О СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА 𝐵2 И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 2 (2024). С. 67-76. УДК 517.5

О СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА В2 И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

М.Ш. ШАБОЗОВ, Д.К. ТУХЛИЕВ

Аннотация. Пусть А(и) — множество аналитических в круге и := {г € С, |,г| < 1} функций, В2 := В2(и) — пространство функций / € А(и) с конечной нормой

= (-JL>|/(г)Н < ~

где da — элемент площади, а интеграл понимается в смысле Лебега.

В работе изучаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим полиномиальным приближением функций / £ A(U). Получен ряд точных теорем и вычислены значения различных п-поперечпиков некоторых классов функций, задаваемых модулями непрерывности m-го порядка г-й ироизводной /(г) в пространстве В2.

Ключевые слова: пространство Бергмана, экстремальные задачи, наилучшее полиномиальное приближение, п-поперечпики.

Mathematics Subject Classification: 41А17, 41А25

1. Введение

Вопросы наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций, принадлежащих пространству Бергмана Вр, р ^ 1, изучались, например, в работах [ ]-1151. Здесь мы рассматриваем некоторые вопросы средпеквадратического приближения комплексных функций в пространстве В2 и для некоторых классов функций вычислим значения различных n-поперечников в В2.

Далее будем пользоваться обозначениями из |16|.

Пусть N, Z, R+, R — соответственно множество натуральных, целых неотрицательных, положительных и вещественных чисел. Пусть С — комплексная плоскость, U := {z £ C : |z| < 1} — единичный круг в С A(U) — множество функций, аналитических в круге U.

Определение 1.1 ([ ]). Говорят, что f £ A(U) принадлежит пространству В2, если

II/II2 := II/U = ( 1 ft If(z)l2 < ^

Производную r-го порядка функции

те

/(*) = £ Cfc(f)zk £ A(U) (1.1)

к=0

M.S11. SiiAuozov, D.K. Tukhliev, On mean square approximation of functions in Bergmanspace в2 and value of widths of some classes of functions.

© Шабозов М.Ш., Тухлнев Д.К. 2024.

Поступила 16 июня 2023 г.

определим, как обычно,

:= — ¡(г) = £ак,гск(/), г е N (1.2)

к=г

= к\/(к — г)\, к,г е М, к> г; ак,0 = 1, акд = к.

Символом е Ъ+,в2°0 = В2) обозначим множество функций f е В2, производная

г-го порядка г) которых также принадлежит В2:

В2Г) := {/ еВ2 : ||/М||2 < .

Пусть Рп — подпространство комплексных мгебраических многочленов степени п вида

п

Рп(г) = ^2а,кгк, ак е С. к=0

Величину

Еп(!)2 := Е (Гп )в2 = Ы [У— РпЬ : Рп е Гп] (1.3)

называют наилучшим полиномиальным средпеквадратическим приближением функции / е В2 подпространством Тп. Хорошо известно [ , с. 203], что для произвольной функции е В2

' 2 1 2

Еп-1 (У) 2 = У — Тп-1(т2 =0^ , (1-4)

где Тп-1 — частная сумма порядка п — 1 ряда ( ).

е В2

2 := ( I)\2РЛР<1^

символом

т , ч

АГ(ре^) := £(—1)к(Т) 1(рег(1+кН)) к=0 ^ '

обозначим конечную разность т-го порядка функции / е В2 по аргументу Ь с шагом к. Равенством

идт( у) || 2 :=( Цо 1 (р^ )|2 рйр^

обозначим норму разности т-го порядка функ ции / е В2.

Модулем непрерывности т-го порядка функ ции f е В2 определим, как обычно, равенством

шт(1, т)2 :=8ПР [||Дт(/)||2 : \к\ ^ т] . (1.5)

Применяя формулу (1.5) к функции (1.2), после несложных вычислений получаем

^(/(Г), г)2 = 2т вир ^ <т^Т(1 — с°8(к — г)к)т. (1-6)

Нам далее понадобится следующая

2

Лемма 1.1 ([ ]). Для любых п Е N r Е Z+ п > г, справедливо равенство

En-l(f)2 = /п - г +1 /ДГ) En-r-X(f(r))2 V п +1 ^. 1 j

Верхнюю грань в (1.1) реализует функция f0(z) = zn £ L^ ■

Основными результатами данной статьи являются следующие нижеприведенные теоре-

Теорема 1.1. При любых п,т £ N r £ Z+, п > г, 0 < (п — r)h ^ ж/2 справедливо равенство

I- г ч —

gup an,r En-\(f )2 = п — г + 1 J_п — г_у ,

Л0 {/;и— (f(r),t)2dt}— V П +1 Ь[(п — г)г — srn(n — r)r]i . ■

Доказательство. Без ограничения общности будем рассматривать функции f £ В2, у которых коэффициенты Тейлора Ck(f) = 0 к = 0,1,... ,п — 1, то есть введем в рассмотрение функции вида

те

„к

f (*) = £ Ск V )Z к Е В2.

(Z) = Ск (J )Z

к=п

Дня таких функций

II ДГ(/) = 2m £ ^ (1 - cos ЫГ. (1.9)

к + 1

к = п

Учитывая (1.4) и (1.9), рассмотрим разность

Р2 m ^ |ск(/)|2 ^ Ы1 )|2п ,,,

En-1(f )2 к + 1 COS kt 7,|1 (1 - cos kt)

к + 1 к + 1

к= п к= п

t (if+f) 4 () 4 (1 - cosH).

ч к+ 17 \ к+1

к=п 4 ' 4

Применив к правой части полученного соотношения неравенство Гельдера дня сумм пологая р := т/(т — 1) д := 1/га а также учитывая равенство (1.9) имеем

i—— — ^ (f) ^ |Ск (/)|2 <( ^ |Ск (/)|Л ~т (^ |Ск (/)|2 (1 ,f)mV

^)2-2.тгтCOs ы <12. (1 - COs kt)

к= п к= п к= п

= (E2n-i(f h)1-1 1 (2- ¿ (1 - cos kt)A

к= п

i-i<; ы4 *+1

1

2

1 1 1 2

(E2n-i(fb)1-T - ||ДГ(/)II2

О _2. 1 2 < K-T (f )2 2 ^ (f,t)2.

Таким образом, для любой функции f Е В2 имеет место неравенство

^ \п ( f) 12 2_2 1 2

El-1(f )2 < £ ^^ cos kt + ^-Г (/)21^ (f,t)2. (1.10)

к = п

еп-1 (Л2 < £ ^ + Е2п~-? (1)21 Гшт (I, № (1.11)

к= п 0

Пользуясь тем, что |19|

-ти

тах

и

—- (0 < п < п/2)

из неравенства (1.11) получаем

(1 — '-^ПП1-) Е2п-1(Л2 < Е2п~-Г (1)2 ^ (I,

откуда

Еп(Л2 <{-(---Л 2 { Гит (№ V . (1.12)

[2(пт — -тпт)) и о ]

2(пт — -т пт) )

е В2( )

Еп-Г-1(1(Г))2 < { ^--рЛ Ч ГшЯ и(Г), ЫА

[2[(п — г)т — -т(п — г)т\) и о J

Еп-Ш <—\Еп-г-1(! (%, ап,г V п +1

п —

2[(п — г)т — -т(п — г)т\

и применяя формулу

— \ 1п — Г + 1 Е- _ ,( &)

ащг V п +1

вытекающую из равенства (1.7), имеем

1 I п — г + 1 ( п — г

Еп-1(!)2 <

1п — г + 1 ( п — г 1

ап,г\ п +1 \2[(п — г)т — -т(п — г)т\ /

т

2 1 2 ит а(г), ыа ,

(1.13)

где 0 < (п — г)т < п/2. Из ( ) следует оценка величины, расположенной в левой части равенства (1.8)

I- г ч —

ап,тЕп-1(1)2 < п — Г+1 \ _п — г_|2

^ {/>!(¡(г), ? п + 1 \2[(п — г)т — -т(п — г)т]> . '

С цолыо получения аналогичной оценки снизу указанной величины введем в рассмотрение 0( ) = п е В2( )

Еп-1( I-0)2 = 1/^+1, (1.15)

^(йГ\ ^2 = 2т ап,г+ 1 (1 — со-(п — г)1)т, (1.16)

п + 1

и поскольку

т т

{! - **}7=тп—т {2[(п—^п-г"—Г)Т]}т • ^

2

2

то учитывая равенства (1,15) и (1.17), запишем оценку снизу

Еп_1 (Л Еп_1 ( foh

sup m ^ m

К^ {£ uZ (f M, t)2dt} 2 { £ uZ (f(r), t)2dt} 2

а-п,т Ып + 1__(1,18)

ап,г/у/п — г + 1 {2[(п — г)т — sin(n — г)т]/(п — г)} ~2

п — г + 1 { п — г I2 . . .

--ч-;-гт \ , 0 < (п — г)т <п/2.

п + 1 [ 2[(п — г)т — -т(п — г)т\ )

Требуемое равенство (1.8) вытекает из сопоставлений неравенств (1.14) и (1,18), чем и завершаем доказательство теоремы 1,1, □

Теорема 1.2. Для любых п,т е N г е п > г, и 0 < к < ж/(п — г) справедливо равенство

Оп,гЕп-1(1)2

-ир -1-^

""' - к)2 + (п — г)2 ¡0:(к — т)ит (f(г), т)2йт \ 2

п — г + 1 1 п +1 [(п — г)к\т.

f^ [uz (f М, к)2 + (п — г)2 f0h(k — r)uZ (f W, r)2dr}

-;

Доказательство. Умножив обе части (1.10) на число 2, интегрируя обе части но неремен-к

^ f\\2

22

k2E'2-1(f)2 ^ ^ 1 С°2S kk +Е2п~-Г (f)2j0[j0 uZ (f, t)2dt) dr,

Ц uZ (f, t)2dtj

1 / k2 1 / п2

двойном интеграле приходим к неравенству

2 ^ IГ,( f)\2 2 2 Гh 2

k2E2n-i(f)2 < (1 — cos kk) + Е2п~_Т (f)J (k — T)uz (f, r)2dr. (1.20)

n к=п k+1 Jo

В силу (1.10) неравенство (1,20) приобретает вид

2 2 ['h 2 (nk)2E,™_i(f)2 ^uz, (f,k)2 + n2 (k — T)u% (f, r)2dr.

0

Отсюда получаем

m

( 2 i'h 2 Л 2

Er-i(f)2 < (nk)_mluz, (f, Ik) 2 + n2J (k — r)uz (f, r)2dr\ .

Последнее неравенство запишем для величины Еп-г-1(f(r"l)2 в следующем виде:

h ~ Еп_г_1 (f(r))2 < ((n — r)k)_mS^ui (f(r\k)2 + (n — r)2 jT (k — r)ui (f(r\ r)2dr ^ . (1-21)

Пользуясь леммой 1.1 и учитывая неравенство (1.21), имеем

__m

Еп_1(Л2 —(( \k)m\ui (f (r),k)2 + (n — r)2 i h(k — T)ui (f M, T)2dr ) 2

V n +1 а,п,г ((n — r)k)m [ Jo J

откуда следует оценка сверху величины, расположенной в левой части равенства (1.19):

®n,r En-i(f )2

sup

^ {uz (f М, h)2 + (п — г)2 l0h(h — т)ш£ (f М, Г)2dr) 2

¡п — г + 1 1

п +1 [(п — г)К\т

Дня получения аналогичной оценки снизу заметим, что дня ранее рассмотренной нами функций ¡0(г) = гп € В(\ кроме равенств (1.15)—(1.17) имеет место также равенство

н ш

[шк (^, К) 2 + (п — г)2 [ (к — Т)Л (№ ,тиЛ 2 = ^ [(п — г)к\т. (1.23) I ) V П — г + 1

Учитывая равенства (1.15) и (1.23), запишем оценку снизу

®п,г Eп-l(f )2

sup

^ {uk (f (r),h)2 + (п — г)2 f0h(h — Т)uk (f (r),T)2dr}

En-i (fo)2

(№ ,h)2 + (П — Г)2 f0h(h — T)<Jl (№ , T)2dr} 2 an,r/л/п + 1 In — r + 1

- \j—rv~^y(n — r)h\

(1.24)

аПуГ/ (y/n — r + 1[(n — r)h]m) V n + 1

Требуемое равенство (1.19) получаем из сопоставления неравенств (1.22) и (1.24). Теорема 1.2 доказана. □

2. Значение п-поперечников некоторых классов функций

Прежде чем излагать дальнейшие результаты, напомним необходимые понятия и определения. Пусть S — единичный шар в В2. M — выпуклое центрально-симметричное подмножество из В2. Ln С В2 — n-мерное подпространство; Ln С В2 — подпространство коразмерности щ Л : В2 ^ Ln — непрерывный линейный оператор, переводящей элементы пространства В2 в Ln; Л± : В2 ^ Ln — непрерывный оператор линейного проектирования пространства В2. Величины

bn(M; В2) = sup {sup {е > 0 : eS П Ln+1 С M} : Ln+1 С В2} , dn(M; В2) = mf {sup {mf {\\f — ИЬ : <p G Ln} : f G M} : Ln С B2} , 6n№ B2) = mf [mf {sup {\\f — Лf \\2 : f G M} : ЛВ2 С Ln} : Ln С B2} , dn(M; B2) = mf {sup {\\f \\2 : f G M П Ln} : Ln С B2} ,

Пп(М; B2) = mf {mf {sup {\\f — Л±f \\2 : f G M} : Л±В2 С Ln} : Ln С B2} ,

называют соответственно берпште т ювеким, колмогороеским, лт leili шм, гелъфт id веским, проекционным, п-поперечниками подмножеством M G В2.

Поскольку пространство Бергмана В2 является гильбертовым, то в силу общей теории ^-поперечников (см., например, [ , ]) между перечисленными n-поперечниками справедливы соотношения

bn(M; В2) ^ dn(M; В2) ^ d,n(M; В2) = 5,n(M; В2) = n(M; В2). (2.1)

Вводим классы функций, для которых находим точные значения вышеперечисленных п-поперечинков.

2

Пусть Ф(и) — произвольная непрерывная возрастающая при и ^ 0 функция такая, что Ф(и) = 0. Исходя из результата теоремы , через Шт (Ф) обозначим класс функций

(г)

/ е В2 , при любых п,т е N г е п > г и £ > 0, удовлетворяющих условию

/ ит а(г), т)2(1т< ф(г). 0

Для т е N г е Ъ+ и к > 0 также полагаем

Жт)(к):=^ / еВ: иЦ (/(г) ,к) + (п — г)2^Н ит (/(г), т)йт < ^ .

Для множества М С В2, полагаем

Еп- 1(М)2 := зир [Еп-1(1) : ?е М] .

Теорема 2.1. Если .мажоранта Ф(Ь) при любых п е N г е п > г и Ь > 0 удовлетворяет огра,1 мнениям,

ф(.) 2 ((п — 1")^ — -1п(п — г)Ь, если 0 < Ь<ж/(п — г);

( ) ^ ~ о > (2-2)

Ф(ж/2(п — г))^ж — 2

2(п — г)Ь — ж, если 1^ж/(п — г),

,--т

л„ (!¥!?(*), в ) = Еп-1 №(*)) = оЬ ^ <2^)} Т ■ (2'3)

„ /п ~Г+1 (п — Г Г'/2("-') 2 У

Е„-Ш < — I ит и( )■

то при любом п е N имеют место равенства

1 п — г + 1 (п — Гф/ ж ащг\1 п +1 [ж — 2 \2(п — г)

Множество мажора,нт Ф, удовлетворяющих (2.2), не пусто. Доказательство. Полагая в неравенстве ( ) г = ж/2(п — г), получаем

1 Iп — г + 1 \п — г Г/2(п~Г 2 .. 1 12

Опг V п +1 | ж — 2 и 0

Отсюда для произвольной функции / е '№>т\ф) имеем

^ 1 I п — г + 1 (п — г / ж \|- , „,

Еп-1(1)2 < -\ ---Ф[-{-Г . 2.4

ап,г V п + 1 [ж — 2 \2(п — г)) 1

Используя неравенства (2.1), из (2.4) получаем оценку сверху дня всех вышенеречиелен-п

,--т

а„ ^ < е„- 1 <ет)2 < ± {}Т ■ <2-5>

п

Тп П В2 шар

= {е ^: ^ < ^Щ1 {Нф (^)}¥}

и покажем его принадлежность классу штг)(Ф). Для этого нам понадобится следующее неравенство:

п + 1

и^(р^, т)2 < 2тап,г-+— (1 — со-(п — г)т)т Ы2 , (2-6)

п — г + 1

где

((1— со-и)т а 0 <и <ж,

и которое еще надо доказать. Чтобы доказать (2,6) воспользуемся равенством (1,6), Имеем ^, т)2 :=2m sup ¿ a%rhML(i - cos{k - r)h)m

w^á+i k-r + 1

2 k + 1 \ ck (pn) \ 2

= 2m ^ E -cos(k - rw

1 ^ k=r+1

^ r¡m 2 k+1 П / 1 Ck (Pn)\2

^ 2 maxakr---(1 - cos(n - rjh)^ > —--—

r<,k<,n k'rk - r+V K > >* ^ k +1

k=0

k + 1

= 2m max air (1 - cos(n - r)h)m Ьп\?2 .

r¡ík¡ín ' k - Г + 1 2

(2.8)

Покажем, что

2 k + 1 2 n + 1 (опЛ

maxak--- = an r--. (2,9)

r^k^n k,r k- r + 1 n,rn - r + 1 v

Так как функция натурального аргумента

k + 1 k + 1

у( k) := ai--- = [k(k - 1) ••• (k - r + 2)(k - r + 1)]

k — r + 1 k — r + 1

= [k(k — 1) ■ ■ ■ ( k — r + 2)]2 (k — r + 1)(k + 1)

при всех k G [г, n] является возрастающей, то max y(k) = y(n) и равенство (2,9) доказано.

Пользуясь (2,9) из (2,8) получаем неравенство (2,6),

Пусть 0 < t ^ ж/(п — г). В силу определения класса W(г)(Ф), первое из ограничений (2,2) и соотношений (2,7) для любого

pn G Sn+i получаем

Г* 2 , , f П +1 2L i'1

(рnr>, r)2dr ^ 2 1 а2 -— \\Pn\\2 (1 — cos(n — r)r)dr

Jo V n — Г + 1) Jo

^ —2—((п — гЧ — бЫп — гЧ)Ф ( ——Ж—т ) ^ Ф^). ж — 2 \2(п — г))

Пусть теперь Ь ^ ж/(п—г). В этом случае на основании аналогичных соображений с учетом ( ), ( ) и второго неравенства из ограничения ( ), для любого рп € 8п+1 будем иметь

um (рП] , r)dr = ( í + í ) um (рПТ) , r)dr

) yJ0 Jn/(n-r) J

10 г)} (2 11)

« ^Ы12п-г)<

Из неравенств (2,10) и (2,11) следует включение шара Бп+1 С Используя соотно-

шения ( ) между перечисленными выше п-поперечниками и определение бернштейнов-ского п-поперечника запишем оценки снизу

Ап {шк)(Ф),В2) > Ьп (шк)(Ф),В2) > Ьп(Бп+1,В2)

> 1 /пЦЦ \П-1 ф( * ^

V n +1 - 2 \2(n - г) J

an.r V n +1

(2.12)

Сопоставляя оценки сверху (2.5) и снизу (2.12), получаем требуемое равенство (2.3). Отметим, что ограничение (2.2) при т = 1 впервые появилось при вычислении точного значения колмогоровского п-поперечника классов шк\ф) периодических функций в пространстве Ь2 := Ь2[0,2ж] в работе Л.В. Тайкова [19]. Там же доказано, что функция Ф(Ь) = 1ж/(ж-2 удовлетворяет условию (2.2) при т = 1. Отсюда сразу следует, что и в

2

нашем случае при любом т е N ограничению (2.2) удовлетворяет функция Ф(Ь) = Ьж/(ж 2\ чем и завершаем доказательство теоремы 2.1. □

A. (W^hlBt) = Еп_, (WXM) =±- (2.13)

Теорема 2.2. Пусть т,п е N г е Ъ+, п > г. Тогда при любом 0 < к < ж/(п — г)

имеют место равенства

1п — г + 1 1 1

п +1 ап,г [(п — г)к\г

Доказательство. Оценка сверху класса И^^ (к) следует из неравенства (1.23):

д. (^(Ч, а) < Еп~ 1 (и-^М) < ^++±1 тп—^т.. (2.14)

п

плексных полиномов Тп введём (п + 1)-мерный шар

Г , ч ^ .. .. /п — г + 1 1 1 ) ^ :={^ е ^п : Ьnц < ^ Оп; [{п — Г)к\т ]

и покажем его принадлежность классу Ит(к). Учитывая определение класса и пользуясь неравенством ( ) при 0 < к < ж/(п — г) получаем

jwi (p{nr) ,h) + (n — г)2 ^ (h — (pV, t)dtI

i

M"., пП+ir w)

[l — cos(n — r)t + (n — r)2 J (h — t)(1 — cos(n — r)t)dt\ |

--(2(1 — cos(n — r)h) + 2(n — r)2 [ (t— Sin(n r)t^ dt

[(n — r)h]m \ v ' ' v 7 J0 \ n — r J

1 [(n — r)h]m =1.

[(n — r)h]

Этим доказано, что шар оп+1 С Ит (к) и согласно определению бернштейновского п-поперечиика и соотношения (2.1) запишем оценки снизу

Дп (ит:)(к),В2) 2 Ъп {итг)(к),В2) 2 Ъп(ап+1,В2) 2 . (2-15)

V п +1 ап,г [(п — г)к\т

Из неравенств (2.14) и (2.15) следуют равенства (2.13), чем и завершаем доказательство теоремы 2.2. □

2

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. С. Horowitz. Zeros of functions in Bergman Space. /7 Bull. Amer. Math. Soc. 80:4, 713 714 (1974)

2. M.3. Двсйрин, И.В. Чсбанснко. О полиномиальной аппроксилшции в банаховых пространствах аналитических функций. Теория отобраоюений и приближение функций. Киев: На-укова думка. 1983.

3. A. Pinkus. п-Widths in Approximation Theory. New-York, Tokyo: Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. 1985.

4. Ю.А. Фарков. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре Cn // Успехи матем. наук. 45:5, 197-198 (1990).

5. С.Б. Вакарчук. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном, круге функций. I. // Укр. матем. журнал. 42:7, 873-882, 1019-1026 (1990).

6. С.Б. Вакарчук. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном, круге функций. II. // Укр. матем. журнал. 42:8, 1019-1026 (1990).

7. С.Б. Вакарчук. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 57:1, 30-39 (1995).

8. М.Ш. Шабозов. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана 11 Доклады РАН. 383:2, 768-771 (2002).

9. В.А. Абилов, Ф.В. Абилова, М.К. Керимов. Точные оценки скорости сходим,ост,и рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(D, p(z)) 11 ЖВМ и МФ. 50:6, 999-1004 (2010).

10. С.Б. Вакарчук, М.Ш. Шабозов. О поперечниках классов функций // Матем. сборник. 201:8, 3-22 (2010).'

11. С.Б. Вакарчук, Б.М. Вакарчук. Неравенства типа Колмогорова для, аналитических функций одной, и двух переменных и их приложение к теории аппроксимации // Укр. матем. журнал. 63:12, 1579-1601 (2011).

12. С.Б. Вакарчук, Б.М. Вакарчук. О неравенствах типа Колмогорова для, аналитических в круге функций, // Вшник Дншропетровського ушверситету. Серия: Математика. 17, 82-88 (2012).

13. М.Ш. Шабозов, М.С. Саидусайнов. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Труды ИММ УрО РАН. 25:2, 258-272 (2019).

14. М.Ш. Шабозов, Х.М. Хуромонов. О наилучшем приближении в среднем, функций комплексного переменного рядам,и Фурье в пространстве Бергмана // Известия вузов. Математика. 2, 74-92 (2020).

15. М.Ш. Шабозов, Н.У. Кадамшоев. Точные неравенства между наилучшими среднеквадра,-тическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 110:2, 266-281 (2021).

16. М.Ш. Шабозов. О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Бергмана ff Матем. заметки. 114:2, 435-446 (2023).

17. В.И. Смирнов, H.A. Лебедев. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука. (1964).

18. В.М. Тихомиров. Некоторые вопросы теории приближений. Москва: МГУ. (1976).

19. Л.В. Тайков. Неравенство содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Матем. заметки. 20:3, 433-438 (1976).

Мирганд Шабозович Шабозов, Таджикский национальный университет, пр. I'улики, д. 17, 734025, г. Душанбе, Таджикистан E-mail: shabozov@mail. ru

Дилшод Камаридинович Тух. шеи.

Худжандекий государственный университет им. Б. Гафурова, ул. Мавлонбекова, д. 1, 735700, г. Худжанд, Таджикистан E-mail: dtukhliev@mail.ru