О совместном движении трёх вязких неизотермических жидкостей в плоском слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 18, № 2, 2013

О совместном движении трёх вязких

u __>к

неизотермических жидкостей в плоском слое*

Е. Н. ЛЕМЕШКОВА Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия

e-mail: lena_lemeshkova@mail.ru

Исследовано однонаправленное движение трёх несмешивающихся несжимаемых вязких неизотермических жидкостей в плоском слое. Предполагается, что движение происходит только под действием градиента давления из состояния покоя. Найдено точное стационарное решение. Решение нестационарной задачи получено в виде конечных аналитических формул методом преобразования Лапласа, и доказано, что оно выходит на стационарный режим, если градиент давления в одной из жидкостей стремится к своему стационарному значению.

Ключевые слова: вязкая неизотермическая жидкость, поверхность раздела, преобразование Лапласа.

1. Постановка задачи

В качестве основной модели движения будем использовать уравнения вязких теплопроводных жидкостей в отсутствие внешних сил (индекс ] означает жидкость, ] = 1, 2, 3)

duj 1

I--V'Pj = Vj Au,, div u, = 0,

d©,

dt р,

j

j Xj A©,,

¿г

где Uj ,pj — соответственно вектор скорости и давление, Qj — отклонения от среднего значения температуры, pj — плотности, Vj — кинематические вязкости, Xj — коэффициенты температуропроводностей, ¿/¿г = д/дг + Uj •У. Для однонаправленного движения в плоских слоях — ¡1 < у < 0, 0 < у < 12, 12 < у < с границами раздела у = 0, у = 12 и твёрдыми неподвижными стенками у = —1\, у = будем считать, что вектор скорости имеет вид Uj = (щ(у, г), 0, 0). Тогда давление в каждой из жидкостей представимо в виде pj = pj fj (г)х + aj (г) с произвольными fj, aj, а температура — вj = —Ajх + Tj(у, г). После подстановки в уравнения (1) соответствующих указанных величин функции Uj(у,г),Т(у, г) удовлетворяют уравнениям

щг = V — ^(г), (2)

^ = XjТуу + А uj. (3)

В (2), (3) индексы г и у означают частные производные по этим переменным.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00283).

Условия непрерывности скорости и температуры на поверхностях раздела (в общем виде условия на поверхности раздела приведены в [1]) дают равенства

«1(0,*) = «2(0,*), «2^2,*) = «з(М), (4)

71(0,*) = 72(0,*), 72(М) = Та(/2,*). (5)

Кроме того, на этих поверхностях равны потоки тепла и касательные напряжения

ВДу (0, *) = (0, *), ВДу (¿2, *) = (¿2, *) , (6)

^2«2у(0, *) - (0, *) = 0, ^зПзу(¿2, *) - Р2«2у(¿2, *) = 0, (7)

где к] = Х]Р] С] — коэффициенты теплопроводностей, С] — коэффициенты удельных теплоемкостей, ^ = V]р] — динамические вязкости. В уравнении (3) и граничном условии (7) А = А1 = А2 = Аз (это следствие равенства температур при у = 0 и у = ¿2, см. (5)). Условия для нормальных напряжений сводятся к равенству давлений в жидкостях, а кинематические условия при у = 0, у = ¿2 выполняются тождественно.

Так как стенки у = — ¿1, у = ¿3 твёрдые и неподвижные, то условия прилипания запишутся в виде

щ(—¿1, *) = 0, пз(М) = 0. (8)

Считаем также, что на стенки приложен только постоянный градиент температуры, т. е.

7\(—¿1, *) = 0, Тз(/з,*) = 0. (9)

Далее предполагается, что движение возникает лишь под действием градиента давления из состояния покоя, в силу чего

« (у, 0) = 0, (10)

Т (у, 0) = 0. (11)

Видно, что уравнения (2)—(11) образуют две последовательно решаемые задачи для скоростей «] и возмущений температур Т].

Поставленная задача (2)—(9) имеет стационарное решение (скорости обезразмерены на //1, а возмущения температур на А/^/хО

« 1(0 = N (Г2«2 + -в(е + 1) — Г12), —1 < е < 0, «2(0 = N(Г12д-1е2 + -в(дхе+1) — -2), 0 < е < -2/ -,

«з(е) = ^-1Д2(-12е2 + в(¿1е — 1) — 1, -2/- < е < 1/-1,

-/ч Л-2 4 ¿-в з -(В — -1) 2 ч -в 5-Л

71 (е) = * (т/ + -в" + - V-5«2 + ^ +1»— -а"+5-й) ■ —1 < е <».

Т2(е) = N | '«г^ + х-^-6Гвез + Щ—«е 2 + £1№е + ч — -В+ 52!1

0 < е < ь/ -1,

2

/___( -1 .4 , - з (В + 1^2 \ , Л , Д1Д2Х2 ( 5

«2

Т'(е)=* 12е4+—;+*+^ ^ 4+в) — тт

ь/'ч < е < 1/-1, (12)

где £ = у/11; 1 1 = ¡1 /1з; _2 = Ь/з; /- 1 = /1//2; /-2 = /2//з; кг = ^/к,; = к,/кз; XI = Х1/х2; Х2 = х1/х3; N = — безразмерный градиент давления,

_ Д"1/12(1 — 1 22) — 22 + 1 12 -- - —

В = ^-_2 ) -2 1 , ¿1 = к 1к2(1 — 1 2) + к 11 2 + 11,

/-1/1 2(1 — 1 2 ) + /- 11 2 + ¿1

-=^ (1—_) (_(3+!) +в+11+

+-1) (/-V- (3+Вт) + — 1 ')! +

+(в + 4) + т (I (I + В| — (В + 1)1 +

+¥ (В — — (% (I + В) + (В — 2

82 = — ^ (,2 (| + |) + В +1) + ^ (/-12 (| + ||+ -(В — - )|.

Замечание 1. Рассматриваемое решение уравнений (1) является инвариантным относительно однопараметрической подгруппы непрерывных преобразований, соответствующей оператору д/дх + pf (г)д/др — Лд/дО.

2. Решение нестационарной задачи методом преобразования Лапласа

Применим преобразование Лапласа к задаче (2)—(11). Получим для изображений Uj(у,р), Tj(у,р) уравнения

Р^ (у,Р) = V йуу (у,Р) — Fj (p), р^ (у,р) = Xj Т,рр (у,Р) + Ли(у,Р). (13) К (13) добавляются преобразованные условия (4)-(11)

/2К (0) — /Ау (0) = 0, (14)

/зК (12 ) — /2^2у (12) = 0, (15)

[>1(0,р) = С>2(0, р), Е^р) = из(12,р), (16)

Т (0,р) = Т2(0,р), 2,(1,, р) = Тз(12,р), (17)

[>1(—11, р) = 0, Вдз,р) = 0, (18)

2^1 (—11, р) = 0, Тз(1з,р) = 0, (19)

ВДу (—11, р) = к2Т2у (—11,р), к2ТТ2у (0, р) = кзТзу (0, р). (20)

Общее решение первого уравнения (13), ] = 1, 2, 3, имеет вид

1 Р г. р Р

^ = С1 8Ы-(у + 11) + С2 сЬ\ -(у + 11) — —, (21)

3 \ V 3 V V? Р

второго

Т](у,р) = С]1 йЦ/ «у + С2 СМ/ «у + 7г,

х] V х

(22)

где Т]Г = ^ / С7](г,Р) йЬ у — (г — — частное решение уравнения (13). Величины С]1, С2, (С,1, (С2 определим из граничных условий (14)-(20):

С1

(С2 Ч ^¿ 2

йЬ

2 йь \/ ¿2 I сь 4/ — (¿з

1)--з ЙЬ 4/ —¿2

Р V Vз

( з2

^ п Р Г ^2

-йь</ —¿2--

Р V V3 ^2

СЦ/ -(¿з — ¿2)

С1 СЦ/ -Г2 + С22 йЬ </ -Г ) йЬ </ — (¿з + ¿1 ^2 У Vз

сЦ/ -(¿з — ¿2)

Vз

(2 = 1 2 А

С1 = — С = А

Р Р Р IР

—бМ — ЙЬ А/ —Л,, ЙЬ А/ —¿1 +—— СЬ А/ —Л,, СЬ А/ —^ + Vl V V2 V Vl V V2

Р I Р

+Й2 Ьз йь —¿1 — &2 сь —¿1 V! 7-1 V ^

— &1 — (й2&2 + «1Ьз) СЬ —¿1 + (й2&з + «1^2) ЙЬ * / —¿1

V2 V V2

с2 = 1

2А

я1 Р Р Р / Р

Ь1 ( сЬ А / —¿1 ЙЬ А / —¿1 — ЙЬ А / —¿1 СЬ А / —^ — V Vl V Vl V V2 V Vl V V2

Р IР

—« | Ьз ЙЬ у —¿1 — 62 ЙЬ у —¿1

^ 7^ V Vl

Т

-I- &

сЬ —12

йЬ */ —кТ^у (0,Р) + сЬ 4/^2% (0,Р) + Т^ (¿2,Р) + -Ц^Тзг (¿з,Р),

л/р

х2

х2

сЬ 4 I —¿з

хз

(С2 = с} -¿1, С} = -7=С} +

Х1 л/Х 1 ^

2 _ .1 г 1 С 1_ 71 ГЛ , 7 1 У«2'

-

Р1

-Т1гу (0,Р),

(С22 = с! ш ^+ ТТ1Г(0,Р), Сз1 + Т,),

Х1

Здесь

(Сз2 = —Сз1 ЬЬ\ — ¿з —

Хз

Р ТТзг (¿з,Р)

сь 4 i —¿з

Х3

^ = ^^ттгг(0,р) йьл/

Х 2 Х2

Р ~ Р Р ~

«1 = йь 4/ —¿2 + ^^ —сз — ¿2) сь 4/ —¿2, V2 ^2 V V3 V V2

«2 = СЬ А / —¿2 + У1= Л 4/ — (¿з — ¿2) йь —¿2, V2 ^2 \/ V3 V V2

^3

— 1 I р

+ --3, 62 = "[^(1 — сь 4/ ^1) —

сЦ/ — (¿3 — ¿2 )р

Р

Р

V!

, /р,

63 =--^ йь —¿1,

v vlр V v!

Р Р Р / Р

А = а2 сЬ а / —¿г йЬ а / —¿г — йЬ а / —¿г сЬ а / —¿г + V V! V V! V V2 V V! V V2

Р Р ^ Р I Р

+аг йЬ а / —¿г йЬ а / —¿г--— сЬ а / —¿г сЬ а / —¿г

V! V V2 V V! V V! V V2

7 1 Р Р Р Р Р Р

£ = ^^ йь 4 / -¿2 + сь 4/ -¿2 л 4/ -¿1, = йь 4/ -¿2 — сь 4/ -¿2 л 4/ -¿3,

V Х2 V Х2 V Х1 V Хз V Хз V Хз

#2 = сь 4/ —¿2 — йь*/ —¿2 ш*/ — ¿3, #3 = к- йь*/ —¿2 + йц/ —¿2 ш*/ —¿1, (23)

Хз Хз Хз Х2 Х2 Х1

где V, = Vl/V2, V2 = V2/Vз, ¿2 = ¿1 + ¿2.

6

1

Используя равенства (21)—(23) и проводя достаточно длинные математические

вы-

кладки, можно доказать предельные равенства limp^0 pTj (y,p) = Tj0 и limp^0 pUj (y,p) = u0, где TjO, u0 — стационарное решение (12). Численное обращение преобразования Лапласа позволяет найти решение при любом заданном градиенте давления.

На рис. 1 приведены профили безразмерных скоростей и возмущений температур в слоях Uj = Ujli/vi,T j = Tjxi/(A¡ivi) для системы силикон (pi = 956 кг/м3, vi =

-6

2

с, = 9.71 • 10

-3

'(м • c), k1 = 0.133 кг • м/(с3 • K), x1 = 0.0675

10.2 • 10 " м/с, = 9.71 • 10 " кг 10-6 м2/с, ж1 = 6.4 • 10-5 кг

^2 = 1.002 • 10-3 кг/(м • с), k2 = 0.597 кг • м/(с3 • K), х = 0.143 • 10

'(с-K)) - вода (р2 = 998 кг/м3, V2 = 1.004 • 10-6 м2/с,

15.14 • 10-5 кг/(с2• K)) - воздух (р3 = 1.205 кг/м3, v3 = 15.11 • 10

-6 м2

-6 м2/с, Ж2 = /с, ^3 = 0.018 •

10-3 кг/(м • с), k3 = 0.0257 кг • м/(с3 • K), Х3 = 21 • 10-6 м2/с) при температуре 20 0C. Видно, что с ростом безразмерного времени т = V1 t/l1 решение выходит на стационарный режим. Размерное время при т = 10 есть t =1 с. На рис. 1 приведен случай, когда f (т) = 1 + e-T cos т, f (т) = /1(t)//10 — безразмерный градиент давления в первой жидкости.

При /(т) = sin т решение не будет сходиться к стационарному, так как предел /(т) при т ^ то не существует (на рис. 2, 3 приведены графики только для скоростей, поскольку они имеют конкретный физический смысл). Кривые 1, 2 на рис. 2 соответствуют положительному градиенту давления, 3, 4 — отрицательному, т. е. движение во всех слоях меняется на противоположное и процесс повторяется через т = 2п. Если же безразмерный градиент давления

/(т) =

т */т,

1 5eT

0 < т < т *, т > т *,

то жидкости сначала будут двигаться в положительном направлении (рис. 3, кривые 1, 2), а при т = т * градиент давления меняет знак и появляется возвратное течение (кривые 3, 4). С ростом времени движение выйдет на стационарный режим (кривая 5).

Замечание 2. Задача о совместном движении трёх вязких жидкостей в плоских слоях решена в работе [2].

и '

14

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

Т *

25

20 15 10

5

0

-1

-0.5

0.5

1.5

-0.5

0.5

1.5

a

Рис. 1. Профили безразмерных скоростей (а) и возмущений температур (б) в слоях при li = 10-3 м; /2 = 1.5 ■ 10-3 м; /3 = 2 ■ 10-3 м, /(т) = 1 + e-T cos т; штрих — стационарное решение; а: 1 — т = 1, 2 — т = 7; б: 1 — т = 2, 2 — т = 9

Рис. 2. Профили скоростей в слоях при 1\ = Рис. 3. Профили скоростей в слоях при 1\ =

10-3 м, 12 = 1.5 • 10-3 м, 13 = 2 • 10-3 м, /(т) = 10-3 м, 12 = 1.5 • 10-3 м, 13 = 2 • 10-3 м; 1 -

sin т; 1 - т = 1, 2 - т = 3, 3 - т = 4, 4 - т =1, 2 - т = 2, 3 - т = 3, 4 - т = 4, 5 -

т = 6; штрих — стационарное решение т = 7; т* = 2; штрих — стационарное решение

Замечание 3. Решению задачи (2)-(11) можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что в начальный момент времени первая жидкость заполняет слой —^ < у < 0, вторая — 0 < у < ¿2, третья — ¿2 < у < ¿з. Жидкости находятся в покое, и во всем слое поле температур О] = —Ах. Мгновенно возникший градиент давления порождает движение жидкостей, при котором поверхности раздела остаются плоскостями у = 0,у = ¿2, а траектории являются прямыми. Жидкости 1 и 3 можно считать также смазкой, вдоль которой скользит жидкость 2.

Автор выражает благодарность профессору В.К. Андрееву за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении работы.

Список литературы

[1] Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рявицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. 31 с.

[2] Лемешкова Е.Н. Прямая и обратная задача о совместном движении трёх вязких жидкостей в плоских слоях // Журнал Сибирского федерального ун-та. Математика и физика. 2011. Т. 3, № 4. С. 363-370.

Поступила в редакцию 7 ноября 2012 г., с доработки — 29 декабря 2012 г.