CC BY
17
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 6-20. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20 МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.6
ОБ ОДНОМ ТРЁХМЕРНОМ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ
ВЫРОЖДЕНИЯ
Ю. П. Апаков
Наманганский инженерно-строительный институт, 160103. Узбекистан, г. Наманган,
ул. И.Каримова,12
E-mail: [email protected]
Для параболо- гиперболического уравнения исследуются трехмерный аналог задачи Трикоми с нехарактеристическими параллельными плоскостями изменения типов уравнения. Единственность решения задачи доказана методом априорных оценок, а существование решения задачи сведено к существованию решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Ключевые слова: параболо- гиперболическое уравнение, нехарактеристическая плоскость, задача Трикоми, преобразование Фурье,принцип максимума, априорная оценка, единственность, существование, система интегральных уравнений
(с) Апаков Ю.П., 2018
Введение
Задача Трикоми и другие задачи на сопряжения для уравнений параболо - гиперболического типа имеют многочисленные приложения. Первые результаты в этом направлении содержатся в работе М.И. Гельфанда [1], где рассмотрена задача о движении газа в канале, окруженном пористой средой. При этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, а вне его - уравнением диффузии. В работах [2]-[4] приведены некоторые другие приложения таких задач. Задача Трикоми для эллиптико-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве с помощью метода интегрального преобразования Фурье впервые исследована А.В.Бицадзе [5]. Затем появились ряд работ (см.[6]-[12]), где рассматривались краевые задачи для уравнений эллиптико- гиперболического типа в бесконечной цилиндрической области. Краевые задачи для смешанных уравнений параболо- гиперболического типа в трехмерном пространстве, используя интегральные преобразования рассматривались в работах [ 13]-[ 19]. В этой работе исследуется трехмерный аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с параллельными плоскостями изменения типов.
Постановка задачи.
Пусть П - бесконечная цилиндрическая область трёхмерного евклидово пространства
6
переменных х,у,г , ограниченная поверхностью £ = и £п, где при —^ < г <
П=1
2 т 2+2
(£1) у = 0, 0 ^ х ^ 1, (£2) У---г (х — 1)— = 0,
т2 + 2
2 т2+2
(£з) У +--т:(х — 1)— = 1, (£4) У = 1, 0 ^ х ^ 1,
т2 + 2
2 т1+2 2 т1+2
(£5) У+(—х)^ = 1, (£б) У—(—х)^ = 0,
т1 + 2 т1 + 2
а
П1 = П п (х < 0, 0 < У < 1), П0 = П п (0 < х < 1, 0 < У < 1), П = П П (х > 1, 0 < У < 1), Д- = Пг- П (г = 0), г = 0,1,2, аг- = $ П (г = 0), г = 16, 11 = П п П0, 12 = П п П2, /к = 4 п (г = 0), к = 1,2. Для уравнения
{Ц* — Цу + Цг, в П0,
ихх — (—х)т 1 (Цуу + Цгг) , в П1, (1)
Цхх — (х — 1)т2 (Цуу + Цг), в П2, тг > 0, г = 1,2,
рассмотрим следующую задачу.
Задача Т2 . Найти регулярное решение уравнения (1) в области Пк, к = 0,1,2, обладающее следующими свойствами:
1) Ц (х, у, г) е С (Щ) п С1 (Пк) п С^2 (П0) п С2 (П1 и П2), к = 0,1,2;
причем первые производные непрерывны вплоть до границы области Пj, j = 1,2;
2) удовлетворяет граничным условиям
и |51 = Ф1 (х, г), 0 ^ х ^ 1, < г < +<~, (2)
U|52 = (у,z), 0 ^ y ^ 2, < z < Uls6 = (У,z), 0 ^ y ^ 1, < z <
(3)
S6 = т 1 U',4 , u ^ ,
lim U (x,y, z)= lim Uz (x,y, z) = 0. (4)
- ^
Из условия и (х,у,г) € С1 (П0) следует, что для решения и (х,у,г) при х = 0 и х = 1 выполняются непрерывные условия склеивания.
Отметим, что когда плоскостью разделения являлась только х = 0 , то аналогичная задача исследована в работе [16]. Задача с параллельными плоскостями изменения типов для параболо- гиперболического уравнения исследуются впервые.
Следуя идее А.В.Бицадзе [5], решение поставленной задачи будем искать в классе интегралов Фурье, т.е. в виде
и (х,у, г) = -1=1 и (х, у, X) е-я. (5)
—^
Имеет место следующая
Лемма. Пусть функция и (х, у, X) в области Дк, к = 0,1,2, является решением уравнения
" иу '
'Wxx - Wy - X2w, в Do
0 Н ихх - (-х)т 1 иуу + X2 (-х)т 1 и, в Д (6)
.ихх - (х - 1)Ш2 иуу + X2 (х - 1)Ш2 и, в Д
таким, что интеграл (5) допускает двукратное дифференцирование по каждому из параметров х, у, г. Тогда функция и (х, у, г), определяемая интегралом (5) является решением уравнения (1).
Обратно, если и (х,у,г) есть решение уравнения (1), представимое интегралом (5) и удовлетворяет условиям (4), то и (х,у, X) , определяемая по формуле
и (х, у, X) = -1=1 и (х, у, г) ег'Я (7)
—^
является решением уравнения (6).
Доказательство. Проводится по схеме работы [5]. □ Приведенная лемма позволяет задачу 72 свести к следующим эквивалентным ей плоским задачам.
Задача 7^ . Найти регулярное решение уравнения (1) в областях Д, к = 0,1,2, обладающее следующими свойствами:
1) и (х,у, X) € С (Щ П С1 (Дк) П СУ (Д0) П С2 (Д и Д2), к = 0,1,2,
причем первые производные непрерывны вплоть до границы области Д, - = 1,2; 2) удовлетворяет граничным условиям
и|СТ1 = ф (х,X), 0 ^ х ^ 1, (8)
где
"io-2 = W2 (У, А), 0 ^ y ^ 2, "1стб = Wl (У, А), 0 ^ У ^ 2,
(9)
ф (x, А) =
V2n
Ф (x, z) eiAzdz, Wk (у, А ) =
^k (y, z) eiAzdz, k = 1,2.
DO
oo
1
1
Функции ф (х,Я) е С2[0,1], % (у,Я) е С3[0,1 ], к = 1,2 а также выполняются условия согласования ф (0,Я) = ф£ (0, Я) = (0,Я) = 0, ф (1,Я) = ф£ (1, Я) = (0,Я) = 0 . Итак, доказательство существования решения задачи Т сводится к доказательству разрешимости задачи Г2Я для любого действительного значения параметра Я .
Априорная оценка и единственность решения
Докажем единственность решения задачи Г2Я. Отметим, что для коэффициентов уравнения (6) в области А, к = 1,2 известные условия принципа экстремума для гиперболических уравнений, указанные в работе [20], не выполняются. Поэтому доказать единственность решения задачи Г2Я с помощью принципа экстремума сразу не удается. Но, несмотря на это, можно получить оценку функции и (х,у,Я), из которого следует единственность решения задачи Г2Я .
Для этого введем новую неизвестную функцию $ (х,у, Я) по формуле
и (х,у,Я)= ехр (|Я|у) $ (х,у,Я) (10)
Тогда функция $ (х, у, Я) будет решением уравнения
[$] = $хх - $у-|Я | (1 + |Я |) $, в А),
0 = [$] = - (-х)т 1 $уу + $хх - 2 |Я| (-х)т 1 $у, в А1, (11)
[¿2 [$] = - (х - 1)Ш2 $уу + $хх - 2 |Я | (х - 1)Ш2 $у, в А2,
коэффициенты которого в области Ак, к = 1,2 удовлетворяют известным условиям Агмона, Ниренберга, Проттера [20].
Теорема 1. (Принцип положительного максимума). Пусть $ (х,у,Я) обладает свойствами:
1) $ (х, у, Я) е С(А0) П С1 (А0), причем первые производные непрерывны вплоть до границы области А, ] = 1,2;
2) $ (х, у, Я) удовлетворяет в области А0 неравенству¿о [$] ^ 0, а в Ак, неравенству ¿к [$] ^ 0, к = 1,2 ,
3)
x, (1 - 2ßi)(-x)1-2ßi , Я
2ß 1
- (-x)1-2ßi t9y
1
2 (1 - 2ß 1)
1-2ß 1
^ x ^ 0, ß1 =
x, (1 - 2ß1)(-x)1-2ß 1 , Я m 1
> 0
2 (m 1 + 2)'
Ax
x, (1 - 2ß2)(x - 1)1-2ß2 , Я
(12)
2ß 2
- (x - 1) 1-2ß2 Ay
x, (1 - 2ß2)(x - 1)1-2ß2 , Я
> 0
1 ^ x ^ 1 +
1
2 (1 - 2ß2)
1-2ß 2
ß2 =
m2
2 (m 2 + 2)'
т.е. является неубывающей функцией от x на характеристике об и о2 соответственно. Тогда функция д (х,у, Я) своего положительного максимума в области D достигает на
Доказательство. Согласно результатам работы [20] (см.§4, теорема 2') решение д (x,у, Я) уравнения (11) в области Dk, к = 1,2 принимает свой положительный максимум в некоторой точке (0,у1) е / и (1,у2) е /2 , тогда в этой точке дх (—0,у1, Я) > 0 и дх (1 + 0,У2,Я) > 0 соответственно. С другой стороны в силу теоремы 2 работы [21] и леммы 1 работы [22], получим дх(+0,у1,Я) < 0 и дх(1 — 0,у2,Я) < 0 что противоречит полученному выше неравенству.
Итак, функция д (х,у, Я) своего максимума на отрезке /1 и /2 , включая точки (0;1) и (1; 1) не достигает. Тогда из принципа максимума для гиперболических [20] и параболических [21] уравнений следует, что функция д (х,у, Я) своего положительного максимума в D достигает на о1 Теорема 1 доказана. □
В области Dk, к = 0,1,2, определим функцию
W (x,y, Я) = ±A (x,y, Я)+ Mexp [4 (1 + |Я |) x + 2y],
(13)
где $ (x,y,Я) - регулярное решение уравнения (11), M = МГ + M2 = const > 0.
Легко видеть, что L0 [W] ^ 0 области D0 , Lk [W] ^ 0 области Dk, k = 1,2. Для того чтобы функция W(x,y,Я) удовлетворяла условиям (12), достаточно положить
M1 = max об
M2 = max 02
Ax
x, (1 - 2ß1)(-x)1-2ß 1 , Я 2ß 1
- (-x) 1-2ß 1 Ay
x, (1 - 2ß1)(-x) 1-2ß 1 , Я
x, (1 - 2ß2)(x - 1)1-2ß2 , Я
(14)
2ß 2
- (x - 1) 1-2ß2 Ay
x, (1 - 2ß2)(x - 1)1-2ß2 , Я
При таком выборе для функции W (x,y,Я) выполняются все условия теоремы 1. Следовательно, функция W (x,y,Я) достигает своего максимума на оГ и отсюда
W (x, y, Я) ^ max |W (x, y, Я)|.
Oi
Переходя к функции $ (х,у,Я) , имеем |$ (х,у,Я)| ^ тах|$ (х,у,Я'
Из (14) переходя к функции и (х,у,Я) , находим
(x,y,X)| ^ max(x,y,X)| + 2 (Mi + M2)exp [2 + 4(1 + |X|)]. (15)
. 2ß 1
Mi = Мз [max|^y (y,X)| + |X|max(y,X)|] , M3 =
1
M2 = M4 [max | ^2y (y,X) | + |X| max | (y,X) |] , M4 = 1 +
2 (1 - 2fr) J 1
2 (1 - 2fr)
2ß 2
(16)
Наконец, из (15), учитывая (16) имеем
|u (x,y,X)| ^ exp (|X|) max ф (x,X)| + M5exp (5 |X|) ■
■ {M3 [max|^ y (y,X)| + |X|max(y,X)|] + (17)
M4 [max | (y, X) | + |X | max | (y, X) |]} ,
где
M5 = 2 exp (6).
Из оценки (17) следует единственность регулярного решения задач ^x и T .В самом деле, пусть Ф (x,z) = 0, (y,z) = 0, k = 1,2. Тогда ф (x,X) = 0, % (y, X) = 0, k = 1,2. Следовательно, из (17) имеем, что u (x,y,X) = 0 . Отсюда в силу (5) получим U (x, y, z) = 0 .
Существование решения
Перейдем к доказательству существования решения задачи Г2Х. Примем обозначения и (0,y, X) = T1 (y, X), ux (0,y, X) = V1 (y, X), U (1, y, X) = T2 (y, X), ux (1, y, X) = V2 (y, X). В области D0 , определим функцию
u (x,y, X)= exp (-X2y) ю (x,y, X) (19)
и решаем задачи
'®xx - = 0, ю|y=0 = ф (x, X), ®x|x=0 = exp (X2y) V1 (y,X), ю|x=1 = exp (X2y) T2 (y,X), '®xx-Юу = 0, ю|y=0 = ф(x,X),
ю |x=0 = exp (X 2y) T1 (y, X), Юx |x=1 = exp (X 2y) V2 (y, X). Решение, задачи (20) и (21) выписывается в виде
1
(21)
ю (x, y, X ) = | Gi (x, y; , 0) ф (<§, X) d<§ -0
y
-J Gi 1 (x, y;2 - i, n) exp (X 2n) T[i-(-1)i] (n, X) dn - (22)
0
y
-J Gi (x, y; i - 1, n) exp (X 2n) v, (n, X) dn, i = 1,2.
где
Gk (x, y; ^, n) =
V п (y - n)
Es exp
(x - - 4n)2 4 (y - n)
- (-1)k exp
+ (-1)k exp
(x + - 4n)2 4 (У - П)
(x + - 2 - 4n)2 4 (У - П)
exp
(x - - 2 - 4n)2 4 (У - П)
, k = 1,2,
-функция Грина смещенной задачи (20) и (21) (см.[23]).
Переходя к функции и (х,у,Я) полагая, х = 0 , затем х = 1 , из (22) получим основное функциональное соотношение между функциями т, (у,Я) и V, (у,Я) принесенное из области Do в х = 0 и х = 1
У
т« (У, Я) = - f = exp [(n - y) Я2] у,- (n, Я) dn -
J vn(У - n)
k« (У, Я)
(y - n)
\Л (y - n)
exp [(n - y) Я2] v«- (n, Я) dn -
exp [(n -У)Я2] т[«-(-1)i] (n,Я) dn-
k«(У,Я) :exp [(n -y)Я2] т[«._(_1),] (n,Я)dn + A«-(y,Я),
\л (у - n)
(23)
здесь
1
А г (у, Я) = |О, (0, у; £, 0) ехр (—Я2у) ф (£, Я) ^
0
к, (у, П) — регулярная часть функции Грина О, (х,у; £, п), г = 1,2.
Для получения соотношения между функциями т, (у, Я) и V, (у, Я) рассмотрим решение задачи Коши для уравнения (6) в области Dг■, г = 1,2 (см.[24])
и (x, У, Я) = Y1
т«- [у + а«- (2t - 1)]
[t (1 -t)]
J в«-1
2 |Я | CT«-Vt (1 -1)
dt+
+72 [x - (i - 1)]
v«- [y + а«- (2t - 1)]-
[t (1 -1 )]в
J
2 |Я | aVt (1 -1)
dt,
(24)
где
Г (2в«-) Г (2 - 20«-) 2 r ..
Y1 = , Y2 = ^, 0 [, а«- = - («- 1)] 2 ,
г2 (в ,0' Г2(1 — в ,■)
ТГ9 (г) = г (1 — я) (2)'/—, (г), ,= 1,2, / (г) — функция Бесселя первого рода.
m«- + 2
1
У
У
1
У
1
1
в
В области Д из решения (24) реализуя условия (9) и поступая как в работе [18] получим соотношения между функциями т (у, Я) и уг- (у,Я) в виде
y y
Ti (У, А) = ъ[ Vi (t, NУ + Y3 iK (y, t, А) Vi (t, А) dt + Fi (y, А)
(У -1)
(25)
где
Ki (y, t, А ) =
4- Jo
tß i (y - s)2ß ds
2^Jß t (s -1)
ßi
1 d
ty / d s
-1)2ßi d s 2 Vß У (У - s)
io
(s -1)'
- ^ßi l о '
2y/ßУ (У - s) §ß i д
(s - §)2ßi d§
Jo
2^ß t (§ -1) dB ds,
(26)
w 1-ß / d ys2ßi-1Wi (§, А) ds
F (У,А) = Y4y i Ту] (y^s)^
Ч У dt70
V ß y (y -1)
^ j s2ßi-1 Wi (2, А) dt 0 (t - s)ßi
dt ,
Y3 = 22ßi-1 (1 - 2ßi)2ß i 74, Y4 =
_EW_ ß = A2 i = 12
Г (2ßi) Г (1 - ßi), ß 4 , ,.
В х = 0 и х = 1 исключая (у, Я) и т2 (у, Я) из (23) и (25), затем применяя формулу обращения для уравнения Абеля, поменяв порядок интегрирования по формуле Дирихле, после несложных вычислений, получим системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно функции у1 (у,Я) и у2 (у, Я) :
У У
V1 (У, А ) + у Kr 1 (y, t, А) V1 (t, А) dt +J Kr 2 (y, t, А) V2 (t, А) dt = Fr 1 (y, А),
00
У У
V2 (У, а ) + y Kp 1 (y, t, А) V2 (t, А) dt +J Kp 2 (y, t, А) V1 (t, А) dt = Fp 1 (y, А),
(27)
где
1) при 0 < m,- < 2, i = 1,2, r = 1, p = 2;
K1 (y, t, А ) = -
Уз Г (1 - 2ß i)
А2 1 eA 2(t-y)§ d§
Г (2 - 2ßi) (y -1)2+2ßi n 0 §-2 (1 - §)2 +j K-п (n, t, А) dn i = 12
г+
v^ J (y - n)1
y
ß
s
s
y n
Kj2(y,t,A) = T=-d- /-dn-- /eA2(z-n>Gj-% (j- 1,n,2- j,z)dz+
v^ dyt (y - n) 2 (n -t )2ßi/
d y d n
+VÜ */eA 2 (z-n )G* (j - 1, n,2-j, z) K (t, z,A) j = 1,2,
y
1 d 1
Fki (y, A) = -= - -1 [Ak (n, A) - Fk (n, A) -
Vn dy^ (y - n ) 2
n
- />(t-
I eA2 (t-n) Gk% (k - 1, n, 2 - k, t) Fi (t, A) dt
0
2) npu m, = 2, i = 1,2, r = 3, p = 4;
A2
dn, k = 1,2,
K(2+,) 1 (y, t, A) = - -- i eA2 (t-y)% %1 (1 - %)-1 d% +
n2 Y3 + n 0
+ Y3 j K,n (n, t, A) dn + 1 f eA2(t-n>k,- (n, t) dn , = 12
n73 + / (y-n)2 Y3 + ndy/ (y-n)2 (n -1)1 , , ,
y
K(2+j)2 (yt,A) = -r^dy /"-,1dn 2ß./eA2(z-n)Gj% (j - 1n,2 - jz)dz+
n2 y3 + n (y - n) 2 (n -1)2ßj y n
+
n 2
n2 Y3 + n dy/ (y - n)2 (n - t)2ßj 73 d ' dn j f eA2(z-n(j - 1, n,2 - j,z)K1 (t,z,A) dz, j = 1,2,
Y3 + n dyt (y - n)1
y
1 d 1
F(2+k) 1 & A --rl -T [Ak (n, A ) - Fk (n, A ) -
n 2
Y3 + n dy 0 (y - n)1
0
n
-JeA2(t-n}Gk% (k- 1, n,2 - k,t)F1 (t, A)dt
0
dn , k = 1 , 2,
3) npu m, > 2, i = 1,2, r = 5, p = 6;
(2ß, - 1) sin2ß, r
K(4+i) 1 (y,t, A) = ^ - ^ sin22ßi /eA2(t--1 (1 - %)2ßi-1 d%-
Y3n2 (y -1)2 2ß0
2 1 y
A 2sin2ßin ix 2(t-y)%% - 2 (1 - % )2ß,-1 d% + sin2ßin r Ki n (n, t, A )dt + Y3n3 0 n / (y - n)
1—2ß ,
t '')
y
+ sin2ß,n d_ y eA2(t-n)ki- (t, n) dn , = 12
Y3 n3 dy/ (y - n )1-2ß(n -1)1, 1 , ,
y y
K(4+j, 2 (y, t, Я ) = ^ dy / (y - n ).4? (n -, j f^ ( j - 1, n, 2-j, z) dz+
y y
+^|2(Z-n^ ('- n,2- j,z)Kjt (',z,Я)dz, j = ,2,
y
y3sin2ßkn d f 1
F(4+k) 1 (y,Я) = TyJ (y - t)1-2вk A (t,Я) - Fk (t, Я) -
t
- [ еЯ2(z-t)Gk, (k- 1,y,2 - k,z)Fk (z,Я) dz] dt, k = 1,2,
о
Нетрудно заметить, что ядро Kj (y,t,X), непрерывно в [0; 1] х [0; 1] при y = t и допускает оценку |К/ (y, t,X) | = O (y — t)-p, где 0 < p < 1 при m = 2, p = 0 при m = 2.
На основании исследования правой части (27) заключаем, что Fn (y,X) G Cjk) П C2 (J), i = 1,6, k = 1,2, причем Fiy (y,X) при y ^ 0 может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.
Следовательно, системы интегральных уравнений (27) с непрерывным ядром при m = 2 и со слабой особенностью при m = 2 , согласно общей теории разрешимо. А это доказывает разрешимость задачи ^.
После определения функции т1 (y,X) и т2 (y,X) решение задачи T2x в области D0 находится как решение первой краевой задачи для уравнения (6)
1 а
u (x,y,X) = —= M exp [-X2 (y — n)] T1 (n,X) G| (x,y;0, n) dn —
здесь
v/2n
y
-Jexp [-Я2 (y - n)] Ф2 (n,Я) G* (x,y; 1, n) dn+ о
1
+ J exp (-Я2y) ф1 (,, Я) G* (x, y;,, 0) d,},
о
G* (x,y;,, n) = £ [V (x,y;, + 2n, n) - V (x,y;-, + 2n, n)],
—œ
" (x - ,)2 ~
V (x,y;,, n) = < V^-n
1
exp
4 (y - n )
, y > n
.0 , у < п
- функция Грина первой краевой задачи [25].
Определив функции VI (у,X) и у2 (у,X) следовательно Т1 (у,X) и т2 (у,X) решение задачи ^ в области Д, к = 1,2, выписывается в виде (25)
В заключение отметим, что для существования интеграла (5) необходимо требовать от функций ф (х, X) и % (у, X), (к = 1,2) удовлетворения следующим соотношениям
при больших значениях |А| :
Ф (x, А )= O( , „,у * „ ), W (У,А ) = O 1
|А|хexp(|А|)У гги' 7 |х+1 exp(|А|)) '
^ (y, А) = о( х 1 f АЛ , i = 1,2, \|АГ exP(|А|)/
и (x,y, А) = ), X > 3,
тогда из (17) получим оценку
1
,|Яр
которая, обеспечивает существование интеграла (5). Из указанных оценок также следуют выполнение условий (3). Таким образом, доказана следующая
Теорема 2. Пусть функции Ф (х, г) и (у, г), к = 1,2 непрерывны и стремятся к нулю при г ^ ±~, а также Ф (0, г) = Фх (0, г) = (0, г) = 0,, Ф (1, г) = Фх (1, г) = (0, г) = 0, Ф (х, г) дважды непрерывно дифференцируема по х, (у, г), к = 1,2 непрерывно дифференцируема по у до третьего порядка включительно.
Кроме того, для преобразования имеют место оценка (17). Тогда решение задачи Т2 существует и единственно в классе функций, представимых в виде интеграла Фурье.
Список литературы
[1
[2 [3 [4
[5 [6 [7
[8 [9
Гельфанд И. М., "Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений", Успехи мат. наук, 14:3(87) (1956), 3-19. [Gelfand I.M, "Nekotorye voprosy analiza i differen-sial'nykh uravneniy", Uspekhi math. Nauk, 14:3(87) (1956), 3-19].
Стручина Г.М., "Задача о сопряжении двух уравнений", Инж.-физ. журн., 4:11 (1961), 99-104. [Struchina G.M., "Zadacha o sopryazhenii dvuh uravneniy", Inzh.-fiz. zkurn., 4:11 (1961), 99-104].
Уфлянд Я. С., "К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях", Инж.-физ. журн., 7:1 (1964), 89-92. [Uflyand Ya. S., "K voprosu o rasprostronenii kolebaniy v sostavnyh elektricheskih liniyah", Inj.-fiz. zhurn., 7:1 (1964), 89-92]. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. М., Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа, Фан, Ташкент, 1986, 220 с. [Dzhuraev T. D., Sop-uev A.,Mamazhanov M. M., Kraeviye zadachi dlya uravneniy parabolo-giperbolicheskogo tipa, Fan, Tashkent, 1986, 220 pp.]
Бицадзе А. В., "Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми", Сибир. мат. журн., 3 (1962), 642-644. [Bitsadze A.V., "Ob odnom tryohmernom analoge zadachi Tricomi", Sibir.math. zhurn., 7:1 (1964), 89-92].
Нахушев А. М., "Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта", Дифференциальное уравнение, 4:1 (1968), 52-62. [Nakhushev A.M., "Ob odnom tryohmernom analoge zadachi Gellerstedta", Diff. urav., 4:1 (1968), 52-62]. Ежов А. М., Пулькин С. П., "Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа", Докл. АН СССР, 193:5 (1970), 978-980. [Ejov A.M.,Pulkin S. P., "Otsenka resheniya zadachi Tricomi dlya odnogo klassa uravneniy smeshannogo tipa", Dokl. ANSSSR, 193:5 (1970), 978-980].
Ежов А. М., "О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения", Дифф. уравн.Труды пединститутов РСФСР, 1973, №2, 84-102. [Ezhov A.M., "O reshenii prostranstvennoy zadachi dlya uravneniy smeshannogo tipa s dvumya ploskostyami virojdeniya", Diff. urav. Trudiy pedinstitutov RSFSR, 1973, №2, 84-102].
Пономарев С. М., "К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях", Докл. АН СССР, 246:6 (1979), 1303-1306. [Ponamarev S.M., "K teorii kraevih zadach dlya uravneniy smeshannogo tipa v tryohmerniyh oblastyah", Dokl. ANSSSR, 246:6 (1979), 1303-1306].
[10] Салахитдинов М. С., Исломов Б., "Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа", Функциональные методы в прикладной математике и математической физики, Тезисы докл. Всесоюз. школы молодых ученых. 11-17 мая 1988. Т. 2, ТашГУ, Ташкент, 1988, 51-52. [Salaxitdinov M.S., Islomov B., "Ob odnom tryohmernom analoge zadachi Tricomi diya uravneniya smeshannogo tipa", Funksionalniye metodiy v prikladnoy matematike i matematicheskoy fiziki, Tezisi dokl.Vsesoyuz. shkoliy molodiyh uchyoniyh. 11-17 may 1988. V 2-h chast. V. 2, TashGU, Tashkent, 1988, 51-52].
[11] Салахитдинов М. С., Исломов Б., "О трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа", Докл. АН СССР, 311:4 (1990), 797-801. [Salaxitdinov M.S., Islomov B., "O tryoxmernom analoge zadachi Tricomi diya uravneniya smeshannogo tipa", Dokl. ANSSSR, 311:4 (1990), 797-801].
[12] Салахитдинов М.С., Исломов Б., "Краевые задачи для уравнения cмешанного эллиптико- гиперболического типа в пространстве", УзМЖ, 1993, №3, 13-20. [Salahitdinov M.S., Islamov B., "Kraeviye zadachi dlya uravneniy smeshannogo elliptiko-giperbolicheskogo tipa v prostranstve", UzMkh, 1993, №3, 13-20].
[13] Джураев Т.Д., Сопуев А., "Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо - гиперболического типа", Дифф. уравн., 17:1 (1981), 50-57. [Dzhuraev T. D., Sopuev A., "Ob odnoy prostranstvennoy zadache dlya uravneniya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo tipa", Diff. urav., 17:1 (1981), 50-57].
[14] Сопуев А., "Оценка решения одной задачи Геллерстедта для смешанного уравнения параболо-гиперболического типа", Докл. АН УзССР, 1982, №7, 3-4. [Сопуев А., "Otsenka resheniya odnoy zadachi Gellerstedta dlya smeshannogo uravneniya parabolo-giperbolicheskogo tipa", Dokl.AN UzSSR, 1982, №7, 3-4].
[15] Джураев Т.Д., Сопуев А., Апаков Ю. П., "Краевые задачи для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа", Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей, Институт математика АН УзССР, Фан, Ташкент, 1987, 56-65. [Dzhuraev T. D., Sopuev A., Apakov Yu. P., "Kraeviye zadachi dlya parabolo-giperbolicheskogo uravneniya s xarakteristicheskoy liniyey izmeneniya tipa", Uravneniya smeshannogo tipa i so svobodnoy granitsey, Institut matematiki AN UzSSR, Fan, Tashkent, 1987, 56-65].
[16] Джураев Т.Д., Апаков Ю.П., "Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа в трехмерном пространстве", Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук, 1986, №3, 21-27. [Dzhuraev T. D., Apakov Yu. P., "Zadachi Tricomi dlya parabolo-giperbolicheskogo uravneniya s neharakteristich-eskoy liniyey izmeneniya tipa v tryohmernom prostranstve", Izvestiya AN UzSSR, Seriya fiz.-mat. Nauk, 1986, №3, 21-27].
[17] Исломов Б., "Об одной трехмерной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа", Докл. АН УзССР, 1989, №9, 3-5. [Islomov B., "Ob odnoy try-ohmernoy zadache dlya uravneniya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo tipa", Dokl. AN UzSSR, 1989, №9, 3-5].
[18] Джураев Т.Д., Апаков Ю.П., "Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве", Дифф. уравн., 26:3 (1990), 438-448. [Dzhuraev T. D. and Apakov Yu. P., "Gellerstedt's problem for a parabolic-hyperbolic equation in three-dimensional space", Differential equations, 26:3 (1990), 322-330].
[19] Апаков Ю. П., "Трехмерный аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения", Сибирский журнал индустриальной математики, 14:2(46) (2011), 34-44. [Apakov Yu. P., "A Three - Dimensional Analog of the Tricomi Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation", Journal of Applied and Industrial Mathematics, 6:1 (2012), 1-11].
[20] Agmon S., Nirenberg L., Protter M. H., "A maximum principal for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type", Communes Pure and Appl. Math, 4 (1953), 455-470.
[21] Ильин А.М., Калашников А. С., Олейник О. А., "Линейные уравнения второго порядка параболического типа", Успехи матем. наук, 17:3 (1962), 21-73. [Ilin A.M., Kalashnikov A.S., Oleynik O. A., "Lineyniye uravneniya vtorogo poryadka parabolicheskogo tipa", Us-pehi matem.nauk, 17:3 (1962), 21-73].
[22] Кружков С.Н., Якубов С., "О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения теплопроводности и поведении решений при неограниченном возрастании времени", Динам. сплош. среды, 1978, №36, 46-70. [Kruzhkov S.N., Yakubov C., "O razreshimosti odnogo klassa zadach s neizvestnoy granitsey dlya uravneniya teploprovodnosti i povidenii reshenii resheniy pri neogranichennom vozrostanii vremeni", Dina. splosh. srediy., 1978, №36, 46-70].
[23] Михлин С. Г., Линейные уравнения математической физики, Наука, М., 1964, 368 с. [Mihlin S. G., Lineyniye uravneniya matematicheskoy fiziki, Nauka, Moskva, 1964, 368 pp.]
[24] Капилевич М. Б., "Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа", Матем. сборник, 30(72) (1952), 11-38. [Kapilevich M. B., "Ob odnom uravnenii sme-shannogo elliptiko-giperbolicheskogo tipa", Matem. sbornik, 30(72) (1952), 11-38].
[25] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных., Иност. литер., М., 1957, 444 с. [Trikomi F., Lektsii po uravniniyam v chastniyx proizvodniyx, Inost. liter., Moskva, 1957, 444 pp.]
Список литературы (ГОСТ)
[1] Гельфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений //Успехи мат. наук. 1956. Т. 14, вып. 3(87). С. 3-19.
[2] Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инж.-физ. журн. 1961. Т. 4. № 11. С. 99-104.
[3] Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инж.-физ. журн. 1964. Т. 7. № 1. С. 89-92.
[4] Джураев Т.Д.,А.Сопуев, М.М.Мамажанов. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан. 1986. 220 с.
[5] Бицадзе А.В. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми // Сибир. мат. журн. 1962.Т.3.-С.642-644.
[6] Нахушев А.М. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта // Дифференциальное уравнение. 1968. Т.4. № 1.-С. 52-62.
[7] Ежов А.М., Пулькин С.П. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1970. Т.193, №5. С. 978-980.
[8] Ежов А.М. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения // Дифференциальное уравнение. Труды пединститутов РСФСР. 1973. Вып.2. С. 84-102.
[9] Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1303-1306.
[10] Салахитдинов М.С., Исломов Б. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Функциональные методы в прикладной математике и математической физики: Тезисы докл. Всесоюз. школы молодых ученых. 11-17 мая 1988. В 2-х ч. Ташкент, ТашГУ, 1988. Ч.2. С. 51-52.
[11] Салахитдинов М.С.,Исломов Б. О трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Докл. АН СССР. 1990. Т.311, № 4. С. 797-801.
[12] Салахитдинов М.С.,Исломов Б. Краевые задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа в пространстве // УзМЖ. 1993. № 3. С. 13-20.
[13] Джураев Т.Д., Сопуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо- гиперболического типа // Дифференциальное уравнение. 1981. Т. 17. № 1. С. 50-57.
[14] Сопуев А. Оценка решения одной задачи Геллерстедта для смешанного параболо-гиперболического типа //Докл. АН УзССР. 1982. № 7.-С. 3-4.
[15] Джураев Т.Д., Сопуев А.,Апаков Ю.П. Краевые задачи для параболо- гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // В кн. Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. Институт математика АН УзССР. Ташкент: Фан. 1987.- С.56-65.
[16] Джураев Т.Д., Апаков Ю.П. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа в трехмерном пространстве // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1986, № 3. С.21-27.
[17] Исломов Б. Об одной трехмерной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа //Докл. АН УзССР. 1989.№ 9.-С.3-5.
[18] Джураев Т.Д., Апаков Ю.П. Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве // Дифференциальное уравнение. 1990. Т.26. № 3.-С. 438-448.
[19] Апаков Ю.П. Трехмерный аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения // Сибирский журнал индустриальной математики. Новосибирск, 2011.Том 14, № 2(46). С. 34-44.
[20] Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principal for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type // Communes Pure and Appl. Math. 1953. Vol.4. P. 455-470.
[21] Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа //Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3. С. 21-73.
[22] Кружков С.Н., Якубов С. О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения теплопроводности и поведении решений при неограниченном возрастании времени // Динам. сплош. среды. 1978. Вып. 36. С.46-70.
[23] Линейные уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 368 с.
[24] Капилевич М.Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сборник. 1952. Т. 30(72). С.11-38.
[25] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностранная литература, 1957. 444 с.
Для цитирования: Апаков Ю. П. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми с параллельными
плоскостями вырождения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 6-20.
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20
For citation: Apakov Yu. P. About three-dimensional analogue of the problem of Tricomi
with parallel planes of extinction, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 6-20. DOI:
10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20
Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.12.2017 В окончательном варианте / Revision submitted: 16.03.2018
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2018. no.1(21). pp. 6-20. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20 MATHEMATICS
35M10
ABOUT THREE-DIMENSIONAL ANALOGUE OF THE PROBLEM OF TRICOMI WITH PARALLEL PLANES
OF EXTINCTION
Yu. P. Apakov
Namangan Engineering and Construction Institute, 160103, Uzbekistan, Namangan, I.
Karimov str, 12
E-mail: [email protected]
Three-dimensional analogue of the problem of Tricomi with non-characteristic parallel planes of change of types of the equation is investigated for a parabolic-hyperbolic equation. The uniqueness of the solution of the problem is proved by the method of a priori estimates, and the existence of the solution of the problem is enlightened to the existence of a solution of the system of the second type Voltaire integral equation.
Key words: Tricomi problem, parabolic-hyperbolic equation, non-characteristic plane, Fourier transform, maximum principle, apriori estimate, uniqueness, existence, system of integral equations.
© Apakov Yu. P., 2018
