CC BY
9
Список литературы
1. Монахова О. А. О некоторых лифтах на тензорном расслоении типа (0, 2) // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 5: Актуальные проблемы математики и механики: мат-лы Между -нар. науч. конф. Казань, 2000. C. 153.
2. Монахова О.А. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды ковариантных тензоров // Диф. геом. многообр. фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. Вып. 36. Калининград, 2005. С. 88—92.
O. Monakhova
ABOUT THE STRUCTURE GROUP ON THE BUNDLE OF THE TENSORS OF THE TYPE (0,2)
The action of complete linear group on the bundle of the tensors of the type (0,2) is described. Some identities which operators of the action group satisfy are proved.
УДК 514.76
Н. Д. Никитин
(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского)
ОБ АЛГЕБРЕ ЛИ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С (и-1)-МЕРНЫМИ ОРБИТАМИ, ОСТАВЛЯЮЩЕЙ ИНВАРИАНТНОЙ НЕЛИНЕЙНУЮ СВЯЗНОСТЬ
Показано, что максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (п-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность, равна 2п-2.
Ключевые слова: алгебра Ли, абелева группа преобразований, нелинейная связность.
Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, Т(М) — касательное расслоение, п: Т(М) ^ М — каноническая про-
екция, 0=Я\ {0} — группа Ли относительно операции умножения, действующая на касательном расслоении по закону: для любого а е О преобразование Яа: Т(м) ^Т(М) отображает произвольный элемент .е Т(М) в Яа(г) =аг, где 2 = (х,Ъ), аг = (х,аЬ), Ъ еТх. Обозначим через Т'(М) подрасслоение Т(М), состоящее из всех ненулевых векторов, касательных к М.
Определение. Дифференцируемое распределение Н, заданное на Т'(М) и удовлетворяющее для любого .е Т'(М) и а е О условиям [1]:
а) Т = н2 е а, Ъ) ёЯа (н. ) = Ик (2),
где Qz — касательное векторное пространство к слою Ер = л- (р), р = п(т.), называется нелинейной связностью V на многообразии М.
Пусть ((, х1) 1 = 1, п — локальная карта многообразия М. Нелинейная связность V в естественных координатах (х1, у1), 1,1 = 1, п, окрестности л- (и) имеет компоненты ИИ (х1, х2,..., хп,у1,у2,...,уп), 1,И = 1,п , однородные первой степени относительно слоевых координат у1,у2,.,уп. Обозначим через Ьг алгебру Ли эффективной группы преобразований Ог , оставляющей инвариантной нелинейную связность V . Для каждого X е Ьг: ЬхС V = 0, где Ьс — обозначение производной Ли относительно полного лифта Xе векторного поля X.
Условие инвариантности нелинейной связности V относительно производной Ли вдоль векторного поля Xе, X е Ьг, подробно запишется:
а2 геуа-даещ + ниадтгут+гдани=о. (1) дни
В (1) нИа =-—, — компоненты векторного поля Х.
дус
Теорема. Максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (п-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность V, равна 2п - 2.
Доказательство. Предположим, что нелинейная связность V является инвариантной относительно абелевой группы Ог (г > 2п -1) с (п-1)-мерными орбитами и инфинитезимальные пре-О
образования Хр=^р — (р = 1,2,..., г; г > 2п-1, гап^'р\ = п -1)
— базис алгебры Ли Ьг этой группы. Можно всегда предположить, что гап|| = п -1 (а = 1,п -1). Существует система координат (и,х'), в которой векторные поля Xр имеют вид:
х; хп-1+,= ьа(хп( = и.г -п+1).
Пусть И) = упф)(х1,х2,...,хп;и1,и2,...,ип-1), где и1 = ^
(/ = 1, п -1) — компоненты нелинейной связности V в естественных координатах (х1,х2,...,хп,у1,у2,...,уп) окрестности п~х (и). Тогда уравнения инвариантности нелинейной связности V относительно группы Ог будут следующими:
ъоа'зп - +ф:х+8фх=о,
ф:.х+я:фпХ=о, ф * о, (2)
ох
(к^ = 1..,п; а,а = 1,п -1; Л = 1,г - п +1) ,
где ъа = ъ^-^а а =оаа где ^ = <Ы , ъ = (х)2, и .
Исследуем систему уравнений (2). Для этого рассмотрим матрицу \ъа . Пусть гапЛЪах = д, д < п -1. Можно всегда по-
ложить, что гапщЪ ^' = q (^ = 1,2,.,q). Тогда / -я строка матрицы ||ъ/ | (и > q) является линейной комбинацией с функциональными коэффициентами первых q строк, то есть
Ъ/(хп )=*/ (хп )• Ъ?(хп ). (3)
Из системы уравнений (2) следует, что
Ъ/(хп )=*/ (хп )• Ъ?"(хп ). (4)
Продифференцировав соотношение (3) по хп и учитывая (4), получим
Л/(хп )• Ъ?(хп )= 0. (5)
Так как гаптЪ" = q ( = 1,2,.,q) , то соотношения (5)
имеют место тогда и только тогда, когда гГ = 0. Значит,
I ¡л
Г е R. Тогда из (3) получим b"(xn) = rfM ■ b" + c". Отсюда следует, что инфинитезимальные преобразования X X" (а = 1, n -1), Xn-1+t (i = 1, q), входящие в базис алгебры Ли Lr группы Gr (r > 2n -1), оставляющей инвариантной нелинейную связность V, являются линейно зависимыми. Пришли к противоречию — значит, не существует абелевых групп преобразований Gr (r > 2n -1) с (п-1)-мерными орбитами, оставляющих инвариантной нелинейную связность V .
С другой стороны, группа преобразований G2n-2, базисом алгебры Ли которой являются инфинитезимальные преобразования
X = —,X .+ . = a"(xn)—(а,Л = 1,n -1), " дха "-1+Л лУ ;дхаУ '
rang{al{xn))= n — 1, оставляет инвариантной нелинейную связность V с компонентами
H"= y"b; (xn)+ yn®;(xn), Hn =-y°bi (xn)+b(xn )yn
где
Han=-yabl (xn) ^ - (ap'(xn )p(xn ) + ®:(x" +
+ bn (xn y+rn(x" У, н;= ynbnp(xn ), aP(xn) — матрица, обратная матрице ||аП' || (n, Д ор=\,n-l)
Список литературы
1. Yano K., Isihara S. Tangent and Cotangent Bundles Differential Geometry. New York, 1973.
N. Nikitin
ON LIE ALGEBRA OF ABEL'S GROUP OF TRANSFORMATIONS WITH (n-l)-DIMENSIONAL ORBITS WHICH KEEPS INVARIANT OF NON-LINEAR CONNECTION
It is shown that maximal dimension of Lie algebra of Abel's group of transformations with (n-l)-dimensional orbits which keeps invariant of non-linear connection is equal to 2n-2.
УДК 514.75
О. М. Омельян
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
О ВНУТРЕННИХ КРИВИЗНАХ 1-го И 2-го ТИПОВ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОСКОСТЕЙ
В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Произведено внутреннее композиционное оснащение этого распределения. Доказано, что это оснащение индуцирует в главном расслоении внутренние кривизны 1-го и 2-го типов.
Ключевые слова: распределение плоскостей, главное расслоение, оснащение, инвариант, связность, тензор кривизны.
