуса диска мы будем брать Ь^/(2М). После этого, очевидно, мы сможем построить координаты на всем уровне t = ¿. Заметим, что каждая из кривых х^, 0, (0, х)), t € [0, кш], будет представлять из себя объединение М дисков радиуса Ь^/(2М) < Г1 и их граничных точек. Заметим также, что существует и минимальный радиус Г = 1/(2М). В этих обозначениях после замены г на г все оценки, полученные для листов первого типа, окажутся верными и для листов второго типа.
Мы построили координаты в окрестности листа Т. Положим в = шт(%/2, г) и определим для каждой (¿о,хо) € К множество
Г(^, хо, в) = {х + У : х € °(¿о, хо), у € М(¿о, х), |у| < в}
Рассмотрим отображение
У = ¥>(ео,жо) : г(^о, хо, в) —► -(¿о, хо), (2.12)
удовлетворяющее
у(х + у) = х, х € -(¿о,хо), у € М(¿о,х). (2.13)
Вообще говоря, отображение у>(4о,Хо) зависит от (¿о, хо), но для упрощения записи мы будем обозначать его просто у. Предполагается, что расположение точки (¿о,хо) напрямую следует из контекста. Заметим, что отображение у является липшицевым с константой £ = 8/3. Доказательство этого утверждения мы опустим. Заметим также, что угол между М(¿,х1) и М(¿, х2) меняется липшицево с константой С = 1/(10г).
Рассмотрим точки ¿о, х1 и уо такие, что (¿о,х1) € К и |уо — х11 < в. При достаточно малом в существует хо € -(¿о,х1) такое, что уо € (¿о,хо). Это следует из того, что диски х), (¿, х) € -(¿о, хо) образуют расслоение в в-окрестности диска
-(¿о,хо). Уменьшая, если это необходимо, в, мы получаем
81п(а/3)
Вернемся теперь к нелинейной системе (1.1). Зафиксируем с, 0 < с < 1, для которого выполнены следующие три условия.
Во-первых, для любой точки (¿о, хо) € К и уо : |уо — хо| < св выполнено
ж(Мо,Уо) € Г 0 , 0<£-£0<2 Т. (2.15)
Заметим, что при достаточно малом с и уо : |уо — хо| < св линейная система (1.2) слабо гиперболична на интервале 0 < — ¿о < 2Т с константами 2а, А1 — а и А2 + ст. Это означает, что отображения (¿,х) —> ип'8(2, х), (¿, х) € К, имеют непрерывное продолжение на св-окрестность К.
Второе условие на с — это выполнение неравенства
(2.16)
при (¿о, хо) € К, |хо — уо | < св.
В-третьих, для любых (¿о,хо) € К, |хо — х^1 < св, г = 1,2, таких что /(и"(¿о,хо),х! — х2) < са, должны выполняться
а
- х(г,г0,х2)) <-, о < г-¿0 < 2Т,
са
¿{ип{г,х{г,г0,хо)),х{г,го,х1)-х{г,го,х2)) < —, т<г-г0<2т.
128
Рассмотрим (¿о,х1) € К и уо : |уо — х11 < св. Рассмотрим также хо € -(¿о,х1) такое, что уо € -р(2о, хо). Заметим, что при 0 < 2 — ¿о < 2Т
|х(^о,уо) — у(х(4, ¿о,уо))| < 2 |х(^, ¿о, хо) — х(^о,уо)|.
Теперь, учитывая (2.11) и (2.14), получаем, что ^(¿,¿0, уо) - Уо))| < 2 |ж(^о,жо) - ж(^о,уо)| <
81п(а/3)
Из (2.3) и (2.17) следует, что
. . . . . ... 4а|ио — ж Л в1п(а/4) |*(Мо,Уо)-У(*(Мо,Ц,))|< ¿а/3)' 10100У <
"^20^' Т<г~^<2Т- (2.18)
Мы выбрали Т, с, г, в и с. Положим 0 < е < св- Будем считать также, что 0 < £ < в1п(са/32)/(2С).
Зафиксируем 5 > 0, при котором выполнены следующие пять условий.
(1) Если (¿о, жо) € К и |уо — жо| < е, то
£
\у(г,г0,уо) -х(Ыо,уо)\ < + 0<t-to<2Т. (2.19)
(2) Если (¿о,жо) € К и |уо — жо| < е, то
у{Ь,Ъ,уо) 6Г ^,ж(Мо,а:о),0 , 0 < * - *0 < 2Т. (2.20)
(3) Обозначим через ¿о,Уо) фундаментальную матрицу линейной системы (2.2), удовлетворяющую условию Ф(£о,£о,Уо) = I- Заметим, что если (¿о,жо) € К, |жо — Уо| < св, то при достаточно малом 5 линейная система (2.2) слабо гиперболична на интервале 0 < £ — ¿о < 2Т с константами 3а, Ах — 2а, А2 + 2а. Обозначим через Цу(¿о, Уо) и Цу(¿о, Уо) нейтральное и устойчивое подпространства системы (2.2) на промежутке 0 < 2 — ¿о < 2Т.
Выберем 5 таким, что при (¿о, жо) € К и |уо — жо| < св
/(^о^о),^^))^^. (2.21)
Уменьшая, если это необходимо, 5, мы можем добиться, чтобы для любого вектора п такого, что /(Цу(¿о, Уо),п) < са, было выполнено
2а
А(и№,у(Ь,г0,уо)),Щ*,*о,Уо)ч) < т, 0 <¿-¿0 < 2Т,
са (2-22)
64
(4) Рассмотрим жг и Уг, г = 0,1, такие, что (¿о,жо) € К, жх € I(¿о,жо), Уг € М (¿о, жг), г = 0,1, |жх — жо | < е, | у о — жо| < е, | у 1 — жх | < е. При достаточно малом 5 и /(Цу(¿о,Уо),У1 — Уо) < са выполнено
а
/(^(¿,у(М0,Уо)),у(Мо,ш) "У(Мо,Уо)) <0 < ^ - ¿о < 2 Т, (2.23)
са
/(^(¿,у(М0,Уо)),у(Мо,У1)-у(Мо,Уо)) < —, Т<1-Ц<2Т. (2.24)
50
(5) Мы можем, уменьшая добиться того, чтобы для каждых (¿о,хо) € К, |хо — уо| < св существовал 1-мерный диск Перрона (¿о,уо) такой, что для любого У1 € !р(£о,уо) выполнено
|у& ¿о, У1) — ¿о, уо)| < 4а |у1 — уо| е-(Л1-3ет)(4-Ч 0 < г — ¿о < 2Т.
Теперь рассмотрим (¿о, хо) € К и уо такие, что |хо — уо| < £. Из (2.20) следует, что ¿о, уо) € Г& ¿о, хо), в/2), 0 < * — ¿о < 2Т. Из (2.18) и (2.19), в свою очередь, следует, что
|у(Мо,Уо) — у(у(Мо,уо))| < < |у(¿,¿о,уо) — х(£,¿о,уо)| + |х(£,¿о,уо) — ¿о,,уо)) — у(у(Мо,уо))| <
£ £ ^ £ 203 ^ ^
< —--гН---\-Ь—=-- =-£<£, Т < £ — ¿о < 2Т.
"ЗЬ + 1 200 31+1 600
В итоге,
|у(Мо,уо) — ¿о, Уо))| < £, Т < 4 — ¿о < 2Т. (2.25)
Рассмотрим множество Q, состоящее из непрерывных функций / : Т ^ М 2, удовлетворяющих следующим трем условиям:
(1) /(¿,х) € М(¿,х) при всех (¿,х) € Т;
(2) |/(¿,х)| < £ при всех (¿,х) € Т;
(3) /(¿,х) локально липшицева по второй переменной на листе Т с константой I, удовлетворяющей условию
I < tg((3/4)ca) < 1.
Другими словами, для любой точки (¿о,хо) € Т существует £1 = £1 (¿о,хо, /) < £ такое, что |/(¿о, хо) — /(¿о, х1))| < I |хо — х11 при |хо — х11 < £1, х1 € I(¿о, хо).
Введем метрику на ^ следующим образом:
¿(/1,/2)= вир (|/1(^,х) — /2(¿, х)|)•
(М)ет
Рассмотрим / € (¿о,хо) € К и уо = хо + /(¿о,хо). Для каждого т : 0 < т < 2Т определим /т = Ат /:
/т (¿о + Т, у(у(^о + Т, ¿о, уо))) = у(^о + Т, ¿о, уо) — у(у(^о + Т, ¿о, уо)).
Заметим, что /т определена корректно (доказательство мы опустим).
Покажем, что /т € ^ при Т < т < 2Т. Непрерывность /т напрямую следует из непрерывности / и непрерывности отображения хо —> у(у(£о + т,¿о,уо)). Свойство (1) является очевидным. Свойство (2) следует из (2.25). Осталось доказать свойство (3). Рассмотрим (¿о, хо) € К, х1 € -I(¿о, хо), у® = х® + /(¿о, х®), г = 0,1.
Введем обозначения у® = у(£о + т, ¿о, у®), х® = у(у(£о + т, ¿о, у®)). Из определения следует, что у® = х® + /т (¿о + т, х®). Из открытости отображения х1 —> х1 следует существование £1 = £1 (¿о + т, х1,/т), 0 < £1 < £, такого, что для любого хо, удовлетворяющего |х1 — хо| < £1 (¿о + т, х1, /т), существует хо € -I(¿о,х1), |х1 — хо| < £ 1 (¿о, х1, /)_< £, такое, что_хо = у(у(^о + т,£о,уо)).
Оценим, теперь |/т(¿о + т, х1) — /т(¿о + т, хо) | . Заметим, что у 1 — уо = (хо — уо) + (х1 — хо) + (у1 — х1). Обозначим через Рп проекцию на ип(£о+т, хо) вдоль М(¿о+т, хо).
Из того, что yo G M(to + т, xo) следует, что P"(xo — yo) = 0. Из того, что U"(to + т, xo) касается D(to + т, Xo), и из того, что sin(Z(N(to + т, Xo), M(to + т, xo))) < 1/10 следует, что
|P n(Xi — Xo)| = |x i — Xo | + O(|Xi — Xo|2).
Легко, также, получить, что |P"(yi — Xi)| < sin(ca/32) |Xo — Xi| .
В результате, при достаточно малом ei, получим
/ ca \
\Рп{У1 ~ Уо)\ < \х\ - Х0| + 2sin J |Х0 - Xi| .
Обозначим теперь через PN проекцию на M(to + т, Xo) вдоль U"(to + т, Xo). Легко доказать, что |PN(Xi — Xo)| = O(|Xi — Xo| ). То, что PN(Xo — yo) = —/т(to + т, Xo), следует из определения функции /т. Наконец, напрямую из предыдущих рассуждений следует, что PN(yi — Xi) = /т(to + т, Xi) + где | < sin(ca/32) |Xo — Xi | . В итоге,
|PN(yi — yo)| = |PN(Xo — yo) + PN(Xi — Xo) + PN(yi — Xi)| >
> |PN(yi — Xi) + PN(Xo — yo)| — |PN(Xi — Xo)| >
| — — | ca
> |/r(ío +T,xi) - /T(í0 +r,X0)| - 2sin( —) |x0 - Xi| .
Заметим, что |PN(yi — yo)|/|P"(yi — y o)| < tg(ca/4). Теперь получим | fT(t0 + т, Xi) - fT(t0 + т, X0)| < tg \xi ~ x0\ ■
В итоге, мы можем выбрать ei(to + т, Xi, /т) такое, что
|/r(ío + r,xi)-/T(ío + r,xo)| IXi-Xol, Т <т < 2Т,
при |Xi — Xo| < ei(to + т, Xi, /т), Xo G D(to + т, Xi).
Это означает, что АтQ С Q, T < т < 2T.
Теперь докажем, что оператор Ат является сжимающим при T < т < 2T.
Рассмотрим /i, /2 G Q, (to, Xo) G K, yi = /i(to,Xo), y2 = /2(to,Xo). Рассмотрим также поверхность y = x + /i(to, x), x G T.
Очевидно, что с помощью M(to,x), x G T, мы можем ввести координаты в в/2-окрестности этой поверхности. Заметим, что диски Перрона Dp(to,y), где y = x + /i(to,x), x G T, образуют расслоение в этой окрестности. Таким образом, по аналогии с отображением у мы можем рассмотреть отображение ууi : Гуi (to, yi, в/2) —► /i(to, D(to, xo)). Теперь рассмотрим поверхность y = y(to + т, to, x + /i(to, x)), x G T. На ней мы ровно таким же образом можем ввести координаты и рассмотреть отображение ууi : Гу1 (to + т, y(to + т, to, yi), в/2) —► /(to + т, D(to + т, Xi)), где Xi = y(y(to + т, to, yi)).
Повторим еще раз все рассуждения, предваряющие неравенство (2.18). В результате, используя второе из неравенств (2.3), получаем
\y(t0+T,t0,y2) -y/i(y(ío + T,ío,2/2))| < ^ |yi ~У2 \ =
= ^\f1(to,xo)-f(to,xo)\<^d(f\f).
В итоге, d(ATf\ATf ) < ±d{f\ /2), /\ /2 &Q,T <r < 2T.
Итак, оператор AT является сжимающим при т G [T, 2T]. Из этого следует существование неподвижной точки gT, для которой выполнено AT gT = gT.
Обозначим g = gT. Для каждого рационального числа р = p/q G [0,1] мы имеем At+pt = AT+q. Таким образом, g = gT+рт для всех рациональных р G [0,1]. Из непрерывности получим g = gT для T < т < 2T. Для 0 < т < T имеем ATg = AT At g = AT+t g = g. В итоге, AT g = g для всех т > 0.
Положим h(t,x) = (t, x + g(t, x)). Очевидно, что множество Yy = h(Y) является интегральным множеством системы (2.1). Из определения множества Q напрямую следует, что
|h(t,x) - (t,x)| < е.
Мы построили непрерывное отображение h и доказали свойства (1) и (2). Вблизи листа Y мы отыскали инвариантное множество системы (2.1). Свойства (3) и (4) доказываются методами, изложенными в статье [1]. В этой работе мы их опустим. Теорема доказана.
Литература
1. Pliss V. A., Sell G. R. Perturbations of attractors of differential equations // J. Differential Equations. 1991. Vol. 92. P. 100-124.
2. Pliss V. A., Sell G. R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets //J. Differential Equations. 1997. Vol. 149. P. 1-51.
3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
