Об алгебре Ли абелевой группы преобразований с (N1)мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 514.76

ОБ АЛГЕБРЕ ЛИ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С (и-1)-МЕРНЫМИ ОРБИТАМИ,

ОСТАВЛЯЮЩЕЙ ИНВАРИАНТНОЙ НЕЛИНЕЙНУЮ СВЯЗНОСТЬ

© Н. Д. НИКИТИН

Пензенский государственный педагогический университет им. В.Г.Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Никитин Н. Д. - Об алгебре Ли абелевой группы преобразований с (м-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность // Известия ПГПУ им. В.Г.Белинского. 2010. № 18 (22). С. 67-69. -

В работе показано, что максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (п-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность, равна 2n-2.

Ключевые слова: алгебра Ли, нелинейная связность.

Nikitin N.D. - On Lie algebra of abel’s group of transformations with (w-1)-dimensional orbits which keeps invariant of non-linear connection // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G.Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 67-69. -

It is shown that maximal dimension of Lie algebra of Abel’s group of transformations with (n-l)-dimensional orbits which keeps invariant of non-linear connection is equal to 2n-2.

Keywords: Lie algebra, non-linear connection.

Пусть М - n-мерное дифференцируемое многообразие, Т(М) - касательное расслоение, п: Т(М) ^ М - каноническая проекция, G = R \ {0} группа Ли относительно операции умножения, действующая на касательном расслоении по закону: для любого а е G преобразование Ra : T (M) ^ T (M) отображает произвольный элемент ze Т(М) в Ra (z) = az, где z = (x, b ), az = (x, ab ), b e Tx. Обозначим через Т’(М) подрасслоение Т(М), состоящее из всех ненулевых векторов, касательных к М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференцируемое распределение Н, заданное на Т’(М) и удовлетворяющее для любого ze Т’(М) и а е G условиям [1] :

a) T = Н2 ® Qz, b) dRa (Н2 ) = H^ (,

где Qz - касательное векторное пространство к слою Fp = п~1 (p), p = п( z), называется нелинейной связностью V на многообразии М.

Пусть (U, x'), i = 1, n - локальная карта многообразия М. Нелинейная связность V в естественных координатах (x', yJ ), i, j = 1, n, окрестности п- (U) имеет компоненты x1,x2,...,xn,yl,y2,...,yn), i,h = 1,n

родные первой степени относительно слоевых координат y1,y2,.,yn. Обозначим через Lr алгебру Ли эффективной группы преобразований Gr, оставляющей инвариантной нелинейную связность V. Для каждого X e Lr

LXC V = 0

где Lxc обозначение производной Ли относительно полного лифта Xе векторного поля X.

Условие инвариантности нелинейной связности V относительно производной Ли вдоль векторного поля Xе, X e Lr, подробно запишется:

д2 /V ~d?hH& + Hнпд £aym + /адМк = 0. (1)

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

В (1) И^а =--—, - компоненты векторного поля Х.

ду—

Имеет место утверждение.

ТЕОРЕМА. Максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (и-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность V, равна 2п — 2.

Доказательство. Предположим, что нелинейная связность V является инвариантной относительно абе-

д

левой группы Gr (г > 2п-1) с (и-1)-мерными орбитами и инфинитезимальные преобразования Xр = Е,в~~

(в = 1,2,...,г; г > 2п — 1) , гап\%'р\ = п — 1, базис алгебры Ли Lr этой группы. Можно всегда предположить, что

гап£||^а|| = п — 1 (а = 1,п — 1). Существует система координат (и,х1) , в которой векторные поля Хр имеют вид:

дд

Ха =-; X ,+, = Ьа(хп)----------------- (Л = 1,2,.,г — п +1).

а дха ху > дха У ’

Пусть И\ = упф\ (х1,х2,...,хп;и1,и2,...,ип—1), где и1 = ^ (/ = 1,п — 1), компоненты нелинейной связности V

в естественных координатах (х1,х2,...,хп,у1,у2,.,уп) окрестности л~’(и) . Тогда уравнения инвариантности нелинейной связности V относительно группы Gг будут следующими:

ь^з; —%&+&Х+8;—— = о,

<Р1Х+8пп——= о, М * о, (2)

dHh

(k,s = 1..,n; a,a = 1,n-1; - = 1,r-n +1),

, a dba , a dЬ a dq>a, где ьа =—-, ьа =——-, q>a„ =-^-.

- dxn - (dxn )2 Dua

Исследуем систему уравнений (2). Для этого рассмотрим матрицу ||b- ||. Пусть rang^b- || = q, q < n — 1. Можно всегда положить, что rang |b(“ || = q (t = 1,2,..., q). Тогда f -ая строка матрицы ||b^ || (f > q) является линейной комбинацией с функциональными коэффициентами первых q строк, то есть

Ь'(хп ) = П (xn )• bf(xn). (3)

Из системы уравнений (2) следует, что

b;"(xn ) = п‘м (xn )• bf(xn). (4)

Продифференцировав соотношение (3) по X и учитывая (4), получим

< (xn )• bf(xn ) = 0. (5)

Так как rang^b^ || = q (t = 1,2,., q) , то соотношения (5) имеют место тогда и только тогда, когда nf = 0. Значит, rff е R. Тогда из (3) получим b£ (xn ) = nf • bа + c° . Отсюда следует, что инфинитезимальные преобразования Xf, Xа ( а = 1, n — 1), Xn—1+t (t = 1, q), входящие в базис алгебры Ли Lr группы Gr (r > 2n — 1) , оставляю-

щей инвариантной нелинейную связность V, являются линейно зависимыми. Пришли к противоречию, Значит, не существует абелевых групп преобразований Gr (r > 2n — 1) с (п-1)-мерными орбитами, оставляющих инвариантной нелинейную связность V.

С другой стороны, группа преобразований G2n—2, базисом алгебры Ли которой являются инфинитезималь-ные преобразования

х а =дха, Xn—1+-=< (хП )~дха(а ,-=1 n—1), rang (a-' (хП))=n—1,

оставляет инвариантной нелинейную связность V с компонентами

н; = Уаbe (xn) + yn0 в (xn), H: = — y°bl (xn) + b (xn) yn

та __ л— К n (v*n Л У / а' ' / ...n \ 7*Р I -^.n \ _i_ ГЛ— i vn V\ i a _u_A / v*n \ - ^ л' I \ -1 »n j-jn _ л n^n / v*n

Я а а i n / n\ У /а' '/ n\ ~p ( n\ , гла / n \\ & ,, / / n\ а , а / n\ n tt" ni n / n\

n = —У b&(x ) — — (aP (x ) a&(x ) + 0 а (x ))y +bn (x ) У +Yn (x ) У , нв = У be (x ),

" " 7 = 1, n — 1)

где ||<51Р (xn )|| матрица, обратная матрице ||a; || (а, в, a, p = 1, n — 1) .

Р

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yano K., Isihara S. Tangent and Cotangent Bundles Differential Geometry. New York: Marsel Dekker. JNC, 1973. 423 pp.