CC BY
17
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 514.76
СТРУКТУРНАЯ ГРУППА НА РАССЛОЕНИИ ДВАЖДЫ КОВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРОВ
© О. А. МОНАХОВА
Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского,
кафедра алгебры e-mail: [email protected]
Монахова О. А. - Структурная группа на расслоении дважды ковариантных тензоров // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 64-66. - Описано действие полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров. Доказаны некоторые тождества, которым удовлетворяют операторы действия группы. Ключевые слова: расслоение дважды ковариантных тензоров, структурная группа.
Monakhova O. A. - The structure group on the bundle of the tensors of the type (0,2) // Izv. Penz. gos. pedagog.
univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 64-66. - The action of complete linear group on the bundle of the tensors of the type (0,2) is described. Some identities which operators of the action group satisfy are proved.
Keywords: bundle of the tensors of the type (0,2), structure group.
1. Основные определения и факты.
Рассмотрим гладкое класса С" многообразие Mn и расслоение T°2(Mn) дважды ковариантных тензоров над ним. Локальные координаты (xi) на базе Mn порождают координаты (xi, xk) i, j, k = 1, ..., n. на расслоении. Пустьр -произвольная точка многообразия Mn и Тр - значение тензорного поля T типа (0,2) в этой точке, Тр е (T>2(MJ)p. Если p - точка на расслоении T°2(Mn), p = (p, Tp), то
x' (p) = x' (p) - координаты точки p,
Xjk (P) = tjk - компоненты тензора Tp = tjkdxJ ® dxk
в координатах (xi).
На расслоении T°2(Mn) в координатах (х, xk) возникает поле натурального репера, образованное векторными полями
д д
д. =—, djk =—, i, j, k = 1,..., n.
' dx' dtjk
В [1] построен вертикальный лифт тензорных полей типа (0,2). Для тензорного поля Q = Q^dx' ® dxJ имеем следующее локальное представление лифта
QV = Q д. (1)
Если на базе Mn задана линейная связность V, то с её помощью можно построить горизонтальные лифты
векторных полей на расслоении T°2(Mn), а также связность VH, [2]
XH = X* 5, + Xs (r:xmJ + j )diJ, (2)
где X = X'dt -локальное представление векторного поля Х, Гк- компоненты связности V в координатах (Х).
АЛГЕБРА ►►►►►
2. Действие полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров.
Определим действие полной линейной группы GL(n, R) на расслоении Т°2(Мп) с помощью гомеоморфизма RA пространства (Т°2(Мп))р в себя, действующего по закону:
R,(Г) = ТА,
А р р (3)
А є GL(n, R).
Перейдем к представлению действия группы в координатах (Xі, хк). Используя разложение тензора
Тр = tjkdxJ ® dxk (4)
и обозначив его образ Тр = ТрА, получим разложение Тр в виде:
Тр = (а^ак^^Шх). (5)
Учитывая равенства (4) и (5), получим координатное представление действия (3) полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров:
~=ааьш (б)
Предложение 1. Действие полной линейной группы GL(n, R) на расслоении Т°2(Мп), определенное по закону (3), является правым.
Доказательство. Из определения (3) действия группы следует
^ ° RA)(Тр) = Rг (ТрА) = Тр (АВ),
тогда
и О и = и
■^В А (АВ)’
что соответствует правому действию.
Предложение 2. Действие полной линейной группы GL(n,R) на расслоении Т^Мп), определенное по закону (3), неэффективно.
Доказательство. Найдем элементы А полной линейной группы, осуществляющие тождественное отображение:
R.(Т) = Т,
А р р
Тр - произвольный тензор в точке р є Мп. Используем координатное представление (6) действия группы:
получим
= акаН,и,
її її кп
акап = 8 к8 п.
і З і з
Таким образом, ядро неэффективности составляют матрицы
А = ХЕ,
X = ± 1,
Е - единичная матрица.
В силу определения действие группы GL(n, R) на расслоении не является транзитивным, орбитами являются слои (Т°2(Мп))р расслоения.
3. Операторы действия группы.
Построим операторы действия группы
XI ={%д«,
где
д!
_ ____и_
Рі дар
даР
_8Н . +8Ъ.
і РР . Р
Е
Е
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
Таким образом, в локальных координатах (Xі, £к) операторы Хр* имеют вид:
X* = ісадіа + ід04 . (7)
р ра ар
Прямыми вычислениями получим, что коммутатор любых операторов разлагается по самим операторам.
[X*, X5] = Х58 * - Х*8 5. (8)
'-р’г^рггр
Предложение 3. Для произвольного оператора Хр*, тензорного поля Отипа (0,2), векторного поля Yвыполняются следующие равенства.
1) О X*] = О д*а + О да*,
/ ^ ’ р J *-ра ^ар ’
2) [У*, Хр*] = (№а)[ Хаь, Х*р],
3) V нх,ог = 0,
4) ЧнвГХдр = Шг,XI],
5) V Х,УН = 0,
6) VHнXp = [¥Н, Хр ],
где Г} - компоненты связности V в координатах (х).
Доказательство. Используя локальные представления (1) и (7), а также свойства коммутаторов базисных полей [1], получим
№ X/] = [0^, tpiдqi+ tp&] = 0,а^ + Qaдaq.
Из (2) и (7), учитывая равенство (8), получим
[Ун, х;] = [ 7*5, + Г (ГX. + .)&>,tpaдqa + t^pдaq ] = (У^(ХЬЪ; -х;8ь0) = (У*Ра)[Хаь, ху. Аналогично доказываются остальные тождества.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Монахова О. А. О некоторых лифтах на тензорном расслоении типа (0,2) // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 5. Актуальные проблемы математики и механики. Казань: УНИПРЕСС, 2000. С. 153.
2. Монахова О. А. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды ковариантных тензоров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2005. Вып. 36. С. 88-92.
