Функциональная предельная теорема для решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными Текст научной статьи по специальности «Математика»

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору В. И. Оселедцу за постановку задачи и внимание к работе.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 11-01-00982-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arnold L, Nguyen Dinh Cong, Oseledets V.I. Jordan normal form for linear cocycles // Random Oper. Stochast. Eq. 1999. 7, N 4. 303-358.

2. Oseledets V.I. Classification of GL(2,R)-valued cocycles of dynamical systems. Report N 360. Bremen: Institut fur Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 1995.

3. Thieullen Ph. Ergodic reduction of random products of two-by-two matrices //J. Anal. Math. 1997. 73, N 1. 19-64.

4. Eberlein P.B. Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago; London: The University of Chicago Press, 1996.

5. Kapovich M, Leeb B, Millson J. Convex functions on symmetric spaces, side lengths of polygons and the stability inequalities for weighted configurations at infinity //J. Diff. Geom. 2009. 81, N 2. 297-354.

6. Arnold L. Random dynamical systems. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1998.

7. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т.1: Алгебраические многообразия в проективном пространстве. М.: Наука, 1988.

Поступила в редакцию 12.03.2012

УДК 519.214.6

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА СО СЛУЧАЙНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

В. П. Демичев1

В статье доказывается функциональная предельная теорема для решений уравнения Бюргерса, соответствующих последовательности начальных потенциалов, задаваемых определенными полями дробового шума.

Ключевые слова: уравнение Бюргерса, случайные поля дробового шума.

A functional limit theorem is proved for solutions to Burgers' equation corresponding to the sequence of initial potentials determined by specified shot noise random fields.

Key words: Burgers' equation, shot noise random fields.

1. Введение. Важную роль в математической физике играют уравнение Бюргерса и соответствующая ему задача Коши

+ (v,Vx)v = ±vAxv, v(0,x) = vo(x) = -V£(x), _ (t, x) e R+ x Rd, v e Rd, v > 0.

При некоторых условиях на начальный потенциал £(•) оператор A, определяемый соотношением

- у)ехР Ц {Ш ~Ы\Х~ УII2)} dv

v(t,x) = (A£)(t,x) =

^PÎïï (t(v) - è\\x - у\\2)} dy

задает решение задачи Коши. В современной теории уравнения Бюргерса со случайными начальными данными выделились два основных направления исследований — изучение асимптотики решений, когда £ — гауссовское случайное поле и когда £ — поле дробового шума. Последний случай рассматривается в работах А. В. Булинского [1], А. В. Булинского и С. А. Молчанова [2], Д. Сургайлиса и В. А. Войчинско-го [3] и др. Функциональные предельные теоремы для решений уравнения Бюргерса (преобразованных

1 Демичев Вадим Петрович — студ. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

параболическим образом) были впервые получены Ю.Ю. Бахтиным [4, 5] для полей £ общего вида. Нас будет интересовать модель, в которой £(•) = Бп[Н\(-), п € М, где Бп[Н\(-) — случайное поле дробового шума вида

оо

Sn[h](t) = anih(t + xni), t G Rd. (1)

п

г=1

Здесь Ь() € Ь1 (М^), [хпг}';=1 — пуассоновский точечный случайный процесс интенсивности п (в силу леммы 9.1.13 из [6] можно считать, что хпг, п,г € М, — случайные векторы) с независимыми, одинаково распределенными (н.о.р.) марками {апг}°=1, Еапг = Уэг(апг) = а2, а > 0, семейства {апг}°=1 и {хпг}°=1 независимы.

Пусть и — некоторое открытое подмножество М^, к € N. Определим С1т(и), I € Ъ+ и{о}, т € М, как пространство I раз непрерывно дифференцируемых на и функций со значениями в Мт, снабженное топологией сходимости по максимальной норме на компактах всех частных производных вплоть до порядка I. Если I = 0 или т = 1, мы будем писать Ст(и) или С1(и) соответственно. Отметим, что пространство 1>а) является польским.

дкКх)

Для f е Cd(Rd) положим Po[f](x) = \f (x)\, Pk[f](x) = max |Pk-i[f ](x), maxi^,,,,,^^ к = l,...,d, и введем для 5 > 0

R(5, f) = max P0[f](x + u)dx, Qk (5, f) = max Pl[f](x + u)dx, к = 0,...,d. jRd INK«5 JRd M^«5

Пусть S — топологическое пространство, B — борелевская ст-алгебра на S. Мы будем писать Xn —-—>

Ln

n—>oo

Хо, если {Хп}~=о — семейство случайных элементов со значениями в (5, В) и Хп сходится по распределению в (5, В) к Хо при п ио.

Основным результатом данной работы является

Теорема. Если б ^ 3, Ь € Са(Ма) и Е(5, Ь) + Qd(5, Ь) < о для некоторого 5 > 0, то

Авп [Ь\ Л - —и лг,

где 2(•) — центрированное гауссовское случайное поле с ковариационной функцией

к (в,г) = (а2 + л2)(Ь(з + •),ь(г + •))Ь2 т.

2. Доказательство теоремы. Нам потребуется ряд вспомогательных результатов. Положим

ипЩ{1) = £„[/&] (*) - ^¡ГЦ1 / к{х)дх, £ е М**.

№

Лемма 1. При выполнении условий теоремы траектории Бп п.н. непрерывны и конечномерные распределения ип[Ь\ сходятся к конечномерным распределениям 2.

Доказательство. Из работы [7, лемма 1.3.6] следует, что если функция Ь() интегрируема на М^ и Е|апг| < о, то для всех г € М^ ряд в правой части (1) абсолютно сходится с вероятностью единица и имеет место равенство

Е= л/пц, / h{x)dx.

Пользуясь аналогичными рассуждениями, нетрудно проверить, что для любых в, г € М^

есу(5п[Ь\(в),5п [Ь\(г)) = (а2 + /2)(Ь(в + •),Ь(г + •))Ь2 ^) = к (в,г). (2)

Рассмотрим функцию д(х) = йирцщц^ 1Ь(х + и)|. Из конечности Е(5,Ь) следует, что Е|5п[д\| < о, а значит, для всех уо € М^ ряд (1) с вероятностью единица сходится равномерно по г € {и : и — yо| ^ 5}, откуда и вытекает непрерывность траекторий Бп[Ь\ п.н. Пусть теперь 5>(^)[Ь\, к € М, — независимые копии Тогда

1п

и=1

Поэтому утверждение о сходимости конечномерных распределений следует из центральной предельной теоремы для н.о.р. случайных векторов. Лемма доказана.

Лемма 2. При выполнении условий теоремы для произвольного М > 0 найдется такая константа с = с(М, 5), что для всех £ > 0 выполнено неравенство

c

- — - - ' I 72 Kte[-M,M]d J е

Р( sup \Un[h](t)\ >е) < -^2 + fi2)Qd{S,h). (3)

Доказательство. Для произвольной функции / (•) на М^ и блока В = (а\, Ь\] х... х (аЬ¿] С [-М, М]а положим

/ (В)= £ (-1)'"Е 1/ а + £1Ь - аг),...,аа + £Л (ЬЛ - аа)).

е^=0,1,к=1,...,4

Легко видеть, что если / £ С^(М^), то имеет место оценка \/(В)\ ^ \В\ виржед Р^[/](ж). Рассмотрим такую гладкую на М^ функцию ф(-), что

'l, x е [—M,M]d; 0, x е Rd\(—M — 1,M + 1)d

ф(Х) = Г' 1 ' (4)

dd

Отметим, что gx(■) := h(■ + х)ф(-) е Cd(Rd). Пользуясь (2), имеем

Е[(ип[НЩ(Б)]2 = (а2 + ц2) I' (gx(B))2 dx.

J Rd

Поэтому найдется такая константа ci = C\(M, S), что для всех блоков Б С [-M — 1,M + 1}d

E[(UnЩф)(Б)}2 < (а2 + ц2)\Б\2 [ supP2d[gx](u)dx < ci(a2 + ц2)\Б\2Qd(S,h). (5)

jRdueB

При получении последнего неравенства мы воспользовались тем фактом, что из конечности Qd(S, h) следует конечность Qd(^,h) для любого ц > 0. Поскольку случайные поля Un[Н]ф обращаются в нуль на границе множества [-M — 1,M + 1]d, то в силу теоремы 1 из [8] существует такая константа c = c(M, S), что для каждого е > 0 справедлива оценка

Р ( sup \Un[h]it)\ > е ) Р ( sup \Un[h](t)^t)\ >е) ^ ^(а2 + ii2)Qd(5,h). \te[-M,M]d J \te[-M-i,M+i]d J е

Лемма доказана.

C (Rd)

Лемма 3. При выполнении условий теоремы Un[h] -> Z, n ^ ж.

Доказательство. Сходимость конечномерных распределений случайных полей Un [h] следует из леммы 1. Зафиксируем произвольное число M > 0 и проверим плотность распределений Un[h] в пространстве C([—M,M]d). Рассмотрим функцию ф(), определенную в (4). В силу оценки (5) последовательность случайных полей Un[h]ф удовлетворяет условиям теоремы 3 из [8], а значит, сходится по распределению в польском пространстве D([—M — 1,M + 1]d) (см. определение в [8]) к полю Z^. Ввиду того что сходимость

ф й п п U \h 1 C([-M,M]d) непрерывных функций в топологии D эквивалентна сходимости по метрике C, имеем Un[h] -> Z,

n ^ ж. Так как число M > 0 было выбрано произвольным, лемма доказана.

Лемма 4. Пусть выполнены условия теоремы и Un[h] сходится к Z в пространстве C(Rd) п.н. при

n ^ ж. Зафиксируем произвольные M > 0, r е (0,1). Предположим, что функция p(t,x,y) непрерывна

на [r, 1/r] х R2d и удовлетворяет неравенству \p(t,x,y)\ ^ Cexp{—a\\x — y\\2} для некоторых C,a > 0.

Тогда последовательность случайных полей

wn(t, x) = I p(t,x,y)exp{Un[h](y)}dy

J Rd

сходится по вероятности в пространстве C([r, 1/r] х [—M,M]d) при n ^ ж к fKd p(t, x, y)exp{Z(y)}dy.

Доказательство. Введем

dnk = sup Un [h](t), dk = sup Z (t) te[k,k+(i,:,,i)] te[k,k+(i,,,,,i)]

и положим ||k||oo = max{\ki\,..., \kd\}, к е Zd. Тогда

/ p(t,x,y)\exp{Un[h](y)} - exp{Z(y)}\dy ^ p(t,x,y)\exp{Un[h](y)} - exp{Z(y)}\dy+

J Rd J[-K,K]d

<x

+ E E Cexp{-a(N - M - 1)2}(ee"k + e°k), K е Z П [M + 1, oc), t е [r, 1/r], x е Rd.

N=K ||k||»=N

Легко видеть, что интеграл по [-K,K]d стремится к нулю п.н. Пусть q = q(d) = ^ ||k||^,=N 2

Для любого е > 0 имеем

-N

\ ™ f / rpa(N-M-1)2\\

Р(Е Е Cexp{-«(Ar-M-l)2}(eö-+e^)>eU £ £ Р 1впк > log Г' N +

N=K \\к\\ж =N J N=K \\k\\»=N V \ q J J

™ ( ( pp»(N-M-1)2\\

N=K \\k\\^=N \ \ 4 ) )

По лемме 3 для всех y G R+

P(0k >Y) < limsup P(9nk > Y)■

n—

Применяя неравенство (3), получаем

Р(вк > Y) V Р(впк > Y) < c(1/2, ö)y-2(a2 + ß2)Qd(ö, h)■

Подставляя эту оценку в выражения для Ei и E2, имеем Ei + E2 -► 0 равномерно по n при K ^ж.

K—<х

Так как е > 0 было выбрано произвольным, лемма доказана.

Приступим непосредственно к доказательству теоремы. Пространство C(Rd) является польским, поэтому в силу теоремы Скорохода (см., например, [9, теорема 5.11]) можно считать, что Un[h] сходится к Z в пространстве C(Rd) п.н. при n ^ ж. Зафиксируем произвольное l G Z+ и докажем сходимость случайных полей ASn[h] по распределению в пространстве Cld((0, ж) х Rd). Запишем ASn[h] = AUn[h] в виде дроби (VUn[h])/(WUn[h]). Легко видеть, что достаточно доказать сходимость по вероятности в Cld((0, ж) х Rd) случайных полей VUn[h] и WUn[h] к VZ и WZ соответственно. Но это утверждение является следствием того факта, что все частные производные порядка l случайных полей VUn[h] и WUn[h] представляются в виде сумм интегралов, удовлетворяющих при любых M > 0, r G (0,1) условиям леммы 4. Теорема доказана.

Автор признателен профессору А. В. Булинскому за постановку задачи и внимание к работе. Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 10-01-00397-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bulinskii A.V. CLT for families of integral functionals arising in solving multidimensional Burgers' equation // Probability Theory and Mathematical Statistics: Proc. 5th Vilnius Conf. / Ed. by B. Grigelionis, et al. Vol 1. Utrecht: VSP BV; Vilnius: Mosklas, 1990. 207-216.

2. Булинский А.В., Молчанов С.А. Асимптотическая гауссовость решения уравнения Бюргерса со случайными начальными данными // Теор. вероятн. и ее примен. 1991. 36, № 2. 217-235.

3. Surgailis D., Woyczynski W.A. Burgers' equation with nonlocal shot noise data //J. Appl. Prob. 1994. 31A. 351-362.

4. Бахтин Ю.Ю. Функциональная центральная предельная теорема для решения многомерного уравнения Бюргерса с начальными данными, заданными ассоциированной случайной мерой // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 6. 8-15.

5. Бахтин Ю.Ю. Функциональная центральная предельная теорема для преобразованных решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными // Теор. вероятн. и ее примен. 2001. 46, № 3. 427-448.

6. Daley D.J., Vere-Jones D. An Introduction to the Theory of Point Processes. Vol. II: General Theory and Structure. N.J.: Springer, 2007.

7. Булинский А.В., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит, 2008.

8. Bickel P.J., Wichura M.J. Convergence criteria for multiparameter stochastic processes and some applications // Ann. Math. Statist. 1971. 42, N 5. 1656-1670.

9. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.

Поступила в редакцию 30.06.2010 После доработки 27.06.2012

УДК 512

ТРЕХВАЛЕНТНЫЕ ДЕТСКИЕ РИСУНКИ И ГРАФЫ КЭЛИ

К. В. Голубев1

Доказана теорема о дуальности канонической триангуляции регулярного трехвалентного детского рисунка и графа Кэли его расширенной группы автоморфизмов.

Ключевые слова: детские рисунки, граф Кэли.

A theorem on duality of the canonical triangulation of a dessin d'enfant and Cayley graph of its extended automorphism group is proven.

Key words: dessins d'enfants, Cayley graph.

В работе рассматривается связь теории детских рисунков с графами Кэли, по всей видимости, эта связь впервые была отмечена в [1].

Определение 1. Детским рисунком (или просто рисунком) D называется пара, состоящая из поверхности X и вложенного в нее связного графа Г = (V,E), такого, что

1) различные вершины графа Г — различные точки на поверхности X ;

2) ребра Г — кривые на поверхности X, пересекающиеся только в вершинах Г;

3) множество X \ Г гомеоморфно дизъюнктному объединению дисков.

Замечание 1. Под поверхностью мы понимаем компактное 2-мерное ориентированное топологическое многоообразие.

Определение 2. Два рисунка Di = (Г1 ,Xi) и D2 = {T2,X2) называются изоморфными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм u : Xi ^ X2, такой, что его ограничение на графы u|ri : Г1 ^ Г2 — изоморфизм графов.

Ребро (vi,v2) рисунка D, снабженное ориентацией, т.е. порядком вершин, называется полуребром. Для каждого ребра существуют ровно два полуребра. Обозначим множество всех полуребер рисунка через E(D). Введем три перестановки на E(D):

1) г о поворачивает полуребро относительно его начала в положительном направлении;

2) ri меняет направление ребра на противоположное;

3) Г2 поворачивает ребро относительно центра грани в положительном направлении.

Определение 3. Подгруппа группы перестановок S(E(D)), порожденная {го, ri, Г2}, называется картографической группой рисунка D и обозначается C (D).

Определение 4. Группой автоморфизмов Aut(D) рисунка D называется централизатор его картографической группы в группе S(E(D)), т.е.

Aut(D) = {g e S(E(D)) | gh = hgVh e C(D)}.

1 Голубев Константин Викторович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].