О существовании решений первой краевой задачи для уравнений третьего порядка составного типа в неограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956

Т.Д. Джураев, А.Р. Хашимов

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Доказаны теоремы существования первой краевой задачи для уравнения третьего порядка

составного типа в классах функций, растущих на бесконечности.

Интенсивное развитие теории обобщенных функций позволило установить теоремы единственности и существования в соответствующих классах растущих функций для линейных уравнений эллиптического и параболического типов в областях с некомпактной границей в зависимости от геометрических характеристик области (см. [1, 2]). Для уравнений нечетного порядка, занимающих важное место в прикладных вопросах, аналогичные исследования до настоящего времени почти не проводились.

Поэтому целью данной работы является исследование в неограниченной области Ос • + = {х: х1 > 0} вопроса о существовании обобщенного решения задачи

единичный вектор внутренней нормали к Г в точке х.

Здесь и в дальнейшем предполагается, что по повторяющимся индексам ведется суммирования от 1 до п.

Отметим, что вопрос существования обобщенного решения задачи (1), (2) в ограниченной области исследован в работе [3].

Будем считать, что в некоторой окрестности любой своей точки гиперповерхность Г представима в виде ху- = %(х1,* ,xj_1• ,xj+1,• ,хп) при каком-либо у, где % принадлежит клас-

Предположим, что все коэффициенты в (1), а также функции а (х), ак (х) (к = 1, п) и их производные, встречающиеся в дальнейшем, ограничены и измеримы в любой конечной подобласти О .

Далее всюду подразумеваем, что

1Аи + Ви = / (х),

(1)

(2)

где

Аи = а' (х)ихх + а' (х)их + а( х)и;

Ви = Ь' (х)ихх + Ь‘ (х)их + а( х)и;

1и = 10и + а (х)и, 10и = ак (х)ихк, Г = ЭО; с0 = {хе Г: ак(х)ук(х) = 0}, о1 = {хе Г: ак(х)ук(х) > 0}; а2 = {хеГ:ак(х)ук(х)<0}, у(х) = (^,* ,уп) —

при х еОиГ, X е • п; а0, а1, d0, d1, с10, с11, с0 — положительные постоянные,

где

Р = cf - (a'ak)x + a'a] + -(aka')x ;

і v /xk 2 k

-,#k л L і ^#k

сУ = Ь + а а", сі = Ь' + а а' - а а', с, = Ь + а а - а а.

1 7 1 7 1 Л^.

Пусть (От} — семейство конечных подобластей области О, зависящее от параметра т єП = (т :0 < т < т0}, т0 <¥. Будем предполагать, что От сОт,, если т < т'. Обозначим « = ЭОт \ ЭОт,. Будем предполагать, что « — связная (п -1) -мерная поверхность, обладающая той же гладкостью, что и ЭО , а её граница Э«т с ЭО.

Положим Гт =ГпЭОт, а от = (х єГт: а \ = 0}, а^ = (х єГг: а \ > 0}, а 2д = (х єГг: а\ < 0}. Для к > 0 определим а1Лд = (хє а1д : р(х,Эа1д) > Л}, а£ = а1д \ аи,т.

Пусть Е(От) есть множество функций $ из класса С2(От) таких, что ф = 0 на Гт и для некоторого к > 0 будут 10Ф = 0 на а0т и а2 т и а1к!т.

Через Н (От) обозначим замыкание Е (От) по норме

| (ёуахах] + а 2)<3х + |

о

akvka'JaX юх,

Рассмотрим билинейную форму

ai(u,J) = J[akapux jx xj + (aV)- akatux jxt -

* (3)

-c1uxjxj + (cj - a <a - OJ + (C - < + C/x,xj)uJ] dx-О п р е д е л е н и е. Назовём обобщенным решением задачи (1), (2) в области W функцию u(x), такую, что для любой конечной подобласти Wt области W, u(x) е H(Wt) и выполняется соотношение

a1(u,J) = J f • Jdx (4)

Wt

для произвольной функции J(x) е E(Wt), J = 0 на St.

I. Пусть сначала ak = const, k = 1, n, a1 > 0 . В данном случае в работе [3] доказано приня-

тие обобщенным решением второго из условий (2) в среднем.

Для простоты изложения предположим сначала, что St = Wn{x: x1 = t + g} для любого tе [0,t0], g = const.

Введем обозначения:

Q(u) = d,juxux -q'u , g = a1dG2 • (a) , P(,) = supB(x),

' ] s,

B(x) = max|2-1 {^a1a1 + c^ -(a1a])X ,g|.

Положим

G < Я (т) < inf

J Q(v)ds

J v2 ds

(5)

(6)

(7)

где N — множество функций V , непрерывно дифференцируемых в окрестности « при х єО и равных нулю на « пГ .

Пусть функция Ф(т) положительная при т єП такая, что

Ф(т) > Я" 2 (т) + Р(т )Я г(т). (8)

В дальнейшем на протяжении всей работы изложение будет вестись в зависимости от типа области. Исходя из этого, рассмотрим два класса областей О, для которых выполнено одно из условий:

ЭФ (т -1- > е Vт єП, е = со^, 0 < е < 1;

А) Э,

ЭФ (т)

В)

Эт

< e Vт є П .

б

Пусть t (Ь) является решением уравнения

dt Ф

d р et + Ft

или уравнения

в случае А) (9)

dt Ф В) (10)

— =---------------- в случае В), (10)

d р et + e

удовлетворяющим условию t (0) = 0, где функция Ф такова, что правые части (9) и (10) будут абсолютно непрерывны.

Для задачи (1), (2) будут справедливы следующие теоремы (см. [4]).

Т е о р е м а 1 (аналог принципа Сен-Венана). Пусть u(х) является обобщенным решением задачи (1), (2) в области W из класса А), причем

(aV)х - (ala‘j)хх + 3cj х - 2a‘a - 2cJ > 0 и f (х) = 0 в W . (11)

I I j I j t

Тогда при любых R и R, таких, что 0 < R0 < R , имеет место оценка

Г [ t(R) eSdSJ г

J Q(u)d* < exp j- J \ J Q(u )dx . (12)

W (R0) [ t (Rq) Ф (s) Jnt (R )

Т е о р е м а 2 (аналог принципа Сен-Венана). Пусть u( х) является обобщенным решением задачи (1), (2) в области W из класса В), причем выполнены условия (9). Тогда при любых Rq и R, таких, что 0 < R < R0, имеет место оценка

J Q(u) dx < lR±1exp{-(R - Rq)} J Q(u)dx . (13)

W t (Rq ) 1 W

^(Rq) Wt(R)

Т е о р е м а 3 Пусть для каждой из областей Wt(К) имеем A(Wt(k)) > 0 , а функция f (х) определена в W и удовлетворяет соотношениям

A-1(WT(k)) J f2dx < C5 exp 1(1 - 5) f \, k = 1,2,- ,

Wt(k) I 0 F(s) J

где 5 = const, 0 < 5 < 1, постоянная C5 не зависит от k , t (k) — функция, определенная в (12). Тогда существует единственное обобщенное решение u( х) задачи (1), (2), для которого справедливы неравенства

J Q(u^ < C6 exp J(1 - 5) J ф^)-!, k = 1,2,- .

Wt(k) J 0 Ф(S)J

Для областей из класса В) справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 4. Пусть для каждой из областей Wt(К) имеем A(Wt(k)) и пусть функция f (х) определена в W , удовлетворяет соотношениям

A-1(Wt(k)) J f^<C7exp{(1 -5)k}, k = 1,2,- ,

Wt (k)

где 5 = const, 0 < 5 < 1, e = const, 0 < e < 1, постоянная C7 не зависит от k , t (k) — функция, определенная в (13). Тогда существует единственное обобщенное решение u( х) задачи (1), (2), для которого справедливы неравенства

J Q(u)dx< C7exp{(1 -5)k}, k = 1,2,- .

Wt (k)

З а м е ч а н и е. Аналогичные результаты могут быть получены, когда St = Wn{| х|= t + g} .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. // УМН. 1976. Т.ХХХ1. Вып. 6(113). С. 142-166.

2. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. // Математический сборник. 1980. № 4. С. 588-610.

3. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990. 131 с.

4. Хашимов А.Р. // Узбекский математический журнал. 2001. № 5-6. С. 64-71.

Поступила 25.05.2003 г.