О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 1.

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193

О наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди Ндд, (1 ^ q ^ ж, R ^ 1)

М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов

Шабозов Мирганд Шабозович - доктор физико-математических наук, профессор, Таджикский национальный университет (г. Душанбе). e-mail: shabozov@mail.ru

Юсупов Гулзорхон Амиршоевич - доктор физико-математических наук, доцент, Таджикский государственный педагогический университет им. С. Айни (г. Душанбе). e-mail: yusufzoda.gulzorkhon@gmail.com

Аннотация

В работе найдены точные неравенства между наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге Ur := {z € C, |z| < Д}, R ^ 1 функций и усредненным модулем непрерывности угловых граничных значений производных то-го порядка. Для класса W (nR (то € Z+, 1 < q < ж, Д > 1) функцпй f € H^nR, у которых производные то-го порядка fпринадлежат пространству Харди Hq,R и удовлетворяют условию ||/||q,R ^ 1, вычислены точные значения верхних граней наилучших приближений. Кроме того, для класса W(rR (Ф), состоящих из всех функций f € , для которых при любом к € N, то € Z+, к > то усредненные модули непрерывности граничных значений производной того порядка f(т), мажорируемые в системе точек заданной функ-

Ф,

7т/ к

J (m),t)qj Rdt < Ф(к/к),

0

вычислены точные значения колмогоровских и бернштейновских n-поперечников в норме пространства Hq (1 < q < ж).

Полученные результаты обобщают некоторые результаты Л.В.Тайкова на классах аналитических функций в круге радиуса R ^ 1.

Ключевые слова: наилучшее приближение, пространство Харди, модуль непрерывности, мажорирующая функция, п-поперечники.

Библиография: 22 названий. Для цитирования:

М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов. О наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди Hq,R, (1 ^ q ^ ж, R ^ 1) // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, выи. 1, с. 182-193.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 1.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193

On the best polynomial approximation of functions in the Hardy space H(hR, (1 ^ q ^ to, R ^ 1)

M. Sh. Shabozov, G. A. Yusupov

Shabozov Mirgand Shabozovich - doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tajik National University (Dushanbe). e-mail: shabozov@mail.ru

Yusupov Gulzorkhon Amirshoevich - doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, Tajik State S.Aini Pedagogical University (Dushanbe). e-mail: yusufzoda.gulzorkhon@gmail.com

Abstract

Exact inequalities are found between the best polynomial approximation of functions analytics in the disk Ur := {z e C, |z| < fl}, R > 1 and the averaged modulus of continuity angular boundary values of the rnth order derivatives. For the class (to e Z+,

1 < q < to, R > 1) of functions f e H^ whose TO-order derivatives f(m) belong to the Hardy-space Hq,R and satisfy the condition ||/< 1, the exact values of the upper bounds of the best approximations are calculated. Moreover, for the class consisting of all functions

/ e ^ for which any k e N to e Z+, k > to the averaged moduli of continuity of the boundary values of the TOth order derivative f, dominated in the system of points by the given function satisfy the condition

T/fc

J u>(f ^ ,t)qRdt < Ф (K/k),

the exact values of the Kolmogorov and Bernstein n-widths are calculated in the norm of the space Hq (1 < q < to).

The results obtained generalize some results of L.V.Taikov on classes of analytic functions in a circle of radius R > 1.

Keywords: the best approximation, Hardy space, modulus of continuity, majorizing function, n-widths.

Bibliography: 22 titles.

For citation:

M. Sh. Shabozov, G. A. Yusupov, 2023, "On the best polynomial approximation of functions in the

Hardy space Hg,R, (1 ^ q ^ to, R ^ 1)" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 1, pp. 182-193.

1. Введение

Вычислению точных значений различных п-поперечников классов аналитических в круге функций в различных нормированных пространств посвящено достаточно много работ (см, например, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]). Следует отметить, что

первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-поперечников в пространстве Харди Нд (1 ^ д ^ то), принадлежат В.М.Тихомирову [1] (д = то) и Л.В.Тайкову [2] (1 ^ д < то). Ранее в работе К.И.Бабенко [3] был получен линейный метод аппроксимации одного класса функций, аналитических в единичном круге, пригодный для оценок поперечников сверху и использованный в [1] и [2], а также во многих других работах. В дальнейшем эта тематика развивалась как в работах Л.В.Тайкова [4, 5, 6], так и, например, в работах [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 191-

Целью данной работы является получение новых результатов, связанных с вычислением точных значений колмогоровских и бернштейновских п-поперечников классов функций, аналитических в круге радиуса К ^ 1.

Введем нужные нам для дальнейшего обозначения и определения.

Пусть Пи := {г € С : |г| < К} — круг радиуса К ^ 1 в комплексной плоскости С, а А(ии) - множество аналитических в Пи функций. Для произвольной функции / € А(ии) при 0 < р < К положим

Mq(f,p) : =

2я- \ l/q

1

^ J\f (pe(-lt))\qdt I , если 1 ^ q < то;

о

Jt\

max \f (рег ) \, если а = то,

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Символом Hq,R, 1 ^ q ^ то, R ^ 1 обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций f £ A(Ur), для которых конечна норма

II/II q,R := II/К,д = liin о Mq (f,p).

Норма реализуется на угловых Граничных значениях фуНКцИй j £ Hq,R, где

i/1 i v/q

м И ,к =И \f >1 я"<) • 1 < «<то; (1)

ess sup{ \f (Reu)\ :0 < t< 2ж), g = то.

В случае К = 1 полагаем и := Нд = Нд1 и ||/||д := ||/1|д,\.

Пусть Р п — множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п. Равенством

Еп-1 (/)д,к := т1{||/ -Рп-х\\и : Рп-1 € Рп-1}

определим наилучшее приближение функций / € Нд>и элементами множества Рп-1 в пространстве Нд,и (1 ^ д ^ то, К ^ 1).

Производную т-го порядка функций / € А(ии) определим как обычно

те

/(т)(г) := <Г!(х)/йхт = ^ ак,тгк-т, (2)

к=т

где

®к,т := к(к — 1)... (к — т + 1), к ^ т, к,т € М, ак,0 = 1, ак,1 = к. Имеет место следующая

Теорема 1. Для любых чисел п Е М, т Е К ^ I при любом 1 ^ д ^ справедливо неравенство

К—^—т)

En-i(f)q < —--En-m-!(fМ) (3)

и знак равенства в (3) достигается для, функции ¡'о(г) = гп.

Доказательство. Не ограничивая общности, рассмотрим только те функции / € А(ии), V которых т-я производиая Е Ня,Пусть Рп—т—1^/(т),гЛ) — полином наилучшего приближения производной /(т) в метрике

En-m-l(f (m))qR = f(m) (z) - Рп-Ш-1 (/(m), z)

q, R

Угловые граничные значения

Q(z) := Q{f(m), z) = f(m)(z) -Pn-m-i{f(m), z), N < —

будем обозначать через Q^Re11^. Для произвольной функции f £ повторив схему рас-

суждений работы [2], легко доказать равенство

f(z) -P„-iM =

= Щ f (i)"-mQ(0 j —--| 2Re±-L.(if \ £ (4)

1(1=R K k=l '

где Pn-i(z) := Pn-i( f, z) — некоторый полип ом из Pn-i, линейно зависящий от функций f £ . Полагая в (1) z = elt, ( = Re1®, запишем его в виде

f{eu) -Pn-i{eu) =

2ж ( оо Л

= ¡ег{п-т) Wqr* J + у С0Щ±~&1 I =

2тт Rn-m J Q J\an,m f=i Rkan+k,m j

2ж ( oo

= elmt f pi(n-m)TQ(Rpi(t-T)\\ 1 | ^ COS kT

щ^'-г + £ -C-k-W

I —n,m — -n+k,m I

г(п-ш)г^-ег(г-гп , - + > Г \dT. (5)

0

Í 1

Нетрудно убедиться, что числовая последовательность < —т-> является выпуклой

I. — -n+k,m)

вниз и её общий член стремится к нулю (см., например,[12, гл. VIII, с.252-253]). Но тогда в силу теоремы 1.5 [20, с.294] функция

1 ^ cos кт

фд(т) := —+ Е

л

является неотрицательной и интегрируемой на отрезке [0, 2т], причём

2ж

11

2TT Фя (')м = -Т~. (6)

2 T J —n,m

0

Из (5) сразу следует, что

^ 1/д

1 I I *1„ «м и

п-

Еп-1(1 )д ^ ^ I /(еи) — Рп-1(ег1)

2п

0

Iй

2п 2тг \ 1/д

1 г р1тЬ г д

е ' ¿(п-т)Тт))Фк(т)йт <И) . (7)

2ж

т п

00

Применяя обобщенное неравенство Минковского к правой части неравенства (7), с учётом (6), имеем

2тг 2тг \ 1/д

00

& I ^

<

2тг \ / 2тг \ 1/д

1 1 1

Ь! \Фк(Т) \Лт I ■ ( 2Ы 1 ) 1 д*

Кп

00

1 -идаонд = пп1п тд,и. (8)

л <лп,т

Поскольку ||ф||д, и = Еп-т-1(/(т)) к, то из (8) окончательно получаем

Д-(п-т)

Еп-1(1 )д ^ ~~-Еп-т-1 (/(т))ди

и неравенство (3) доказано. Для функции /о(%) = хп € Нд и простые вычисления дают

(т)

Еп-т-1{/0т ) и = тО-п,т, Еп-1(д = 1,

д

пользуясь которыми имеем

Д-(п-т) ^ ^

—-Е.п-т-1{/0т )д = 1 = Е.п-1{/о)д,

^п,т

чем и завершаем доказательство теоремы 1.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 имеет место равенство

Еп-1(/)д _ 1

,е8Хд) Еп-т-Л/(т))дЯ Я"

Через Ш(т"1Нд,и (т € Ъ+, Ш(0"1Нд,и = Нд,и, 1 ^ д ^ то, К ^ 1) обозначим множество функций / € Нт,ут*>рых ||/(т)||д,д ^ 1.

Теорема 2. Для любых чисел п € М, т € Z+,n > т при любых 1 ^ д ^ то, Я ^ 1 справедливо равенство

( л п-(п-т)

Еп-1{W(т)ндл) =8ПР{ Еп-1(1)д : / € Ж(т)Яд,Л =-. (9)

Доказательство. Так как для любых функций / € \¥(т)Нд,я величина наилучшего приближения производной /(т

Еп-т-1{/(т))д>к < ||/(т)||д,и < 1, то из неравенства (3) сразу следует оценка сверху величины, стоящей в левой части (9)

ц-(п-т)

а,

С другой стороны, например, для функции

Еп-1{УУ(т)НдЛ) < -. (10)

а(г) = —-, п > т, п € М, т € Ъ+,

пт

имеем

~п-т

9(т) (*) = ^, Ь^Хя = 1,

т.е. функция д € \¥(т^Нд,я, и так как

ц-(п-т)

Еп-1(д)д =-,

(%п,т

то запишем оценку снизу указанной величины

ц-(п-т)

Еп-1 №(т)Ндя) > Еп-1(д)д =-. (11)

(хп

Требуемое равенство (9) является следствием сопоставления неравенств (10) и (11). Теорема 2 доказана.

2. Основной результат

^(т)

Для произвольной функции / € Н(т модуль непрерывности первого порядка производной

т) определим равенством

(т),£):= 8ИР /(т\кг(т+н)) — /(т\кгт)

Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть п € М, т € Ъ+,п > т, 1 ^ д ^ то, К ^ 1. Тогда для произвольной функции / € Н(т справедливо неравенство

ж/(п-т)

п — т [ ,,.(

4Яп-тап,т ] "^д, 0

Еп-1(!\ < 4 тзп—т^ (т),1) д^ ^

которое обращается, в равенство для функции /0(г) = гп € Н^Я).

Доказательство. Из теоремы 1 работы [6] следует, что для произвольной функции

г тт(т)

} € Нд Я имеет место неравенство

ж/(п-т)

п — т [ , „(

4 (У-п,т

Еп-т-1(Лд,К < -Т— (т),1) ц К<И. (13)

Полагая в (13) m = 0, /(0) = f и учитывая, что ап,о = 1, имеем

ж/п

п f

Еп-1 (f)g,R < J "(f, t)q,R(lt.

Заменив в полученном неравенстве число п на п — m и функцию f на производную f(m), запишем

ж/(п-т)

Еп-т-1 (/)QrR < ^ / "(/^R^ (И

0

Учитывая неравенство (14), из (3) окончательно получаем

ж/(п-т)

Яп-ЛЛс < J^^j "(f ^ t)^

п, т 0

0( ) = п

непосредственным вычислением. Теорема 3 доказана.

3.Точные значения n-поперечников классов функций W(m>(Ф) (m G Z+, W^R(Ф) = WqR(Ф), 1 < q < то, Я ^ 1) в пространстве Hq

Прежде чем излагать другие результаты, напомним нужные нам далее необходимые понятия и определения. Пусть S — единичный шар в Hq; M — выпуклое центрально-симметричное множество из Hq; L1п С Hq — п-мерное подпространство. Величины

Ьп(Ш; Hq) = sup { sup {£ > 0 : eS П L+i С ^ : L+i С Hq},

dn(M; Hq) = inf { sup{ inf{ II/ — p\\ : p G Ln} : f G m} : L С Hq}

п

M в Hq .Указанные п-поперечники монотонны по п и связаны неравенством (см., напр., [21]):

bn(m,Hq) ^dn(m,Hg). (15)

Пусть функция Ф(и) определена, неотрицательна, выпукла вниз на отрезке [0,т], lim Ф(и) = Ф(0) = 0 и для любых Л G [0,1] и t G (0,т] удовлетворяет неравенству

2 sin2 ^Л < ^ -тт. (16)

4 Ф(*) т/2 — (т/2 — 1)Л 1 ;

Класс W^Rr (Ф) состоит из всех функций f G H(rR, для которых при любых к G N, m G Z+, к > m выполняется условие

ж/к

) 0

Отметим, что в работе [22] показано, что среди всех функций Ф(£ ) := ti+a, где 0 ^ а ^ 1, только одна функция со значением а = т/2 — 1 удовлетворяет ограничению (16). Сформулируем наш основной результат в виде следующей теоремы.

ж / к

f "(f(т), t)q,Rdt < Ф(т/к).

Теорема 4. Пусть К ^ 1,1 то,п € М, т € Ъ+, п > т и мажоранта Ф удовлетво-

ряет ограничению (16). Тогда справедливы равенства

Ъп^тн,) = dn{W^m;Hq) = " ф ' ж

4 R on,m.

Т ( ™)<

\п — mj

(17)

Доказательство. Согласно определению класса W(m)Hq,R, из неравенства (12) имеем

dn W^m Hq) < sup {En-l(f)q : f G W (m)HqtR] <

п — m / ж ^-Ф

4 Rn-m(Xn m уп — m ,

í )

п — m

(18)

п Hq

п

венства (15). Для этого воспользуемся подпространством Pn алгебраических полиномов степени не выше п. Известно (см.[12, гл.VIII, §2]), что для произвольного полинома рп G Pn выполнено неравенство

I 'P^W^R ^Rn-m(n,m\\Рп ||q, (19)

где п ^ m, m G Z+, 1 ^ q ^ то, R ^ 1. Рассмотрим следующий шар

С п — m т l ж

Sn+1 := Рп G Pn : \\Pn\\q < 4Rn-m( • Ф

4 R on,m

(—)}■

п — m

Обозначим

- i

пх

, 2 sin—, если0 ^ х ^ж/п,

Ш := <¡ 2 , '

2, если х > ж/п.

Из неравенства

ЦРп(гегх) — Рп^^^ < 5п(х) ■ ШРпЩдЯ,

которое следует из одного результата работы [5], для произвольного полинома рп € Рп с учетом (19) имеем

ш(рП \х) qR ^ ¿n-m(x)|| рП ) W qR

^ $n-m(x)R (n,mWPnWq , x ^ 0.

(20)

Покажем теперь, что шар Бп+1 С ^^ (Ф). Для этого рассмотрим два случая: к ^ п — т и к < п — т. Пусть, сначала, к ^ п — т. Тогда для произвольного полинома рп € б^+ь в силу (20) можно записать следующую цепочку неравенств:

ж/к ж/к

У ш(Рпт), ^ ^Кп-тап,тЦРпЦд У 5п-т(т^

< j4 Rn-motn,m(u — m)-^ |l — cos 2j ||Pn||q <

ж

/ o • п — m ^

^ 2 Sin - •-Ф

4 к

(—)

п — m

В правой части (18), полагая

ж п — m ж

t =-, А = —-—, Xt = —

п m к к

и учитывая левую часть неравенства (16), получаем

ж /к

I и^. < 281П2 4ЛФ(*) < Ф(Л*) = Ф ( (22)

о

Пусть теперь к < п — т. Снова воспользовавшись неравенством (20) для любого рп € 5п+1.

имеем

ж/к ж/к

У и^. ^Кп-та,п,т\\Рп\\д I 5п-т(т <

оо

ж/(п_т) ж/к

< п-тф([ и +

4 \п — т

/ + / 2«| =

I 0 ж/(п_т)

)(_4_ + 2( к — )} =

\п — т/ [п — т \к п — m/J + 2 (~к 0 } Ф (п — т) .

1 + ^п — т 1)1ф( ж 2 V к /| \п — т.

к

Если положить теперь г(п — т)-1 = Л^ - = Л, гк-1 = ¿. то опять, согласно правой

п — т

части условия (16), имеем

ж/к

I ^ ^ <{ 1 + К ^ — 1)}ф( п—гт) =

о

= {1 + 2 (Л — 1) } ) < Фф = Ф(г/к). (23)

Включение шара 5п+1 С (Ф) следует из неравенств (22) и (23). Но тогда, согласно опре-

п

ь.К2<ф). И,) > ><п^+1. и) = 4^тт,тФ (п—т) ■ <24>

Сопоставив неравенств (3) и (24), получим требуемые равенства (17), чем и завершаем доказательство теоремы 4.

4. Заключение

В пространстве Харди найдено точное неравенство между наилучшим приближением Еп_1 (/), аналитических в единичном круге функций / € И, (1 ^ ц ^ то) и наилучшим приближением Еп-т_1(/(т)),^ производной т-го порядка /(т) € (1 ^ д ^ то. К ^ 1)

аналитических в круге радиуса К ^ 1. Вычислены значения бернштейновского и колмого-п

модулей непрерывности первого порядка.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // УМ II. 1960. Т. 15. № 3. С. 81-120.

2. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Ma гс.м. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 155-162.

3. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22. № 5. С. 631-640.

4. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 2. С. 285-295.

5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле А.Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986. Т. 40. № 3. С. 341351.

6. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica. 1976. № 2. С. 77-85.

7. Двейрин М.З. Поперечники и е-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1975. Т. 23. С. 32-46.

8. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в бановых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Наукова думка. Киев. 1983. С. 63-73.

9. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // УМН. 1990. Т. 45. № 5. С. 197-198.

10. Farkov Yu.A. п-Widths, Faber expansion, and computation of analytic functions // Journal of complexity. 1996. Vol.12. № 1. PP. 58-79.

11. Fisher S.D., Stessin M.I. The п-width of the unit ball of Hq // Journal of Approx. Theory. 1991. Vol.67. № 3. PP.347-356.

п

Tokyo. 1985. 252 p.

13. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. I // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 7. С. 873-881.

14. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. II // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 8. С. 1019-1026.

15. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002. Т.72. № 5. С. 665-669.

16. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости // Укр. матем. журнал. 2004. Т. 56. № 9. С. 1155-1171.

17. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2 // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 5. С. 796-800.

18. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 6. С.747-749.

19. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Матем. сборник. 2010. Т. 201. № 8. С. 3-22.

20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир. 1965. Т.1. 615 с.

21. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М. Изд-во МГУ. 1976. 325 с.

22. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства L2 // Матем ."заметки. 1977. Т. 22. № 4. С. 535-542.

REFERENCES

1. Tikhomirov V.M. 1960, "Widths of sets in function spaces and the theory of best approximations", Ukr. Matem. Journal, vol. 15. no 3. pp. 81-120.

2. Taikov L.V. 1967, "On the best average approximation of some classes of analytic functions", Math. Notes, vol. 1, no 2, pp. 155-162.

3. Babenko K.I. 1958, "On the best approximations of a class of analytic functions", Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. math., vol. 22, no 5, pp. 631-640.

4. Taikov L.V. 1977, "Widths of some classes of analytic functions", Math. Notes, vol. 22, no 2, pp. 285-295.

5. Ainulloev N., Taikov L.V. 1986, "Best approximation in the sense of Kolmogorov of classes of functions analytic in the unit disc", Math. Notes, vol. 40, no 3, pp. 699-705.

6. Taikov L.V. 1976, "Some exact inequalities in the theory of approximation of functions", Analysis Mathematica., no 2, pp. 77-85.

circle of functions", Function theory, functional analysis and their applications, no 23, pp. 32-46.

8. Dvevrin M.Z., Chebanencko I.V. 1983, "On polynomial approximation in the weighted Banach spaces of analytic functions", Mapping theory and approximation of functions. Kiev: Nukova dumka, pp. 62-73.

9. Farkov Yu.A. 1990, 'Widths of Hardy classes and Bergman classes on the ball in Cra", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 45, no 5(275), pp. 197-198.

10. Farkov Yu.A. 1996, "n-WTidths, Faber expansion, and computation of analytic functions", Journal of complexity., vol. 12, no 1, pp. 58-79.

11. Fisher S.D., Stessin M.I. 1991, "The n-width of the unit ball of Hgn, Journal of Approx. Theory., vol. 67, no 3, pp. 347-356.

12. Pinkus A. 1985, "n-Widths in Approximation Theory", Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo, 252 p.

13. Vakarchuk S.B. 1990, "On the widths of certain classes of functions analytic in the unit disc. I", Ukr. Matem,. Journal, vol. 42. no 7. pp. 873-881.

14. Vakarchuk S.B. 1990, "On the widths of certain classes of functions analytic in the unit disc. II", Ukr. Matem. Journal, vol. 42. no 8. pp. 1019-1026.

15. Vakarchuk S.B. 2002, "Exact values of the widths of classes of functions analytic in the circle and the best linear methods of approximation", Math. Notes, vol. 72, no 5, pp. 665-669.

16. Vakarchuk S.B. 2004, "On some extremal problems in the theory of approximations in the complex plane", Ukr. Matem,. Journal, vol. 56. no 9. pp. 1155-1171.

17. Shabozov M.Sh., Shabozov O.Sh. 2000, "Widths of some classes of analytic functions in the Hardy space H2", Math. Notes, vol. 68, no 5, pp. 796-800.

18. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. 2002, "Best approximation and values of widths of some classes of analytic functions", Dokl. RAN, vol. 383, no 2, pp. 171-174.

19. Vakarchuk S.B., Shabozov M.Sh. "2010, "The widths of classes of analytic functions in a disc", Mat. Sbornik, vol. 201, no 8, pp. 3-22.

20. Sigmund A. 1965, "Trigonometric series", Moscow: Mir, vol. 1, 615 p.

21. Tikhomirov V. M. 1976, "Some problems of theory of approximation", Moscow: MSU, 304 p.

22. Taikov L.V. 1977, "Best approximations of differentiable functions in the metric of the space L2\ Math,. Notes, vol. 22, no 4, pp. 535-542.

Получено: 23.11.2022 Принято в печать: 24.04.2023