CC BY
62
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 2 (27). С. 18—25
УДК 517.956.6
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
А. Р. Хашимюв
Ташкентский финансовый институт, Узбекистан, Ташкент, просп. Амира Темура, 60.
E-mail: khashimov_abdukomil@yahoo. com
Установлены энергетические оценки типа принципа Сен-Венана для обобщённых решений второй краевой задачи для уравнений третьего порядка составного типа. Использованы методы интегралов энергии и интегральных неравенств. Выявлен широкий класс решений второй краевой задачи в классах функций, 'растущих на бесконечности, и установлены энергетические оценки решений, позволяющие исследовать характер стремления к нулю этого решения в окрестности нерегулярных точек границы в зависимости от геометрических характеристик области.
Ключевые слова: теорема единственности, принцип Сен-Венана, дифференциальные уравнения третьего порядка, нерегулярные точки, обобщённые решения, неограниченные области.
Введение. Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости выражается в виде априорной оценки для решения бигармонического уравнения, удовлетворяющего на части границы области однородным граничным условиям первой краевой задачи [1,2]. Такие энергетические оценки были впервые получены в работах [3,4], но они не учитывают характер изменения формы тела при удалении от той части его границы, где приложены внешние силы. Установлены энергетические оценки типа принципа Сен-Венана, учитывающие характер изменения формы тела, например, для цилиндрического тела [5]. Для системы уравнений теории упругости, в пространственном случае, аналог принципа Сен-Венана, теоремы единственности в неограниченных областях и теоремы типа Фрагмена—Линделёфа приведены в работах [6-9 и др.].
В вышеперечисленных работах объектом исследования являлись уравнения чётного порядка, т.е. уравнения эллиптических и параболических типов. Для уравнений нечётного порядка такого рода исследования проводились в меньших объёмах [10-12]. Так, для уравнения третьего порядка составного типа с граничными условиями первой краевой задачи аналог принципа Сен-Венана и теорема единственности в неограниченных областях получены в работах [10, 11]. В работе [12] были установлены локальные оценки W. нормы обобщённых решений уравнения третьего порядка составного типа. Энергетические и локальные оценки вместе дают оценки производных решений любого порядка на бесконечности и в окрестности нерегулярных точек границы.
В настоящей работе обобщаются результаты работ [10-12] и определяется класс единственности решений второй краевой задачи для уравнений третье-
Абдукомил Рисбекович Хашимов (к.ф.-м.н., доц.), зав. кафедрой, каф. прикладной математики.
го порядка составного типа в классах функций, растущих на бесконечности, а также изучается характер стремления к нулю этого решения в окрестности нерегулярных точек границы в зависимости от геометрических характеристик области. Краевая задача для таких уравнений в ограниченных областях была изучена в работе [13].
Обозначения и постановка задачи. Пусть Q С М+га = {х=(х\,х2, ■ ■ ■ ,хп) : Х\ > 0} — неограниченная область. В области Q рассмотрим уравнение
l0Au = f(x), (1)
где Iqu = akuXk, Au = al^uXiXj + aluxi + au; ak, a%\ al, a — постоянные. Относительно оператора A предполагается выполнение условий
а* = а?\ aoiei^a^^a^ei2, £ € Г1,
где üq, а\ — положительные постоянные.
Обозначим V = (vxi, vX2,..., vXn) — вектор внутренней нормали к границе Г = 9Q. Произведем разбиение боковой границы области Q:
ai = {х G Г : akvXk >0}, <т2 = {х € Г : akvXk < 0}, <т0 = {х G Г : akvXk = 0}.
Для уравнения (1) рассмотрим нижеследующую задачу. Задача. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
•и|ст1=0, akuXk\T = Q. (2)
Введём обозначения Qr = Q П {х : 0 < Х\ < г}, Гг = Г П 9Qr, <то)Г = = {х € Гг : akuk = 0}, aliT = {х € Гг : akuk > 0}, a2,r = {ж € Гг : akuk < 0}, ST = dQr\Tr и класс функций
Я(ПГ) = {и : 10и € W%(Q.T), 10и\Гт = 0, и\ = 0}.
Отметим, что в работе [13] построено обобщённое решение уравнения (1) в классе H(QT) при Гг = dQT.
Определение. Функцию и(х) будем называть обобщённым решением уравнения (1) в ограниченной области QT с граничными условиями 1оЩг = 0 и
I 1 т
и| = 0, если и(х) € H(Q,T) и удовлетворяет тождеству
p(l0u,v)= / [-a4(l0u)XivXj + al(l0u,)Xiv + a(l0u,)v]dx = / fvdx (3) <j q7 j qj
для произвольной функции v € = 0.
Основные результаты. Установим энергетические оценки типа принципа Сен-Венана, с помощью которых можно доказать теоремы существования и единственности решения краевых задач в классе растущих функций на бесконечности в зависимости от геометрических характеристик области, а также изучить асимптотические свойства решений в окрестности нерегулярных
точек границы и на бесконечности. Аналогичные исследования для эллиптических и параболических уравнений выполнены многими исследователями (например, см. [6]).
Теорема 1 (Аналог принципа Сен-Венана). Пусть а ^ 0 и /(ж) = О в С1Т, т ^ т2. Если и(х) является обобщённым решением уравнения (1) в О
г
с граничными условиями 1оЩГ = 0 и и\ = 0, то для любого Т\ такого, что 0 ^ Т\ ^ 72, справедлива оценка
/ Е{10ь)(1х ^Ф~1{т1,т2) Е{10ь)(1х, (4)
где Е(1ои) = а4{1ои)Х1{1ои)Х5 — а(1ои)2. Здесь Ф(ж1,т"2) является решением следующей задачи:
Ф' = -¿¿(ж^Ф, п < ж < г2, (5)
Ф(т2,т2) = 1; (6)
/и(т) —любая непрерывная функция такая, что
О < ¡л(т) ^ А(т) = П^ < / Е(1оУ)с1х' / Р(1оУ)(1х' >, х' = (Ж2,Жз, ... ,хп),
J
Р(М = -аг\10у)х,10У - а\10у)2/2, (7)
К — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций в окрестности БТ, удовлетворяющих условию 1оУ = 0 на БТ П Гг.
Доказательство. Положим в тождестве (3) v = ит(ф(х1) — 1). Здесь ■ф(х\) = Ф(т1,72), если 0 ^ х\ ^ т\-, ф(х\) = Ф(ж1,т"2), если т\ ^ х\ ^ тг; ■ф(х!) = 1, если Х\ ^ г2; ит € С1^), \\ит - 1ои\Щ1(Пт) ->• 0, 10и € Я(ПГ), ит = 0 в окрестности Гг. Тогда р(1ои — ит + ит, ит(ф — 1)) = 0 в 0Г2. Поэтому
р(«т,ига(!/)-1)) = ^в!]Г2, (8)
где = —р(1ои — ит, ит(ф — 1)). Ясно, что 5т —> 0 при т —> оо. Интегрируя (8) по частям, получим
/ Е(и
т){,Ф ~ 1 )(1х ^ I Р{ит)'ф1с1х + 8т.
<3 О-7"2 ^ П-Г2
Отсюда, учитывая условия теоремы, а также соотношения (5) и (7), имеем / Е(и
т)(Ф ~ 1 )Лх ^ I Р{ит)цф(1х + 5т,
^ 0-7*2 0-Г2
/ Е(ит)ф(1х - / Е(ит)(1х ^ / Е(ит)ф(1х - / Е(ит)ф(1х + (9)
0-7"2 0-7"2 0-7"2 ^т^
Переходя к пределу при т оо в (9), получим оценку (4). □
Оценим теперь А(ж1) в случае, когда Бт можно заключить в (п—1)-мерный параллелепипед, наименьшее ребро которого равно А1(г). Предположим, что шах {а1, О} = а2. Применяя неравенства Фридрихса и Коши—Буняковского, из (7) получаем
P(lov)dx'
<
a% l0v(l0v)Xidx'
1
+ 2
aL(lov)2dx'
<
< ai (Js {lovfdx^'2 {{lov)Xifdx^1'2 + ^^ jf E(l0v)dx' <
I E(l0v)dx'.
< ( aiAi(r) a2Af(r)
ао7г 2ао7г2
Поэтому можно положить
А(г) = 27г2а0(2тга1А1(т) + а2А?(т))-1. Если а1 ^ 0 на ¿>г> то а2 = 0. Тогда можно положить
ß(r) =
аотт
aiAi(r)'
(10)
Теперь рассмотрим вопрос построения функции Ф(ж1,т2) в конкретных областях. Для определённости положим а1 ^ 0.
Пример 1. Пусть область П при 0 ^ т\ ^ х\ лежит внутри тела вращения и < 2~1М(х\ + 1), т.е. А^ал) < М(х\ + 1), М > 0. Тогда из (10) имеем
ßij) =
ck
М(х 1 + 1)
, с = ao/a\.
Тогда функция Ф(ж1,т2), которая является решением задачи (5), (6), имеет вид
где т = ттс/М, т> 0. Из неравенства (4) в этом случае получаем, что
'п + 1чт
я{1ои)ах ^ ф '{Т\,Т2) I я{1ои)ах ^ I
т2 + 1
'П
E{l0u)dx. (11)
т2
Полученные точные решение задачи (1), (2) для угловой области показывают, что коэффициент при интеграле в правой части неравенства (11) не может убывать при т2 —> оо быстрее степенной функции.
Пример 2. Рассмотрим пример области, для которой
\i-fc
Ai(a?i) ^ irck (xi + 1)
Это означает, что при к > 1 область Q сужается при х\ —> оо (т.е. расстояние от х до dQ при Х\ —)■ оо стремится к нулю). Если к = 1, то Ai(a?i) ^ ттс, и этот
случай включает области, лежащие в полосе шириной ттс. Если 0 < к < 1, то область Q может соответственно расширяться при х\ —> оо. Для такой области Q можно положить ß{x\) = к(хi + 1). Нетрудно проверить, что функция
Ф(хг,т2) = ехр ((т2 + 1)к - (хг + 1))
удовлетворяет условию (6) и уравнению (5). Поэтому оценка (4) для рассматриваемой области справедлива при
Ф-1(%1,Т2) = ехр (~(т2 + 1)к + (xi + 1)) .
Как следствие принципа Сен-Венана получим теорему единственности задачи (1), (2) в неограниченной области Q в классах функций, растущих на бесконечности в зависимости от геометрических характеристик области.
Теорема 2. Пусть множество ST = Q П {х : Х\ = т} при любом т > О не пусто, f(x) = 0eQ,a1^0ua^0. Пусть и(х) является обобщённым решением уравнения (1) в QT с граничными условиями 1ои\Г = 0 и = О
при любом т > 0. Тогда, если для некоторой последовательности тт —> оо и некоторого положительного постоянного d* имеем
/ E(l0u)dx ^е(тт)Ф((1*,тт), (12)
JQ Тт
где е(тт) —> 0, при тт —> оо, то и(х) = 0 е О.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведём следующую лемму [13] без доказательства.
Лемма. Пусть для некоторого к в ограниченной области Q выполняется \ык\ ^ 6о >0 при х € Q; пересечение множеств Щ, <то U <т2 удовлетворяет условиям конуса. Тогда для любой функции ш из пространства где
= 0, существует решение задачи
10и = ш, uXk\ai=0 из пространства Ил21(^) и для этого решения выполняется оценка
IMIn^n) = Co\\uj\\Wi^y
Теперь, используя эту леммы, докажем теорему 2. Доказательство. Из (4), учитывая (12), имеем
/ E(l0u)dx ^ $~l(d*,Tm) / E(l0u)dx ^ е{тт) 0
J^dt J^-Tm
при тт —> оо. Следовательно, lou = 0 в . Тогда согласно лемме и = 0 в .
Далее, так как функция Ф(ж1,т2) является решением задачи (5), (6), для любого фиксированного d\ > d* имеем
Ф~1{й*,тт) = Ci^~l{di,Tm), Ci = const > 0.
Согласно неравенствам (4) и (12) получаем
/ E(l0u)dx ^ $-1(di,Tm) / E(l0u)dx J rid, JriTm
< $-1(di,rm)e(rm)$(4,rm) = Cf^r™) ->■ 0
при тт —> оо. Следовательно, 1ои = 0 в Тогда согласно лемме и = 0 в Так как dl выбрано произвольно, то и = 0 в П. □
Условие (12) является точным в том смысле, что замена величины е(тт) некоторой постоянной С приводит к неединственности решения задачи.
Теперь установим оценки для решения задачи (1), (2), указывающие характер обращения в нуль функции и(х) в окрестности нерегулярной точки Р границы области О,.
Теорема 3. Пусть а ^ 0, область О ограничена и лежит в полуплоскости {х : Х\ > 0}, множество БТ = О П {х : Х\ = т} при любом т € (0,т°) не пусто, т° > 0, /(ж) = 0 в ПТо = О П {х\ : Х\ < г0}. Тогда для обобщённого решения и(х) уравнения (1) в области Г2то с граничными условиями 1°и\дп 0пШ = 0и-и|сг о=0 справедлива оценка
/ (Iqv)2A(xi)^(xi,t°,e)dx ^ 'По
€ E(l0u)<S>(xi,t°,e)dx^ - ! E(l0u)dx, (13) Jп п е JCln
где в — const > 0, 0 <С в <С 1, а Ф(х\, т^) является решением следующей задачи:
Ф'=-(10 < ж < г°, (14)
Ф(г°,г°,е) = 1,
/л(т) —любая непрерывная функция такая, что
-ъ
0 < ц(т) < А(т) = inf { / E(l0v)dx'
Usv
/ P{l0v)dx' >sT
(15)
где К — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций V в окрестности ВТ, которые удовлетворяют условию 1оУ = 0 но 5Т П Гт, а Л(т) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию
0<A(r)^inf|y E(l0v)dx'
(lov) dx
2 j™/
!ST
(16)
Здесь М берётся по всем функциям V таким, что € С1 (О), V = 0 и 1оУ = 0 в а\ и д£} соответственно.
Доказательство. Положим в (3) у(х) = ит(ф(х5) — 1), где ф(х\, 5) = = Ф(6,т°,е), если 0 ^ х\ ^ 5; ф{х\,5) = Ф(х\,т°,е), если 0 < 5 ^ х\ ^ т°;
ф(х\,5) = 1, если Х\ ^ т°; ит € С^Г^о); \\ит - ¿оЧи/^п^) °> € ит = 0 в окрестности Г = 9Г2то. Тогда
- ит + - 1)) = 0 в Ото.
Поэтому
р(11го,иш(!/)-1))=^т в!]То, (17)
где 5т = —р(1ои — ит, ит{ф — 1)), и ясно, что 5т —> 0, при т —> оо. Интегрируя (17) по частям, получим
Е(и т)(ф ~ 1 )dx ^ I Р(ит)ф'dx + ôn
J П о
Отсюда, учитывая условия теоремы, а также соотношения (14), (15) и (16), получим
Ф(<5,т°,в) / E(um)dx + / Е(ит)Ф{х1,т°,e)dx ^
JnTo\ns
< / E(um)dx + (1 - е) / Я(ит)Ф(ж1,г°,е)(гж + йт. (18)
J J Пто\П5
Неравенство в (13) вытекает из (18) при предельном переходе m —>■ оо и 5 —>■ 0. □
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Saint-Venant A. J. С. В. Mémoire sur la Torsion des Prismes // Mem,. Divers Savants, 1855. Vol. 14,. Pp. 233-560.
2. Gurtin M. E. The Linear Theory of Elasticity / In: Handbuch der Physik. Vol. VIa/2. Heidelberg: Springer-Verlag, 1972. Pp. 1-296.
3. Knowles J. K. On Saint-Venant's principle in the two-dimensional linear theory of elasticity// Arch. Ration. Mech. Anal, 1966. Vol.21, no. 1. Pp. 1-22.
4. Flavin J. N. On Knowles' version of Saint-Venant's Principle in two-dimensional elastostatics// Arch. Ration. Mech. Anal, 1974. Vol.53, no. 4. Pp. 366-375.
5. Toupin R.A. Saint-Venant's Principle// Arch. Ration. Mech. Anal, 1965. Vol.18, no. 2. Pp. 83-96.
6. Oleinik O.A., losifian G. A. On singularities at the boundary points and uniqueness theorems for solutions of the first boundary value problem of elasticity // Comm. Part. Differ. Equat., 1977. Vol.2, no. 9. Pp. 937-969.
7. Ковалевский А. А., Скрыпник И. И., Шишков А. Е. Сингулярные решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Киев: Наукова думка, 2010. 499 с. [Kovalevskiy A. A., Skrypnik I. /., Shishkov А. Е. Singular solutions of nonlinear elliptic and parabolic equations. Kiev: Naukova Dumka, 2010. 499 pp.]
8. Galaktionov V. A., Shishkov A. E. Self-similar boundary blow-up for higher-order quasilinear parabolic equations// Proc. R. Soc. Edinb. A. Vol.135, no. 6. Pp. 1195-1227(33).
9. Шишков A. E. Классы единственности обобщенных решений краевых задач для параболических уравнений в неограниченных цилиндрических областях // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, №9. С. 1627-1633; англ. пер.: Shishkov А. Е. Uniqueness classes of generalized solutions of boundary value problems for parabolic equations in unbounded noncylindrical domains// Differ. Equat., 1990. Vol.26, no. 9. Pp. 1212-1218.
10. Джураев Т.Д., Хашимов А. Р. О существовании решений первой краевой задачи для уравнений третьего порядка составного типа в неограниченной области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2003. №19. С. 5-7. [Dzhuraev T.D., Khashimov A. R. On the existence of value boundary problem first solutions for equations of third order compound type in an unbounded region // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2003. no. 19. Pp. 5-7].
11. Хашимов A. P. О единственности решения одной краевой задачи для общего линейного уравнения третьего порядка составного типа в неограниченных областях // Узбек, мат. ж., 1999. №3. С. 77-85. [Khashimov A.R. On the uniqueness of the solution of a boundary value problem for a general third-order equation of composite type in unbounded domains// Uzbek. Mat. Zh., 1999. no. 3. Pp. 77-85].
12. Хашимов A. P. О локальных оценках обобщённых решений уравнений третьего порядка составного типа/ В сб.: Неклассический уравнений математической физики: Международный семинар, посвящённый 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Враго-ва (Новосибирск, 3-5 октября 2005 г.). Новосибирск, 2005. С. 285-291. [Khashimov A. R. On local estimations of generalized solutions to third order composite type equations / In: Nonclassical Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk, 2005. Pp. 285-291].
13. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Новосибирск, гос. унив., 1990. 132 с. [Boundary value problems for odd-order equations of mathematical physics. Novosibirsk: Novosibirsk. Gos. Univ., 1990. 132 pp.]
Поступила в редакцию 09/1/2011; в окончательном варианте — 04/03/2012.
MSC: 35A02; 35B40, 35B45, 35D30, 35G15
ON UNIQUENESS OF THE SECOND BOUNDARY VALUE PROBLEM SOLUTIONS FOR THE THIRD ORDER COMPOSITE TYPE EQUATION IN UNBOUNDED DOMAINS
A.R. Khashimov
Tashkent Financial Institute,
60, Amir Temur Prospekt, Tashkent, Uzbekistan.
E-mail: khashimov_abdukomil@yahoo. com
In the paper the second boundary value problem for the third order composite type equations is investiga,ted,. We established Saint- Venant's type energy estimates for weak solutions of the problem on Sobolev classes. The obtained, estimates are used to prove uniqueness theorems in the classes of functions growing at infinity. These uniqueness classes depend on the geometrical characteristics of the domain. Moreover, energy estimates allowing us to investigate behavior of solution in the neighborhood, of singularpoints were obtained,.
Keywords: uniqueness theorem, Saint-Venant's principle, third, order differential equations, singular points, general solutions, unbounded domains.
Original article submitted 09/1/2011; revision submitted 04/03/2012.
Abdukomil R. Khashimov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics.
