УДК 514. 76
Н. Д. Никитин
(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского)
О проективных движениях в общих пространствах путей
Установлено, что алгебра Ли подгруппы О с одномерными орбитами максимального порядка группы Ог проективных движений в общих непроективно плоских пространствах путей является идеалом алгебры Ли группы Ог.
Ключевые слова: общее пространство путей, проективная связность, алгебра Ли.
Пусть М — «-мерное дифференцируемое многообразие, Т(М) его касательное расслоение, л: Т(М) ^М — каноническая проекция.
Общее пространство путей [1] есть пара (М, Н), где Н — дифференциально-геометрический объект, заданный на касательном расслоении Т(М) . Пусть (х'), где ' = 1, п , — система координат окрестности и с М . В окрестности л~1(и) относительно координат (х', у]), где ', ] = 1, п , объект Н имеет компоненты Н' (х1, • • •, хп, у', • • •, уп), однородные второй степени относительно слоевых координат у1, • • •, уп. На базисном многообразии общего пространства путей посредством объекта Н задаются линии (пути), которые в окрестности и определяются системой дифференциальных уравнений
$ X , 1 п .
^^^^^ — Н ± ( X ,..., X , ,..., ).
л л л
Геометрические объекты Н, Н на касательном расслоении Т (М) определяют на базе одни и те же пути [2] тогда и только тогда, когда они проективно связаны:
Н '(х,у) — Н'(х,у) + у1 Ф(х,у), где Ф(X, у) скалярная функция, однородная первого измерения относительно у1,.,уп. Построим геометрический объект Р(Р1) , не зависящий от проективного преобразования объекта Н , компоненты которого
Р1 — Н1 (х, у)--Н п +1
а
где На частная производная На по уа . I 3к — — — ком-
1
2
поненты объекта проективной связности П общего пространства путей.
Важную характеристику пространствам путей дают тензор Вейля Ж (Жк) и тензор П (П 3к.,). Пространство путей
(М, Н) является проективно плоским тогда и только тогда,
когда Ж — 0, П — 0 .
д
Векторное поле X е Г1(П), X — ^ (х1, •••,хп)—-
дх1
(1 — 1, п) является инфинитезимальным проективным движением в пространстве (М, Н) тогда и только тогда, когда
р 1 — о, (1)
где Xе полный лифт векторного поля X. Условие (1) равносильно условию Ьхс П — 0 , которое в координатах (х1, у3) окрестности 7Г~1(и) запишется в виде
сг
5- 5sn;k + 5¿mПтк + 5¿mП)т + £,m5mП']к +
+ 5mtlymЩи --Ц-[8]5+ 8'к] = 0. (2) n +1
Теорема 1. Максимальная размерность алгебры Ли Lr группы проективных движений Gr c одномерными орбитами в непроективно плоских общих пространствах путей равна n.
Доказательство. В работе [3] показано, что алгебра Lr либо абелева, либо имеет структуру
(Х k, Х2) = Xk ,(XM, Xz) = 0,(к, ¡и,г = 1,3,4,—, r). (3)
Найдем все представления абелевой алгебры Lr и алгебры Lr со структурой (3) в виде алгебры Ли инфинитезимальных преобразований Xa=%J(x)-5— (' = 1,n; a = 1,r) координатной окрестности U, когда rang (%'a (x)) = 1.
1. Существует система координат (x') окрестности U, в которой инфинитезимальное преобразование Х1 абелевой ал-
5
гебры Lr имеет вид X1 = —- [4]. В этой системе координат
5x
2 5 —
Хи = Ри(x , —,xn) —- (и = 2,r). В основу дальнейшего на-
5x
хождения представлений положим число функционально независимых составляющих р,,:
/ /и
а) все составляющие ри функционально независимы. В этом случае r < n и посредством преобразований координат
х1 = х1,х2 = p(x2,—,xn),—,xr = р(x2,—,xn),xr+1 = xr+1,—, xn = xn инфинитезимальные преобразования Х1,—,Хr, являющиеся базисом абелевой алгебры Lr , приводятся к виду
Х = х2 Х = x Ox(r < я)- (4)
(оставлены старые обозначения для новой системы координат);
б) число функционально независимых составляющих ср равно l, l < n — 1, l < r . В этом случае существует система координат окрестности U , в которой
V - V х2 - V xl - V ( 2 l) -
Х1 =T-T,Х2 =х TT,■■•,Xl = х 1ГT, Xl+1 =Рм(х ,-,X )^;7,
ох их ох ох
-
-, Xr =Pr (x2,-, Xl)-J. (5)
2. Аналогично тому, как были определены представления абелевой алгебры Lr, можно показать, что алгебра Lr со структурой (3) имеет следующие представления, когда rang ) = 1:
- 1 -
V 2 = х ——
1 = аХ1, 2 -х1
Х3 = х —— -, Хr = xr—1
3 -х1 ' r
(6)
где r < n +1;
-X1 '
- „ 1 - „ 1—1 -
Х1 = -Г 5 Х 2 = Х1 -Г 5 ' " 5 Х1 = Х 1 -Г 5 Х1 + 1 =
дх дх дх
д д = ЯН+1(х2,-,х1 -1)А -,X =рг(х2,—,х1-1)яхт, 1 < п +1. (7)
Найдем компоненты объекта Р общего пространства путей, допускающего алгебру Ли Ьг инфинитезимальных проективных движений (4) при г = п . Для этого запишем для каждого векторного поля из преобразований (4) уравнения инфинитезимальных проективных движений (1):
\-ё!Ра + Р'уа = 0, \ 1 ■ — — (8) [ дх1 Р' = 0, а = 2,п; ' = 1,п.
Из уравнений (8) получим, что Р1 = А(х2, ---, хп, у2, ---, уп) у1 + + В(х2,-,хп,у2,-,уп), Ра = А(х2,-,хп,у2,-,уп)уа . Здесь А однородная функция первой степени относительно у2,-,уп. Составляющие объекта Р(Р') должны удовлетворять условию Р—= 0: пА + А .— у- = 0. Из этого равенства с учетом того, что А—у— = А , получим, что А = 0. Итак, геометрический объект Р имеет компоненты Р' =д'В( х2,-, хп, у2,-, уп). Таким образом, абелева группа Оп с алгеброй Ли (4) является абелевой группой проективных движений в общих пространствах путей с объектом проективной связности
П(П'к), П']к = 6'В]к(х2,-,хп,у2,-,уп), вк=2 в.}к.
Покажем, что пространства (М,Н) не допускают в качестве группы проективных движений группу Ог с алгеброй Ли (5). Предположим, что группа Ог является группой проективных движений в общих пространствах путей. Запишем уравнения инфинитезимальных проективных движений для алгебры Ьг (5):
'д[Ра + Р'1 уа = 0, дхР' = 0, (9)
у-ур -б{ + Р[ д^ур = 0, (10)
1 дх-дх р 1 дх- дх р у '
где —, р,а = 2,1;' = 1, п ; 5 = I +1, г .
Из уравнений (9) следует, что Р1 = А(х2,—, хп, у2, ---, уп )у1 + + В(х2,-,хп,у2,-,уп), Ра = А(х2,-,хп,у2,-,уп)уа . Тогда из выражения (10) при ' = 1 находим, что рх = ар хр + ах.
1
Так как Х ^ = ^ арХ + а!,Х1 , то пришли к противоречию с ус-
Р=2
ловием. По условию векторные поля (5) линейно независимы.
Найдем теперь составляющие объекта проективной связности общего пространства путей, допускающего алгебру Ли инфинитезимальных проективных движений Ьп+1 (6). Так как
алгебра Ьп (5) является подалгеброй алгебры Ьп+1 (6), то составляющие объекта проективной связности пространства (М, Н), допускающего алгебру Ли инфинитезимальных проективных движений Ьп+1 (6), определим из уравнений
Ьхс П)к = 0, (11)
где П'к =5{Вк (х2, — хп, у2, —, уп); Xе — полный лифт век-
Я
торного поля X = х1—1. Из уравнений (11) получим, что
Ях
П 'к = 0 . Пространство путей (М, Н) является проективно плоским.
Не существует пространств путей, допускающих алгебру Ли Ьг инфинитезимальных преобразований (7) в качестве алгебры Ли проективных движений. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть Ог локальная группа проективных движений в непроективно плоских общих пространствах путей, Оп— абелева подгруппа с одномерными орбитами группы 0г. Тогда алгебра Ли Ьп подгруппы Оп является идеалом алгебры Ли Ьг группы Ог .
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что векторные по-
Яд д
ля Х1 =—-, Х2 = х —1, , Хп = хп—- выступают базисом
дх дх дх
алгебры Ли Ьп подгруппы Оп проективных движений в пространствах путей (М, Н), составляющие объекта проективной связности которого П]к = З'В^ (х2, — хп, у2, —, уп).
Компоненты тензора Вейля Ж пространства путей, допускающего абелеву группу Оп проективных движений с одномерными
орбитами, = Жк = Ж]а = Ж]п = 0, <>,ПР =2Я^р) зависят от переменных х ,-••,хп,у ,-••,уп, а компоненты тензора
П:П]к1 =8\В]кЛ .
д
Пусть Х е Ьг, X =Г (х1, —, хп)—-. Запишем уравнения
дх'
проективных движений для векторного поля Х:
я2Г я? В ЯГ В +дГ В + В Яг * +
дхК дх*
, . —-тВ,к +я'1( —
дхк дх] дх1 ] 1 дх]
дВ]к 1 . я2Г - д + Г—-—(¿к . +5) к) = 0. (12)
дха п +1 к дх°дх] ] дх°дхк
Из уравнений (12) при ' = 2, п, ] = к = 1 получим, что
г = х1рк(х2,—,хп) + 1//к(х2,---,хп), к = 2,п . Из первой серии условий интегрируемости дифференциальных уравнений (12)
ЬХе П 'к, = 0 ЬХеЖк = 0
где Хс — полный лифт векторного поля Х, следует, что
Ркж1рр= 0, ркВ]кЛ = 0. (13)
Так как пространства (М, Н) являются непроективно плоскими, то из (13) имеем, что рк = 0 . Из уравнений (12) с уче-
том того, что ;а=уа( x2,---, xn), получим С = xlrj(x2,---,xn) + #(x2,---,xn). Найдем коммутаторы век-
д д
торного поля X = (x r + @) —г + ¥а- и векторных полей
dx dxa
базиса алгебры Ln:
Y = (Xx,X) = (x^-tf)Y = XX) = n1 = . (14)
Из выражения (14) следует, что векторные поля Yi, i = 1, n, алгебры Lr должны раскладываться по векторным полям базиса алгебры Ln . В противном случае получим противоречие с теоремой 1. Следовательно, подалгебра Ln является идеалом алгебры Ли Lr.
Список литературы
1. Douglas J. The general geometry of paths // Ann. Math. 1928. Vol. 29. — P. 143—168.
2. Levine J. Collinations in generalized spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. Vol. 2. P. 447—455.
3. Никитин Н. Д. О Группах движений с одномерными орбитами в общих пространствах путей проективной связности // Движения в обобщенных пространствах : межвуз. сб. Рязань, 1985. С. 104—108.
4. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М., 1947.
N. Nikitin
On projective motions in general path spaces
It is established that Lie algebra of subgroup G with one-dimensional orbits of maximal order of group Gr of projective motions in general nonprojective flat path spaces is an ideal of Lie algebra of group Gr.