О существовании локально-интегральной поверхности нейтрального типа у существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. А. Ильин

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛОКАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА У СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ*

Введение

Локальный анализ поведения решений в окрестности особой точки является одной из самых важных и старых задач качественной теории дифференциальных уравнений. Она берет свое начало от работ А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. Достаточно быстро было установлено, что у квазилинейных систем с гиперболической матрицей линейного приближения существуют две инвариантные (т. е. состоящие из целых траекторий) поверхности: устойчивая, на которой решения стремятся к точке покоя с ростом времени, и неустойчивая, на которой решения от точки покоя убегают. При этом поведение остальных решений полностью определяется этими поверхностями.

Однако в разных разделах математики и, в первую очередь, в теории устойчивости движения, огромное значение имеют так называемые критические случаи, когда у матрицы линейного приближения есть собственные числа с нулевой вещественной частью (критические собственные числа). Первым такие системы стал разбирать

А. М. Ляпунов, и ему принадлежат совершенно замечательные, как по глубине, так и по технике исполнения, результаты. Его исследования носили, если так можно выразиться, алгебраический характер: делались виртуозные преобразования и замены переменных, удивительным образом упрощавшие исходную задачу и сводившие ее к системе меньшей размерности, при этом геометрическая природа происходящего, по видимому, оставалась не очень ясной. В 1934 году Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым для случая одной пары чисто мнимых собственных чисел было впервые доказано существование инвариантной поверхности нового — критического — типа. Постепенно становилось ясно, что в задаче об устойчивости точки покоя оно играет решающую роль. Наконец, в 1964 году В. А. Плиссом было доказано существование критического (нейтрального, центрального) многообразия в самом общем случае и им же был установлен замечательный принцип сведения, полностью проясняющий геометрию происходящего в критическом случае [7].

В 1966 году В. А.Плисс публикует работу [8], в которой существование инвариантной поверхности доказывается новым способом, совершенно отличным от применявшихся ранее (см. также [9]). Этот способ был настолько универсальным, что оказалось возможным его применение и к системам, в которых вообще нет линейных членов, к так называемым существенно нелинейным системам. Такое применение было осуществлено учениками В. А. Плисса — В. Л. Лубихом, В. Н. Монаковым и автором настоящей статьи.

В представленной работе как раз доказывается существование интегральной поверхности критического типа у существенно нелинейной системы. Используется та же схема

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4609.2006.1).

© Ю.А.Ильин, 2007

рассуждений, что и в [8, 9]. Сама система подобного вида впервые появилась в статье

В. Л.Лубиха [5]. Он рассматривал автономный случай, а ограничения накладывал на собственные числа симметризованной матрицы Якоби от правых частей (как и в [8]). Мы рассматриваем произвольную зависимость от времени и используем логарифмические нормы Лозинского, дающие существенно более общее условие. В [1] автором был ранее изучен периодический случай.

§ 1. Формулировка основного результата

Рассмотрим при ||z|| ^ а и всех t £ R систему дифференциальных уравнений вида

x = X(t, z), y = G(y) + y>(x) + Y(t, z), (1)

где z = (x, y) £ Rp x Rq, вектор-функции X, G, и Y непрерывны по своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по x, у и z. Пусть X(t, 0) = 0, G(0) = ^(0) = Y(t, 0) = 0 Vt £ R.

Предположим далее, что G(y) есть однородная функция степени к ^ 1 : G(Ay) = AkG(y), где ( —1)k = -1, и что существует такое а > 0, что

7*(G'(y)) < а||y111. (2)

Здесь y*(A) обозначает верхнюю логарифмическую норму Лозинского матрицы A [2, 3]. Ради экономии места мы не приводим ее определение и свойства, подробно изложенные в упомянутых статьях, однако знание их существенно необходимо для понимания доказательства.

Относительно ^(x) также предположим, что она — однородная функция степени m > k : <^>(Ax) = Am^(x), и что существуют такие постоянные pi > 0, p2 > 0, что

|b(x)|| > pi||x||m, (3)

|Hx)|| < P2||x||m-i. (4)

Наконец, пусть в некоторой окрестности начала координат ||z|| ^ а выполняются неравенства

||XZ(t,z)||, ||Yz'(t,z)|| < Ci||z||m-i, (5)

||Y(t,x,0)|| < C2||x||m+1, (6)

где a, C'i,C,2 > 0. Мы считаем, что ||x|| и ||y|| есть произвольные нормы в Rp и Rq, и

что ||z|| = max(||x||, ||y||).

При сделанных предположениях справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Уравнение G(y) + ^(x) = 0 определяет y как однозначную, непрерывно

дифференцируемую функцию от x : y = f (x), и существуют такие постоянные а >

0, в > 0, T > 0, что

а||x||m/k < ||f (x)|| < e||x||m/k, (7)

||f'(x)|| < T||x||m/k-i. (8)

Основным результатом данной статьи является следующая теорема.

Теорема 1. При сделанных предположениях по любому Ь £ (0,1] можно указать такое е(Ь) > 0, что система (1) имеет локально-интегральную поверхность, представимую в виде у = д(і, ж), где д : {(і, ж)| ||ж|| ^ є(Ь),і £ Д} ^ Д9 есть непрерывная

по своим аргументам вектор-функция, удовлетворяющая следующим свойствам: при всех £ и ||х||, ||Х|| ^ е(Ь) выполняется д(£, 0) = 0,

||д(*, х) - д(£,X)11 < Ь||ж - Ж||, (9)

||д(£,х) - /(х)|| < а/2||ж|Г/к, (10)

где /(ж) и а взяты из леммы 1.

В работе [1] был доказан аналогичный результат для периодических систем. Это

было проще, ибо искомая поверхность ищется как неподвижная точка оператора сдвига

вдоль решений в соответсвующем пространстве. В периодическом случае достаточно брать сдвиги за период.

Структура работы такова. В § 2 доказывается лемма 1; § 3 посвящен доказательству теоремы 1. В § 4 разбирается контрпример, показывающий, что необычные на первый взгляд предположения относительно вида правых частей второго уравнения системы (1) касаются существа дела. Если эти предположения не выполнены, то интегральной поверхности нейтрального типа у системы может и не быть. Сам пример был анонсирован в [1], но автор счел полезным привести его в подробном виде в данной работе.

§ 2. Доказательство леммы 1

Заметим, что С(у) = ^С'(у)у, так как функция С(у) однородная степени к. Из свойств обычной нормы и определения логарифмической нормы (см. [3, 2]) следует цепочка неравенств

-||СЫ||<Дто^(||У + СЫ||-||У||)<Дто1(||^+^Ы||-1)||У||<

Отсюда ||6?(г/)|| ^ §1Ы|Й- Аналогичным образом, для ||у>(ж)|| имеем ||у>(ж)|| =

(4)

||1/ш^/(ж)ж|| ^ Р2/т ||ж||т. Из этих оценок легко вывести, что для любого хо найдется такое ! > 0, что при ||у|| = ! выполняется

||ОД|| > |Ь(хо)||. (11)

Действительно, достаточно взять ! < ((р2к)/(т<г) ||жо||т)1/к, тогда

Шу)\\>^Ы\к = ^Ы\к > Р-\ЫГ >Ых0)\\.

к к т

Если переписать неравенство (11) в виде

||(ОД + у>(жо)) - ОД|| < ||ОД||,

то из него следует (см. [4]), что векторные поля С(у) + ^(жо) и С(у) на сфере ||у|| = ! невырождены и гомотопны, а значит имеют одинаковое вращение. Так как вращение нечетного поля С(у) отлично от нуля, вращение поля С(у) + у>(жо) также отлично от нуля. Поэтому внутри сферы ||у|| = ! есть точка уо, где вектор поля аннулируется

С(ус) + ^(жо) = 0. Покажем, что она единственная. Допустим, что есть еще одна такая точка уі = у0. Тогда

І

-ЦС'(уо) - G(yi)|| < lim -(||уо -Уі + h(G(y0) - С?(уі))|| - ІІУо - Уі\

h——+0 h

r*1

1 Г1

^ + h G'(yi + °(y° - yi))d°\\ - i) \\yo ~ У1ІК

h—+Q h V Jq )

<Y*( J G/(yl + %0 - yl)) d^ | |yo - yl 11 < J 7*(G/(yl + 0(yo - yl)) dtf |yo - yl ||.

Учитывая (2), получим

||G(yo) - G(yl

||yl + 0(yo - yl)|| dtf | |yo - yl

Так как О(уо) = О(у1) = у>(жо), левая часть неравенства равна 0, а правая больше 0. Противоречие.

Итак, мы показали, что для любого жо равенство О(уо) + ^(жо) = 0 определяет уо как однозначную функцию от жо : уо = /(жо). Докажем теперь дифференцируемость и, следовательно, непрерывность /. Если у = 0, то мы можем воспользоваться теоремой о неявной функции. Для этого проверим, что det С/(у) = 0 при у = 0. Допустим противное, пусть матрица С/(у) особая. Тогда существует такой вектор у = 0, что С/(у)у = 0. Совершенно аналогично выводу самого первого неравенства в этом параграфе можно доказать, что

||С/(у)у|| > -7*(С/(у))||у|| > а||у||к-1||у||.

Левая часть этого неравенства равна 0, а правая нет. Противоречие.

Из однородности и знакоопределенности О и ^ следует, что О(у) =0 у = 0

и ^(ж) = 0 ^ ж = 0. Стало быть, /(0) =0 и /(ж) = 0 при ж = 0. Тогда при ж = 0 в окрестности точки (ж,/(ж)) к уравнению О(у) + ^(ж) = 0 применима теорема о неявной функции, гарантирующая существование С1- решения. В силу единственности оно совпадает с /(ж). Стало быть / € С1 при ж = 0.

Прежде чем доказывать непрерывность и дифференцируемость / в 0, выведем неравенства (7). Имеем

0 = G(f (Ax)) + y>(Ax) = G(f (Ax)) + Am^(x).

Поделив на A”

получим

0 = A—m G(f (Ax)) + y>(x)

G(A—m/k f (Ax)) + ^(x).

Поскольку f (x) —единственное решение уравнения G(y) + ^(x) = 0, заключаем, что f (Ax) = Am/kf (x), т. е. что f есть однородная функция степени m/k. Полагая теперь а = min ||f (x)|| и в = max ||f (x)|| при ||x|| = 1 и учитывая однородность, получим (7).

Из правой части неравенства (7) сразу же следует, что f (x) ^ 0 при x ^ 0. Покажем, что существует производная f '(0) =0. В самом деле, для любой частной производной по i-й координате вектора x от j-й координаты вектор-функции f имеем

.................I'........................" .................")

ї№

h,

, О)

m/k— 1

1

0

Переходя к пределу при h ^ 0, получим fj X (0) = 0. 46

Наконец, поскольку / есть однородная функция степени т/к, // есть однородная функция степени т/к — 1. Полагая Т = тах ||//(ж)|| на сфере ||ж|| = 1, получим (8). Лемма доказана.

§ 3. Доказательство теоремы 1

Доказательство основной теоремы 1 заключается в том, что искомая поверхность ищется как неподвижная точка оператора сдвига по решениям, в соответствующем пространстве поверхностей. Общий ход рассуждений повторяет схему работы В. А. Плисса [8]. Доказательство разбивается на последовательность лемм.

Прежде всего, возьмем финитную функцию пд(ж) класса С1 со следующими свойствами: пд(ж) = 1 при ||ж|| ^ А, 0 < пд(ж) < 1 при Д < ||ж|| < 2А, пд(ж) = 0 при ||жН > 2А и, наконец, ||пД(ж)|| ^ 2/А. Хорошо известно, что такие функции существуют. Положим Х(£, г) = пд(ж)Х(£, г) и У(£, г) = пд(ж)У (£, г) и рассмотрим новую систему

X = Х(М), у = С(У)+ ^(ж)+ У(М). (12)

При ||ж|| < А она совпадает с системой (1), а при ||ж|| ^ 2А принимает вид

Ж = 0, у = С(у) + у>(ж).

Следовательно, для любого решения задачи Коши (ж, у)(£, £0, жо, уо) с начальным данным ||жо|| ^ 2А имеем ж(£, £о, жо, уо) = жо, а это означает, что цилиндр ||ж|| = 2А есть интегральное множество (состоит из целых интегральных кривых) для системы (12), и решение с начальным данным ||жо|| < 2А остается всегда внутри него. Для системы (12) оценки (2), (3), (4) и (6) остаются без изменений, а в (5), как несложно показать, лишь изменится константа С1 .

Мы докажем теорему 1 именно для системы (12). Поскольку при ||ж|| < А она

совпадает с системой (1), ее интегральная поверхность в области ||ж|| < А будет искомой

локально-интегральной поверхностью для (1).

Определим множество

Я = {(*,*,у) : ||у|| < ||ж|| < а, ||у - /(ж)|| < |||ж|ГЛ * е Щ.

Из (7) следует, что если (£, г) € Н,

||ИГ/Ч||у||^(| + /з)|МГ/й. (13)

Оценим ||У(£, г) || в Н. Так как У(£, г) = У(£, ж, 0) + /о1 У,/(£, ж, 0у) ^0 у,

||У(М)|| < С2||ж||т+1 + / 1||Уу/||^0 ||у|| < С2||ж||т+1 + С^1||(ж,0у)||т-1Й0 ||у||.

оо

Так как ||у|| ^ ||ж|| в Н, согласно определению ||г|| = ||ж||. Поэтому

||У(М)|| < С2||ж||т+1 + С1||ж||т-1||у||.

И учитывая (13), получим окончательно

||У^,г)||<С72||ж|Г+1 + С71(|+/з)||ж|Г+т/^1. (14)

Обозначим через Н(е) те точки множества Н, для которых ||ж|| ^ е.

Лемма 2. При малых е> 0 поверхность Р = {(£, г) : \\у — /(ж)|| = ^||ж||т/й, ||ж||^ е, £ € Д} есть множество точек строгого входа в Н(е) для решений системы (12).

Доказательство. Рассмотрим функцию ТУ (,г) = \ \у — /(ж)|| — ^||ж||т/й. Очевидно, что Ш|я(е) < 0 и Ш|р = 0. Ясно, что нам достаточно доказать, что .О+Ш < 0 на Р, где обозначает правостороннюю производную в силу системы (12) [10]. Имеем

В+Ш = Б+\\у- /(х)\\- ^||я||т/*-1£>+|М|.

Оценим по отдельности каждое слагаемое.

Так как ^(г/-/(ж)) = С(у)+ср(х)+У(г, z)-f,(x)X(t, г) = С(у)-С(/(х))+У-/'-Х = /о1 &у (/ + 0(у — /))^0 (у — /)+ У — / / • X, применяя (14), (8), (2) и (5), получаем

1

^ II.,. -*‘/„,411 ^ I I

£+||у — / (ж)|| < 7* / С/ (/ + 0(у — /)^0 ||у — /1| + ||У|| + ||/||||Х ||<

о

1

11/ + %-/)11^1^11у-/Н + С’2||х|Г+1+С71(| + /з)||х|Г+т/^1 +

+Т\\х\\т/к-1—\\х\\т. (15)

т

Несложно убедиться, что для любых и, V € Д9

Г1

|и + 0^ — и)||^0 ^ dтах(||и||г, |^||г), (16)

о

где d = тт ||в1 + 0(в2 — в1)||^0 > 0 по всем ||в1|| = 1 и ||в2|| ^ 1. Отсюда, с учетом (7), выводим /о1 ||/ + 0(у — /)||к-1^0 ^ d||/||к-1 ^ dаfc-1 ||ж||т(к-1)/к. Подставляя это в (15) и заменяя ||у — /(ж)|| на #||ж||т/й, окончательно получаем

о

тто

^ак „( а Т\

0+\\у-/{х)\\< ^_^_+ ^ + /3+^ 1ИГ/к_1]] 1МГ- (17а)

Для второго слагаемого имеем Д+||ж|| ^ — ||Х(£, г)|| ^ —С1/т||ж||т, т.о.

_™\\х\Г/к-1в+\\х\\ ^ ^Мш+ш/к-1 (17Ь)

Соединяя вместе (17а) и (17Ь) и полагая -\- [3 ^ получим

7 к

^|р<(-^ + (С2|И| + Сз|ИГА-1))|ИГ.

Поскольку т/к > 1, найдется такое е > 0, что при ||ж|| ^ е будет выполняться

где V € (0,1). Более того, V может быть выбрано сколь угодно малым за счет уменьшения е. Полученная оценка доказывает лемму 2.

Рассмотрим пару решений системы (12) г*(£) = (ж*,у*)(£) = (ж, у)(£, £о, г*), г = 1, 2 и обозначим через Аг(£) = (Аж, Ау)(£) = г1(£) — г2(£).

Лемма 3. Для любого Ь € (0, 1] существует такое е(Ь) > 0, что если (£о, г*(£о)) € Н(е(Ь)) и ||Ау(£о)|| < Ь||ж(£о)||, то

||Ау(£)|| < Ь||Аж(£)||

для тех £ ^ £о, при которых (£, г*(£)) € Н(е(Ь)).

Доказательство. Допустим противное. Тогда должен существовать такой момент времени т ^ £о, что

||Ау(т )|| = Ь||Аж(т )||, (18)

||^+Ау(т)|| > Ь^+||Аж(т^. (19)

Предположим, для определенности, что тах ||ж*(т)|| = ||ж1 (т)||. Тогда ||г*(т)|| =

11ж 1 (т)|| и ||Аг(т)|| = ||Аж(т)||, так как ||ж*(т)|| > ||у*(т)|| и по условию (17) ||Ау(т)|| <

||Аж(т )||.

Система уравнений для Аж(£) имеет вид

dД ж ~ ~ /*1 ~

---------= Х(£, 21) — Х(£, 22) = X/(t, 22+0Аг(1))с1в Аг(1).

dt ]о

Следовательно,

—Ь£+||Аж(т)|| < Ь [ 1||Х/||d0 ||Аг|| < ЬС^1||г2 + 0Аг(£)||т-1 d0 ||Аж(т)||<

оо

< ЬС1||ж1(т)||т-1||Аж(т)||. (20а)

Аналогичным образом для Ау(£) можем написать

—^ ^ = ( С1 (у2-\-вАу)с1вАу-\- ( (р'(х2 + вАх)с1вАх + [ (^, 22 + вАг)<1вАг.

./о .)о ./о

Поэтому

Я+||Ау(*)|| ^17*(С/)“0 ||Ау|| + / VЦ“0 ||Аж|| + / 1||У/||“0 ||Аг||<

*=т Jо ■)о -)о

1 С1

к— 1 ЛД11 д „.I1 | / II™ | ДЛ™1|т—1

< — ||у2 + 0Ау||к—1“0||Ау|| + & [ ||ж2 + 0Аж||т—1“0||Аж||+

оо

+ С1 / ||г2 + 0Аг||т—1“0||А^||.

о

Применяя (2), (16), (13) и учитывая равенства (18), ||г*(т)|| = ||ж1(т)|| и ||Аг(т)|| = || Аж(т) || , выводим, что

^+||Дг/^)|||^<(-^ь(|)^1 + (р2 + С'1)||Ж1(-г)|Г/&-1)||Ж1(-г)|Г-^/&||ДЖ(-г)||. (206)

2

Соединяя вместе (20а) и (20Ь), получаем оценку

+ (р2 + С1(1 + Ь))||ж1(т )||т/к—1

)||ж1(т )||т—т/к ||Аж(т )||.

Выберем е(Ь) таким, чтобы при ||ж|| ^ е(Ь) выражение в скобках было отрицатель-

чтобы е(Ь) было меньше а и е из леммы 2. Мы получили противоречие с (19). Лемма 3 доказана.

Поскольку выбор е(Ь) не зависит от А, считаем, что А в системе (12) взято таким, что 2А < е(Ь). Тогда из леммы 2 и интегральности цилиндра ||ж|| = 2А будет следовать, что множество Н(2А) положительно полуинвариантно и, стало быть, всякое решение, начинающееся в нем, продолжимо на +то.

Пусть К(Ь) обозначает пространство непрерывных вектор-функций вида у = д(ж) со следующими свойствами: д : {ж : ||ж|| ^ 2А} ^ Д9, $(0) = 0, ||д(ж1) — д(ж2)|| ^

Ь\\х\ — Ж2Ц, \\д{х) — /(х)\ \ ^ ^||ж||т/й. Введем на К(Ь) метрику по формуле р{д\, 32) =

тахцх||^2Д 11$1 (ж) — $2(ж)||. Несложно проверить, что пространство (К(Ь),р) полно. Из определения К(Ь) также следует, что (£, ж,д(ж)) € Н(2А).

Зададим на К(Ь) оператор ^0,4, сопоставляющий каждому элементу д из К(Ь) следующее множество:

Выше уже отмечалось, что если ||£|| = 2А, то ||ж(£, £о, £, д(£))|| = 2А. Отсюда и из полуинвариантности Н(2А) следует, что множество Мд определено над всей областью ||ж|| ^ 2А и лежит в Н(2А) при £ ^ £о. Из леммы 3 вытекает, что оно — липшицево, т. е. может быть представлено графиком некоторой функции, удовлетворяющей условию Липшица с константой Ь. Следовательно, эта функция есть снова элемент из К(Ь), и поэтому непрерывный оператор ^„,4 действует из К(Ь) в К(Ь).

Лемма 4. Оператор ^„,4 имеет неподвижную точку в К(Ь) при любых фиксированных £ и £о при условии £ ^ £о.

Доказательство. В силу условия Липшица пространство К(Ь) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно и, следовательно, по лемме Арцела—Асколи, оно компактно (ясно, что К(Ь) замкнуто относительно введеной метрики). Элементарно проверяется, что К(Ь) выпукло, т. е. что для любых $1,$2 € К(Ь) и любого 0 € [0,1] имеет место включение 0$1 + (1 — 0)$2 € К(Ь). Таким образом, непрерывный оператор ^„,4 переводит выпуклый компакт в себя. По теореме Шаудера—Тихонова [6] он должен иметь неподвижную точку в К(Ь). Лемма 4 доказана.

Замечание. Теорема Шаудера—Тихонова не гарантирует единственность неподвижной точки, что совершенно не принципиально, ибо критическое многообразие и не обязано быть единственным.

Рассмотрим теперь оператор ^т,о при т < 0. Пусть дт есть его неподвижная точка. Семейство {дт}т<о в силу компактности К(Ь) должно иметь предельную точку дто при т ^ —то. Зададим непрерывную вектор-функцию д(£, ж) соотношением

где £ берется произвольным. Утверждается, что у = д(£, ж) есть искомая локальноинтегральная поверхность, удовлетворяющая неравенствам (9) и (10). Покажем это.

ным,

например е(Ь) = 1/(р2 + С1(1 + Ь)) . При этом также нужно,

д(£, ж) = ^о,4дто(ж),

(21)

Утверждение очевидно при £ ^ 0, так как ^о,(дто(ж) € К(Ь). Убедимся, что и при £ < 0 также выполняется ^о,(дто(ж) € К(Ь). Предположим противное: пусть найдется такой момент времени £* < 0, что ^"о^* дто(ж) € К(Ь). Рассмотрим какую-нибудь последовательность неподвижных точек дтк, сходящуюся к дто в метрике р : дтк ^ дто при т* ^ —то. Так как К(Ь) компактно, начиная с некоторого номера к > N1 будем иметь

Но поскольку ^тк,о дтк = дтк, справедливо равенство ^о,4* д^ = ^,4* дтк. Так как тй ^ —то, начиная с некоторого номера к > N2 будет выполняться соотношение т* < £*. Для таких т* по свойству оператора ^0,4 имеем ^тк,(* дтк € К(Ь). Тогда для к > тах(^_, N2) получаем ^о>,(*дтк (ж) € К(Ь), что противоречит (22).

Таким образом, мы доказали теорему 1 для системы (12) и, стало быть, для системы (1). Как уже отмечалось, доказательство аналогичной теоремы для периодического и автономного случаев имеется в [1].

§ 4. Контрпример

Как можно было бы заметить, в системе (1) делается одно не слишком «естественное» на первый взгляд предположение относительно вида правой части второго уравнения. Мы считаем, что слагаемые наименьших порядков малости по у и ж группируются в виде знакоопределенных форм О(у) и ^(ж) со свойствами (2)-(4). Известно, что для квазилинейных систем при доказательстве существования критического (центрального) многообразия ничего подобного не требуется. Разумеется, наличие О и ^ изначально предполагалось для того, чтобы стало возможным приведенное выше доказательство. Однако последующий анализ этого предположения показал, что оно вовсе не является произволом, а связано с существом дела. В приводимом ниже примере слагаемое ^(ж) отсутствует, и в результате у системы нет многообразия критического типа, а то инвариантное множество, которое все-таки присутствует и которое можно было бы назвать инвариантным множеством критического типа, имеет достаточно сложное устройство, в частности, не является линейно связным.

Рассматривается следующая двумерная система:

где к > 1 и нечетно, а т > к +3. При ж = 0 правые части доопределяются нулем по непрерывности. Легко видеть, что выполнены все условия теоремы 1, за исключением условия существования ^(ж). Мы построим фазовый портрет этой системы в полуплоскости ж ^ 0. Поскольку эта работа является стандартной учебной задачей в рамках университетского курса дифференциальных уравнений, мы позволим себе опустить промежуточные вычисления, приведя только результаты.

Равенство ж = 0 выполняется, если или у = 0, или ж = 0, или ж = (пп+п/2) —1, п € Ъ. Заметим, что вертикальные прямые х = (пп + 7г/2)-1 —инвариантные, уравнения для них имеют следующий вид: у = —ук + (—1)"+1а/3/4(7гп + 7г/2)~т. На этих прямых располагается первая серия точек покоя х = (тт + 7г/2)-1, у = (—1)"+1(а/3/4)1/й(7гп + 7г/2)~т/к. Составляя матрицу Якоби для этих точек, находим собственные числа и вектора. Если обозначить а, = (а/3/4)1/й, Ьп = (тгп + 7г/2)-1, то первое собственное число есть А1 = —как—16т т/к < 0, его собственный вектор равен (0,1)т, а второе число А2 = ак+16т+т/к 4 > 0, точное знание его собственного вектора в нашей задаче

^о,4*дтк (ж) € К(Ь).

(22)

. \/ 3 _ О 1 . _ О 1 д/з . 1

х=------—ух соэ —, у =—у +ух соэ---------------------—х ЙШ-,

4 ж ж 4 ж

(23)

будет не важным. Таким образом, все точки этой серии суть седла и инвариантные прямые x = (nn + п/2)-1 являются их устойчивыми сепаратрисами.

Найдем остальные точки покоя. Это — (0, 0) и вторая серия точек x = 1/пп, у = 0. Положим с„ = ( — 1)"('7гп)('2~т). Тогда собственными числами второй серии будут Ai = 3/4с„ и А2 = 1/4с„, а соответствующими собственными векторами (1, —а/3)т и (—а/3, 1)т. Следовательно, это — невырожденные узлы, устойчивые при нечетном п и неустойчивые при n четном.

Далее, заметим, что на прямой у = 0 поле скоростей вертикально, причем на интервале x £ ((п(п + 1))-1, (пп)-1) для нечетного n выполняется y > 0, а для n четного

У > 0.

Рассмотрим инвариантные полосы

In = {(п(п + 1) + п/2)-1 < x < (пп + п/2)-1, у £ Д},

на которые разбивается фазовая плоскость при 0 < x < 2/п. В каждой полосе sign x = ( —1)n sign у. Легко видеть также, что для каждой полосы существют такие числа An и Bn, что

^^~\у\к + Ап\у\+Вп.

Эта оценка показывает, что внутри каждой полосы система (23) как бы диссипативна по переменой у. Более точно, для каждой полосы можно указать такое Cn > 0, что все решения с начальными данными |уо| > Cn монотонно по у-й компоненте убывают (возрастают в нижней полуплоскости), достигают отрезков у = ±Cn, пересекают их и входят внутрь прямоугольников, отсекаемых ими от полосы /„.

Всю полученную информацию мы отобразим на рис.1.

Согласно теории Пуанкаре—Бендиксона, вокруг каждого неустойчивого узла в полосе с четным п должен существовать хотя бы один предельный цикл, на который накручиваются сепаратрисы седел. Поскольку вопрос о единственности этого цикла не имеет отношения к существу дела, мы его не обсуждаем. На рис.2 приводится итоговый фазовый портрет для системы (23) в правой полуплоскости ж > 0. Понятно, что случай ж < 0 разбирается аналогично, и левая полуплоскость будет похожа на правую с учетом кратности т.

Рис. 2.

Подведем итоги. Локально-интегральная поверхность в двумерном случае должна представлять собой кривую, составленную из траекторий системы и примыкающую к началу координат. В нашем случае существует только устойчивая поверхность x = 0. Никакой поверхности вида у = g(x) быть не может: фазовая плоскость разбита на инвариантные полосы, в каждой из которых траектории стремятся либо к узлу, либо к предельному циклу. Единственная возможность для поверхности быть как-то составленной из сепаратрис седел и узлов исключается наличием циклов. Инвариантное множество «критического» типа, которое для системы (23) можно определить как объединение всех точек покоя, предельных циклов и неустойчивых сепаратрис седел, не является даже линейно связным.

С другой стороны, позволим себе в заключение очевидное замечание: наличие y>(x) конечно же не является необходимым условием. Система (1), у которой y>(x) = Y(t, z) = 0, имеет очевидное критическое многообразие у = 0.

Summary

Yu. A. Iljin. On existence of local-integral manifold of neutral type for essentially nonlinear system of differential equations.

We consider the essentially nonlinear system of differential equation (i.e. system without linear terms). We prove the existence of local-integral manifold of neutral type (central manifold) near the equilibrium point. The coefficient conditions for logarythmic norms are used.

Литература

1. Ильин Ю. А. О существовании локально-инвариантной поверхности «нейтрального» типа у периодической системы дифференциальных уравнений без линейного приближения. Деп. в ВИНИТИ, N 8226 В-88 от 12 ноября 1988 г.

2. Волков Д. Ю., Ильин Ю. А. О существовании инвариантного тора у существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 1. С. 118-119.

3. Ильин Ю. А. О применении логарифмических норм в дифференциальных уравнениях // Нелинейные динамические системы. Вып. 2 / Под ред. Г. А. Леонова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1999. С. 103-121.

4. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М., Наука, 1975.

5. Лубих В. Л. Существование локально-инвариантной поверхности при отсутствии линейного приближения // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 8, №8.

6. Люстерник Л. А., Соболев И. И. Краткий курс функционального анализа. М., Высш. школа, 1982.

7. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964. Т. 28, №6.

8. Плисс В. А. К теории инвариантных поверхностей // Дифференц. уравнения, 1966. Т. 11, №9.

9. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М., Наука, 1977.

10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.