ЗНАЧЕНИЕ n-ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА B2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

11

УДК 517.5

ЗНАЧЕНИЕ n-ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА B2

М. Ш. Шабозов1, А. А. Шабозова2, Н. У. Кадамшоев3

В работе найдены точные значения некоторых известных n-поперечников классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Бергмана B2, заданных посредством характеристик гладкости Лт (f) и мажорант Ф, удовлетворяющих некоторым ограничениям.

Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение, характеристика гладкости, пространство Бергмана, n-поперечники.

The sharp values of some known n-widths of classes of functions analytical in a unit disk in the Bergman space given by characteristic of smoothness Лт(^) and majorant Ф satisfying certain restrictions were found.

Key words: the best polynomial approximation, the characteristic smoothness, Bergman space, n-widths.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-2

1. Введение. Экстремальные задачи наилучших полиномиальных приближений аналитических в единичном круге функций в различных банаховых пространствах изучены, например, в работах [1-14]. В настоящей работе рассматривается задача нахождения точных значений известных n-поперечников некоторых классов аналитических в круге U := {z € C, |z| < 1} функций в пространстве Бергмана B2 := B2(U) с конечной нормой

11/1|Вз=(^//сг)1/(г)|2А7) ' (1)

где интеграл понимается в смысле Лебега, da — элемент площади. Различные аспекты теории аппроксимации функций f € B2 приведены в монографии [15, гл. III, с. 196-278]. В работах [16-18] изучается задача отыскания точной константы в неравенствах типа Джексона-Стечкина между величиной наилучшего полиномиального приближения функций f € B2 и конкретными модификациями модулей непрерывности. Здесь мы продолжаем наши исследования, начатые в [14]. Будем использовать некоторые результаты из этой работы и обозначения, принятые в ней, в частности характеристику гладкости, введенную К. В. Руновским [19] и детально изученную С. Б. Вакарчуком и В. И. Забутной [20].

Представим норму (1) в более удобном для нас виде:

(1 !■ 1 !■ 2п \ 1/2

-1 Jo \f(peu)\2pdpdtj .

Символом

m , ч

△m(f; Р, Т, h) :=Y,(-l)m-k( m \ f (pei(T+kh)) k=0 ^ '

1 Шабозов Мирганд Шабозович — академик НАН Таджикистана, доктор физ.-мат. наук, проф. каф. функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджик. нац. ун-та, e-mail: shabozov@mail.ru.

Shabozov Mirgand Shabozovich — Academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Tajik National University, Department of Functional Analysis and Differential Equations.

2Шабозова Адолат Азамовна — канд. физ.-мат. наук, ст. преп. каф. математического анализа и теории функций Таджик. нац. ун-та, e-mail: adolat@mail.ru.

Shabozova Adolat Azamovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer, Tajik National University, Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions.

3Кадамшоев Ноибшо Улфатшоевич — ст. преп. каф. программирования и компьютерной инженерии Технол. ун-та Таджикистана, e-mail: nnoyob_77@mail.ru.

Qadamshoev Noibsho Ulfatshoevich — Senior Lecturer, Technological University of Tajikistan, Department of Programming and Computer Engineering.

© Шабозов М.Ш., Шабозова А. А., Кадамшоев Н. У., 2024 © Shabozov M.Sh., Shabozova A. A., Qadamshoev N.U., 2024

(cc)

12

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

обозначим конечную разность т-го порядка функции / € В2 по аргументу £ в точке т с шагом Л, а через

(1 !■ 1 !■ 2п \ 1/2

- Уо Уо \А^-,р,т,1г)\2р(1р(1т) (2)

обозначим норму разности т-го порядка функции / € В2. Равенством

шт(/,т)В2 :=впр {|ДП/)||в2 : |Л| < т}

определим модуль непрерывности т-го порядка функции / € В2.

Под усредненной характеристикой гладкости функции / € В2 будем понимать величину [19]

ь \ 1/2

. (3)

Легко заметить, что

Введем обозначение

(1 f * \1/2 Л m(f,t) < ( - J^ u2m{f,h)B2dh\

= (l-COS/irrdr| , i>0. (4)

Очевидно, что при любых € N и t > 0

(t) = (5)

Пользуясь равенствами (2), (4) и (5) для произвольной функции f € B2, получаем явный вид выражения (3):

= (6) k=i +

Пусть Pn — множество всех полиномов степени ^ n с комплексными коэффициентами. Величину

En(f) := E(f, Pn)b2 = inf {||f - р||в2 : p € Pn}

называют наилучшим полиномиальным приближением функции f € B2 элементами множества Pn. Известно [15, с. 203], что для произвольной функции f € B2

1 k=n J

где

n— 1

Tn-l(f,z)^ Ck(f)zk k=0

— частная сумма n-го порядка ряда Маклорена

f (*) = £ Ck (f )zk. (7)

k=0

Для любых г € через = /) обозначим производную г-го порядка

функции / € В2. Так как / € В2 аналитична в круге и, то из разложения / в ряд (7) следует, что

те

f (r)(z) = J] av Ck (f )zk—r, (8)

k=r

где

ak,r := k(k — 1) ■ ... ■ (k — r + 1), k ^ r, k € N, r € Z+, ak,0 = 1, ak;1 = k.

Далее полагаем

B2r) := {f € B2 : ||f(r)U < ^ ,r € Z+,B(0) = B2. Воспользовавшись равенствами (6) и (8), при любых m € N, r € Z+ получим тождество

= 2™ £ - r)t), t > 0, / € В« (9)

k=r+1

В [14] доказано, что для произвольной функции f € B(r) справедливы неулучшаемые неравен-

ства:

Еп-ЛЛв2 < • \Г "I1 • 9т/2 , *-^ • Лт(/М,t), (10)

ara>r V n + 1 2m/2 ■ Ji,m((n — r)t)

/сh \ 1/p

1 /^TTT / Л1(/(Г)'И K-l(/b2 < — • J--^-p----^-^ (11)

an,r V n +1 / rh \ Vp

л/2 i у (1 - sinc(n - r)i)p/ dij

fsin t 1 sinci := <-, если t ф 0; 1, если t = 0 > .

где

Оба неравенства (10) и (11) точны для функции f0(z) = zn € B2r) (n > r). Неравенства (10) и (11) являются нашими основными инструментами для получения точных значений n-поперечников введенных далее классов функций в пространстве B2. Поскольку в настоящей работе используется только норма пространства B2, то всюду далее нижний индекс у нормы || ■ ||в2 будем опускать.

2. Определение n-поперечников и классы функций. Для формулировки дальнейших результатов напомним необходимые понятия и определения из теории n-поперечников (см., например, [21, 22]). Пусть X — произвольное банахово пространство, а S := {f : ||f || ^ 1} — единичный шар в X; M — выпуклое центрально-симметричное подмножество из X; Ln С X — n-мерное подпространство. Величины

bn (M; X) = sup {sup {е > 0 : eS П Ln+i С M} : Ln+i С X} ,

dn (M; X) = inf {sup {inf {||f — p|| : ^ € LJ : f € M} : Ln С X} ,

dn (M; X) = inf {sup {||f || : f € M П Ln} : Ln С X}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, гельфандовским n-поперечниками подмножества M € X.

Указанные n-поперечники монотонны по n и связаны соотношениями (см., например, [21, 22])

bn (M; X) < dn (M; X) < dn (M; X). (12)

Рассматриваются также проекционный и линейный n-поперечники, но в гильбертовом пространстве они совпадают с dn(-) [21, 22].

Введем теперь следующие классы функций. Исходя из результата леммы 1.1 [17], обозначим

через W(r) B2 (n € N, r € Z+, n > r) класс функций f € B2r), производные r-го порядка f(r) которых удовлетворяют условию ||f(r)|| ^ 1.

Пусть Ф^), где 0 ^ t ^ 2п, есть непрерывная возрастающая функция, такая, что Ф(0) = 0. Всюду далее будем ее называть мажорантой.

Пусть r € Z+, m € N и Ф — произвольная мажорантная функция. Символом W(г)(Лт, Ф)

обозначим класс функций f € B2r), у которых производные r-го порядка f(r) удовлетворяют ограничению

Лт(f (r),t) < Ф(t), t € (0, 2п].

Символом (Л1, Ф) (г € Ъ+, 0 < р ^ то), где Ф — некоторая мажоранта, обозначим класс функций / € В(г), у которых производные г-го порядка /(г) при любом Л € (0, 2п] удовлетворяют условию

Г н

/ Л?(/(г),£)^ < ФР(Л). 0

3. Поперечники класса Ж(г) В2. Результаты этого пункта опираются на следующее неравенство [17]:

Е^ин < (18)

(Т) / \ (Т) верное для произвольной функции / € В2 и точное для /о(я) = ¿п € В2 .

Теорема 1. Пусть п € М, г € Z+, п > г. Тогда

\п{\¥^В2]В2) = «^(И^Ба) = ^^

) Д2; В2) = ИД2) = Л-\Г .. " 11, (14)

ап,г V п + 1

где

W:= 8пр{Ега-1(/) : / € Ж, а Лп(-) — любой из рассмотренных выше п-поперечников Ьп(-), ^п(-), (■).

}(г) О Ж(г)

Еп-г-1(/(г)) < ||/(г)|| < 1, из (13) получаем оценку сверху всех п-поперечников:

Доказательство. В самом деле, в предположении / € В(г) П Ж(г) В2, учитывая соотношение

Хп^В^Въ) < ^(И^Б,) < — \/

ап,г V

< < ——_1±1. (15)

«п.г V П +1

С целью получения аналогичной оценки снизу докажем, что (п + 1)-мерная сфера комплексных алгебраических полиномов

1 п — г + 1

Дп+1 := < Рп(г) € : \\рп\\ =

П ■ \\F1l I -1

0«,г V п +1

принадлежит классу Ж(г) В2, и тогда в силу определения бернштейновского п-поперечника будем иметь [21, 22]

ап,г V

а«,г V п +1

Итак, необходимо доказать, что Яп+1 С Ж(г)В2. Пусть рп(г) € Дп+1. Докажем, что 11р-^Т) | ^ 1. Применяя тождество Парсеваля, имеем

1|рпт)12 =

А 2 Ыр»)|2 = у^ 2 к + 1 \с-к(Рп)|2 , .

к=г к=г

к=г

Но так как при г ^ к ^ п функция натурального аргумента

к + 1 о к + 1

у (к) := а\г ■ -——— = [к (к - 1) ■... ■ (к - г + 2){к — г + 1)]

Т к — г + 1 ••• V" ■ -/V" ■ 1 к — г + 1

2

= [к(к — 1) ■... ■ (к — г + 2)]2 ■ (к — г + 1)(к + 1) является возрастающей, то

2 к + 1 2 п + 1

тах а!,'---=«„.--, (18)

г^п к,Т к — г + 1 п,Т п — г + 1 4 у

2

а потому, пользуясь равенством (18), из (17) заключаем, что

(г)||2< 2 П+ 1 ^Ы'Рп), Рп || \ ап,г п _ г • • ^

12

2

п — г + 1 ' к + 1

<а2 "+1 _а2 П + 1 2

+ 1 к + 1 -ап,гп_г + 1 \\'Рп\\ ■

й=0

Отсюда следует

И^И^у^т^-ЬпЦ. (19)

Заметим, что полученное нами неравенство (19) является неравенством типа Бернштейна для любого полинома то из (19) находим

бого полинома € £(г) в пространстве В2. Если теперь предположить, что € £(г) П Я^+ь

II МИ ^ п + 1 1 п — г + 1

< <Хп,г\ -Г-Г---А/-¡-¡— = 1,

11 11 у п — г + 1 апг V п + 1

т.е. мы доказали, что сфера Яга+1 С Ш(г)£ и тем самым имеют место неравенства (16). Сравнивая оценки сверху (15) и снизу (16), получаем требуемое равенство (14), чем и завершаем доказательство теоремы 1. Следует также отметить, что аналогичный результат для пространства Харди Н2 в случае колмогоровского п-поперечника вытекает из результата Л. В. Тайкова [3], а для других п-поперечников — из результата М.З. Двейрина [4].

Замечание. Доказанная теорема 1 является своеобразным обобщением теоремы 8.1.3 (см., например, [23, с. 343, 344]) — первый точный результат в задаче о поперечниках, полученный А. Н. Колмогоровым для класса дифференцируемых периодических функций Ш(г) ¿2 в метрике ¿2 := ¿2[0, 2п], — на случай класса Ш(г)£ аналитических в единичном круге функций, принадлежащих гильбертову пространству Бергмана £24. Точные значения п-поперечников классов функций Ш(г)(Лт, Ф) (г € т € М). При доказательстве приведенной ниже теоремы будем пользоваться неравенством (10).

Теорема 2. Пусть п,т € М, г € Ъ+, п > г, функция 71>т определяется формулами (4), (5), (■) _ любой из вышеперечисленных п-поперечников. Если для произвольных п € М, г € Ъ+ и £ € (0, 2п] функция Ф удовлетворяет ограничению

ф(п/(п — г)) ^ V

то имеют место равенства

(г)(Л^ Ф) £) = # (Ш(г)

т (20)

Ага(^)(Лт,Ф);Б2) = ^(^»(Л^)) = * (21)

Множество мажорант, удовлетворяющих условию (20), непусто

Доказательство

пользуясь равенством

получаем

(/) < ■ ^ , > (/"'.—

а„,г V п + 1 2т/2 71>т(п) \ п — г

Доказательство. Для произвольной функции / € в2г) из формулы (10) при £ = п/(п — г),

2™/2 • Дта(тг) = у/С^,

1 1 /п-Г + 1, ( р(г) 7Г

Лт /

а„. г V п + 1 \ п — г

ап'г ' И + 1

Учитывая определение класса Ш(г)(Лт, Ф) и неравенство (12) между п-поперечниками, приходим к оценкам сверху:

Лт(Ш(г) (Лт, Ф); В2) < ^ (Ш(г) (Лт, Ф); £2) <

< Ф)) < ■ • ф ( — ) • (22)

\[Щт ап>г » П+ 1 \n-rj

С целью получения оценок снизу рассматриваемых п-поперечников класса Ж(г)(Лт, Ф) в силу неравенства (12) достаточно найти оценку снизу бернштейновского п-поперечника. Для этого в множестве алгебраических комплексных полиномов Рп рассмотрим шар

/ч^и 1 1 п — г + 1^/ П := рп(г) € : рп < -==--л/-—— • Ф -

Пусть рп — произвольный полином, принадлежащий Рп. Пользуясь формулами (9) и (18), для любого рп € Рп имеем

к=г+1

< • Л2т((п - г)*) V =

п,Тп — г + 1 1,ту ' ^ к + 1

к=0

п + 1 т2 11^ ||2

= 2т<гп_г + 1-'Ят{{п-г)1)

"п |

или, что то же,

Ат(р^,1) < 2™/2 • • 71>т((п - г)*) • \\рп\\. (23)

Если теперь предположить, что полином рп € £п+1, то из формулы (23) и условия (20) получаем требуемое неравенство:

2т/2 / П \

п—г

.....

где £ € (0, 2п]. Последнее неравенство означает, что шар £п+1 принадлежит классу Ж(г)(Лт, Ф). Учитывая неравенства (12) и определение бернштейновского п-поперечника, запишем оценки снизу:

Лп(Ж(г)(Лт, Ф); В2) ^ Ьп (Ж(г)(Лт, Ф); В2) ^

(24)

Сопоставляя неравенства (22) и (24), получаем равенства (21).

Известно [20], что условиям (20) удовлетворяет, например, функция

Ф*(£) = £в/2, где 0 <в < 2к,

что завершает доказательство теоремы 2.

5. Точные значения п-поперечников классов функций Жр(г)(Л1, Ф) (г € Ъ+, 0 < р ^ то) в пространстве В2.

Теорема 3. Пусть г € , 0 < р ^ то, Лп(-) — любой из п-поперечников, перечисленных выше.

Если для любых значений Н € (0, 2п] и п € N (п > г) мажоранта Ф удовлетворяет условию

/•(га—г)Ь,

Фр(Н) ^ 70

(1 — в1ис ¿)р/2^ ^ ^-> (25)

ФРМп — г)) Л(1 — йис ^

0

то имеют место равенства

А«(Шр(г)(Л1, Ф),^) = Еп—1 (Шр(г)(Л1, Ф)) = (п-г)1/р /п-г + 1 Ф(тг/(п-г))

(26)

Доказательство. Полагая Н = п/(п — г) в формуле (11) и учитывая определение класса

Ш(г)(Л1, Ф), получаем

^п/(га—г) \ 1/р

Л?(/(г)

N (1 — 8Шс(п — г)*)Р/

<(п-г)1/р /п-Г + 1 Ф(7г/(п-г))

Тогда, переходя к верхней грани по всем функциям /

€ Шр(г)(Л1, Ф) и учитывая неравенства (12)

между п-поперечниками, запишем оценки сверху:

А„(Шг(г)(Л1, Ф); £2) < ЕП—1(Ш(Г)(Л1, Ф)) < (п-г)1/р /п-г + 1 ф(тт/(п-г))

Как и в предыдущем пункте, для получения оценок снизу рассматриваемых п-поперечников в подпространстве алгебраических комплексных полиномов рассмотрим шар

«Ж := *(*) е : Ы1 < " Г)1/Р ■ ^^ ФЫ(П ~ Г))

V? ап,г V п + 1 / . .,Ю/2,Л1/Р

(1 — 81ИС

и покажем справедливость включения ¿>га+1 С Шрг)(Л1, Ф).

Заметим, что из неравенства (23) при т = 1 с учетом равенства 71)1 ((п — г)£) = (1 — 8тс(п —

г)£) ' вытекает соотношение

1/2

вытекает соотношение

1

Л^,*) < 1 _ 8тс(п - г)4)1/2||рга||,

используя которое для произвольного полинома € при любом Н € (0, 2п], запишем

Г л? < 2^2<г Г та + | ,у/2 Л1 - 81пс(п - ^)р/2^1Ыр.

Jo \п — г + 1/ Jo

Отсюда для произвольного полинома рп € на основании условия (25) получаем

ГН / П +1 Г V • , ,лР/2

1 / n + 1 \P/2 fh

< 2р/2арщг i _ r + A J (1 - sinc(n - r)t)p,*dtx

n-r in-r + l\p/2 Фр(тт/(п - r))

' г (j _ simty/2dt *

Jo

Г (n-r)h

/ (1 - sine t)p/2dt , N

f (1 - sine i)P/2di - rj

o

что доказывает включение £n+i С , Ф). Используя формулу (12) и определение бернштей-

новского n-поперечника, запишем оценку снизу всех вышеперечисленных n-поперечников класса ^г)(Ль Ф):

А„(W(r) (Л1, Ф); £2) ^ bn (^(Г)(Л1, Ф); £2) ^ b„(S„+i; £2) ^

Сопоставляя оценки сверху (27) с оценками снизу (28), получаем требуемое равенство (26). В [20] доказано, что

функция Ф(t) := tY/p, (0

< p ^ то), где

7:=7Г ' Оо ^ ~sinci)P/2di) > (! + | <7 < 1+Р).

удовлетворяет условию (25). Теорема 3 полностью доказана.

Следствие. В условиях теоремы 3 при р = 2 имеют место равенства

Л„ (Ж>(г)(Ль Ф), £2) = Е„-1(^2г)(Л1, Ф)) =

(п — Г + 1)(п — г) ( 7Г

ага,г V 2(п — 81(п)) ■ (п + 1) — г

где := / 8те(-и)^и — интегральный синус.

Jo

В завершение отметим, что аналогичные задачи для подобных классов периодических функций в пространстве £2 := £2[0, 2п] ранее были решены в работе С. Б. Вакарчука и В. И. Забутной [20].

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. 1958. 22, № 5. 631-640.

2. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. науки. 1960. 15, № 3. 81-120.

3. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов функций // Матем. заметки. 1967. 1, № 2. 155-162.

4. Двейрин М.З. Поперечники и е-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функц. анализ и прил. 1975. 23. 32-46.

5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле А. Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986. 40, № 3. 341-351.

6. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2 // Укр. матем. журн. 1989. 41, № 26. 799-802.

7. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // Успехи матем. наук. 1990. 45, № 5. 197-198.

8. Fisher S.D., Stessin M.I. The n-width of the unit ball of Hq // J. Approx. Theory. 1991. 67, N 3. 347-356.

9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. 382, № 6. 747-749.

10. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А., Заргаров Дж.Дж. О наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространстве Харди // Тр. ИММ УрО РАН. 2021. 27, № 4. 239-254.

11. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2002. 383, № 2. 171-174.

12. Шабозов М.Ш., Хуромонов Х.М. О наилучшем приближении в среднем функций комплексного переменного рядами Фурье в пространстве Бергмана // Изв. вузов. Математика. 2020. № 2. 74-92.

13. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана B2j7 // Докл. АН РТ. 2007. 412, № 4. 466-469.

14. Шабозов М.Ш., Кадамшоев Н.У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 2021. 110, № 2. 266-281.

15. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л.: Наука, 1964.

16. Абилов В.Л., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(D,p(z)) // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. 50, № 6. 999-1004.

17. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения n-поперечников // Матем. заметки. 2018. 103, №4. 617-631.

18. Шабозов М.Ш. Саидусайнов М.С. Среднеквадратичное приближение функции комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Тр. ИММ УрО РАН. 2019. 25, № 2. 258-272.

19. Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Матем. сб. 1994. 185, № 8. 81-102.

20. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве L2 и поперечники классов функций // Матем. заметки. 2016. 99, № 2. 215-238.

21. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.

22. Pinkus Л. n-Widths in Approximation Theory. Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer-Verlag, 1985.

23. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.

Поступила в редакцию 15.03.2023

УДК 517.938.5

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ НЕКОТОРЫХ БИЛЬЯРДНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ ИГР

К. Е. Тюрина 1

В статье вычислены инварианты лиувиллевой эквивалентности для бильярдных книжек, реализующих некоторые упорядоченные бильярдные игры, а именно для интегрируемых бильярдных книжек, склеенных из m дисков, ограниченных эллипсом, и не более чем из двух колец, ограниченных двумя софокусными эллипсами.

Ключевые слова: бильярд, упорядоченная бильярдная игра, бильярдная книжка, изо-энергетическая поверхность, инвариант Фоменко-Цишанга, интегрируемая гамильтонова система, интегрируемый бильярд, софокусные квадрики.

In the paper, Liouville equivalence invariants were calculated for billiard books that implement some ordered billiard games. Namely, for integrable billiard books glued from m disks bounded by an ellipse and no more than two annuli bounded by two confocalellipses.

1 Тюрина Кристина Евгеньевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; сотр. Моск. центра фунд. и прикл. матем., email: kristina.turina@math.msu.ru.

Turina Kristina Evgenievna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Scientist of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.

© Тюрина К. Е., 2024 © Turina K. E., 2024

(cc)