Научная статья на тему 'New trends on fractional integral and differential equations'

New trends on fractional integral and differential equations Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
80
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Kilbas A. A.

One- and multi-dimensional integral equations and ordinary and partial differential equations with fractional integrals and derivatives by Riemann\,--\,Liouville, Liouville, Caputo, Hadamard and Riesz are considered. The method based on the reduction of the Cauchy-type and Cauchy problems for the one-dimensional nonlinear fractional differential equations to Volterra integral equations is discussed. A unified approach is presented to solve in close form of some classes of one- and multi-dimensional linear integral equations and linear ordinary and partial differential equations of fractional order. This approach is based on compositional relations, operational calculus and integral transforms by Laplace, Fourier and Mellin. Problems and new trends of research are discussed.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «New trends on fractional integral and differential equations»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

h-ПРОСТРАНСТВА ТИПА {2 2 1} ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

А.Н. Карузин

Аннотация

Для нахождения инфинитезимальных проективных преобразований псевдориманова многообразия (m, g) применен метод косонормального репера A.B. Аминовой [1J, с помощью которого можно свести решение данной задачи к решению уравнений Эйзенхарта и обобщенных уравнений Киллинга. В данной работе интегрируются уравнения Эйзенхарта для 5-мерных пространств, определяемых тензором Ьлб типа {2,1, 1}.

Векторное поле X на 5-мерном римановом многообразии (М, О) с метрикой О и связностью Леви-Чивита называется инфинитезимальным проективным преобразованием или проективным движением, если локальная 1-параметрическая группа локальных преобразований, порожденная векторным полем X в окрестности каждой точки р е М, сохраняет геодезические. Необходимое и достаточное условие этого состоит в выполнении следующего равенства:

(Ьх Оав );С = 20ав ф;С + О АС ф;В + О ВС ф;А, (1)

где Ьх Оав — производим Ли метрики Оав в направлении проективного движения X, ф - некоторая функция координат х1,..., х5, а точка с запятой означает ковариантное дифференцирование относительно Оав (здесь и далее все индексы, обозначенные заглавными латинскими буквами, принимают значения от 1 до 5).

Интегрирование данных уравнений в общем виде вряд ли возможно, поэтому воспользуемся методом косонормального репера Аминовой (см., например, монографию [1]).

Согласно этому методу задача интегрирования уравнений (1) разбивается на ряд случаев. Признаком разбиения служит тип (характеристика Сегре) тензора Ьх Оав ■ При этом уравнения (1) разбиваются на две группы: уравнения Эйзенхарта

Ьав-с = 2Оав ф;С + О АС ф;В + О ВС ф-А (2)

и обобщенные уравнения Киллинга

Ьх Оав = Ьав ■ (3)

Задав тип тензора Ьав , можно найти общие решения уравнений (2) и (3). Метрики, допускающие нетривиальные решения Ьав = сОав уравнений Эйзенхарта, называются Ь-метриками, а определяемые ими пространства - Ь -пространствами.

В данной работе интегрируются уравнения Эйзенхарта (2) для пространств, определяемых тензором Ьав типа {2 2 1}, для каждого пространства находятся соответствующие Ь-метрики и формулируются условия постоянства кривизны найденных Ь-пространств.

0 е 0 0 0 / 0 еА1 0 0 0 \

е 0 0 0 0 еА1 е 0 0 0

0 0 0 е 0 , (аАв) = 0 0 0 еА2 0

0 0 е 0 0 0 0 еА2 ее 0

0 0 0 0 ее V 0 0 0 0 еА3 /

(4)

(5)

(6)

После замены

Ьлв = алв + ав

уравнения (2) принимают вид

&АВ;С = С АС + Сво •

Запишем эти уравнения в инвариантной форме [1]:

5

XRapQ + еи(^HQYнрп + "рн 1н<зв) = GpRXQ<¿> + GQRХр Н=1

А

Здесь £ - компоненты векторов канонического косонормального репера, р

АВ А

YPQR = —YQPR = £ А;В £ ХР^ = £ <^,А;

Р Q R Р

1 = 2, 2 = 1, 3 = 4, 4 = 3, 5 = 5;

б1 = е2 = е = ±1, ез = е4 = е = ±1, е5 = е = ±1,

канонические формы Сав и аАв определяются формулами

(С ав ) =

где А1, Л2, Аз - произвольные функции координат ж1,..., ж5.

Подставив в (6) вместо Ср^ и аАв соответствующие канонические значения, получим следующие равенства:

Х^ = 0, Хз^ = 0, XR А1 = 5\Х2 XRА2 = 4 Х4 XRАз = 2^X5^, (7)

711R = 0, Y22R = 0, Y33R = 0, Y44R = 0, Y55R = 0, Yl3R = 0,

Yl2R = Х2Yl4R =

А1 - А2

4 Х4 <Л Y15R =

А1 - Аз

Х5<^

Y23R

А1 - А2 Y24R = е

Y34л = Y35Д = т—

А2 — А3

1 4. + , 1 , ¿1п)Х4^ +

(Ах - А2)2 й Ах - А2 й

+5

1 <& + —

(А1-А2)2 й^А!-А

2

1

1

^ = е ^-(Л1-Аз)2^ + АГ^^ ' + -

1

V (^2 - Аз)2 й А2 - Аз

А1 — А3 1

1 4 + Л 1 Л 4 ) + \

3 Г А2 — А3 / А2 — А3

здесь 4 - символы Кронекера.

Для того чтобы система уравнений с частными производными

а ( д

Х80 = £ дА0 = 0 (в = 1,...,р; А=1,...,5; 77— = дА

дХ А

(В)

е

е

А

где £ - компоненты векторов введенного выше репера, была вполне интегрируе-

s

мой, то есть для того, чтобы она допускала n — p = 5 — p независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы все коммутаторы операторов системы

5

(Xs , Xr) = XsXr — XRXs = ^ eQ (YQSR — YQRs )Xq (9)

Q=i

линейно выражались через операторы Xs [1].

Использовав формулы (8), составим всевозможные скобки Ли векторных полей _ д Хз = 1дхл:

(Х1,Х2) =-Х2фХ2, (ХиХ3) = 0, (Х1,Х4) = -~-—X4ipX 1,

Ai — А2

(Хих5) = ---—Х5(рХ-1, (Х2,Х3) = ---—X2ipXз,

Ai — A3 Ai — A2

(Х2,х4) = ---— X4ipX2 + —-—rX4ipX i-

Ai — A2 (Ai — A2 )2

- (Al_1A2)2^^3, (10)

(X2,x5) = ---— X5ipX2 + —-——XbkpX\ - --—X2ipX5,

Ai — A3 (Ai — A3 )2 Ai — A3

(X3,X4) = -X4ipX4, (X3,X5) = -~-—X5ipX3,

A2 — A3

(X4,x5) = ---— X5ipX4 + —-—¿X5ipXz - --—X4ipX5.

A2 — A3 (A2 — A3 )2 A2 — A3

Выбрав из системы уравнений Xsв = 0, s = 1,...,5, вполне интегрируемые подсистемы (например, Xie = X2в = X3в = Х4в = 0 и т. д.), обозначим их решения вА и сделаем преобразования координат xA' = вА(х). В новой системе координат, опустив штрихи, получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 3 4 5 3 4 5 i 2 4 5

£ = £ = £ = £ = 0, £ = £ = £ = 0, £ = £ = £ = £ = 0, (11) i i i i 2 2 2 3 3 3 3

i 2 3 5 i 2 3 4

£ = £ = £ = £ = 0, £ = £ = £ = £ = 0.

4 4 4 4 5 5 5 5

Проинтегрировав с этими условиями уравнения (7), найдем

ip = Ai + А2 + + const, (12)

где Ai = Ai (х2), A2 = A2 (х4), A3 = A3 (х5) - произвольные функции указанных переменных.

Приравняв координаты векторных полей в левых и правых частях равенств (10), с учетом формул (11) и (12) придем к системе нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными для компонент векторных полей Xs. Проинтегрировав эту систему и выполнив подходящие преобразования

координат, найдем контравариантные компоненты векторов канонического косо-нормального репера:

I

1 (еж2 — ёж4)(еж2 — еж5)1/2 ' 1__1_ ( 1 1

£ /_ 9 ~ /1 \ / _ 9 ^ с:\1/9 I /___9 ~

(13)

2 (еж2 — ёж4)(еж2 — еж5)1/2 \ (еж2 — ёж4) 2 (еж2 — ёж5) ) ' £ =

2

3

£ =

3

3

£ =

4

4

£ =

4

5

£ =

5

где <г, т - произвольные функции указанных переменных, а е, е, е принимают значения 0 или 1. По формулам

5 а в

(еж2 — еж4 )(еж2 1 — еж5)1/2(еж1 + ст(ж2))'

(еж2 -ёж4) (ёж4 1 — еж5 )1/2 ' ( 1 1 1

(еж2 -ёж4) (ёж4 -ёж5)!/2 \(ех2 _£Ж4) 1 2(ёж4 -

(еж2 — еж4 )(еж4 1 — ёж5)1/2(ёж3 + т(ж4))'

(еж2 — еж5 )(еж4 — еж5 )

-уЛВ _ ^^ H=1

GAB _ > ен £ £ (14)

вычислим сначала контравариантные, а затем найдем ковариантные компоненты метрического тензора:

GЛвdxAdxB _ е(еж2 — ёж4)(еж1 + ст(ж2))(2(еж2 — ёж4)(еж2 — ёж5)х

х ^ж1^ж2 + (еж1 + ст(ж2))(3еж2 — еж4 — 2еж5)(^ж2)2) + ё(еж2 — еж4)х х (еж3 + т(ж4))(2(еж2 — еж4)^4 — еж5)^ж3^ж4 + (еж3 + т(ж4))х

х (еж2 — 3еж4 + 2еж5)(^ж4)2) + е(еж2 — еж5)2(еж4 — еж5)2(^ж5)2, (15)

в

Использовав (15), по формулам £ л _ Gab £ определим ковариантные компонен-

c c

ты векторов канонического косонормального репера, затем по формуле алв _

5

_ ерeqaipQ £ л £ в вычислим компоненты тензора алв и, наконец, с учетом

p,q=1 P Q

равенства (4), найдем компоненты тензора Ллв:

hAB^жл¿жв _ (3еж2 + 2еж4 + еж5)(2G12^ж1 ^ж2 + G22(^ж2)2)+

+ ((2еж2 + 3еж4 + еж5 )(2С34^ж3 ^ж4 + G44 (¿ж4 )2)+ + (еж1 + ст(ж2 ))G12 (^ж2 )2 + (еж3 + т (ж4 ))G34 (^ж4 )2 +

+ 2(еж2 + еж4 + еж5 )G55 (^ж5 )2. (16)

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что тензоры hAB > Gab и функция определенные (12), (15) и (16), удовлетворяют уравнениям (2). Таким образом, справедлива

Теорема 1. Для того чтобы псевдориманово многообразие M, G было h-пространством типа {2 2 1}, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой

1

голономной системе координат его метрика определялась формулами (12), (15) и (16), при этом канонический косонормальный репер имел вид (13).

Детерминант метрического тензора (15) имеет вид

е(еж2 - еж4)8(еж2 - еж5)4(еж4 - еж5)4(еж1 + а(ж2))2(еж3 + т(ж4))2

(17)

для его невырожденности необходимо выполнение условий

(еж2 - еж4) = 0, (еж2 - еж5) = 0, (еж4 - еж5) = 0, (еж1 + ст(ж2 ))=0, (еж3 + т (ж4)) = 0.

(18)

В дальнейшем нам понадобятся компоненты тензора кривизны метрики Gab (15). Ненулевые компоненты тензора Римана h-пространства типа {2 2 1} имеют вид:

RH2

R.

212

2

-R212

^ст(ж2) ^ж2

(еж1 + ст(ж2))2 (Зеж2 - 2еж5 - еж4) (еж2 - еж5)

^ст(ж2) d ж2

42

ее^(еж1 + ст(ж2))(еж2 - еж4) 4(еж2 - еж5)3 (еж4 - еж5)2 '

еее(еж1 + ст(ж2))2(еж2 - еж4)

(еж2 - еж4)(еж1 + ст(ж2)) 4(еж2 - еж5)3(еж4 - еж5)2

R1314

R1324

R1414

R1424

R1515

R1525

R

413

R

324

R

423

ё(з^(еж3 + т(ж4))(еж2 - еж4)2 4(еж2 - еж5)3 (еж4 - еж5)2 х ёеё^ж1 + сг(ж2))(ёж3 + т(ж4))(еж2 — ёж4)2 423 = 4(еж2 -еж5)4(ёж4 - еж5)2 +

еёе^ж4 - еж5)(еж3 + т(ж4))

+

^ст(ж2) ^ж2

(еж2 - еж4)(еж2 - еж5)(еж1 + ст(ж2))2 '

2

R424

(ж4) dx4

ёёе^ж3 + т(ж4))2(еж2 - еж4) (еж2-ёж4) (ёж3 + г (ж4)) ' 2 (еж2 - ёж5)3 (ёж4 - ёж5)2

+

(ж4) dx4

(еж1 + ст(ж2)) еее

+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ст(ж2) ^ж2

(еж2 - 2еж4 + еж5)

(еж2 - еж4)2(еж3 + т(ж4)) (еж2 - еж4)2(еж2 - еж5)

(еж3 + т(ж4))2 ёёе^ж3 + т(ж4))2(еж1 + ст(ж2))(еж2 - еж4)

R

(еж1 + а(ж2))2 2(еж2 - еж5)4(еж4 - еж5)2

2 _ ё(2еж2 + Зёж4 - 5ёж5) 525 = 4(еж2 - ёж5)2(ёж4 - ёж5)' ё(еж1 + а(ж2))((еж2 - ёж4)2 - 2(ёж4 - ёж5)2) 2(еж4 - еж5 )(еж2 - еж5 )3 (еж2 - еж4)

+

еее

+

^ст(ж2) ^ж2

(еж4 - еж5)

52

(еж2 - еж4)2(еж1 + ст(ж2))2 '

R

123

42

R

213

R

124

R

214

ее^(еж1 + ст(ж2))(еж2 - еж4) 4(еж4 - еж5)3 (еж2 - еж5)2

х

з з еёё(ёж3 + т(х4))(ех1 + сг(ж2))(еж2 — ёж4)2

124 = 214 = 4 (ёж4 — ёж5)4 (еж2 — ёж5)2

^т (ж4) :--—-\

и___;___;___/19\

еёё (еж2 — ёж5)(ежх + сг(ж2))

е!

(еж2 — ёж4)(ёж4 — ёж5)(ёж3 + т(ж4))2 ' ^ст(ж2)

з 4 её(еж ёж) еёё(еж2 - ёж4)(ежх + сг(ж2))2

223 = 224 = " (ёж4 - ёж5) (ёж3 + г (ж4)) + 2 (еж2 - ёж5)2 (ёж4 - ёж5)3 '

Д

224

3

Д334

Д

434

Д

535

3

Д545

5

Д125

5

Д225

Д

345

Д

445

+

^ст(ж2) с? ж2

(еж3 + т (ж4))

еёег(2еж2 — еж4 — еж5) + -—^—~ ,-г-к- х

(еж2 — еж4 )2 (еж1 + ст(ж2)) (еж2 — еж4)2 (еж4 — еж5) (еж1 + ст(ж2 ))2 вве^ж3 + т (ж4 ))(еж1 + ст(ж2 ))2 (еж2 — еж4)

(еж3 + т (ж4 ))2

(ж4)

_ о4 _С? Ж4

434 (ёж3+т(ж4))2 (3еж4 — 2еж5 — еж2)

2(еж2 — еж5 )2 (еж4 — еж5 )4

ве^еж3 + т (ж4 ))(еж2 — еж4)2 4(еж4 — еж5 )3 (еж2 — еж5 )2

(еж4 — еж5)

х —

(ж4) ¿ж4

ее^(еж2 — еж4 )(еж3 + т (ж4 ))2

+

Д

(еж3 + т (ж4 ))(еж2 — еж4) 4(еж4 — еж5 )3 (еж2 — еж5 )2

4 _ 3ё(3еж2 + 2ёж4 - 5ёж5) 545 ~ 4(ёж4 - ёж5)2(еж2 - ёж5)'

^ т" () / 2 ^ 5 \ 2 Лял (£х ~£х > ё(ёж3 + т(ж4))(2еж2 + ёж4 - Зёж5)

(еж2 — еж4 )2 (еж3 + т (ж4 ))2 2(еж2 — еж5 )(еж4 — еж5)3

5 еее(2еж2 + 3еж4 — Беж^еж2 — еж4 )2 (еж1 + ст(ж2))

Д

215

4(еж4 — еж5)3 (еж2 — еж5)3

^ст(ж2) ^ж2

+

Д

(еж2 — еж5 )(еж1 + ст(ж2)) вве^ж1 + ст(ж2 ))2 (4еж2 + еж4 — Беж5 )(еж2 + еж4 — 2еж5)

4(еж2 - ёж5)4(ёж4 - ёж5)3 '

5 3ëëё(ёж3 + т (ж4 ))(еж2 — еж4 )2(3еж2 + 2еж4 — Беж5)

435

(ж4) ¿ж4

4(еж4 — еж5 )3(еж2 — еж5 )3

+

(еж4 — еж5 )(еж3 + т (ж4)) ¿^(еж2 + еж4 — 2еж5)(еж2 + 4еж4 — Беж5 )(еж2 — еж4 )(еж3 + т (ж4 ))2 4(еж2 - ёж5)3(ёж4 - ёж5)4 '

Сформулируем основное утверждение нашей работы.

Теорема 2. Если к -пространство типа {2 2 1} имеет постоянную кривизну, то эта кривизна равна нулю. Необходимые и достаточные условия того, что

к -пространство типа {2 2 1} является пространством постоянной кривизны, имеют вид

^=0, £ = 0. (20)

А X А X

Доказательство. Необходимое и достаточное условие постоянства кривизны псевдориманова пространства выражается равенством

КАав = К(б£Овв - ¿АGвc), (21)

где К - постоянная. Отсюда, в частности, следует

Д324 = 0 и Д324 =

da(x2) dx2

dr (ж4)

Учитывая (18), из первого равенства получим е = 0 и —-—^— = 0, после этого

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

из второго равенства найдем —-—-— = 0. Легко убедиться в том, что при этих

условиях все компоненты тензора кривизны (19) обращаются в нуль и, в силу (21), K = 0.

Наоборот, подставив условия (20) в формулы (19), получим, что все компоненты

h

теорему. □

Решению дальнейшей задачи - интегрированию обобщенных уравнений Кн. ь линга и определению 1-параметрических групп Ли проективных движений рас-h

Автор благодарит профессора A.B. Аминову за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянную поддержку.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-00996).

Summary

A.N. Karuzin. ^-spaces of type {2, 2,1} having constant curvature.

In order to find projective transformations of a pseudo-Riemannian manifold one can use A.V. Aminov's method of skew-orthogonal frame [1]. This method makes it possible to reduce the problem to solving Eisenhart equations and generalized Killing equations. In the present paper we integrate the Eisenhart equations for 5-dimensional ^-spaces of type {2,1,1}.

Литература

1. Аминова A.B. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. - М.: Янус-К, 2003. - 619 с.

2. Солодовников A.C. Проективные преобразования римановых пространств // УМН. - 1956. - Вып. 11. - С. 45-116.

3. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. - М.: Иностр. лит-ра, 1948.

Поступила в редакцию 09.12.04

Карузин Андрей Николаевич - аспирант кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета. E-mail: Andrey.Karuzin@ksu.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.