О совместном движении бинарной смеси и вязкой жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 16, № 4, 2011

О совместном движении бинарной смеси и вязкой жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе*

Н. Л. СОБАЧКИНА Институт вычислительного моделирования СО РАН, Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия e-mail: [email protected]

Изучено инвариантное решение задачи о совместном движении бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе. Движение происходит под действием продольного градиента давления в смеси. Вязкая жидкость (смазка) и смесь не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений. Найдено стационарное решение задачи, в котором поля скоростей являются такими же, как у течения Пуайзеля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате. Нестационарная задача решена методом преобразования Лапласа. Численные расчеты показали, что решение этой задачи сходится к стационарному распределению при Ь ^ если градиент давления стабилизируется по времени на бесконечности.

Ключевые слова: бинарная смесь, цилиндрическая труба, стационарное решение.

Введение

Настоящая работа посвящена изучению уравнений совместного движения бинарной смеси и вязкой жидкости с общей поверхностью раздела с учетом эффекта термодиффузии и нестационарного перепада давления. Эта подмодель возникает при изучении движений смесей в достаточно длинных цилиндрических слоях.

Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна.

В [1, 2] рассматривалось однонаправленное движение вязкой жидкости в круглой трубе. В данных работах определение поля скорости сводится к решению линейной начально-краевой задачи для параболического уравнения. При этом решение находится в виде конечных формул (например, стационарное течение Пуазейля) либо в виде рядов по функциям Бесселя. Движение бинарной смеси в слое между двумя коаксиальными цилиндрами с различной температурой с учетом эффекта термодиффузии (эффект Соре) изучалось в [3].

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ МК-299.2009.1 и РФФИ (грант № 08-01-00762).

В [4] приводится постановка начально-краевой задачи, описывающей движение двух неемешивающихея теплопроводных вязких жидкостей с общей поверхностью раздела, В основном эта работа посвящена изучению устойчивости соответствующих движений, В [5-7] дана постановка задачи и выведены уравнения малых возмущений произвольных гладких движений жидкости с общей поверхностью раздела. При этом учитывается эффект термодиффузии.

Сопряженная начально-краевая задача, возникающая при совместном движении двух бинарных смесей с общей границей раздела в плоских и цилиндрических слоях, анализировалась в ряде работ [8-14], где были найдены стационарные и нестационарные решения при заданной температуре твердой стенки, получены априорные оценки возмущений скорости, температуры и концентрации и показано, что при £ — то эти возмущения выходят на стационарный режим,

В настоящей работе изучается сопряженная начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном движении бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела в теплоизолированной цилиндрической трубе под действием градиента давления в смеси. Цель работы состоит в исследовании инвариантного решения поставленной задачи, построении точных решений, а также численном решении задачи.

1. Постановка задачи

Уравнения термодиффузионного движения при отсутствии массовых сил в цилиндрической системе координат г,ц>,г имеют вид

V V2 1/2 и щ + ииг + - и^ + 1ии2--= — рг + V Аи-----

г г р \ /2

V ^ 1 / 2 V \

+ иьг + -ь(р + Н--=--Рр + и [ Аь + — Пу--- ,

Г г/ рГ \ г/2 ' г/2 !

V 1

и)1 + ии)г Н— ио<г, + гмог = — рх + иАи), гр

и1

иг + - + -Ур + Юг = О,

вг + ивг + -в^ + 11)9 х = хЛ 9,

г

V

сь + исг Н— с„ + 11)сх = (1Ас + схс1А9. (1)

г

Здесь и, V, т — проекции вектора скорости на оси г, г соответственно; р — давление; 9,е — отклонения температуры и концентрации от их равновесных значений 90, с0] р — плотность; V — кинематическая вязкость; х ~ температуропроводность; 1 — коэффициент диффузии; а — параметр термодиффузии (нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0 аномальной — а > 0); Д = д2/дг2 + г-1д/дг + г-2д/дф2 + д2/дг2 — оператор Лапласа,

Система (1) допускает двухпараметричеекую подгруппу непрерывных преобразований, порождаемую операторами

д_ д_

д^ dz

где A, B — постоянные, f (t) £ C^ -ние надо искать в виде

A

д_

дв

дд

произвольная функция [15], Инвариантное реше-

п = и(г,г), V = ь(т,1), ш = ш(г,г), р = —р/(г) г + Т>(т,1), 9 = Аг + Т (г,г), с = Бг + К (т,Ь).

Из четвертого уравнения системы (1) следует, что и(т,г) = д(г)/г, где д(г) — некоторая функция. Далее положим д(г) = 0. Кроме того, предположим, что и v(г,t) = 0, Тогда из первого уравнения системы (1) видно, что V есть функция только времени, Т>(г,г) = V(t), и представление решения в этом случае имеет вид

u

0, w = w(r,t), p = —pf (t)z + D(t),

e = Az + T (r,t), c = Bz + K (r,t). (2)

Применим решение (2) для описания однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса b. Пусть смесь занимает область 0 < r < a |z| < то, а вязкая жидкость — цилиндрический слой а < r < b, |z| < то, где Wj(r,t) — осевая скорость j = 1, 2), pj = —pj fj(t)z + Dj (t) — давление, ej = Ajz + Tj (r, t) — распределение температуры, ci = Biz + K(r,t) — распределение концентрации в смеси (рис, 1), Здесь j = 1 соответствует слою смеси, j = 2

на границе раздела r = а линейно зависит от температуры и концентрации

a(e,c) = ао — (гв (e — e0) — Oc(c — со), (3)

где ао > 0 — температурный коэффициент, ас — концентрационный коэффициент (обычно ас < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации), e0,c0 — некоторые постоянные средние значения.

Рис. 1. Схема области течения

На поверхности раздела при г = а выполнены следующие условия [4]:

т1(а, Ь) = т2(а, Ь), Т1(а, Ь) = Т2(а, Ь), к1Т1г (а,Ь) = к2Т2г (а,Ь), Кг (а,Ь) + а{Т1г (а,Ь) = 0, (4)

и, кроме того,

Ь

а1 = а2 = а} /2(*) = р/!(*)--,

Р2а

1ЭД = V!® + - [а0 - ствШа^) - в0) - ас(К(а,1) - с0)] , а

Ь =-авА - (ГсВ1, р = Р1/Р2, (5)

^2Ы2т(а, Ь) - Ц1т1г (а, Ь) = Ь, (6)

где к] — коэффициенты теплопроводности смеси и жидкости. Граничные условия на твердой стенке при г = Ь

ь)2(Ъ,Ь) = 0, Т2г (Ь,Ь) = 0, (7)

т, е, твердая стенка является теплоизолированной.

На оси симметрии ставятся условия ограниченности

1т1(0,Ь)1 < то, 1Т1(0,Ь)1 < то, |К(0,Ь)1 < то. (8)

В начальный момент времени Ь = 0 в жидкости и смеси внезапно возникают распределения температур 9] = А]г и концентрации с1 = В1г. Таким образом, начальные условия имеют вид

(г, 0) = 0, Тз (г, 0) = 0, К (г, 0) = 0. (9)

Выпишем уравнения на искомые функции и], Т], К:

Мц = /¿(¿) + Ч ^згг + ^ ги^ , (10)

Тц = Хз {тзгг + ^ Т^ - Аи)э, (И)

Кг = (¿1 (к„ + а^г (т1гг + ^ - Вцщ. (12)

В (10)—(12) переменная г при ] = 1 изменяется в пределах от 0 до а, а при ] = 2 — аЬ

(6)-(8) и начальными условиями (9), В этом случае давление восстанавливается по формулам р](г,Ь) = —р^¡з(Ь)г + V(Ь), причем функции ¡1(Ь), ¡2(Ь) и 'Р1(Ь), '02(Ь) связаны равенствами (5) и должны задаваться ¡\(Ь) и V1(t).

Замечание. Далее ищется классическое решение, т.е. при ¡] Е С[0,искомые функции т],Т],К Е С1 [0, Ь0] по переменной Ь, т1,Т1,К Е С2(0,а)Р| С1(0,а], т2,Т2 Е С2 (а, Ь) Р| С 1[а, Ь) Р| С (а, Ъ] то перемен пой г.

2. Стационарное решение

Для стационарного решения все искомые функции не зависят от времени; обозначим их через w?(r), T?(r), K0(r). Кроме того, f1 (t) = f? = const D 1 (t) = D? = const. Выпишем соответствующую краевую задачу: при 0 < r < а

1 f о

< + = (13)

r V1

Т?" +

1

T о

А_

X i

w

Kv" + - К

r

о

Bi ai A d 1

X

w

w

< то, ТЩ < то, < то,

при а < r < b

w

2 r

то// + i то/

А X2

w

w0(b) = 0, Т?' (b) = 0, ^2wv<0' (а) — ^ 1 w? (а) = h, w^^(a) = w^0(a), Т0(а) = Т2?(а), k 1Т0 (а) = ЪТ? (а), К0' (а) + а 1Т? (а) = 0,

причем согласно (5)

f0 = pf0 —

h_

Р2а'

о D2

V\ + - [<70 - (JeiT^a) - во) - ac(K°(a) - с0)]

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21) (22)

Общие решения систем (13)—(18) легко находятся (учтены условия ограниченности (16)) в виде

w

г /У 6l~ w

T о

А_ (С\т2

X

f0r4

4

64vi

+ C2

К0

Bi (С\Г

d

Wo = — ■

X fjy

4//0

4

¡У

64//!

C

3,

+ C4 ln r + C5,

T° — — 2 X2

С4Г2 C5r2

(Inr — 1) +

f?r4

+ Co ln r + C7

4 4 4 64у2

с постоянными Сг,...,С7, которые определяются из граничных условий (19), (20) и имеют следующие представления:

^ ^ 1 ^ а2 f f? f?\ ah , а 1 Ci = С4Ы а + С5+ —[ — — —) = -— т + т 4 V V1 V2) 2^2 b 4

а2fi , (b2 — а2)f?

V1

V2

r

r

2

С2 = С7 + С61па + 4— { ттг^" ~ Сг + х

4x1 [ 16ь>1

п2£ о

С4(1па-1) + С5- ]2

16^2

2^2

С6 =

4^2 2^2

АЬ2 (аЬ Ь2 ¡20

8x2 2щ

Граничное условие К0'(а) + а1То'(а) = 0 эквивалентно соотношению

В1 С1 -

81/1

0.

(24)

(25)

(26)

(27)

Заметим, что из (23) С1 = а2¡0/8р1, поэтому го (27) следует, что В1 = 0, Итак, стационарное распределение возмущения концентрации имеет место только при отсутствии ее градиента вдоль оси цилиндра.

Постоянную С3 можно найти, если задать среднюю концентрацию в сечении г = 0,

а

т. е. J гК0(г) ¿г = 0, Отсюда при В1 = 0 о

Сз

аг^а2А 192Х1/Л

[6^(Ь2 - а2) + 5а2].

(28)

Что касается постоянной С7, то она остается произвольной, так как в условия для Т° входят только производные,

Ь = 0,

перепада давления. Приведем вид стационарного решения при Ь = 0 ¡0 = р¡0-

тЛ

л

4и1

Аг2А 16Х1"1 = Аг2рГг 16X2^2 оцАг2^ 16Х1»1

(Ь2 - а2)^ + а2 1 -

Т0

Т0

К0 = -

т0

¡0Ь2^

4ил

1

Ь2

^ = ^1/^2,

а2 + ¡л(Ь2 - а2) -

+ С2,

Ъ2--\+С&\пт + С7)

а2 + Ь2 - а2) -

г 1

С

з,

(29)

где постоянные С2, С6 определяются формулами (24), (26), в которых следует принять

ь = 0, ¡0 = рЦ.

Построим стационарные профили скоростей, температур и концентрации. Для этого необходимо перейти к безразмерным переменным, определяемым формулами

ко

£ = - {¡р. = т0 = К0 -_

? а' 3 /°а2 3' 3 А^а* 3' о^Д/Та4

Основными критериями подобия в рассматриваемой задаче являются р = р1/ р2, V = У1/У2} Х = Х1/Х2, к = к1 /к2,

(30)

2

2

г

г

2

а

а б

О 2 к 10"4 0 5 1 -1 -0 5 2 хЮ"4 ЗхЮ"4

в

Рис. 2. Стационарные профили скоростей (а), температур (б) и концентрации (в)

где р, V, х, к — отношения соответствующих физических параметров смеси и вязкой жидкости.

Стационарные профили скоростей, температур и концентрации представлены на рис. 2. В расчетах использовались следующие значения параметров: Ь = 1.01, а = 1.0, р = 0.5, V = 0.02, х = 0.01 к = 0.5. Так как слой вязкой жидкости достаточно тонкий по сравнению со слоем бинарной смеси, то масштаб на осях координат выбирается различным образом. Из рисунка видно, что поля скоростей для стационарного движения будут такими же, как у течения Пуайзеля,

3. Решение нестационарной задачи

Для решения нестационарной задачи применяется метод преобразования Лапласа.

Можно видеть, что при заданных f\(t), Dl(t) задачи для скор остей wl,w2, температур Tl, T2 и концентрации K решаются последовательно. Начально-краевая задача для функций Wj (r, t) имеет вид

wu = (wirr + i Wirj + fi(t), 0 < r < a, (32)

w2t = v2 ^w2rr + ^ + /2 (i), a <r <b, (33)

1

r

wl(r, 0) = 0, w2(r, 0) = 0, (34)

wl(a,t) = w2(a,t), ß2w2r(a,t) — ßlwlr (a,t) = 0, (35)

|wi(0,t)| < 00, w2(b,t) = 0. (36)

Положим (при условии существования ,й]Г,т

jrr )

Wj(r,p) = Wj (r,t)e pt dt.

(37)

Тогда задача (32)—(36), где ¡2 = р¡1, сводится к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений

1 ~ Р ~

w\rr Н— w\r--w 1

Г Vi

ш.

V\

h(p)

1 ~ Р ~

W2rr + - W2r--W2 = ~

Г V2 V2

0 < r < a,

a < r < b,

Wi(a,p) = W2(a,p), ^2W2r (a,p) = ^iWir(a,p), lWi(0,p)l < то, W2(b,p) = 0. Общие решения уравнений (38) легко выписать:

w 1 = Clio

г + Vi ) p

p

Из граничных условий (39), (40) получим

-- Ш ko(z)

p

/2-/1

Р 0

-Io(y) -Ko(y) -Ii(y) Ki(y)

f2

Io(x)

'V

p

/2-/1 p

0

Io(z) -Io(y)

Ko(z)

-Ko(y) Ki(y)

i2

Io(x)

p

/2-/1

P 0

a

0 Io(z) Ko(z)

Io(x) -Io(y) -Ko(y)

^h(x) -h(y) Ki(y)

V

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

0

0

где /1 = ¡11/112, V = 1/1/1/2, ж = ал/р/уг, у = а^/р/щ, г = Ъ^/р/щ, К) Бееееля первого и третьего рода мнимого аргумента.

Начально-краевая задача для функций Т (г, ¿) имеет вид

Тц = XI \ T\rr + ^ ТгЛ - 0 < г < а,

функции

(47)

Ты = Х2 (тзгг + ^ - Ат2(г, а <г <Ь,

Тх(а,Ь) = Т2(а,£), ^Т^. (а,£) = к2Т2Г (а,£), Т2г(Ь,*) = 0, |Т1(0, ¿)| < то, Т1(г, 0) = 0, Т2(г, 0) = 0.

(48)

(49)

(50)

(51)

Применение преобразования Лапласа к этой задаче сводит ее к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений

~ 1 ~ р ~ А

Т1гг Н— Т1г--Тх = — й)1, 0 < г < а,

г Х1 Х1

~ 1 ~ р ~ А

Т2гг + ~ Т2г--Т2 = — ги2, а < г <Ъ,

г Х2 Х2

к1

Т\(а, р) = Т2(а, р), кТ1г(а,р) = Т2г(а,р), к = —

к2

Т2г(Ь,р) = 0, |Т1 (0,р)| < то.

(52)

(53)

(54)

(55)

Здесь гу1(г,р^ гу2(г,р) находятся по формулам (41)-(46). Общие решения уравнений (52), (53) при v1 = хь v2 = х2 имеют вид

таг ( А АС<1 1и( [У г

1 1 XI / V2 РХ1(!/Х1 - 1М) 0 \У

Т2 (г, р) = ^2/0 АС2

г +

р \ лш.

Х2 / Р2

рХ2(1/Х2 - 1/^'2) рХ2(1/Х2 - 1/v2)

(56)

т.е. числа Прапдтля смеси и жидкости не равны единице. Из граничных условий (54), (55) получим

' Н1 -/оЫ -Ко(у1)

А1

Н2

'—/1(^1) -.¡-Ыг,)

х2 х2

р

р

Нз -. -ДЫ к -КМ

х2

х2

1

где

°2 = д;

Ат

10(Х1) Н1 -К0(у1)

О #2 -Жк^)

__V Х2

Р г / \ тт ПР~

V Х2

-Ш)

—Ь(х1) Я3 Х1

10 (Х1) 0

К1(у1) Н1

— 1М) я2

Х2

кЖьы -Жьы #з

V Х1 V Х2

А1

-10(У1) -К0(У1)

О Ж1М) -Жыгг)

V Х2 V Х2

кЖ^х,) -Жьы Ж КМ

Х1 Х2 Х2

= ау/р/хъ У1 = ал/р/х 2, = Ьл/р/х2,

ч А(Щ-Ш) ,

Л1 = -о--Ь

АС1

Г РХ1(!/Х1 - 1/^1)

/п (4 / — а ) -Vl

АС2 / / /У \__ли'з ^ / 1р_а

РХг(1/Х2 - 1/^г) ° \У У РХг(1/Х2 - 1/Ы ° \У ^2

Н

2=

ЛС2 л / /У Л__АС3

К1

Н

з=

Л / /Жа)_

АС2

IV а

АСз

у/РХ2{ 1/Х2 -

(57)

(4/— а

V2

(58)

Если v1 = Хь v2 = х2-, т0 решение (3) надо изменить следующим образом:

Т( \ пт\[р\ -4/1 (р) , АС1Г т

Т2(г,р) = В210 +О3К0

г

Vl

Л/2 (Р)

р2

АС2Т

г

АСзг

К1

2Л/р/и2Х2 \\ ^2 ) 2Л/р/и2Х2 \У ^2 Начально-краевая задача для функции К(г,Ь) имеет вид

(59)

V А I V , 1 к \ , гт , А«1^1

= ¿1 \К„ + - Кг М--Ти Н--и)1}

г Х1 Х1

г

f

г

К (г, 0) = 0, (61)

Кг (а, ¿) + а1Т1г (а, ¿) = 0, (62)

|К(0,*)| < то. (63)

Применяя к задаче (60)-(63) преобразование Лапласа, получим для изображения К(г,р)

Аа1

задачу

Кг

1

Р

«1 р г -11--

Х1 Х1

r d1

К (a,p) + a1TZ11r (a,p) = 0 |KK(0,p)| < TO. Решение уравнения (64) с учетом (66) имеет вид

ГР

W1 = F(r,p), 0 < r < а,

КК (r,p) = L1/0

r +

(64)

(65)

(66)

yF (y,p)

с постоянной L1; определяемой из граничного условия (65):

L1 = -

hlJ^a

-1

yF (y,p)

d1

d1

(67)

dy + aiJ^T[(a,p)

(68)

С помощью полученных формул для изображений показывается, что если lim / (t) =

/ = const = 0, то

t—^^o

lim wj(r,t) = w0(r), lim Tj(r,t) = T°(r), lim К(r,t) = K0(r),

где w0(r), Tj0(r), К0(r) — суть стационарное решение (29), Последний предел имеет место только при B1 = 0 [13],

Таким образом, если градиент давления имеет ненулевой предел при t — то, то возмущения скоростей, температур и концентрации стремятся к стационарному распределению, Иначе говоря, поля скоростей в пределе будут такими же, как у течения Пуайзеля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате.

Полученные формулы в изображениях по Лапласу были использованы для численного нахождения полей скоростей, температур и концентрации при заданном перепаде давления в смеси. Численные расчеты проводились в безразмерных переменных, определяемых формулой (30), при этом безразмерное время вводилось соотношением t

V1

РГ1 = V1/X1, РГ2 = V2/X2, SC1 = V1/d1, где РгьРг2 — числа Прандтля смеси и жидкости, Sc1 — число Шмидта смеси.

r

а

б

в

Рис. 3. Профили скоростей (а), температур (б) и концентрации (в) в различные моменты времени: а-т = 0.08 (1), т = 2.5 (2), т = го (3); б -т = 0.08(1), т = 0.5 (2), т = го (3); в — т = 0.08(1), т = 2.5 (2), т = го (3)

Результаты численного обращения преобразования Лапласа, приведенные на рис, 3, подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим (29), В расчетах использовались следующие значения параметров: b = 1.01, a = 1.0, p = 0.Б, v = 0.02, X = 0.01, k = 0.5, P rl = 0.2, P Г2 = 1.4, S Cl = 0.Б, fl(t) = l + exp(^t) sin wt, где Л = 1.0, ш = 1.0.

Таким образом, в работе изучено инвариантное решение задачи о совместном движении бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе, которое происходит под действием продольного градиента давления в смеси. Найдено стационарное состояние системы и показано, что оно является предельным при t ^ то, если градиент давления стабилизируется по времени на бесконечности.

Автор выражает благодарность В,К, Андрееву и И,И, Рыжкову за помощь в постановке задачи и полезные советы при работе над статьей.

Список литературы

[1] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 848 с.

[2] Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 760 с.

[3] Ryzhkov I.I. On double diffusive convection with Soret effect in a vertical layer between co-axial cylinders // Phvs. D. 2006. Vol. 215. P. 191-200.

[4] Андреев B.K., Захватаев B.E., Рявицкий E.A. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. 280 с.

[5] Андреев В.К., Рявицкий Е.А. Малые возмущения термокапиллярного движения в случае цилиндра. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

[6] Андреев В.К. Малые возмущения термокапиллярного течения жидкости с поверхностью раздела // Тр. семинара "Математическое моделирование в механике". Т. 1. Красноярск: ИВМ СО РАН, 1997.

[7] Андреев В.К. Линеаризованная задача о малых возмущениях движения жидкости с поверхностью раздела при наличии эффекта Соре // Тр. семинара "Математическое моделирование в механике". Т. 3. Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999.

[8] Ефимова М.В. Эволюция возмущений движения бинарных смесей с плоской границей раздела под действием перепада давления и концентрационных сил. Красноярск, 2007. 40 с. (Препр. ИВМ СО РАН, № 4).

[9] Андреев В.К. О свойствах решения краевой задачи совместного движения двух бинарных смесей // Тр. ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13, № 4. С. 14-26.

[10] Андреев В.К. Эволюция совместного движения двух вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое под действием нестационарного перепада давления // ПМТФ. 2008. Т. 49, № 4. С. 94-107.

[11] Andreev V.K. The joint of two binary mixtures in a flat layer //J. Siberian Federal Univ. Mathem. and Phvs. 2008. No. 1(4). P. 349-370.

[12] Андреев B.K. О неравенстве типа Фридрихса для составных областей // Ibid. 2008. No. 2(2). P. 146-157.

[13] Андрее в В.К., Совачкина Н.Л. Свойства решений начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе. Красноярск, 2009. 40 с. (Препр. ИВМ СО РАН, № 1).

[14] Картошкина А.Е. Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей. Красноярск, 2006. 24 с. (Препр. ИВМ СО РАН, № 4).

[15] Андреев В.К., Гапоненко Ю.А. Математическое моделирование конвективных течений: Учеб. пособие. Красноярск: КрасГУ, 2006. 392 с.

[16] Крылов В.И., Сковля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974. 224 с.

Поступила в редакцию 28 августа 2010 г., с доработки — 18 октября 2010 г.