New trends on fractional integral and differential equations Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

h-ПРОСТРАНСТВА ТИПА {2 2 1} ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

А.Н. Карузин

Аннотация

Для нахождения инфинитезимальных проективных преобразований псевдориманова многообразия (m, g) применен метод косонормального репера A.B. Аминовой [1J, с помощью которого можно свести решение данной задачи к решению уравнений Эйзенхарта и обобщенных уравнений Киллинга. В данной работе интегрируются уравнения Эйзенхарта для 5-мерных пространств, определяемых тензором Ьлб типа {2,1, 1}.

Векторное поле X на 5-мерном римановом многообразии (М, О) с метрикой О и связностью Леви-Чивита называется инфинитезимальным проективным преобразованием или проективным движением, если локальная 1-параметрическая группа локальных преобразований, порожденная векторным полем X в окрестности каждой точки р е М, сохраняет геодезические. Необходимое и достаточное условие этого состоит в выполнении следующего равенства:

(Ьх Оав );С = 20ав ф;С + О АС ф;В + О ВС ф;А, (1)

где Ьх Оав — производим Ли метрики Оав в направлении проективного движения X, ф - некоторая функция координат х1,..., х5, а точка с запятой означает ковариантное дифференцирование относительно Оав (здесь и далее все индексы, обозначенные заглавными латинскими буквами, принимают значения от 1 до 5).

Интегрирование данных уравнений в общем виде вряд ли возможно, поэтому воспользуемся методом косонормального репера Аминовой (см., например, монографию [1]).

Согласно этому методу задача интегрирования уравнений (1) разбивается на ряд случаев. Признаком разбиения служит тип (характеристика Сегре) тензора Ьх Оав ■ При этом уравнения (1) разбиваются на две группы: уравнения Эйзенхарта

Ьав-с = 2Оав ф;С + О АС ф;В + О ВС ф-А (2)

и обобщенные уравнения Киллинга

Ьх Оав = Ьав ■ (3)

Задав тип тензора Ьав , можно найти общие решения уравнений (2) и (3). Метрики, допускающие нетривиальные решения Ьав = сОав уравнений Эйзенхарта, называются Ь-метриками, а определяемые ими пространства - Ь -пространствами.

В данной работе интегрируются уравнения Эйзенхарта (2) для пространств, определяемых тензором Ьав типа {2 2 1}, для каждого пространства находятся соответствующие Ь-метрики и формулируются условия постоянства кривизны найденных Ь-пространств.

0 е 0 0 0 / 0 еА1 0 0 0 \

е 0 0 0 0 еА1 е 0 0 0

0 0 0 е 0 , (аАв) = 0 0 0 еА2 0

0 0 е 0 0 0 0 еА2 ее 0

0 0 0 0 ее V 0 0 0 0 еА3 /

(4)

(5)

(6)

После замены

Ьлв = алв + ав

уравнения (2) принимают вид

&АВ;С = С АС + Сво •

Запишем эти уравнения в инвариантной форме [1]:

5

XRapQ + еи(^HQYнрп + "рн 1н<зв) = GpRXQ<¿> + GQRХр Н=1

А

Здесь £ - компоненты векторов канонического косонормального репера, р

АВ А

YPQR = —YQPR = £ А;В £ ХР^ = £ <^,А;

Р Q R Р

1 = 2, 2 = 1, 3 = 4, 4 = 3, 5 = 5;

б1 = е2 = е = ±1, ез = е4 = е = ±1, е5 = е = ±1,

канонические формы Сав и аАв определяются формулами

(С ав ) =

где А1, Л2, Аз - произвольные функции координат ж1,..., ж5.

Подставив в (6) вместо Ср^ и аАв соответствующие канонические значения, получим следующие равенства:

Х^ = 0, Хз^ = 0, XR А1 = 5\Х2 XRА2 = 4 Х4 XRАз = 2^X5^, (7)

711R = 0, Y22R = 0, Y33R = 0, Y44R = 0, Y55R = 0, Yl3R = 0,

Yl2R = Х2Yl4R =

А1 - А2

4 Х4 <Л Y15R =

А1 - Аз

Х5<^

Y23R

А1 - А2 Y24R = е

Y34л = Y35Д = т—

А2 — А3

1 4. + , 1 , ¿1п)Х4^ +

(Ах - А2)2 й Ах - А2 й

+5

1 <& + —

(А1-А2)2 й^А!-А

2

1

1

^ = е ^-(Л1-Аз)2^ + АГ^^ ' + -

1

V (^2 - Аз)2 й А2 - Аз

А1 — А3 1

1 4 + Л 1 Л 4 ) + \

3 Г А2 — А3 / А2 — А3

здесь 4 - символы Кронекера.

Для того чтобы система уравнений с частными производными

а ( д

Х80 = £ дА0 = 0 (в = 1,...,р; А=1,...,5; 77— = дА

дХ А

(В)

е

е

А

где £ - компоненты векторов введенного выше репера, была вполне интегрируе-

s

мой, то есть для того, чтобы она допускала n — p = 5 — p независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы все коммутаторы операторов системы

5

(Xs , Xr) = XsXr — XRXs = ^ eQ (YQSR — YQRs )Xq (9)

Q=i

линейно выражались через операторы Xs [1].

Использовав формулы (8), составим всевозможные скобки Ли векторных полей _ д Хз = 1дхл:

(Х1,Х2) =-Х2фХ2, (ХиХ3) = 0, (Х1,Х4) = -~-—X4ipX 1,

Ai — А2

(Хих5) = ---—Х5(рХ-1, (Х2,Х3) = ---—X2ipXз,

Ai — A3 Ai — A2

(Х2,х4) = ---— X4ipX2 + —-—rX4ipX i-

Ai — A2 (Ai — A2 )2

- (Al_1A2)2^^3, (10)

(X2,x5) = ---— X5ipX2 + —-——XbkpX\ - --—X2ipX5,

Ai — A3 (Ai — A3 )2 Ai — A3

(X3,X4) = -X4ipX4, (X3,X5) = -~-—X5ipX3,

A2 — A3

(X4,x5) = ---— X5ipX4 + —-—¿X5ipXz - --—X4ipX5.

A2 — A3 (A2 — A3 )2 A2 — A3

Выбрав из системы уравнений Xsв = 0, s = 1,...,5, вполне интегрируемые подсистемы (например, Xie = X2в = X3в = Х4в = 0 и т. д.), обозначим их решения вА и сделаем преобразования координат xA' = вА(х). В новой системе координат, опустив штрихи, получим

2 3 4 5 3 4 5 i 2 4 5

£ = £ = £ = £ = 0, £ = £ = £ = 0, £ = £ = £ = £ = 0, (11) i i i i 2 2 2 3 3 3 3

i 2 3 5 i 2 3 4

£ = £ = £ = £ = 0, £ = £ = £ = £ = 0.

4 4 4 4 5 5 5 5

Проинтегрировав с этими условиями уравнения (7), найдем

ip = Ai + А2 + + const, (12)

где Ai = Ai (х2), A2 = A2 (х4), A3 = A3 (х5) - произвольные функции указанных переменных.

Приравняв координаты векторных полей в левых и правых частях равенств (10), с учетом формул (11) и (12) придем к системе нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными для компонент векторных полей Xs. Проинтегрировав эту систему и выполнив подходящие преобразования

координат, найдем контравариантные компоненты векторов канонического косо-нормального репера:

I

1 (еж2 — ёж4)(еж2 — еж5)1/2 ' 1__1_ ( 1 1

£ /_ 9 ~ /1 \ / _ 9 ^ с:\1/9 I /___9 ~

(13)

2 (еж2 — ёж4)(еж2 — еж5)1/2 \ (еж2 — ёж4) 2 (еж2 — ёж5) ) ' £ =

2

3

£ =

3

3

£ =

4

4

£ =

4

5

£ =

5

где <г, т - произвольные функции указанных переменных, а е, е, е принимают значения 0 или 1. По формулам

5 а в

(еж2 — еж4 )(еж2 1 — еж5)1/2(еж1 + ст(ж2))'

(еж2 -ёж4) (ёж4 1 — еж5 )1/2 ' ( 1 1 1

(еж2 -ёж4) (ёж4 -ёж5)!/2 \(ех2 _£Ж4) 1 2(ёж4 -

(еж2 — еж4 )(еж4 1 — ёж5)1/2(ёж3 + т(ж4))'

(еж2 — еж5 )(еж4 — еж5 )

-уЛВ _ ^^ H=1

GAB _ > ен £ £ (14)

вычислим сначала контравариантные, а затем найдем ковариантные компоненты метрического тензора:

GЛвdxAdxB _ е(еж2 — ёж4)(еж1 + ст(ж2))(2(еж2 — ёж4)(еж2 — ёж5)х

х ^ж1^ж2 + (еж1 + ст(ж2))(3еж2 — еж4 — 2еж5)(^ж2)2) + ё(еж2 — еж4)х х (еж3 + т(ж4))(2(еж2 — еж4)^4 — еж5)^ж3^ж4 + (еж3 + т(ж4))х

х (еж2 — 3еж4 + 2еж5)(^ж4)2) + е(еж2 — еж5)2(еж4 — еж5)2(^ж5)2, (15)

в

Использовав (15), по формулам £ л _ Gab £ определим ковариантные компонен-

c c

ты векторов канонического косонормального репера, затем по формуле алв _

5

_ ерeqaipQ £ л £ в вычислим компоненты тензора алв и, наконец, с учетом

p,q=1 P Q

равенства (4), найдем компоненты тензора Ллв:

hAB^жл¿жв _ (3еж2 + 2еж4 + еж5)(2G12^ж1 ^ж2 + G22(^ж2)2)+

+ ((2еж2 + 3еж4 + еж5 )(2С34^ж3 ^ж4 + G44 (¿ж4 )2)+ + (еж1 + ст(ж2 ))G12 (^ж2 )2 + (еж3 + т (ж4 ))G34 (^ж4 )2 +

+ 2(еж2 + еж4 + еж5 )G55 (^ж5 )2. (16)

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что тензоры hAB > Gab и функция определенные (12), (15) и (16), удовлетворяют уравнениям (2). Таким образом, справедлива

Теорема 1. Для того чтобы псевдориманово многообразие M, G было h-пространством типа {2 2 1}, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой

1

голономной системе координат его метрика определялась формулами (12), (15) и (16), при этом канонический косонормальный репер имел вид (13).

Детерминант метрического тензора (15) имеет вид

е(еж2 - еж4)8(еж2 - еж5)4(еж4 - еж5)4(еж1 + а(ж2))2(еж3 + т(ж4))2

(17)

для его невырожденности необходимо выполнение условий

(еж2 - еж4) = 0, (еж2 - еж5) = 0, (еж4 - еж5) = 0, (еж1 + ст(ж2 ))=0, (еж3 + т (ж4)) = 0.

(18)

В дальнейшем нам понадобятся компоненты тензора кривизны метрики Gab (15). Ненулевые компоненты тензора Римана h-пространства типа {2 2 1} имеют вид:

RH2

R.

212

2

-R212

^ст(ж2) ^ж2

(еж1 + ст(ж2))2 (Зеж2 - 2еж5 - еж4) (еж2 - еж5)

^ст(ж2) d ж2

42

ее^(еж1 + ст(ж2))(еж2 - еж4) 4(еж2 - еж5)3 (еж4 - еж5)2 '

еее(еж1 + ст(ж2))2(еж2 - еж4)

(еж2 - еж4)(еж1 + ст(ж2)) 4(еж2 - еж5)3(еж4 - еж5)2

R1314

R1324

R1414

R1424

R1515

R1525

R

413

R

324

R

423

ё(з^(еж3 + т(ж4))(еж2 - еж4)2 4(еж2 - еж5)3 (еж4 - еж5)2 х ёеё^ж1 + сг(ж2))(ёж3 + т(ж4))(еж2 — ёж4)2 423 = 4(еж2 -еж5)4(ёж4 - еж5)2 +

еёе^ж4 - еж5)(еж3 + т(ж4))

+

^ст(ж2) ^ж2

(еж2 - еж4)(еж2 - еж5)(еж1 + ст(ж2))2 '

2

R424

(ж4) dx4

ёёе^ж3 + т(ж4))2(еж2 - еж4) (еж2-ёж4) (ёж3 + г (ж4)) ' 2 (еж2 - ёж5)3 (ёж4 - ёж5)2

+

(ж4) dx4

(еж1 + ст(ж2)) еее

+

^ст(ж2) ^ж2

(еж2 - 2еж4 + еж5)

(еж2 - еж4)2(еж3 + т(ж4)) (еж2 - еж4)2(еж2 - еж5)

(еж3 + т(ж4))2 ёёе^ж3 + т(ж4))2(еж1 + ст(ж2))(еж2 - еж4)

R

(еж1 + а(ж2))2 2(еж2 - еж5)4(еж4 - еж5)2

2 _ ё(2еж2 + Зёж4 - 5ёж5) 525 = 4(еж2 - ёж5)2(ёж4 - ёж5)' ё(еж1 + а(ж2))((еж2 - ёж4)2 - 2(ёж4 - ёж5)2) 2(еж4 - еж5 )(еж2 - еж5 )3 (еж2 - еж4)

+

еее

+

^ст(ж2) ^ж2

(еж4 - еж5)

52

(еж2 - еж4)2(еж1 + ст(ж2))2 '

R

123

42

R

213

R

124

R

214

ее^(еж1 + ст(ж2))(еж2 - еж4) 4(еж4 - еж5)3 (еж2 - еж5)2

х

з з еёё(ёж3 + т(х4))(ех1 + сг(ж2))(еж2 — ёж4)2

124 = 214 = 4 (ёж4 — ёж5)4 (еж2 — ёж5)2

^т (ж4) :--—-\

и___;___;___/19\

еёё (еж2 — ёж5)(ежх + сг(ж2))

е!

(еж2 — ёж4)(ёж4 — ёж5)(ёж3 + т(ж4))2 ' ^ст(ж2)

з 4 её(еж ёж) еёё(еж2 - ёж4)(ежх + сг(ж2))2

223 = 224 = " (ёж4 - ёж5) (ёж3 + г (ж4)) + 2 (еж2 - ёж5)2 (ёж4 - ёж5)3 '

Д

224

3

Д334

Д

434

Д

535

3

Д545

5

Д125

5

Д225

Д

345

Д

445

+

^ст(ж2) с? ж2

(еж3 + т (ж4))

еёег(2еж2 — еж4 — еж5) + -—^—~ ,-г-к- х

(еж2 — еж4 )2 (еж1 + ст(ж2)) (еж2 — еж4)2 (еж4 — еж5) (еж1 + ст(ж2 ))2 вве^ж3 + т (ж4 ))(еж1 + ст(ж2 ))2 (еж2 — еж4)

(еж3 + т (ж4 ))2

(ж4)

_ о4 _С? Ж4

434 (ёж3+т(ж4))2 (3еж4 — 2еж5 — еж2)

2(еж2 — еж5 )2 (еж4 — еж5 )4

ве^еж3 + т (ж4 ))(еж2 — еж4)2 4(еж4 — еж5 )3 (еж2 — еж5 )2

(еж4 — еж5)

х —

(ж4) ¿ж4

ее^(еж2 — еж4 )(еж3 + т (ж4 ))2

+

Д

(еж3 + т (ж4 ))(еж2 — еж4) 4(еж4 — еж5 )3 (еж2 — еж5 )2

4 _ 3ё(3еж2 + 2ёж4 - 5ёж5) 545 ~ 4(ёж4 - ёж5)2(еж2 - ёж5)'

^ т" () / 2 ^ 5 \ 2 Лял (£х ~£х > ё(ёж3 + т(ж4))(2еж2 + ёж4 - Зёж5)

(еж2 — еж4 )2 (еж3 + т (ж4 ))2 2(еж2 — еж5 )(еж4 — еж5)3

5 еее(2еж2 + 3еж4 — Беж^еж2 — еж4 )2 (еж1 + ст(ж2))

Д

215

4(еж4 — еж5)3 (еж2 — еж5)3

^ст(ж2) ^ж2

+

Д

(еж2 — еж5 )(еж1 + ст(ж2)) вве^ж1 + ст(ж2 ))2 (4еж2 + еж4 — Беж5 )(еж2 + еж4 — 2еж5)

4(еж2 - ёж5)4(ёж4 - ёж5)3 '

5 3ëëё(ёж3 + т (ж4 ))(еж2 — еж4 )2(3еж2 + 2еж4 — Беж5)

435

(ж4) ¿ж4

4(еж4 — еж5 )3(еж2 — еж5 )3

+

(еж4 — еж5 )(еж3 + т (ж4)) ¿^(еж2 + еж4 — 2еж5)(еж2 + 4еж4 — Беж5 )(еж2 — еж4 )(еж3 + т (ж4 ))2 4(еж2 - ёж5)3(ёж4 - ёж5)4 '

Сформулируем основное утверждение нашей работы.

Теорема 2. Если к -пространство типа {2 2 1} имеет постоянную кривизну, то эта кривизна равна нулю. Необходимые и достаточные условия того, что

к -пространство типа {2 2 1} является пространством постоянной кривизны, имеют вид

^=0, £ = 0. (20)

А X А X

Доказательство. Необходимое и достаточное условие постоянства кривизны псевдориманова пространства выражается равенством

КАав = К(б£Овв - ¿АGвc), (21)

где К - постоянная. Отсюда, в частности, следует

Д324 = 0 и Д324 =

da(x2) dx2

dr (ж4)

Учитывая (18), из первого равенства получим е = 0 и —-—^— = 0, после этого

из второго равенства найдем —-—-— = 0. Легко убедиться в том, что при этих

условиях все компоненты тензора кривизны (19) обращаются в нуль и, в силу (21), K = 0.

Наоборот, подставив условия (20) в формулы (19), получим, что все компоненты

h

теорему. □

Решению дальнейшей задачи - интегрированию обобщенных уравнений Кн. ь линга и определению 1-параметрических групп Ли проективных движений рас-h

Автор благодарит профессора A.B. Аминову за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянную поддержку.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-00996).

Summary

A.N. Karuzin. ^-spaces of type {2, 2,1} having constant curvature.

In order to find projective transformations of a pseudo-Riemannian manifold one can use A.V. Aminov's method of skew-orthogonal frame [1]. This method makes it possible to reduce the problem to solving Eisenhart equations and generalized Killing equations. In the present paper we integrate the Eisenhart equations for 5-dimensional ^-spaces of type {2,1,1}.

Литература

1. Аминова A.B. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. - М.: Янус-К, 2003. - 619 с.

2. Солодовников A.C. Проективные преобразования римановых пространств // УМН. - 1956. - Вып. 11. - С. 45-116.

3. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. - М.: Иностр. лит-ра, 1948.

Поступила в редакцию 09.12.04

Карузин Андрей Николаевич - аспирант кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета. E-mail: [email protected]