О специальных многомерных сплайнах лагранжевого типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Родионов В.И.

ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»,

декан факультета ИТиВТ rodionov@uni.udm.ru

О специальных многомерных сплайнах лагранжевого

типа

1. Точки x0, х v.. ,xn е En такие, что векторы Лх1;..., а хп линейно независимы (где Axj = х - x), порождают симплекс, который будем обозначать в виде \хо,х 1,..., Хп).

Через {,en} обозначим стандартный базис в En. (Заметим, что векторы Axi,.--,Лхп также образуют базис этого пространства.) Очевидно, квадратная матрица X = (Xj) порядка п, состоящая из скалярных произведений Xj = (ek, Axj), обратима, то есть существует матрица Y = ( Yik) такая, что YX = En =XY (где En - это единичная матрица порядка п). Следовательно, для всех справедливы равенства

У Щх^ =У 4 (е, = 5,1 Т Xgr, =Т (щЛх^ = б, ,

icx я;=л" id i: f.rx:

где к = U --,n}, dy - символ Кронекера. Для любого iеK определим функцию

Ф,- (§) = Z Yik( ek, Хо )=S ij, En и пусть ф(') = 1-Еф,- (•)

kек ' J iек

2. Через м-о>Vn обозначим барицентрические координаты точки En относительно вершин симплекса S=\Хо,хi,...хn). Другими словами,

если N ={0,1,...,n} = {0}uK , то имеют место равенства ^^1 =1 и ^^.

Легко показать, что ф,-(x) = h для всех iеN .

Как следствие, справедливы равенства

и К ieif

Таким образом, барицентрические координаты точки En представляют собой совокупность чисел (фойХфД^Х.--,Фп(Х)). В частности, ф,-(xj) = 8j для всех i,jеN и, следовательно, ф,-(Х) = 0 - это уравнение грани conv {xk: kеN\{ i}} симплекса S.

3. Зафиксируем целое неотрицательное число m и введем в рассмотрение частично упорядоченное множество мультииндексов

Nm = N (m )={ а = (а 0,а 1,..., а n): а, е E, а> 0, ^ а,= m}

i е N ,

где по определению полагаем аpр, если а,для всех iеK (очевидно, а0>в0). Справедливо равенство card Nm = (n+m m).

XX) = 0

Ф2(Х) = о '

2

Ф-(Х) = о

Рис. 1. Грани симплекса, п = 2

_ 1 ^

Для любого аеNm полагаем по определению ха--. Очевидно,

т,е N

хаесопу{Хi:,еN}, а так как числа та,,-еN - это барицентрические

координаты точки ха, то ф,-(ха) = тт а,-.

Полагаем, далее, фГ(Х) = - и фк 1(^ = П(тфк(^Н1--) для всех 1еЕ .

,= 1

Наконец, для любого аеNm полагаем фа(§)=Па^'фк"к 1(?). Другими

к е N а к !

словами, при т&Е для любого «е^/У», справедливо представление

«№>-= п 1, П(»Ф.су*1 /)• со

О 1=1

Зафиксируем мультииндексы а, ре Nт . Если а^|3 , то легко показать, что ФГк](хр) = о для некоторого кеN , поэтому Фа(хР) = 0. Если же а = Р, то для всех к^Ы имеет место цепочка равенств

3 = 1 ! = 1 !=Л

поэтому Фа(хР) =1. Таким образом, Фа(хР) = 8аР для любых а, реNm .

Последнее обстоятельство позволяет легко доказать, что совокупность {фа(§)}аеN(т) состоит из линейно независимых многочленов. 4. Через Рт[х] обозначим конечномерное пространство полиномов

переменной Еп степени не выше т (Степенью монома § =П^ ">аеNm ,

|а|= ^ а,

, еК

называется сумма ^ -, а степенью полинома - максимум из степеней его мономов. Совокупность таких мономов образует базис пространства Р..Ё1, поэтому ^шРт[XI = (птт).)

Очевидно, фа(^)еРт[§] для любого аеNm, следовательно, совокупности {§а}аеN(т) и {фа(§)}аеN(т), каждая из которых состоит ровно из (птт) линейно независимых функций, являются базисами в пространстве Рт[х]. Первый базис называем далее стандартным, а второй -Б-базисом, подчеркивая его происхождение от симплекса S. В работе [1] приведены прямая и обратная матрицы перехода от стандартного базиса к

S-базису.

Теорема 1. Пусть заданы симплекс S—х0,хи... ,хп) и функция ^:Еп^Е . В пространстве Рт[х] существует ровно один полином р такой, что

1

Р(ха) = Е(ха) для всех аеNm (где ха--гхг). Этот многочлен представим

т ге N

в виде

Действительно,

до X пофч^Ь X =

для всех веNт, а единственность представления имеет место постольку, поскольку { фа(§))ае N (т) - Это S-бaЗИC в Рт[Х] .

Теорема в несколько иных терминах доказана в статье [2]. Следствие. Пусть ^: Еп^ Е - это полином степени не выше т, то есть ^еРт[§], а {фа(§)}аеN(т) - это S-базис, порожденный симплексом $=(хо, х1, • • •.х«) ■ Справедливо тождество

/'•(£,) Б )Ф> (Д). (з)

сх-е ЛГ( т)

5. Зафиксируем функцию ^: Еп ^ Е, индекс г еN и два симплекса

5=<хо,х 1,...,хп> , =<х0,х1,...,хП> такие, что хг— х) для всех геN\{г}.

Рис. 2. Два смежных симплекса триангуляции, п = 2, т = 2 Симплексы порождают в пространстве Рт[х] два базиса: S-бaзис {фа(§)}аеN(т) и S'-бaзис {ф'а(§)}аеN(т). Как следствие, определены два полинома вида (2):

Щу^ V /<хоф': (£) и X

где использованы обозначения ха=~ Хах и ха—1 Хагхг.

т ге N т ге N

Значения полиномов Р(-) и Р'(-) совпадают на общей грани С011У (.г, / е Л/\ {г}; = сои V {х' I е ЗЩ {г) ] .

Последнее утверждение предоставляет нам возможность осуществлять непрерывную стыковку полиномов вида (2), заданных на смежных симплексах. Данное обстоятельство позволяет аппроксимировать функции нескольких переменных сплайнами, построенными в соответствии с формулой (2) на произвольной триангулированной области.

6. В работах [3-5] получены точные формулы для коэффициентов и невязок оптимальных аппроксимирующих сплайнов простейших задач математической физики: для уравнения теплопроводности, для волнового уравнения и для уравнения переноса. Проиллюстрируем эти результаты на

S

примере уравнения переноса. При фиксированных у^0 и х>0 в качестве приближенного решения задачи

ди

ди

— Щ Е [0, 1]

и{1,0)= р(/), * ( |0,г|.

предлагается использовать оптимальный сплайн задачи

3 =

ди ди

- _ -

д! 1 Л"

11Ш1

^.,.(11)-

(4)

ЦСП)

Через ош(П) (при фиксированном ше[-1,1]) обозначено конечномерное пространство, состоящее из предложенных лагранжевых сплайнов, зависящих от коэффициентов uj, ] = м (через N обозначено число узлов), и определенных в прямоугольнике П=[0,т]х[0,1 ].

Пусть п = N-1, h = 1/N, е== ух/ h, Ро = р(0), Р1 = р(х). Полагаем далее, что 101 >1, тогда R=-[(1 + 02)ш2-40ш + 302-1]/4<0 . Используем также обозначения

1 ^ 1 ^-0 „ 1 ^+0 х = —, а = ^' Р = ^'

О, О • 7Й), V,:. • — ф; г 1 = 0,1.......N, (5)

° }-1.....й;=(1-вК + (1 + вК+.. к = 1.....»

Единственное решение uj, ] =,N, задачи (4) порождается совокупностью чисел

1

Пг = -

-1% (-V) г0 + 2 ** с*)- (1 -

IV =

илх) р ГЛ (.V) ,

А

-Вк1 (.г) г0 - ^ (.V) + 2 Щ (-V) Щ

з= 1

1

. А- = 1.....

и

(6)

(согласно (5) коэффициенты uj линейно вычислимы через значения yj). Заметим еще, что оба знаменателя в (6) не равны нулю. В представлении использованы многочлены Чебышева, определяемые рекурсией: и-1(х) = 0,

и0(х) = 1> им(х) = 2хик(х)-ик_1(х) / и ПОЛИНОМЫ

и: ,(.г)г;„ д*), / < /

в (х ) =й ■ IV' 1 т " 3 ГЛ ,(*)</,. .(.V), ¡1- / >./

Г,./ ■

Пусть вектор I - ••• Л,)' состоит из граничных элементов

* 'ф, Ф: , Ф!+1-Ф,-л

Чо

а матрица

• X ( р1 ~ Р° у

Ф, -Фо

V - J V Л И

А(ю) = (А(ю)), j = °'1'---'п, состоит из элементов

л (оо) • 1 I + + , ¡Г ■ /,/) (0,0),

/ — 1.....и

д(ар-1) ] т • & 0-7) = (о.о).

(При 101 >1 справедлива оценка аР-1 > 0.)

Теорема 2. Если М^ - это минимум функционала ^ в пространстве (р, то

при любых mg[-1,1] и 0 таких, что I0I>1 (при любых N>(т|g|)1). Имеет место точная формула для элементов матрицы :

, Д((хр-1) ,+J ' (b'C-r) Л))''.. С-Х if '<./

4 ov (.v) pO'-„(.v) ' I (и, ( Л- ) Р (У, _ t (.V)) U„.t (.V), if i > J.

Матрица A(w) имеет простой спектр: 1o(w)<K1(w)< — <К(w), причем 0 <K.(w) <1o(w) И К (w) < 2(1 -2R)/(1 -2R-02) ; мы полагаем K(w) = 2/(1 -2R-02) при 0<-1 и K(w) =1/(1 -R+0) при 0> 1. (Оба знаменателя положительны.)

Теорема 3. Если w = 20/(1+02), то

max K0(w) = K0(W) ,, max К,(ю) =К,(ю)

mCf-1,1] 0 0 f rnCf-1,1] ■

Таким образом, для решения задачи (4) имеет место точная формула (6) (следует лишь пересчитать коэффициенты uj через значения yj). Мы имеем также точную формулу (7) для минимума функционала (4). Следовательно, для любого е> 0 имеется возможность решить неравенство J„(w) <е и получить априори достаточное число узлов N. Более того, для этой цели имеется возможность решить неравенства

ттюЪихГ<в или <е.

В вычислениях используется параметр w = 20 /(1+02).

Литература

1. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 4. С. 146-153.

2. Nicolaides R.A. On a class of finite elements generated by Lagrange interpolation // SIAM J. Numer. Anal. 1972. № 9. P. 435-445.

3. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения теплопроводности // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 4. С. 154-171.

4. Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения // Вестн. Удмуртск. унта. Матем. Мех. Компьют. науки. 2012. № 1. С. 144-154.

5. Родионов В.И. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения переноса // Материалы IV международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)». Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. С. 252-253.