Трехвалентные детские рисунки и графы Кэли Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Бахтин Ю.Ю. Функциональная центральная предельная теорема для преобразованных решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными // Теор. вероятн. и ее примен. 2001. 46, № 3. 427-448.

6. Daley D.J., Vere-Jones D. An Introduction to the Theory of Point Processes. Vol. II: General Theory and Structure. N.J.: Springer, 2007.

7. Булинский А.В., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит, 2008.

8. Bickel P.J., Wichura M.J. Convergence criteria for multiparameter stochastic processes and some applications // Ann. Math. Statist. 1971. 42, N 5. 1656-1670.

9. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.

Поступила в редакцию 30.06.2010 После доработки 27.06.2012

УДК 512

ТРЕХВАЛЕНТНЫЕ ДЕТСКИЕ РИСУНКИ И ГРАФЫ КЭЛИ

К. В. Голубев1

Доказана теорема о дуальности канонической триангуляции регулярного трехвалентного детского рисунка и графа Кэли его расширенной группы автоморфизмов.

Ключевые слова: детские рисунки, граф Кэли.

A theorem on duality of the canonical triangulation of a dessin d'enfant and Cayley graph of its extended automorphism group is proven.

Key words: dessins d'enfants, Cayley graph.

В работе рассматривается связь теории детских рисунков с графами Кэли, по всей видимости, эта связь впервые была отмечена в [1].

Определение 1. Детским рисунком (или просто рисунком) D называется пара, состоящая из поверхности X и вложенного в нее связного графа Г = (V,E), такого, что

1) различные вершины графа Г — различные точки на поверхности X ;

2) ребра Г — кривые на поверхности X, пересекающиеся только в вершинах Г;

3) множество X \ Г гомеоморфно дизъюнктному объединению дисков.

Замечание 1. Под поверхностью мы понимаем компактное 2-мерное ориентированное топологическое многоообразие.

Определение 2. Два рисунка Di = (Г1 ,Xi) и D2 = ^2X2) называются изоморфными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм u : Xi ^ X2, такой, что его ограничение на графы u|ri : Г1 ^ Г2 — изоморфизм графов.

Ребро (vi,v2) рисунка D, снабженное ориентацией, т.е. порядком вершин, называется полуребром. Для каждого ребра существуют ровно два полуребра. Обозначим множество всех полуребер рисунка через E(D). Введем три перестановки на E(D):

1) Го поворачивает полуребро относительно его начала в положительном направлении;

2) ri меняет направление ребра на противоположное;

3) Г2 поворачивает ребро относительно центра грани в положительном направлении.

Определение 3. Подгруппа группы перестановок S(E(D)), порожденная {го, ri, Г2}, называется картографической группой рисунка D и обозначается C (D).

Определение 4. Группой автоморфизмов Aut(D) рисунка D называется централизатор его картографической группы в группе S(E(D)), т.е.

Aut(D) = {g G S(E(D)) | gh = hgVh G C(D)}.

1 Голубев Константин Викторович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Определение 5. Рисунок называется регулярным, если группа его автоморфизмов действует тран-зитивно на множестве полуребер, т.е. для любых двух полуребер найдется автоморфизм рисунка, переводящий одно в другое.

Теорема 1 [1—3]. Рисунок регулярен тогда и только тогда, когда его группа автоморфизмов изоморфна его картографической группе.

Из этой теоремы, доказательство которой можно найти в [2], следует, что всякая конечная группа является группой автоморфизмов некоторого регулярного рисунка.

Каноническая триангуляция детского рисунка D = (Г,Х) — это триангуляция поверхности X, получающаяся из графа Г следующим образом. Вершины триангуляции обозначим черными точками, звездочками и белыми точками. В черный цвет мы окрашиваем вершины рисунка D. В середину каждого ребра рисунка помещаем вершину-звездочку, в центр каждой грани — белую вершину. Ребра триангуляции также будут трех видов в зависимости от того, какие вершины они соединяют. Ребра рисунка, т.е. ребра между черными вершинами и вершинами-звездочками, назовем сплошными. Черные вершины и вершины-звездочки соединим с центрами инцидентных им граней, т.е. с белыми вершинами, штрихованными и волнистами ребрами соответственно. Таким образом каждая грань рисунка, ограниченная k ребрами, разбилась на 2k треугольников. Каждый треугольник имеет вершины и стороны трех различных видов, а множество всех полученных треугольников разбилось на два класса в зависимости от порядка следования вершин при их обходе в положительном направлении: назовем треугольники с вершинами "черная - звездочка - белая - черная" положительными и окрасим их в белый цвет, остальные же, т.е. с порядком следования вершин "черная - белая - звездочка - черная", назовем отрицательными.

Обозначим множество всех (положительных и отрицательных) треугольников триангуляции рисунка D через Tri(D) ( Tri + (D) и Tri-(D) соответственно). Стоит отметить, что |Tri +(D)| = |Tri-(D)| = |E(D)| и что аналогично тому, как картографическая группа рисунка C (D) действует на множестве полуребер, она действует на множестве положительных треугольников. Отождествить множество полуребер с множеством положительных треугольников можно следующим образом: каждому полуребру ставится в соответствие положительный треугольник, опирающийся на это полуребро с черной вершиной в начале полуребра. Таким образом, картографическая группа действует на множестве Tri +(D) и ее можно считать вложенной в S(Tri+(D)) С S(Tri(D)). Обозначим через oq,oi и 02 перестановки множества Tri(D), отправляющие каждый треугольник в смежный по стороне, указанной волнистой, пунктирной и сплошной линиями соответственно. Тогда перестановки {го,Т\,Г2} выразятся следующим образом:

Соотношение Г2Г1Г0 = 1 дает тривиальное соотношение 010000020201 = 1- Соотношение г2 = (0002)2 = 1 можно проверить, заметив, что каждая вершина-звездочка инцидентна двум сплошным и двум волнистым ребрам.

Определение 6. Пусть О — регулярный детский рисунок, тогда назовем подгруппу в 5(Тл(О)), порожденную {00,01,02), расширенной группой автоморфизмов и обозначим ее ЕАи1;(О).

Если О — регулярный рисунок, то его группу автоморфизмов Аи1(О) как изоморфную его картографической группе С (О) также можно рассматривать как подгруппу группы 5 (Тл(О)), и тогда она является подгруппой ЕАи^О) слов четной длины в алфавите 00,01,02, причем ее индекс равен 2.

В работе рассмотрен класс регулярных трехвалентных детских рисунков. Картографические группы таких рисунков являются факторгруппами группы {ро,р1,р2\р\ = Р2Р1Р0 = 1,Ро = 1), которая есть факторгруппа ориентированной картографической группы Гротендика по соотношению С+/ {р0 = 1), изоморфной треугольной группе типа (2, 3, то).

Треугольной группой типа (2, 3, то) является модулярная группа

Это легко увидеть, если в качестве порождающего множества группы РЯЬ2(^) выбрать множество К = {Е0,Е1,Е2} матриц

В этих обозначениях РЯЬ2(^) = {К0, К1,К2\К0 = К2 = К2К1К0 = 1), подробную информацию о модулярной группе можно найти, например, в [4].

Го = 0201, П = 0002, Г2 = 010Q.

Группа Р8Ь2(2) действут на комплексной верхней полуплоскости Н = {т € С 11т(т) > 0} дробно-линейными преобразованиями. Фундаментальной областью этого действия является геодезический в гиперболической метрике треугольник

Б\шс1(Р8Ь2(^)) = {т е П | \т\ ^ 1, Г1е(т) <

Действие модулярной группы на границе фундаментальной области Ецпё(Р8Ь2(2)) порождает бесконечный граф на Н.

Рассмотрим расширенную модулярную группу ЕР8Ь2 (2), порожденную множеством трех преобразований Н ^

Е = { а0(т) = -т, (71 (т) = -т + 1, (72(т) = = }

т

и имеющую копредставление

ЕР8Ь2(^) = (Е | а2 = 1,г = 1, 2, 3; (стоСТ2)2 = 1 = (ст^)3).

Группы Р8Ь2(2) и ЕР8Ь2(^) действуют на Н, и для элементов порождающих их множеств верны соотношения

Ео = СТ1СТ2, Е1 = СТ2СТ0, Я2 = стоСТ1,

и, следовательно, группа Р8Ь2(2) может быть вложена в группу ЕР8Ь2(2) как подгруппа индекса 2 слов четной длины в алфавите Е.

Замечание 2. Группа ЕР8Ь2(2) является расширенной треугольной группой типа (2, 3, то). Преобразования Е суть отражения относительно сторон геодезического в гиперболической метрике

7гг . .

треугольника с вершинами в точках е з и оо, и поэтому действие группы ЕРЗЬг^), порожденной отражениями относительно сторон треугольника, индуцирует триангуляцию Н.

Множество вершин триангуляции является дизъюнктным объединением орбит точек е~, г и оо под действием ЕРЗЬг^). Точки орбиты е~ обозначим черным цветом, точки орбиты г — звездочкой, точки орбиты то — белым цветом. Ребра окрасим так же, как и при триангуляции детского рисунка, выполненной ранее.

Определение 7. Полученный граф на Н, представленный на рисунке, называется универсальным детским рисунком и обозначается .

-1 0 1

Универсальный рисунок Бев8то и граф Кэли Са1(ЕР8Ь2(2), Е)

Замечание 3. Для универсального детского рисунка существует функция Белого [5]

Лт) = т±-8Ят):Н^С,

где ](т) — ^'-инвариант эллиптической кривой, рассматриваемая как функция Л —С. Теорема 2. Граф, дуальный изоморфен графу Кэли Са1(ЕР8Ь2(2), Е).

Основным результатом работы является следующее утверждение

Следствие. Пусть G < PSL2(Z) — нормальная подгруппа модулярной группы конечного индекса, также нормальная в расширенной модулярной группе G < EPSL2(Z). Тогда факторрисунок HDess^/G дуален графу Кэли Cay(EPSL2(Z)/G, X) факторгруппы, являющейся его расширенной группой автоморфизмов.

Близкие результаты получены в работе [1], а именно в ней доказана изоморфность 1-остов-представле-ния Кори регулярного рисунка и графа Кэли его группы автоморфизмов.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору Г. Б. Шабату за ценные указания и постоянное внимание, а также участникам семинара "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" за дружественную атмосферу и полезные замечания.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержки гранта РФФИ № 10-01-00709-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Singerman D., Wolfart J. Cayley graphs, Cori hypermaps, and dessins d'enfants // Ars Mathematica Contemporánea. 2008. 1. 144-153.

2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2010.

3. Адрианов Н.М., Кочетков Ю.Ю., Суворов А.Д., Шабат Г.Б. Группы Матье и плоские деревья // Фунд. и прикл. матем. 1995. 1, № 2. 377-384.

4. Кнэпп Э. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс, 2004.

5. Белый Г.В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. 43, № 2. 267-276.

Поступила в редакцию 13.04.2012

УДК 519.95

О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

В БАЗИСЕ ШЕФФЕРА

Ю.А. Комбаров1

Заметка посвящена реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе, состоящем из единственного функционального элемента — штриха Шеффера. Найдено точное значение сложности реализации неоднородной линейной функции, а также дано описание всех минимальных схем, реализующих линейную функцию.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, линейная булева функция, минимальная схема, стандартный блок.

The paper is focused on realization of linear Boolean functions by circuits of functional elements in the basis {ж&у}. The exact value of complexity of negation of linear function is obtained in this paper. Another result is the description of all minimal circuts realizing a linear function.

Key words: circuit of functional elements, linear Boolean function, minimal circuit, standard block.

Введение. Одними из наиболее изученных с точки зрения минимальных реализаций_являются линейные булевы функции, представляемые в виде 1п(х\,..., хп) = Х\ ® ... ® хп или в виде 1п(х\,..., хп) = xi ® ... ® xn ® 1, где "®" означает сложение по модулю два [1]. Еще в 1952 г. в работе [2] был получен следующий результат: для реализации линейной булевой функции (существенно зависящей) от n переменных контактной схемой необходимо и достаточно 4n — 4 контактов. Сложность реализации линейных функций схемами из функциональных элементов [3] (определяемая обычно как наименьшее возможное число функциональных элементов, достаточное для реализации функции f схемой в заданном базисе, и

1 Комбаров Юрий Анатольевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].