О субпроективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рисунок 1. Зависимость плотности тока от напряженности электрического поля

Отметим, что в случае сверхрешетки со спектром (1) штарк-фононный резонанс проявляется гораздо ярче, чем в сверхрешетке на основе трехмерного материала (с аддитивным спектром), где он виден только как изломы на вольт-амперной характеристике.

Сделаем некоторые численные оценки. При типичных параметрах исследуемых сверхрешеток d = 10-7 см, Д = 10-2 эВ, , поверхностная плотность тока j0 = 10-2 А/см, что вполне доступно для экспериментального наблюдения. При этом условие существования «штарковской лестни-

цы» Ш >> 1 при типичных значениях времени релаксации т = 10-12 с выполняется уже для полей напряженностью Е >105 В / м .

Список литературы:

1. Брыксин В. В., Фирсов Ю. А. Общая теория явлений переноса для полупроводников в сильном электрическом поле // ЖЭТФ. 1971. - Т. 61. - N6(12). - С. 2373-2390.

2. Ферри Д., Эйкерс Л., Гринич Э. Электроника ультрабольших интегральных схем. М.: Мир, 1991, 327 с.

О СУБПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Кузнецов Геннадий Васильевич

К.ф-м.н, доц.кафедры «Математика и информатика», директор Тульского филиала Финуниверситета

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются некоторые геометрические объекты, связанные со структурными параметрами сердечно - сосудистой системы.

ABSTRACT

In the given paper some geometrical plants connected with structural paramétrés warmly - vascular system are considered.

Ключевые слова: субпроективное пространства, конформно-евклидово пространство, конформное отображение.

Keywords: Subprojective spaces, konformno-evklidovo space. A conformal mapping.

г Для представления данного определения можно рассмо-

k кратно проективными В.Ф. Каган называл про- треть отображение такого пространства на евклидово. Гео-

странства аффинной связности, геодезические которых дезические линии будут отображаться в линии, находящи-в некоторой системе координат выражаются системой из

k еся в

(п-1)-го уравнения, из которых /v линейных уравнений.

(n - k ) -

мерных плоскостях

E

n-k

евклидова

пространства. Под «плоскостью»

кратного проектив-

2а „

e а

авь --т rbl

gBL

а AB - Р( x1) gAB + Q( xl)ölAölB,

где

,2а

P (x1) - -^-f (x1) - а

n - 2

n - 2

2а

Q( x1) —~4>( x')

n-2

Вполне естественно ввести обозначение

а- x

тог-

ного пространства понимается прообраз плоскости п к,

(п - к) -

то есть у 7 мерная поверхность, которая в данной

системе координат выражается линейными уравнениями.

При к п 2 геодезические линии будут располагаться на двумерных поверхностях, которые играют роль двумерных «плоскостей» пространства аффинной связности. Если все эти «плоскости» проходят через некоторую точку, то пространство называется субпроективным.

Так как субпроективное пространство является конформно-евклидовым, то его тензор кривизны имеет вид:

КЛВКЬ =авЬ§ЛК + алК§ВЬ -авК§ЛЬ -а^§БК ,

(1.1)

где тензор аBL имеет вид:

да

8\ - а

а ab - Р(а) gAB + Q^^AßB

Получим:

аАВ - (1 + ^а))аАав + (Р(а) - ß)gAB Далее, введем обозначения:

1 + Q^) - u(а), Р(а) - ß - у{а).

Тогда равенства (1.9) примут вид:

аАВ - U (а)аАав + У(а) gAB

После всех преобразований, получим

йу(а) - u(а)у(а)с1а - 0.

(1.5) (1.9)

(1.10)

или

2UIJ г\

n - 2

и в конформно-евклидовом пространстве удовлетворяет соотношениям:

аАВК - аАКВ (12)

Необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы риманово пространство являлось конформно-евклидовым, являются условия (1.1) и (1.2). Для трехмерного риманова пространства существенными являются только условия (1.2), так как в любом трехмерном римановом пространстве условия (1.1) будут выполняться автоматически. При n > 3 условия (1.2) вытекают из условий (1.1). Понятно, что не всякое конформно-евклидово пространство является субпроективным. Поэтому нужно выяснить ситуацию, при которой конформно-евклидово пространство будет субпроективным. Оказывается, что это зависит от вида тензора

аАв.

Известно, что тензор Риччи субпроективного пространства, имеет вид в полуприводимой системе координат:

RAB - f (xl)gAB +Р(XL)S1aS1ij (L3)

Подставляя равенства (1.3) в выражение для , получим:

Су(а) у(а)

- u(а)сСа,

С 1п у(а) = и (а) ССа

Интегрируя последнее равенство, получим:

1п у(а) = | и (а)Са + С

Последнее равенство перепишем в виде:

г(а) = С • е 'и (а) Са,

(l.ii)

где

С - eQ.

u (а)

В обратную сторону, то есть если функции

^(а) связаны соотношением (1.11), то величины алв будут удовлетворять равенствам (1.5), также легко доказывается. Тем самым данное риманово пространство является субпроективным. Последний факт отразим в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Конформно-евклидово пространство является субпроективным тогда и только тогда, когда функции

u (а) и Ча)

у(а) - С • e

связаны между собой зависимостью

Ju(а)Ла

До сего момента рассматривалось субпроективное пространство основного случая. Далее рассмотрим субпроективное пространство исключительного случая.

(1.4)

В Р(а) - 0. Т

В этом случае Тогда

аАВ - u (а)аАав - ßgAB,

г(а) - -ß

а также

ЧаА - u(а)аАСа - ßgAB®

B

Ввиду линейной независимости форм ^ л будем иметь:

и (а)вСа- d в = 0

Имеем:

С в = (2и (а) -1) вСа

После подстановки (1.13) в (1.12) получим:

(и (а) -1) вСа = 0

(1.12)

(1.13)

(1.14)

согласно равенствам (1.5), получаем алв = 0 . После

^ АВСТ 0

подстановки этих равенств в (1.1) имеем лвст , то есть риманово пространство становится евклидовым пространством.

Теорема 2. Конформное отображение между евклидовым и субпроективным пространствами определяет в евклидо-

ал

вом пространстве векторное поле , которое является торсообразующим векторным полем.

Так как £в = (1 + ö(a))aB

a[ AB ] = 0

то величина

является градиентом, а

P(a) -ß ф Н

- произвольная функция. На основании полученных фактов получаем

Следствие. Конформное отображение между евклидовым и субпроективным пространствами определяет в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле.

На основании известного факта говорящего о том, что риманово пространство является субпроективным тогда и только тогда, когда оно конформно-евклидово и допускает конциркулярное векторное поле. Получаем следующую теорему.

Теорема 3. При конформном отображении между евклидовым и римановым пространствами конциркулярное векторное поле будет переходить в конциркулярное векторное поле тогда и только тогда, когда риманово пространство является субпроективным.

Список литературы

1. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделироваие гемоди-намиеских процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями/1 Вестник новых медицинских технологий. 1998. Т. 5. № 34. С. 32.

2. Kuznetsov G.V., Yashin A.A. Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow. Russian Journal of Biomechanics. 2000. Т. 4. № 3. С. 86-92.

3. Манохин Е.В., Кузнецов Г.В., Добрынина И.В. Об обучении теории вероятностей студентов экономических вузов и алгоритмизации. Научные труды SWorld. 2013. Т. 16. № 2. С. 47-50.