О некоторых свойствах решений задачи Коши для нестационарного уравнения третьего порядка составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 139-148.

УДК 517.956

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА

А.Р. ХАШИМОВ, С. ЯКУБОВ

Аннотация. В статье построено решение задачи Коши для нестационарного уравнения третьего порядка составного типа в многомерном пространстве и исследованы некоторые ее свойства.

Ключевые слова: задача Коши, уравнения третьего порядка, нестационарные уравнения, функция Эйри, растущие на бесконечности решения.

Mathematics Subject Classification: 35A02, 35A09, 35B40

1. Введение

Целью данной работы является исследование некоторых свойств решений уравнения

v — - — = 0 m

^ дхг дt 0

г=1 1

в области D — t) : — то < Xi < то, 0 < t ^ Т}, с начальным условием

и(х1, х2,..., хп, 0) = р(х1,х2, ...,хп), — то < Xi < то. (2)

Если в (1) п = 1, то мы получаем уравнение

Uxxx Ut — 0, (3)

которое было исследовано в работе [2]. В этой работе были построены фундаментальное решение для уравнения (3) и теория потенциалов, а также разработан метод исследования краевых задач и задачи Коши для уравнения (3). Позднее решение задачи Коши для уравнения (3) было построено в работе [16] в более широком классе и были изучены некоторые его свойства. Далее, этим же методом было построено решение задачи Коши для уравнения высокого нечетного порядка [15]

^ + (—1)' ж — 0.

ох2к+1 at

Если в (1) положить п — 2, то мы получим уравнение

UXXX + Uyyy Ut (4)

Отметим, что решения уравнения (4) и линейного уравнения Захарова-Кузнецова (см. [4],

[5])

Ut + Uxxx + Uxyy 0 (5)

A.R. Khashimov, S. Yakubov, On some properties of Cauchy problem for non-stationary third order composite type equation. © ХАшимов А.Р., Якубов С. 2014. Работа поддержана ГКНТ РУз (грант Ф-4-55). Поступила 30 октября 2014 г.

имеют аналогичные асимптотические свойства на бесконечности. Уравнение Захарова-Кузнецова (5) является одним из вариантов обобщения уравнения Кортевеге-де-Фриза в многомерном пространстве и описывает ионно-акустические волновые процессы в плазме [20]. Решение задачи Коши для уравнения (4) было построено в работе [8].

Класс корректности задачи Коши в классах функций, растущих на бесконечности, впервые был определен в работе А.Н. Тихонова [18] для уравнения теплопроводности. Дальнейшее исследование начально-краевых задач для дифференциальных уравнений четного порядка в классах функций, растущих на бесконечности, выполнено с применением аппарата теории обобщенных функций [9, 10, 11, 12, 13, 19]. В настоящее время теория линейных уравнений четного порядка (например, для линейных уравнений параболического типа) разработана наиболее полно [3, 14, 17].

В работе [1] было построено фундаментальное решение уравнения (1) в пространстве Ега+1

и(Х1 - %1,Х2 - 6, ...,хп - г - т) =

(* - Т)9 7 и - т)

(Ш4

0 - Т)1

= ^ > Т, г = 1,П,

где /(г) = / сов(Х3 - \г)(1\, -то < г < то, — функция Эйри и удовлетворяющая уравне-0

нию

/ (?) + 3 г/(г) = 0. (7)

Для функции /(г) имеют место следующие соотношения

те 0 те

[/ = [/ (г )йг = 3, [/ (г )йг =у. (8)

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть <р(х1, ...,хп) кусочно-непрерывная функция с компактным носителем Б(а.д) = [хг : щ ^ Хг ^ Ъ{], г = \,п, 0(а.,ь.) С К™ и имеющая ограниченную вариацию. Тогда функция

и^^..^^ ^ = ^ ! и (Х1 - ^1,...,хп - ^^р^^..^

К"

при Ь > 0 удовлетворяет уравнению (1) и для любого х0 Е (щ, Ь)

2 1 Дти^, ...,х°п,1) = 2ф01 - 0, ...,х°п - 0) + -ф! + 0, ...,х°п + 0).

Справедливость первой части теоремы сразу следует из свойств фундаментального решения уравнения (1) и условий теоремы. Доказательство второй части теоремы проводится по каждой пространственной переменной отдельности. Так как доказательство этой части теоремы будет аналогично работе [16] и не вызывает существенных трудностей, здесь мы не будем на нем останавливаться.

Теорема 2. Пусть функция р(х1, ...,хп) на любой ограниченной области Б(а.,ь.) = [хг : ^ xí ^ Ь], г = \,п, С К непрерывна и имеет ограниченную вариацию, а

вариация функции

Р (у) = у4+&1ф(у) (9)

ограничена при у < а0 для любого а0 = cons t. Кроме того, пусть (p(xi,...,хп) )exp^const^i^j \xi|2—г2| , при Xi ^ то, Xj < aj, j = l,n, i+j = n;

<p(x\,...,xn) ~ ), при Xj < aj, где öi, 62- положительные числа. Тогда функция

u(xi,...,xn, t) = j U (xi - C\,...,xn - Ca]t)ip(Cl,..., Ca)dC\...dCn (10)

R"

при t > 0 удовлетворяет уравнению (1) и условию

lim u(xi,...,xn, t) = p(x°, ...,x°n). (11)

(x1,...,xn,t)^(x°1,...,x°,+0)

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. С этой целью формально дифференцируя выражение (10) по xj, имеем

те сю

п d3u [ f д3U (xi - ji,...,xn - £n,t) , .

= J ... j -щ-,..., Ы^...^ =

-с -с

сю сю

д3и (£ 1,...,

—i^(xi - £i,..., xn - in)dii...din.

У У дх§

—те —те

С другой стороны,

= - '-Г {и + х,их,}.

При вычислении производных учитывалось соотношение (7). Отсюда получим

те те

-nt^ = -1 У ... J f(zi)...f(zn)lfi(^i - Zit1,...,Ca - Zntз) dzi...dzn-

^ —те —те

с с

l

3 J

-с -с

f( Zi)...f (Zj—i )f( zj+i)...f (zn)d Zi...d Zj-id Zj+i...d znx

i f (Zj )ip ^i - zit3,..., - znt1 j dzj

XI г Г( ^ )<р\$1 - 3,..., £„ - 3

= -1 [Щ1 +Щ2], г, = . (12)

3 ¿3

Докажем, что при выполнении условия теоремы 2 интеграл в правой части (12), полученный после формального дифференцирования, сходится. Исследуем сходимость интеграла (12) при ] = 1, остальные случаи исследуются аналогичным образом. Для функций Эйри справедливы следующие соотношения [16]:

/и ~ ехр/-1|1; +"^3, (13)

М ' { | г|1 ехр (-§|,|1) + 0 (М-§)) , ( '

при достаточно больших отрицательных г;

/и ~ {^ ?1:!1 - ? Р ■ (14)

{ ЯП^§|г|2 - у/? + 0 2

при достаточно больших положительных .

Пусть ] = 1, > 0, аг ^ Хг ^ Ь, г = 2, 3, ...,п.

Сначала исследуем второе слагаемое в правой части (12). Тогда из (12) имеем

—Г2 Г2 те'

-г„ гп те 1

ии(х1,Х2,...,хп, Ь) = < + + > /(г2)(1г2...< + + > /(*п)(1гпх

\—те —Г2 Г2

У—те -гп гп

-Г1 Г1 те '

X { + + \ ^ /' - * 3 - ^ 3)4 г1

У—те -г\ г\

—Г2 Г2 те

-гп гп те'

+ + >/( + + М11 + + 1з]/( гп)с1гп,

:15)

к—те -Гп Гп

У—те —Г2 Г2

где г^-достаточно большие положительные числа. Сначала рассмотрим интегралы содержащие выражение 11(х1,..., хп; х2, ...■, zn; Ь) при достаточно больших положительных г1. Пусть ге[-то; -Г1, г = 2,п]. Тогда в силу условия (13) будем иметь

—Г2

г)/(гп)(1 гп =

— Г2

— Г1

п г21 КМъ ^ Г(, 1) ^ - * 3 ....,,„ - !)<Ь1

О | J 4 ехр

\Г2

- - к 3 -о5+*)

М2

¿г2 I х ...

х О I / г- 4 ехр

- (3 -о «*( I+(|)

М2 4

(1хп | X

х О I 4 ехр

VI

- 2( 3 -о-—-(| +

2 —¿2^

б, г1

Отсюда видно, что этот интеграл равномерно сходится к нулю при г^ ^ то.

Пусть теперь х2 Е [г2, то], € [-то, -Гк], к = 3,п. Тогда в силу (13) и условий теоремы 2 имеем

те -г3 -Гп

г)/(гп)(1 гп =

-те -гз

/(г2)с1г2 / /(г3)с1гз... /(гп)с1гпх

Г2 -Г\

X

х1 - г-^Ъ 1, ...,хп - гпЬ3^ ¿г1 ~

О 14 ехр

^3

- -2 (3 "О-2- (* + (3)2^'

йх 1 1 х

— г

п

—г

п

— Г

п

хО г- 4 ехр

- 3 -о I +

(!гп 1 х

х ф[х2 /(г2)с1г2 = 1ц (^1, г)...11п(хп, г) 112 (х2, ^.

Г2

Сходимость интегралов 311(х1, Ь),..., 11п(хп, Ь) при г^ ^ то, 3 = 1, 3, ..,п к нулю очевидна. Рассмотрим интеграл 112(х2, ¿).

Ф (■

Х2 - 3) /(Х2)(1г2 ~ I ^ 3 сое ^2- Ф {х2 - 3) й^2+

Здесь

+О \1 г-4 соъ^ ¿23 - (х2 - ^3) ^2 | .

V 2

4 соъ^2- ^ Ф (х2 - г^Ь3) Ах-

Г2

— 1 —¿1 , 2 г- 3 СОБ - --т

(3 ^ - 4)

Х2 1

--¿3

2

—4—¿1

Х2 - г2Ь3

4 +¿1

Г2

Ф (х2 - г2Ь 3 ^ (1X2

^ М I = ( М) Г—1,

Г2

Ъ 4 со$(^3- - ^3) ¿г-

Г2

- 2

(3 ^ - 4)

Х2 ,3

--¿3

2

—4—¿1

Х2 - 3

4 +¿1

•Г2

Ф (х2 - г2Ь 3 ) (1X2

Г2

-5- ¿3

- ^ = ( М) -

Поэтому интеграл 112(х2, Ь) сходится к нулю при г2 ^ то.

Аналогичным образом доказывается сходимость остальных интегралов, содержащих выражение 11(х1, ...,хп, г2,..., гп, ¿).

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема.

Теорема 3. (см. [7]). Пусть вариация функции Р(х) ограничена на интервале (а, Ь), и

ь

((х)йх

< М.

Тогда

(((х)Р (х) йх

<М {|Р(*)! + Уьа(Р(я))} ,

7

ь

где ^-вариация функции на интервале (а, Ь).

Рассмотрим теперь интегралы, содержащие выражение .§(хг,...,хп, г2,..., zn, Ь) при достаточно больших положительных г\.

Пусть Е [-то, -гТогда в силу (13) и условий теоремы 2 имеем

—2

, хп, ..., Zn, ) п

— Г'

п

/(г2)(1г2... !(г,п)(хп /'(гг)<р (хг - 3 ,...,хп - ^3)

пп —те г\

0

0

2 4 ехр

-'!(3-с %+

г-п 4 ехр

- 2 хп+

'-—Ь24

2—V

(Х2\ X ...

«гп I х

X [ф ^ -^г 1) „= .а(х2,(Мп,г)Ыхи V

Г1

Сходимость интеграла .§2(х2, Ь),..., .§п(хп, Ь) при г[ ^ то к нулю очевидна. Рассмотрим интеграл .§г(хг, Ь)

J ф(х! - 3)^/'(^)«гг ~ у ^

Г1 Г1

5 (2 3 Ж \ / 1 \

г 3г1 - 4)Ф [хг - ^1 ] <гг +

+ 0

г- 4 - {хг - ^3)

г

VI

Сходимость второго интеграла к нулю при гг ^ то в правой части этого выражения очевидна. Поэтому нам достаточно исследовать первый интеграл в правой части этого выражения

те

'2 3 ж

5 (2 3 ж\ ( 4\

! й1П ( 3г? - ^ ) Ф [хг - ггЬ4 ^ <Хг

3 Ь

1?—Й1 ят^г^ - (^у - - г^ 4 + 1 ф (хг - г^3)

те 3

1П - ^ М^) | (х - V^^ 4 Ф (х - V|

— хЛ'Л

2 V 3Й1 I —V —-

1 \ 4 01

где р = г3 , ^)=(- и)

3 /

Абсолютное значение этого интеграла при достаточно больших положительных г\ ограничено следующим выражением

х - т\Ъ3

ф - г

+

— Г

п

2

+V

( 2 1\ 4, / 2 1 \

l^i — v3t3 ) ф [x1 — v3t3 ) ;v > r{

х sup

v 301 sin ^v — ^ dv

где r¡ ^ m < n.

Существование интегралов (см.[6])

x

xp sin(ax + b)dx = ap+1 Г(1 + pi) cos (b + , a> 0, — 1 <p< 0,

0

рк

J xp cos(ax + b) dx = —ap+1 Г(1 + p) sin + — j, a< 0, — 1 <p< 0 0

означает, что выражение под знаком sup сходится к нулю при г i ^ то. Следовательно, интеграл J31(x\, t) равномерно стремится к нулю при г\ ^ то.

Пусть теперь z2 Е [ г2, то), Zk Е (—то, — г к 1, к = 3, п. Тогда в силу (13) и условий теоремы 2 имеем

те —гз -г„

/ f(z2)dz2 f(z3)dz3... J^(x\,... t)dzn =

д *)d „[;, f( v (x -- ,i3

...,xn — znt3 ) dzi ~

Г2

Г1

о \ Z34 exp

i 2—-(^+*)

—z? ( i — Cz—¿2( X? + t4

-— ¿2N

dz3 I x ...

х о I Zn 4 exp

—3—C S+

2—¿24

dzn I x

х/ф (ъ — * 4) f(z 2)d (x — * ,<»), JMd*

ri

= <Ьз(х2, ^...з3п{хп, 1)з32(х2, г),131(х1, г).

Сходимость интегралов З33(х2, Ь),..., З3п(хп, 1),332(х2,1),33\(х\, Ь) следует из (16) и теоремы 3.

Аналогичным образом доказывается сходимость интегралов, содержащих выражение Jз{хl, ...,хn, Zl,гп, ¿).

Таким образом, мы доказали, что интеграл (12) равномерно сходится в И^.^). Следовательно, в силу произвольности аг, Ь^ и можно утверждать, что интеграл (12) равномерно сходится в И.

Докажем теперь верность соотношения (11). Для этого мы рассмотрим функции ф(х\, ...,хп) с компактным носителем. Предположим, что аг + 1 ^ х0 ^ Ьг — 1. Положим Ф(х1,...,хп) = Ф( аг, Ъг)<р(х1,...,хп), где

§(ai, bi)

1, если Xi Е D 0, если Xi 4. D

(a¿,b¿),

(«¿A).

з

2

Пусть

u(xi,...,xn, t) = j U [х\ -fi,...,хп — £n;t)<p(€!,..., Сп )d£i...d£n.

Rn

Рассмотрим разность

v(x\, ...,хп, t) = и(х\, ...,хп, t) — u(xi, ...,хп, t), Щ + 1 ^ Xi ^ bj, — 1.

Тогда

ki кп

Фь-.х,,t)= ff№... [дгпМх, — ^—

— X — X

X X

'' '' Л I.

^п 3 ) ^^п

+ f(zi)dzi... f( гп)^{хх z xt3 ,...,хп — zj,3 )йхп

Ь 1 кп

= VI (хг,..., хп, г) + V2(х1,..., хп, г), (16)

где кг = (Ьг - хг)^1, Ы = (хг - а^Г 3 .

В силу соотношений (13) и условий теоремы 2 для достаточно больших кг получаем

( 00 з

V(х\, ...,хп, Ь) = О | J г- 1 ехр ^-3х 13 + С (х\ - г ^^ 2 ^ | X ..

те

4 (2 3 „ / 1 \ 3 -

хО | / z— 4 exp — 3%п + С ух>п — zj,3 J J dz-п Vfcx

Отсюда видно, что v(х\, ...,хп, t) стремится к нулю при t ^ +0, ki ^ то.

В силу теоремы 3 второй интеграл в (16) оценивается следующим образом

+

|v2(х!, ...,хп, t)l ^ | (р(хг — hit3 ...хп — Kt3) +V ^р(х1 — z...хп — zrnt1); Zi > h^ A(ai, ßi)

где

ßi

A(ai,ßi) = sup

hi ^ ai ^ ßi

/(гп)(гп

«1 О-п

При выполнении условий теоремы 2 первый множитель есть ограниченная величина. Теперь исследуем А^г,^) при достаточно больших Ы ^ а.г ^ Имеем

¡1 ¡зп

! ¡(гг)(гг..^/(хп)(хп.

«1 а„

Оценим первый интеграл, а остальные интегралы оцениваются аналогичным образом

¡1 ¡1

У /Ы<Ь1 - / z:4 ? - ж) (V + О (г—2)) (г, -

«1 «1

т

~ V 2 cos - V —-,3 4

1 [3- — 4) +О 1 ))du, (17)

3 3

где j = a j2, т = ß2.

п

Первое слагаемое в (17) оценивается следующим образом:

( 2 *

v 2 cos I - v — — I аи

^ С

и 2 smfy — ^

+

v=j

+С

_в . f2 i\ V 2 sin —V--

V3 Ч

2 + т 2 + С ^7 2 —г 2

)

имеем

Второе слагаемое оценивается следующим выражением 2 ^7 2 — т 2 ^ . Окончательно

^С (~ 3 + а~ 4 ) .

sup

f(zi)dzi

Следовательно, при t ^ +0, h ^ <х интеграл (17) равномерно сходится к нулю.

□

С помощью этой теоремы можно исследовать характер роста решений и(х\, ...,хп, Ь) задачи. Для простоты исследование проводим по переменной х\. Из (10), для достаточно больших положительных чисел г\ имеем

u{хl,...,хп, г) = Г и (х -Съ...,хп - l,..., Сп)^1...с1Сп =

— и in;tMi 1 —С ъ-^ in — $n)d£i...d£n

— Г\ Г\ оо

f(z2)dz2... f(zn)dz,n

+ + } f(Zl)f(Xl — z l^3 ,...,xn — Znt3 )dzi

о

= Щ (xi, ...,Xn, t) + U2(xi, ...,Xn, t) + U3(xi, ...,Xn, t).

Учитывая (13), (14) и условия теоремы 2, имеем

|U (xi,...,xn, t)l ^К exp| |xi |2 Й2| lu3(xu...,xn, t)l ^M |xi |-

(18) (19)

Так как u2(x\, ...,xn, t) ограниченная функция, из оценок (18), (19) следует, что решение задачи Коши может экспоненциально расти на бесконечности, и порядок роста не превосходит exp ||xi|, где 82 > 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдиназаров С., Собиров З.А. О фундаментельных решениях уравнения с кратными характеристиками третьего порядка в многомерном пространстве // Труды межд. научн. конф. "Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики". Ташкент, 2004. C. 12-13.

2. L. Cattabriga Potenzial di linea e di domino per equazione non parabolica in due variable a characteristiche multiple// Rendi del. Sem. Mat. della univ. di Padova. 1961. Vol.XXXI. P. 145.

3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир. 1962. 427 с.

4. A.V. Famiskii and E.S. Baykova On initial-boundary value problems in a strip for generalized two-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation // arXiv:1212.5896v1 [math.AP] 24 Dec 2012.

v=T

5. Andrei V. Faminskii Well-posed initial-boundary value prolems for the Zakharov-Kuznetsov equation // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2008(2008), No. 127. P. 1-23.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М. 1971. 1108 с.

7. E.W. Hobson Theory of Functions of Real Variable. Vol.1. New York. 1957.

8. Хашимов А.Р., Матназаров Ж.Ш. Задача Коши для нестационарного уравнения третьего порядка составного типа // УзМЖ. 2009. 3. C.9-10.

9. Олейник О.А., Копачак И. Об асимптотических свойствах решений системы уравнений теории упругости // УМН. T. 33, №. 5. 1978. C. 189-190.

10. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Априорные оценки решений первой краевой задачи для системы уравнений системы уравнений теории упругости теории упругости и их приложения // УМН. T. 32, № 5. 1977. 193 с.

11. Олейник О.А. О поведении решений линейных параболических дифференциальных уравнений в неограниченных областях // УМН. 30:2. 1975. C. 219-220.

12. O.A. Oleinik, G. A. Yosifian On singularities at the boundary points and uniqueness theorems for solutions of the first boundary value problems elasticity // Comm. Partial Diff. Equations. 2(9). 1977. 937 p.

13. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Тавхелидзе И.А. Оценки решений бигармонического уравнения в окрестности регулярных точек границы и на бесконечности // УМН. T. 33, № 3. 1978. 181 c.

14. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. T.17, №3(105). 1962. C. 3-141.

15. Курбонов О.Т. О разрешимости задачи Коши для уравнения нечетного поярдка с кратными характеристиками // УзМЖ. 1998. №3. C. 33-38.

16. E.L. Roetman Some observations about an odd order parabolic equation // Journal of Differential Equations. 1971. 9. 2. P. 335-345.

17. Солонников В.А. О краевых задач для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1965. LXXXIII. C. 3-162.

18. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Матем. сборник, 42, 2. 1935. C. 199-216.

19. N. Week An explicity Saint Venant's principle in tree-demensionale elasticity // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 564. 1976. P. 518-526.

20. V.E. Zakharov and E.A. Kuznetsov On threedimentional solutions // Zhurnal Eksp. Teoret. Fiz., 66. 1974. P. 594-597. English transl. in Soviet Phys. JETP, 39(1974), 285-288.

Абдукомил Рисбекович Хашимов, Ташкентский Финансовый институт, улица А.Темур 60A, 100000, г.Ташкент, Узбекистан E-mail: abdukomil@yandex.ru

Собитхон Якубов,

Ташкентский Финансовый институт, улица А.Темур 60A, 100000, г.Ташкент, Узбекистан E-mail: abdukomil@yandex.ru