О структурной группе на расслоении дважды ковариантных тензоров Текст научной статьи по специальности «Химические науки»

УДК 514.76

О. А. Монахова

(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского)

О СТРУКТУРНОЙ ГРУППЕ НА РАССЛОЕНИИ ДВАЖДЫ КОВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРОВ

Описано действие полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров. Доказаны некоторые тождества, которым удовлетворяют операторы действия группы.

Ключевые слова: расслоение дважды ковариантных тензоров, структурная группа.

1. Основные определения и факты

Рассмотрим гладкое класса С многообразие Мп и расслоение Т02(Мп) дважды ковариантных тензоров над ним. Локальные координаты (х1) на базе Мп порождают координаты (хг, х]к), 1, ¡, к = 1, ..., п, на расслоении. Пусть р — произвольная точка многообразия Мп и Тр — значение тензорного поля Т типа (0,2) в этой точке, Тр е(Т02(Мп))р. Если р — точка на расслоении Т02(Мп), р = (р, Тр), то

х1 (р) = х1 (р) — координаты точки р,

х]к (р) = I ¡к — компоненты тензора Тр = ® dxk

в координатах (хг).

На расслоении Т02(Мп) в координатах (х1, х]к) возникает поле натурального репера, образованное векторными полями

д1 = -8-, д]к , 1,],к = 1,...,п.

дх1 81 ¡к

В [1] построен вертикальный лифт тензорных полей типа (0, 2). Для тензорного поля й = йг]^хг ® ёх] имеем следующее локальное представление лифта

= й] &1 . (1)

Если на базе Мп задана линейная связность V, то с ее помощью можно построить горизонтальные лифты векторных полей на расслоении Т°2(Мп), а также связность V [2]

Хн = Хкдк + (Гтхт] + ])дг, (2)

где X = Хг д г — локальное представление векторного поля Х, Г- — компоненты связности V в координатах (хг).

2. Действие полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров

Определим действие полной линейной группы ОЬ(п, Я) на расслоении Т°2(МГ) с помощью гомеоморфизма ЯЛ пространства (Т02(Мп))р в себя, действующего по закону:

Ял(Тр) = ГРЛ, (3)

Л е ОЬ(п, Я).

Перейдем к представлению действия группы в координатах (хг, х]к). Используя разложение тензора

Тр = 1]кс1х] ® с1хк (4)

и обозначив его образ Тр = Тр А, получим разложение Тр в виде

Тр = (ака^^тх). (5)

Учитывая равенства (4) и (5), получим координатное представление действия (3) полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров:

Т = а^а^къ- (6)

Предложение 1. Действие полной линейной группы ОЦп, Я) на расслоении Т°2(МГ1}, определенное по закону (3), является правым.

Доказательство. Из определения (3) действия группы следует (Яв °Ял)(Тр) = Яв (ТрА) = Тр (АВ),

тогда

Кв °Кл = К(АВ),

что соответствует правому действию.

Предложение 2. Действие полной линейной группы ОЬ(п,Я) на расслоении Т°2(Мп), определенное по закону (3), неэффективно.

Доказательство. Найдем элементы А полной линейной группы, осуществляющие тождественное отображение:

ЯЛ(Тр) = Тр-,

Тр — произвольный тензор в точке р е Мп. Используем координатное представление (6) действия группы:

получим

% = а]

„ к к _ як ок

¿¡Тф.

Таким образом, ядро неэффективности составляют матрицы

А = ХЕ, X = ± 1,

Е — единичная матрица.

В силу определения действие группы ОЬ(п, Я) на расслоении не является транзитивным, орбитами выступают слои (Т02(Мп))р расслоения.

3. Операторы действия группы

Построим операторы действия группы

XI = & дг ,

где

£я -Ок.

Р,] дар ч

д^а^щ)

Е

дар

ч

-81 г . + 81г- Е ] Р'

Е

Таким образом, в локальных координатах (х1, —) операторы

Хр1 имеют вид:

Хр11 = град1а + гарда1.

(7)

Прямыми вычислениями получим, что коммутатор любых операторов разлагается по самим операторам

[Хр1, X/] = Х/8Г1 - Х?8'. (8)

Предложение 3. Для произвольного оператора Хрч, тензорного поля Q типа (0, 2), векторного поля У выполняются следующие равенства:

1) Хр1] = Qpaдqa + Qapдaq,

2) [Ун, Хр1] = (ГР^Ь, Хр],

3) ^нХрр¥ - 0,

4) У^Х^р - ,Хр],

5) УнХрУн - 0,

6) уНнХр - [Ун, Хрр],

где Г-к — компоненты связности V в координатах (х,).

Доказательство. Используя локальные представления (1) и (7), а также свойства коммутаторов базисных полей [1], получим

ШУ, Хр1] = ШаъдаЬ, гр1д11 + г-рд11 ] = Qpaдрa + Qapдaq.

Из (2) и (7), учитывая равенство (8), получим

[Ун, Хр1] = [Укдк + У'(Г^Х- + Г*ХЛ)д- Град1а + гарда1 ] =

= (гГъа)ХъЗра - ХрЗ = (УГ^Хъ, Хр]. Аналогично доказываются остальные тождества.

Список литературы

1. Монахова О. А. О некоторых лифтах на тензорном расслоении типа (0, 2) // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 5: Актуальные проблемы математики и механики: мат-лы Между -нар. науч. конф. Казань, 2000. C. 153.

2. Монахова О.А. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды ковариантных тензоров // Диф. геом. многообр. фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. Вып. 36. Калининград, 2005. С. 88—92.

O. Monakhova

ABOUT THE STRUCTURE GROUP ON THE BUNDLE OF THE TENSORS OF THE TYPE (0,2)

The action of complete linear group on the bundle of the tensors of the type (0,2) is described. Some identities which operators of the action group satisfy are proved.

УДК 514.76

Н. Д. Никитин

(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского)

ОБ АЛГЕБРЕ ЛИ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С (и-1)-МЕРНЫМИ ОРБИТАМИ, ОСТАВЛЯЮЩЕЙ ИНВАРИАНТНОЙ НЕЛИНЕЙНУЮ СВЯЗНОСТЬ

Показано, что максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (п-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность, равна 2п-2.

Ключевые слова: алгебра Ли, абелева группа преобразований, нелинейная связность.

Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, Т(М) — касательное расслоение, п: Т(М) ^ М — каноническая про-