СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО РЯДАМИ ФУРЬЕ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕБЕРГМАНА 𝐵2,𝛾 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 1.

УДК 517.5

DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-167-182

Среднеквадратическое приближение некоторых классов функций комплексного переменного рядами Фурье в весовом

пространстве Бергмана В2,1

М. Ш. Шабозов, М. С. Саидусайнов

Шабозов Мирганд Шабозович — доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистан, Таджикский национальный университет (г. Душанбе). e-mail: shabozov@mail.ru

Саидусайнов Муким Саидусайнович — Таджикский национальный университет (г. Душанбе) .

e-mail: smuqim@list.ru, smuqim@gmail.com

где 7 := 7(И) > 0 - вещественная интегрируемая в области & функция, а интеграл понимается в смысле Лебега, ¿а := <!х<1у - элемент площади.

Более подробно исследуется сформулированная задача в случае, когда & - единичный круг в пространстве В2,, 7«,^ = И°(1 — И)^ а, Р > —1 - вес Якоби. В этом случае доказаны точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие величину наилуч-

(г) ^у

шего среднеквадратичного полиномиального приближения f € В2 ^ и К-функционала Петре. В случае 7а , ^ = 1 получаем ранее известные результаты.

Ключевые слова: суммы Фурье, среднеквадратическое приближение, верхние грани наилучших приближений, К-функционал Петре

Библиография: 17 названий. Для цитирования:

М. Ш. Шабозов, М. С. Саидусайнов. Среднеквадратическое приближение некоторых классов функций комплексного переменного рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана ^2,7// Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 1, с. 167-182.

Аннотация

В статье рассматриваются экстремальные задачи среднеквадратического приближения функций комплексного переменного, регулярных в области & с С, рядами Фурье по ортогональной в & системе функций принадлежащих весовому пространству

Бергмана В2 ,7 с конечной нормой

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 1.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-167-182

Mean-squared approximation of some classes of complex variable functions by Fourier series in the weighted Bergman space B2,1

M. Sh. Shabozov, M. S. Saidusainov

Shabozov Mirgand Shabozovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, Tajik National University (Dushanbe).

e-mail: shabozov@mail.ru

Saidusainov Mukim Saidusainovich — Tajik National University (Dushanbe). e-mail: smuqimMlist.ru, smuqim@gmail.com

Abstract

The article considers extremal problems of mean-square approximation of functions of a complex variable, regular in the domain D c C, by Fourier series orthogonal in the system of functions [<pk(-2)}fc=o D belonging to the weighted Bergman space B2,7 with finite norm

12,7

/ \ V2

U 7(N)If(z)l2dv

\ (D)

where 7 := 7(|z|) > 0 is a real integrable function in the domain D, and the integral is understood in the Lebesgue sense, da := dxdy is an element of area.

D

in the space B2,7 ^, 7a,p = |z|a(1 — IzlY, a,/3 > —1 - Jacobi weight. Sharp Jackson-Stechkin-

type inequalities that relate the value of the best mean-squared polynomial approximation of

(r)

f g n the Peetre ^^^^^^^^^ were proved. In case when 7^ = 1 we will obtain the earlier known results.

Keywords: Fourier's sum, mean-squared approximation, upper bound best approximation, Peetre K-functional.

Bibliography: 17 titles. For citation:

M. Sh. Shabozov, M. S. Saidusainov, 2022, "Mean-squared approximation of some classes of complex variable functions by Fourier series in the weighted Bergman space B2,7 " , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 167-182.

в

2,1

1. Введение

Условимся в дальнейшем называть весом неотрицательную интегрируемую по Лебегу в области & С С функцию 7 := 7(|,г|) : & ^ М такую, что

Ц^(И)£&7> 0,

(&)

где йа = йхйу - элемент площади. В этой работе будем рассматривать вопросы средиеквад-

области & С С принадлежащих весовому пространству Бергмана В2,7 := В2,7(&) с конечной нормой

( \1/2 1

2,7 := IIЛ1-В2

JJ 7(И)!/^)\2йа

V (&) )

где интеграл понимается в смысле Лебега. В случае 7(|,г|) = 1 пространство В2,7 превращается в обычное пространство Бергмана (см., например, [1, стр.259]). Отметим, что в случае приближения в среднем функций комплексной переменной, регулярных в односвязной области & С С, рядами Фурье по ортогональной в & системе функций {р^(-г)}^=0 задача отыскания точной константы в неравенстве Джексона-Стечкина в весовом пространстве В2,7 изучалась в работах [2, 3].

Хорошо известно [1, стр.262-265], что теория среднеквадратичного приближения по области & с С функций / тесно связана с теорией ортогональных по области & функций. Поэтому для большей связности изложения мы приведем основные понятия, относящиеся к теории ортогональных с весом в области & с С системы функций. Последовательность функций {рк(-г)}^=о назовем ортогональной с весом 7 по области & с С системой комплексных функций, если

//7(!г\)Рк(^р1(г)йа = (&)

0, при к = I, к,1 е N

& 2т II 7(\А)\Рк Ш2йа := црк ||27 , при к = I, ке N.

9

Если

1/2

2,7 = I 71 //7(И)|р*(*)!2йа) =1,

2тг

0

то такая система называется ортонормальной. Очевидно, что если система {рк( 2)}^=о явля~ ется ортогональной, то система {рк(-г) ■ Црк||_7}&=о является ортонормальной. Функции / сопоставляется ее ряд Фурье по ортогональной системе {рк("2)}&=о:

те

/(*) = (¡)рк (г), (1)

к=0

где

а, (/) = 2^^Ж;//7 (|^!)/(^)йа га—1

5га_1(/, г) = ^ аки)рк(г) (2)

к=0

_ частная сумма п-го порядка ряда, стоящая в правой части равенства (1). Составим линейную комбинацию первых п функций системы {рк(-г)}д!=о:

га— 1

Рп—1&) = ^ Ькрк(г), Ьк е С, (3)

к=о

и множество всех обобщенных полиномов вида (3) обозначим через Рп-ь Величину

Еп-1 (/)2,7 := (||/ - рп-1^2,7 : Рп-1&) е Рп-1}

назовем наилучшим среднеквадратическим приближением функции / е В27 подпространством Рп-1. Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Среди всех обобщенных полиномов вида (3) наилучшее среднеквадратическое приближение функции f е В2,7 доставляет п-я частичная сумм,а, (2). При этом

те

Е2п-1(/)2,7 = II/ - 5п-1112,7 = Е ^(/)|2 ■ У" 112,7• (4)

к=п

Если система функций (р;(-2)}ь=о ортонормальна в & С С, то из (4) вытекает, равенство

1/2

Еп-1(/)2,7 = ||/-^п-1|2,7

(£ |ак( /)|2)

к=п

Доказательство леммы 1 проводится стандартным путем (см., например, [1, с.202]), а потому мы её опускаем. В условиях леммы 1 имеет место

е В2,7

те

II /N2,7 = £ |ак( /)|2 -||Рк 12,7,

к=о

причём если система функций (р;(-г)}те=0 _ ортонормальна, то

те

12,7 = £ |ак( /)|2.

к=0

2. Случай, когда область & есть единичный круг

Рассмотрим более подробно случай, когда область & С С есть единичный круг и := (х е С : |-г| < 1} В этом случае система функций (хк}те=о является ортогональной, но не ортонормальной, поскольку

¿УУ 7(И)¿с1(Г = Ц2 У1 7(р)рк+1+1 е*(к-1)* сСрсИ =

(и) 0 0

10

Следовательно, система функций

0, к = I, к,1 е ^ & /о 7( Р) Р2 к+1Ср := А к > 0, к е

рк (*) :={ (Та;)-1 ■ ¿к}

к=0

оо

будет ортонормальной системой. Через А( и) обозначим класс аналитических в круге и функций. Пусть теперь / - произвольная функция, принадлежащая классу А( и). Ряд Маклорена

и

те

Л

/(*) = £ <* ( /) *. (5)

к=о

Найдем коэффициенты Фурье ак(/) этой функции. Имеем: 1 ^ 1

ак(/) = ^ || 7(И)/(*)р£(*)йа = || 7(И){ £ (/)*4 ■ 1 ■ Ла =

(и) (с/) ^ г=о ^

£ *(/) ■ ^ _1 ■ 2- ||7(|г|)^йх I = с*(/) ■ _1 ■ 2- ||7(И)И2^а =

г=° ' I (и)

^( /) (ул;) 1 £ 7(р)р2к+1йр = с*(/) (ул;) 1 ■ лк = ^(/) ■ ул;, к е ^ (6)

— 1 Г1 „, . / ,—\ - 1

/о

Таким образом, ряд Фурье функции f Е А( и) то ортонормальной системе р*к (г) = (^А^) 1 (к Е Ъ+) с учетом (6) приобретает вид

те те 1 те

/( г) = ^ак(¡)р*к(г) = (1) (Ул;)_ гк = £^(/)гк. (7)

й=о й=о к=о

( )

и

замкнутости

^ ^ те 1 те

^ 7(И)|/( ^)|2йа = £ |^(/)!2 7(р)р2к+1йр = |^(/)!2. (8)

(^ к=о й=о

В частности, если 7(|-г|) = 1, то из (8) вытекает известное равенство (см., например, [1, с.208-209])

22

= ^ !( /)!2 2,1 = N¿N2 = к + 1 '

к=о +

и

временно является рядом Маклорена этой функции и, согласно второй теореме Вейерштрасса [4], может быть сколько угодно раз продифференцирована, причем все продифференцированные ряды равномерно сходятся к соответствующей производной, и для любого г е N имеет место равенство

те

/(%) = £ак,гск (/)гк—г,

к=г

где, ради краткости, положено

ак,г := к(к - 1) ■ ■ ■ (к - г + 1) = к!/(к - г)!, к > г, к, г Е N.

Обозначим через в^, г G Z+ множество функций f G ^2,7) У которых f(r) G ^2,7, т-е

2,7, 1 G Z+

II/(г)Ц2,7 < го. Легко заметить, что при любом к > п > г, к,п G N, г G Z+

/,*) = /(%) - Sn_,_i(/*) = ^ak,rck(f)zk_,

k=n

в силу чего имеем

E2n_r_i(f (r)h,7 :=inf {II f(r) - ¿_iII2,7 : *>n_i(*) G P-i} =

те . i

= II/M -Sn_r_i(f(r))||2,7 = J2<rICk(/)\4 7(p)p2(k_r)+idp, (9)

,„ J0

k=n

а также имеет место равенство

k=

Всюду далее через

те i

I/(r)II2,7 = £.!,,Ick(/)I2/ 7(p)p2(k_r

./0

(10)

М7) = / 7(Р)Р^р, 5 = 0,1, 2,... (11)

0

обозначим момент порядка в весовой функции 7(р) на отрезке [0,1]. В силу обозначения (11) равенства (9) и (10) запишем в виде

те

E2n_r_i (/(г)) := Е<I^(/)|2^2(k_r)+i, (12)

' k=n

те

IIf (r)I2,7 = E«2,r I Ck (/)|^2(k_,)+i. (13)

k=

Из равенств (12) и (13) при 7(р) = 1 вытекают соответствующие равенства из работы [5]:

En—(/(rt)2,I:=En—(/('02 = к-тгг •

. Ck(/)I-

ak,r ^

k= n

( )

2

( )

2

I Ck (/)I

2 k,^k -r + 1 • k =

2,i

При изложения дальнейших результатов мы предполагаем, что имеет место следующая Гипотеза. Пусть к,п G N, г G Z+, к >п> г, 7(р) - непрерывная весовая функция. Тогда,

max^ ■ ^+i(7) =4- ■ ^2n+i(7) ^. (14)

k>n>r ak,r ß2(k_r)+i(7) .Пь,т ß2(n_r)+i(7)

Доказать равенство (14) в такой общности для всех непрерывных весов нам не удалось. Остановимся на случае веса Якоби

7(Р) := 7a,ß(р) = ра(1 -p)ß, a,ß> -1.

Очевидно, что 7a,ß(р) непрерывна при а, ß ^ 0. В этом случае, легко доказать, что равенство (14) имеет место. Более того равенство (14) выполняется даже при любых а ^ 0, ß > — 1. Имеет место следующая

Лемма 2. Пусть к,п е N ге Z+, к >п> г, а ^ 0, Р > -1. Тогда

1 ^2к+1( 1а,/) _ 1 ^2га+1( 7а,/3) тах 2 • т V = 2 • 7 V • V-1-"3;

к>п>гакг Ц.2(к-г )+1(1а,/3) ап,г ^2( п—г)+1 V !а,р)

Доказательство. Нахождение точной области параметров а, Р, г для которых верно (15), это техническая сложная задача. Покажем, что (15) имеет место для а ^ 0, Р > — 1, г ^ 1. Положим

ф(к, г) = ^- • ^^) ^.

ак,г ^2(п-г )+1 (1а/ )

Легко вычислить, что при всех к > п > г ^ 1,

, , _ Г(2к + 2 + а)Г(Р + 1) ^ _ Г(2(к — г) + 2 + а)Г(Р + 1)

т+1(1а,р)= Г(2к + 3 + а + Р) , )+1(7а'/3)= Г(2(к — г) + 3 + а + Р) ,

где Г(а) - гамма-функция Эйлера. Пользуясь формулой [6, с.754]

Г(а + п) = (а + п — 1)(а + п — 2) • • • (а + 1)Г(а)

функция ф(к, г) представим в виде

(к ) = ^ Г(2к + 2 + а) Г(2(к — г) + 3 + а + Р) № = ак,г ^ Г(2к + 3 + а + Р) ^ Г(2(к — г) + 2 + а) •

Проверим, что

ф(к, г)

ф(к + 1,г) (к + 1 — гV Г(2к + 4 + а) Г(2к + 3 + а + Р)

Ф(к + 1, Г) < 1, а ^ 0, Р > —1,к ^ г + 1.

Имеем

/к + 1 — г V

V к + 1 )

ф(к, г) V к + 1 ) Г(2к + 2 + а) Г(2к + 5 + а + Р) Г(2(к — г) + 5 + а + Р) Г(2(к — г) + 2 + а)

Г(2(к — г) + 3 + а + Р) Г(2(к — г) + 4 + а)

к + 1 — г \2 (2к + 2 + а)(2к + 3 + а)(2(к — г) + 3 + а + Р)(2(к — г) + 4 + а + Р)

/к + 1 — А

V к + 1 )

к + 1 ) (2к + 3 + а + Р)(2к + 4 + а + Р)(2(к — г) + 2 + а)(2(к — г) + 3 + а)

= (1 — к + 0 (1 + 2к + 2 + а — 2г) (1 + 2к + 3 + а — 2г

(1___) (1___) <

— 2 к + 3 + а + Р — 2 к + 4 + а + Р <

< С1 — к+Г)2 + кТГ+|—7)2 — 2 = ^

Проверим условие /( к, г) — 1 < 0. Имеем

=" *•'> — 1 = - к+1X1 + кп+т—;.) — — 1 =

= — Г | 1 г +

- - i -

к + 1 к + 2 + к + 1 + | — г

1

1

-г2 I--1____| +

(к + 1)(к + 1 + | -г) ^ + 2+ (к + 1 + | - г) (к + 1)(к + 2 + ^)

+

(к + 1) (к + 1 + | - г) (к + 2 + ^) '

Далее

(к + 1) (к + 1 +1-г)(*+2 +

= - ((к +1 + | -г) (к + 2 + + (к + 1) (к + 1 + 2-,.) -(к + !)(к + 2 + ^))

-г (к + 1 + к + 2 + - (к + 1 + а - г) ) + г2 = = - (к + 1 + 77 - г) (2к + 3 + ^) +(к + 1) (к + 2 + ^) -г (к + 2 + 2) =

= -(к+1)2+(Г -а)к+г (1+7) -7(3+;+ Р) <

^ ^ w 1 % Л а \ а(3 + а + Р) < -(г + 2)2 + (г - а)(г + 1) + г (1 + 2)----4-— =

/ а \ а(7 + а + Р) = - (2 + а) ( 4 Р) - 4 < 0. Условие /(к, г) < 1 выполнено и ^(к, г) < ^(п, г) при к ^ п > г + 1. Лемма 2 доказана.

Замечание 1. Одной интегрируемости веса Якоби на, отрезке [0,1], то есть выполнения условий а, Р > -1 для справедливости гипотезы недостаточно.

Покажем, что для любого г^ 1, к = п = г + 1 существует а е (-1, 0), Р > 0 такие, что

■0(г + 2, г) = ^(п + 1, г) > ^(п, г) = ^(г + 1, г)

или что то же

■0(г + 2, г) / 2 \2 Г(2г + 6 + а) Г(2г + 5 + а + Р) Г(7 + а + Р) Г(4 + а)

Ш2

\г + 2/

^(г + 1, г) \г + 2/ Г(2г + 4 + а) Г(2г + 7 + а + Р) Г(5 + а + Р) Г(6 + а) 4 (а + 2г + 5)(а + 2г + 4) Г(2 г + 5 + а + Р) Г(7 + а + Р)

(г + 2)2 (а + 5)(а + 4) Г(2 г + 7 + а + Р) Г(5 + а + Р)

Так как

Г(2г + 5 + а + Р) Г(7 + а + Р) = 1 3—+те Г(2г + 7 + а + Р) ' Г(5 + а + Р) = , то достаточно показать, что для любого г ^ 1 существует а е (-1, 0) такое, что

4 ( а + 2г + 5)( а + 2г + 4)

> 1.

> 1.

(г + 2)2 (а + 5)( а + 4)

Положим а = -1/2. Тогда (16) эквивалентно очевидному неравенству

4 г2 + 16г + 63 > — (г2 + 4 г + 4) ^ 4(г2 + 4г) > 63( г2 + 4г) ^ 4 > 63, 4 16 16 16

и таким образом в этом случае равенство (15) не имеет место. Пользуясь леммой 2 сформулируем следующее утверждение.

Теорема 1. При всех к ^ п > г ^ 1 и а ^ 0, —1 имеет место равенство

sup En-1(/)2,la¡p _ 1 • ^2n+1(7a,|) ^^

fp к(г) ^n—r—l (/(r)) 2,Ja,P an,r ^2(n-r )+1(7a,| )

JS 2~ta,!3

Доказательство. Если функция / g в2г7 , то для величины наилучшего приближения

те

Е2п-1(/)2,1аф _ £m+i(7«,|)lCfc(/)|2 (18)

к=п

этой функции, пользуясь утверждением леммы 2, получаем

?2 ff\ „2 I /,м2, / л I 1 ^2k+1(7«,|)

те l'

^П-1 (/)2,1аф _^2ак,г1 ск(/)|2^2(k-r}+1(7«,|) • S ^2

к=п

ak,r ^2(k-r)+1 (7«,|)

^ те

^ I ■ \^а2 I r,(i

i.j.j.tA.yv л 2 /л

k>n>r\akr ^2(k-r) + 1(7a,l3)

<

- ^ ^ • ^ • (/)|2^2(k-r)+1(7«,1) _

1 ^2n+1(7«,|) „ 2

*n,r ^2(n-r)+1(7a,¡3)

^П-г+1(/(Г))2,7„,. (19)

Так как неравенство (19) верно для любой функции / е В2,-уа13, то из (19) получаем оценку сверху для величины, стоящей в левой части равенства (17)

sup 2^n-1(/^ - 1 • ^2n+1(Y) л. (20)

f ев.

(г) 2 Па, 13

К-r- 1(/(Г))

)+1(7a,l3 )

Для получения оценки снизу той же величины введем в рассмотрение функцию /о(.г) = гп е В2,1а р, п е М, г е Ъ+, п > г. Для этой функции из равенств (12) и (18) сразу следует,

¿£-1( ¡0)2,1ар = ^2п+1(7«,/3 ), (21)

^П-г-1(/0)Г))2,7а,р = аП,т • ^2(п-г)+1(1а,/3)• (22)

Учитывая равенства (21) и (22), получаем оценку снизу указанной величины

8ир ЕП-1(Л2,~/а,13 > ^П-1(/о)2,7а,р = • ^2п+1(7а,/3) ^^

/ев« ^П-г-1(/(г))2,7«,р "^2-г-1(/0Г))2,7„р =аП,- ^2(п-г)+1(7«,/3) ^

Сопоставляя оценку сверху (20) с оценкой снизу (23), получаем требуемое равенство (17), чем и завершаем доказательство теоремы 1.

Следствие 2. ([5, с.621]) В условиях теоремы 1, при а = Р = 0 для, любых п е N г е Ъ+,

п >

su К-1(/)2 _ 1 /п — г + 1 Дм En-r-1(/(r))2 «n,r V п +1 . 1 j

В самом деле, равенство (24) вытекает из (21) и (22) при а _ @ _ 0, т.е., когда 7а,р(р) = 1) поскольку

№n+1(1) _ , ^2(n-r)+1(1) _ п — г + 1,

а потому

I ^2п+1(1) _ = 1 ^ Г[

У ^2(п-г)+1(1) V

^n-l(/)2 1 / P2n+l(1) 1 П - Г + 1

sup ^ — . I

Еп-г-1 (/(г))2 -п.г у P2(n-r)+l(1) V п + 1

/es(r) Еп-Г

Пусть ^ (— ^ 0,Р > — 1) - множество функций / g , v которых ||f(r)\\2,-yal3 < 1-

Требуется найти величину

Еп-1 ) = sup {^п-1(/)2,7в1„ : / g <7^ }.

Теорема 2. Пусть п g N, г g Z+, п > г, а ^ 0, Р > —1. Тогда

Еп-1 « ,) = — ■ / ^^) ). (25)

Доказательство. Так как Еп-г-1(/(г))2,7а^ < ||/(г)|2,7а^ < 1, то для произвольной ") 1 1

7а i р

функции / G из равенства (17) следует, что

Еп-1 (/к,., < — ■ J ^2п+1 ^) ) ■ Еп-,-1 (/«) < ^ J ^^)

—п,т У ^2(п-г)+1(7«,/3) ^ '2,7а,13 -п,г У ^2(п-г)+1 (7a,/fV

(г)

откуда переходя к верхней грани по всем функциям / G W2 , ^ запишем

Еп-1 .) < — ■ , . (26)

V ^ 1 ^ — п,г у ^2(п-г)+1 №,//)

^М W . I ^2п+1(la.fi)

С другой стороны, для функции

/!(*)= 1

-п

^2(п-г)+1( la,/)

Р2п+1 (la,f3 ) —п.г \/ ^2(п-г)+1(7а,/)'

Еп-1( / 1)2,7а^ = ---^ 1~-^-V, (27)

и в силу (12) имеем

Еп-г-1 I f(r)\ =1.

(П

Последнее равенство означает, что /1 е ^ а потому, учитывая (27), запишем оценку

2,7а 113

,(г)

снизу

Еп-1 KL) > Еп-1( aw = ¿- ■ ^

-п,г \/ ^2(п-г)+1(7а,/)

Требуемое равенство (25) получаем из сопоставления оценки сверху (26) с оценкой снизу (28). Теорема 2 доказана.

При решении экстремальных задач теории приближения часто требуется найти точные верхние грани модулей коэффициентов Фурье на различных классах 2-^-периодических функций (см., например, [7, 8, 9]). Аналогичные задачи рассматриваются также для коэффициентов Тейлора аналитических функций [10, 11]. Несомненно представляет интерес получить решение

(г)

сформулированной задачи для класса 7/а $ ■

хп

Теорема 3. Пусть п е М, г е Ъ+, п > г, а ^ 0, Р > -1. Тогда справедливо равенство

вир {ы /)| : / е „} = ■, I ^2п+1(7;,3)). (29)

Доказательство. Учитывая ортонормальность системы функций р"(-2) = (\//Ак) 1 ■ -г" +)

(к е Ъ+) в единичном круге и, для произвольной функции / е И^ запишем

I сп(/)1 = 1

2жл/\п

<

[[ 7«,3(И)Д4^ = [[ 7(И)[/(*)-£п-1(/, *)] ■ ^

■).](и) 2^уАп J -](и)

< [ I 7а,3 (И) I/(*) - 1(/, *)1 ■ 1^п|с<7, (30)

где Бп-1(/, г) - частная сумма п-го порядка ряда Маклорена функции / е А (и). Применяя неравенства Коши-Буняковского к интегралу в правой части (30), будем иметь

| Сп(/)| < II/(*) -5п- 1(/, х)ц2г^ ■ II ¿Щ^ = II/(*) 1 (/, ^Н^ = Еп-1(/)2,7„, .

* п (31)

Учитывая соотношения (26), из (31) получаем

8ир{ы /)|: / е } < ! (.21.)=^ ■ . <з2>

Для получения оценки снизу величины, стоящей в левой части неравенства (32), рассмотрим снова функцию _Д(г) е И^ , введенную нами в конце теоремы 2 и для которой

: /е<в/5} >ЫЛ)| = —^ /"^п+зЬм!).

8пН I/)| : / е ^21 Л > I/1)| = — м ,Г2п+П ^ ,. (33)

Требуемое равенство (29) вытекает из сравнения неравенств (32) и (33), чем и завершаем доказательство теоремы 3.

3. Точные оценки приближения посредством К-функционала

В этом пункте докажем некоторые точные неравенства, связывающие величину наилучшего приближения Еп_ 1(/)2,7а|8 функции / е в2[7 посредством К-функционала Петре. Определение и основные свойства К-функционала Петре приведены в монографиях [12, 13]. В статье [14] доказаны прямые и обратные теоремы приближения функций посредством К-функционала Петре. В нашем случае мы определим К-функционал, построенный по пространствам В2,7а ^ и В^, т е М, — ^ 0, Р > -1 следующего вида

Кт(/; ^)2,7а,Ц := К (/; ^;В2,7а^ ;В2т =

(34)

= щ|{ Ц/-^П2,7. , , + Щд (т)!2,7„ , , : 9 е вЦ , 0 < < < 1.

Представляет несомненный интерес получить точные неравенства, связывающие величину наилучшего приближения (18) и К-функционала (34).

Теорема 4. Пусть т,п е М, г е - произвольные числа, такие что п > г + т, а ^ 0, Р > —1. Тогда имеет место равенство

1

ап,г • Еп-1(/)2,7аф (^2(п-г)+1 (1а,/3)/^2п+1(7«,/3)) 2 вир - 1 1—

/^т ( а-_г,т [^2(п-г)+1(7«,/3)/^2(п-г-т)+1(1а,/3^ 2 )

= 1.

(35)

2,7а,Р

?(г)

Доказательство. Используя неравенство (19), для произвольной функции / е г £ М, получаем

Еп-1($)2,7аф < • ( ^2п+1(7|,/3) \ ^ ^п-г-1(/(г))2,7а,р <

ап,т \^2(п-г)+1( 7«,/^

<

1

1 / ^2п+1(7«,/) V

ап

(

^2(п-г)+1(7«,/)

г) _ а

ап—г—

п-г-1(5)П2,7а,р

(36)

где ап-г-1(^) частная сумма (п — г)-го порядка ряда Фурье произвольной функции д е В( В силу равенства (9) и неравенства (20) запишем

(т) 7а,р"

— ^п-г-1(5') У 2,7а« = Еп-г-1(9)2,7аф <

1

^2(п-г)+1(7а,/) V

ап-г,т \^2(п-г-т)+1( 7а,/),

7М

2,7а,р

(37)

Теперь из неравенств (36) и (37) следует, что

Еп-1(/)2,7«,р <

1

1 ( ^2п+1(7а,/) \ 2

ап

<

^2(п-г)+1(7а,/)

1 ^ ^2п+1(7а,/) А 1 | ут(г) — ап,г \^2(п-г)+1(7а,/)/ |

)Ч

/(г) —5

2,7а,р

+ \\д — ап-г-

п-г-1 (у) У2

х,р }

, <

;,7а,М <

+ 1 / ^2(п-г)+1( 7а,/)

2,7а,р ап—г,т \^2(п—г—т)+1(1а,/),

(т)

12 д(т) \ •

/ 2,7а,р ]

(38)

е В2(т,7)

грани по всем таким функциям в обеих частях (38), с учетом определения К-функционала (34), получим

1 / ^2п+1(7«,/) \ 2

Еп—1(/)2,7„,р < — ( 2п+" '«;/' Л • Кт ( \^2(п-г)+1 (7а,/),

ап

)2 •Кт^/(г),

1

ап—г

^2(п-г)+1( 7а,/)

_^2(п-г-т)+1

2,7

Отсюда следует оценка сверху величины стоящей в левой части равенства (37):

ап,т -Еп—1(/)2,7«'Р (^2(п-г)+1(7а,/)/^2п+1(7а,/)) 1

вир

/^т (/(г), ап-1 г,т [^2(п-г)+1(7а,/)/^2(п-г-т)+1 (7а,/)] 1)

< 1.

(39)

2,7«'Р

С целью получения оценки снизу той же величины, воспользуемся тем, что для произвольной рп е Рп имеет место неравенство (см., напр. [15, 16])

Кт(Рп, ¿т)2,7„'Р < тт^ \\РпЬ,7а.В ,

п\\2,7аф >

Лт)

п

2,7«'Р

} •

(40)

1

0( ) = п

/0г+т)(-г) = п(п - 1) ■ ■ ■ (п - г + 1)(п - г) ■ ■ ■ (п - г - т + 1),г"

п-г-т = п- (г+т)

— —п,г ' —п—,

то в силу неравенства (40) будем иметь

■Кт ( /о ^,

1

хп—г .т

М2(п-

п—г ) + 1 V ¡а

<.Р )

_М2(п-г-т)+1(7а,^ ). 1

М2(п-г )+1 Ьаф )

')

<

хп—г.т

М2(п-

п—г ) + 1 V ¡а

)

_М2(

п—г—+ /а

г(г +т)

_И2(п-г-т)+1(1а,^ )_

—п.г * —п-г.т

[М2(п-г -т) + 1(7а,^)] 2 = -п,г [м2(п-г)+1 )] 2 . (41)

Заметим также, что

1

Еп-1 (/о)2 = [^2п+1(7«,3)] 2 . Пользуясь соотношениями (41) и (42), имеем:

(42)

вир

f р Кт ( № -1

/ //ГРТ

—п,т 'Еп-1(/)2,7а,^ (^2(п-г)+1(7«,3)/^2п+1(7«,3))

(/(Г), —п-1 г,т [^2(п-г)+1(7а,3)/^2(п-г-т)+1

(7«,3)] 2)

>

2,7а , р

> вир

—п,т ' Еп-1 (/о)2,7а,^ (^2(п-г) + 1(7«,3)/^2п+1(7«,3))

(/Г [^2(п-г)+1(7«,3)/^2(п-г-т)+1(7«,3)] 2 )

>

/£РГ

2,7а,Р

)+1(1а,3) _

(43)

-п,г ^2(п-г)+1(7а,3 )

Требуемое равенство (35) получаем из сравнения оценки сверху (39) с оценкой снизу (43). Теорема 4 доказана.

Следствие 3. ([17, с. 76]) Если в условиях теоремы 4 полагать 7а,(р) = 1; то для любых п, т е М, г е Ъ+, п > г + т справедливо равенство

у/(п + 1)/(п - Г + 1) ■ —п,гЕп-1(/) = 1 вир , ,--ч — 1.

^^^ . г

/ев2г) Кт(/М,

п-г-т+1 1

п-г+1 ^п — г.т

1

2

о

1

—

п—г .т

4. Заключение

В работе рассматривается задача наилучшего среднеквадратического полиномиального

приближения функций комплексного переменного регулярных в односвязной области & сум-

( р к ( ) } кте=0

В2,7а (&), где 7а,з = |,г|а(1 - |,г|)3— ^ 0, Р > -1, г е В случае ортонормальной системы р*(г) := 1 ■ ,гк|те и В2г1а13 := и = (,г : |,г| < 1} решен ряд экстремальных задач

среднеквадратического полиномиального приближения функций / е #27 . Найдено точное неравенство между наилучшим среднеквадратическим полиномиальным приближением

(г) „у

функций / е #2 7а р, г е Ъ+ и соответствующим К-функционалом Петре.

Авторы благодарят профессора В.И. Иванова, который способствовал улучшению этой статьи.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964. 440 с.

2. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(-D,p(z)) // ЖВММФ. 2010. Т.50, № 6. С. 999 - 1004.

3. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана // Владикавк. матем. журн. 2018. Т.20, № 1. С. 86 - 97.

4. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. 320 с.

5. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения п-иоперечников // Матем. заметки. 2018. Т.103, вып.4. С. 617 - 631.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2. М.: Наука, 1970. 800 с.

7. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Матем. заметки. 2006. Т.80, вып.1. С. 11 - 19.

8. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 // Analysis Mathematica. 2012. Vol.38, no.2. P. 147 - 159.

9. Shabozov M.Sh., Vakarchuk S.B., Zabutnava V.l. Structural characteristics of functions from L2 and the exact values of widths of some functional classes // Journal of Mathematical Sciences. 2015. Vol.206, no.l. P. 97-114.

10. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Математический сборник. 2010. Т.201, № 8. С. 3 - 22.

11. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие методы приближения и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве 1 < q < œ, 0 < р < 1 // Сибирский математический журнал. 2016. Т.57, № 2(336). С. 469 - 480.

12. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. Введение. М. Мир, 1980

13. Mhaskar N.H. Weighted polynomial Approximation //J. Approx. Theory. 1986. Vol.46, no. 1. P. 100 - 110.

14. Ditzian Z., Totik V. ^-functionals and best polynomial approximation in weighted LP(R) // J. Approx. Theory. 1986. Vol.46, no. 1. P. 38 - 41.

15. Вакарчук С.Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева-Эрмита и поперечники функциональных классов // Матем. заметки. 2014. Т.95, вып.5. С. 666 - 684.

16. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Труды института математики и механики УрО РАН. 2019. Т.25, № 2. С. 351 - 364.

17. Saidusavnov M.S. K-functionals and exact values of n-widths in the Bergman space // Ural Mathematical Journal. 2017. Vol.3, №2(5). P. 74 - 81.

REFERENCES

1. Smirnov V. I., Lebedev N. A., 1964, "Functions of a Complex Variable: Constructive Theory", Moscow: Nauka, 440 p.

2. Abilov V. A., Abilova F. V., Kerimov M. K., 2010, "Sharp estimates for the convergence rate of Fourier series of complex variable functions in L2(-D,Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 50, no. 6, pp. 946 - 950.

3. Shabozov M. Sh., Saidusavnov M. S., 2018, "Mean-square approximation of complex variable functions by Fourier series in the weighted Bergman space", Vladikavkaz. Mat. Zh, vol. 20, no. 1. pp. 86 - 97.

4. Bitsadze A. V., 1984, "Osnovv Teorii Analiticheskih Funktsij Kompleksnogo Peremennogo", Moscow: Nauka, 320 p.

5. Fikhtengol'ts G. M. "Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniva, t.2", Moscow: Nauka, 800 p.

6. Shabozov M. Sh., Saidusavnov M. S., 2019, "Upper Bounds for the Approximation of Certain Classes of Functions of a Complex Variable by Fourier Series in the Space L2 and n-Widths", Mathematical Notes, vol. 103, no. 4, pp. 656-668.

7. Vakarchuk S. B., 2006, "Jackson-tvpe inequalities and widths of function classes in L2", Mathematical Notes, vol. 80, no. 1, pp. 11-18.

8. Shabozov M. Sh., Vakarchuk S. B., 2012, "On the best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials and the exact values of widths of function classes in L2", Analysis Mathematica, vol. 38, no. 2, pp. 147-159.

9. Shabozov M. Sh., Vakarchuk S. B., Zabutnava V. I. 2015, "Structural characteristics of functions from L2 and the exact values of widths of some functional classes", Journal of Mathematical Sciences, vol. 206, no. 1., pp. 97 - 114.

10. Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh., 2010 "The widths of classes of analytic functions in a disc", vol. 201, no. 8, 1091-1110.

11. Shabozov M. Sh., Yusupov G. A. 2016, "Best approximation methods and widths for some classes of functions in 1 < < 0 < p < 1", Siberian Mathematical Journal, vol. 57, no. 2, pp. 369-376.

12. Bergh J., Lofstrom J., 1976, "Interpolation Spaces", Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 220 p.

13. Mhaskar N. H., 1986, "Weighted polynomial Approximation", J. Approx. Theory, vol. 46, no. 1, pp. 100 - 110.

14. Ditzian Z., Totik V., 1986, "K-functionals and best polynomial approximation in weighted LP(R)", J. Approx. Theory, vol. 46, no. 1, pp. 38 - 41.

15. Vakarchuk S. В., 2014, "Mean approximation of functions on the real axis by algebraic polynomials with Chebvshev-Her mite weight and widths of function classes", Mathematical Notes, vol. 95, no. 5, pp. 599-614.

16. Shabozov M. Sh., Saidusavnov M. S., 2019, "Mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems", Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 25, no 2, pp. 351 - 364.

17. Saidusavnov M.S., 2017, "^-functionals and exact values of n-widths in the Bergman space", Ural Mathematical Journal, vol. 3, no. 2(5), pp. 74 - 81.

Получено 16.12.2021 г. Принято в печать 27.02.2022 г.