CC BY
9
УДК 512.54
Стационарное течение трех жидкостей в плоском слое под действием термокапиллярных сил и перепада давления
Елена Н. Лемешкова*
Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,
Россия
Получена 18.06.2011, окончательный вариант 18.08.2011, принята к печати 18.10.2011 Исследовано однонаправленное движение трех вязких жидкостей под действием термокапиллярных сил и перепада давления. Найдено точное стационарное 'решение задачи.
Ключевые слова: термокапиллярность, поверхность раздела, стационарное течение.
1. Постановка задачи
Рассматривается движение трех несмешивающихся несжимаемых вязких теплопроводных жидкостей в плоских слоях (рис. 1).
У
1 ц 3
ul г 2
1
Рис. 1. Схема области течения
В качестве основной модели движения вязкой жидкости будем использовать уравнения Навье-Стокса без учета внешних сил:
¿и 1
+ Р УР = Аип5 ИГ = X Аеп 5 (1)
<41уип- = 0,
где и— соответственно вектор скорости и давление, — отклонения от среднего значения температуры, р — плотность, ^ — кинематическая вязкость, р = ир — динамическая вязкость, хп — температуропроводность, ¿/¿Ь = д/дЬ + и •У.
* lena_lemeshkova@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved
При рассмотрении однонаправленного стационарного движения в плоских слоях —¿1 < y < 0, 0 < y < /2, /2 < У < /3 с общей границей раздела y = 0, y = /1 и твердыми стенками y = —¿1, y = /3 будем предполагать, что вектор скорости имеет вид uj = (uj(y), 0,0),j = 1, 2, 3. Тогда давление в каждой из жидкостей представимо в виде pj = pjfjx + а с произвольными fj(t),aj > 0, а температура — ©j = — Ajx + Tj(y). Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела линейно зависит от температуры: <jj(©) = а0 — iBj(©j — ©0), iBj, ©0 = const > 0, j = 1, 2, 3. После подстановки в уравнения (1) функции Uj(y),Tj(y) удовлетворяют уравнениям
A
Ujyy = fj/vj, Tjyy = — ~Uj . (2)
Xj
Условия непрерывности скорости и температуры на поверхностях раздела (в общем виде условия на поверхности раздела приведены в [1])
Ui(0) = U2(0), U2 (¿2) = из(/2),
Ti(0)= T2(0),T2 (/2) = Тз(/2). (3)
Кроме того, равны потоки тепла
kiTiy(0) = k2T2y(0), k2T2y(/2) = кзT3y(/2), (4)
и имеется скачок касательных напряжений
M2U2y(0) — MiUiy(0) = A®1, ^3U3y(/2) — M2U2y(/2) = A®2, (5)
где kj — коэффициенты теплопроводностей.
Из условия для нормальных напряжений при y = 0; /2 следуют равенства градиентов давления в слоях pifi = p2f2 = Рз f3.
Так как стенки y = —/i, y = /3 твердые и неподвижные, то условия прилипания запишутся в виде
ui(—/i) =0, из(/з) = 0. (6)
Будем считать, что на твердых стенках приложен только постоянный градиент температуры, то есть
Ti(—/i) =0, Тз(/з) =0. (7)
Во втором уравнении из (2) A = Ai = A2 = A3 (это следствие равенства температур при y = 0 и y = /2).
2. Решение стационарной задачи
Интегрируя уравнения (2) по y, получим
Uj = у2 + j + j Т = — XjfУ4 + jy3 + jУ2) + j + j <8>
Постоянные ci, c2, С3 и С4 определим из граничных условий (3) — (7) и, после некоторых
12 3 4 j j j и j
вычислений, найдем представления для скоростей:
pifi/2
ui(e) U2(e)
U3(e)
2^2 . г ^ . ,4 .-2
2Mi Pifi/2 2Mi Pifi/3MiM2 2Mi
/1 e2 + /iB(e + 1) — /i /iVi£2 + /iB(Mi£ + 1) — /1 /i2e2 + B(/_ie — 1) — 1
+ V1 ai(e+1); /i
+ V1 («2^ + ai); (9)
/i
+ Vf3 (e — 1); /i /i
и температур
7Ж) = -
+
А/1^1
Х1
г2(0 = -
-2 п
Ар1/1/2/§ ГГ12 ,4 + Г1В.3 + Г1 (В - /1) .2 + Ь1 + ЦБ + 5Г12 ^ 2Х1М1 е + Те +-2-е + ¿2 (е +1) -^ + 12)
- (е3 + зе2 - 2) + ¿2 (е+1) 6 ¿2
Ар1/1/2/з ГХ1/-1/1Г4 , ХцМ^В 3 , Х1/1(Б - /1К0 Ь1 -
+
5/ 1
12
+
2Х1М1 Х1
12
-е4 +
6
-е3 +
+
/ 1Б
2
е2 + -?1 (к +1) - V+ ¿2 з
-1 («,е3 + з«1е2) + ¿2 (к-1е+1) +1
тз(е) = -
Ар1/1/2/3
2Х1М1
М-1М-2Х2( | е4 + /-6Бе3 - ^ е2) + Ьзе+¡3¥2 (4 + в) - Ь-3
3/1
+
Х1
/ 1
¿1к2&2
(10)
+
3е N , / к1к2Ь2 , Х2«3, /2 _,- , ,
—(е - Т) + + к(2 -1) -Х1к2(й1 + ИТ)))е^Г
1 /Х2/2Й3/ /2 ^ . , Х2«3Ч
- ^(2 - 1) - Х1к2/2(й1 + 2/Г) + ИГ)
где е = у//1, -1 = /1//3, - 2 = /2//3, ¡1 = М1/М2, ¡2 = М2/М3, к 1 = ^1/^2, ¿2 = ¿2/^3, Х1 = Х1 /Х2, Х2 = Х1/Х3, М1, М2 — числа Марангони,
М1
Аж-1 /
1/1
М2
Аж2/
2/1
Б
¡1/-2 (1 - / 22) - М/22 + /12
^1,2' ^1,2 ' ¡- 1,2(1 - /2)+ ¡1/2 + / 1
¿1 = М1М2(/2 - 1) - М1/ 2 - /1, ¿2 = ¿1^2(1 - /2) + ¿1/2 + /1,
Я1
1 ¿1
(/-2 + М2 - М2/-2)М1 + (1 - /2)М2М2)
Я2 = -
/ 1М1 + М1М2(/ 2 - 1)М2
Я3 = -
¡2 ¿1
М1М2Х2/ 2
/1М1 + (/"1 + М1/-2)М2
+
/ 1
М-1М2 Х2
(1 - /-)(/-(| + §) + Б + 1) + (/-2 - 1)(М1/-2(| + §) + /-(Б - /-1))+
_ _ _ _2 - - -2 - _ -2 _ - -3/1 (В + 4) + (3 (| + Б) _ (Б +1)) + -,б - 541) - ^ (^ (| + В)+
2
+ (Б - г)), /1
Ь2 = ^^(- - 1)(/- - 1) - ( + %)(/- - 1) - ^Оз + ( + %)-
2 /-2 2 Д2 ; /1 ^ 2 / 1Д2 ; 3 - 2 /1 ^^ 3/г 2
Х2/2 «3 ( / 2 1 ) «1/1
-¿-г (3 -1) - т •
Из представления решения (9), (10) видно, что влияние перепада давления и термокапиллярных сил происходит независимо друг от друга. Этот факт является следствием линейности задачи (2) — (7).
Проведем обезразмеривание всех скоростей на /1 и температур на А/ 1^1/х1 , тогда безразмерные скорости и температуры останутся непрерывными. Тогда
и1(е) = N(/-2е2 + -в(е+1) - -2) + ^(е +1), -1 < е < о,
2
2
Ь
1
иа(0 = N(¿12М1£2 + ЦВ^е + 1) - /12) + а^е + аь 0 < е < -2//1,
из(е) = ^-^гЛ2 + ж-е -1) -1) + аз(е - ¿), -V- < е < 1/-1,
1 1
тке) = -N(12е4 + ¿бВе3 + е2 + | (е+1) - ¥ +122)+
- 01(е3 + зе2 - 2) + (е+1), -1 < е < о, 6 02
т(е) = -N (
Х1 М , Х1М1/ 1^3 , Х1/1(В - /1К2 , &1
12
-е4 +
6
е3 +
/1В 5112
2
^ + 02 (к1е + 1) -1г+1^
- ХГ(«2е3 + з^1е2) + (ы+1) + 01, о < е < /2/ -1,
6 02 3
2
Т3(е) = -N (Л1 М2Х2( ^ е4 + /16ве3 - ^ е2) + &3е + ^ (4 + в - Ь3)-
12 6 2 3/12 4 /1
Х2в3,.3 3е% ^1^262 , /2, Х2 я>3 Л 2 ^ , ¿2 а^. ^1^262
- ~(е - х) + + -(~/Т(2 -1) -Х 1к2(а1 + Ж")))е^1
- ^ ( (/2 - 1) - *1к2/2(«1 + ) + Хт),
где N =
/1/1/3
2^2
безразмерный градиент давления.
На рис. 2-4 представлены типичные профили скоростей в слоях для некоторых значений определяющих параметров.
Рис. 2. Профили скоростей в слоях при N = 0.0001, М1 = 2, М2 = 3
На рис. 2 изображен случай, когда ^| << 1, тогда преобладают термокапиллярные силы и имеем почти линейный профиль скоростей — течение Куэтта. На рис. 3 приведен случай, когда ^ | >> 1, тогда главными становятся градиенты давления в слоях и профили являются параболическими — течение Пуазейля. Рисунок 4 отражает случай примерно одинакового вклада в механизм течения указанных выше факторов. Отметим также, что здесь возникает зона возвратного течения в среднем слое — скорость в нем меняет знак.
Замечание 1. Стационарное течение под действием только перепада давления изучено в [2].
8- / \ / /
4- \ \ \
/ 1 т
1 -0.5 0 5 1.5 2
Рис. 3. Профили скоростей в слоях при N = -10, Ш\ = 2, М2 = 3
ЙШ
ар !
С.15- \ / V
0 1 ■ г /
0.05- \
1 -0.5 0.5 1 ш 2
Рис. 4. Профили скоростей в слоях при N = 0.4, Ы\ = 2, М2 = 3
Замечание 2. Решению задачи (2)—(7) можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что в начальный момент времени первая жидкость заполняет слой —¡1 < у < 0, вторая — слой 0 < у < ¡2, а третья — слой ¡2 < у < /3. Жидкости находятся в покое, и во всем слое поле температур ©^ = —Ах. Мгновенно возникшие градиент давления и термокапиллярный эффект порождают движение жидкостей, в котором поверхности раздела остаются плоскостями у = 0, у = ¡2, а траектории являются прямыми, параллельными оси х. Жидкости 1 и 3 можно считать также смазкой, вдоль которых скользит жидкость 2.
Автор выражает благодарность профессору В.К.Андрееву за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении работы.
Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта СО РАН №116, РФФИ №11-01-00283.
Список литературы
[1] В.К.Андреев, В.Е.Захватаев, Е.А.Рябицкий, Термокапиллярная неустойчивость, Новосибирск, Наука, 2000.
[2] Е.Н.Лемешкова, Прямая и обратная задача о совместном движении трех вязких жидкостей в плоских слоях, Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика, 4(2011), №3, 363-370.
Stationary Flow of Three Fluids in a Flat Layer under the Influence of Thermocapillary Forces and Pressure Difference
Elena N. Lemeshkova
The unidirectional movement of the three viscous liquids under the influence of thermocapillary forces and pressure difference in a layer restricted by solid walls was researched. The exact stationary decision of the problem has been found.
Keywords: thermocapillarity, interface, stationary flow.
