Совместное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости под действием термоконцентрационных сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 18, № 3, 2013

Совместное движение бинарной смеси и вязкой

теплопроводной жидкости под действием

>к

термоконцентрационных сил*

М. В. ЕФИМОВА

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия

e-mail: efmavi@icm.krasn.ru

Исследовано однонаправленное движение двухслойной системы жидкостей с общей поверхностью раздела в слое, ограниченном твёрдыми стенками. Источником движения являются термоконцентрационные эффекты на поверхности раздела. Найдено решение начально-краевой задачи для определения скорости, температуры и концентрации в слоях. Показано, что в стационарном случае в системе реализуется течение типа течения Куэтта. С ростом времени возмущения скорости и температуры выходят на стационарный режим. Для концентрации это справедливо только в случае, если её продольный градиент равен нулю.

Ключевые слова: начально-краевая задача, преобразование Лапласа, бинарная смесь, термоконцентрационный эффект.

Введение

Конвекция, приводящая к переносу массы, тепла и других физических величин, представляет собой явление, важное как в фундаментальной науке, так и в плане практического применения. При изучении этого явления отдельное внимание уделяется исследованиям термоконцентрационных эффектов, вызывающих конвективные течения. Так, в [1] приведена постановка начально-краевой задачи, описывающей движение двух несмешивающихся вязких теплопроводных жидкостей с общей поверхностью раздела. В основном данная монография посвящена исследованию устойчивости соответствующих течений. В работе [2] анализировалось движение двух вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое под действием перепада давления. Однонаправленное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе под действием градиента давления рассмотрено в [3]. В приложениях часто возникают ситуации совместного движения трёх жидкостей, контактирующих по некоторым поверхностям; одна из таких задач изучалась в [4].

В настоящей работе исследуется сопряжённая начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном движении бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела под действием термоконцентрационных сил.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00283) и проектов № 38, № 116 фундаментальных исследований СО РАН.

1. Постановка задачи

Рассмотрим совместное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела. Обозначим через П1 область, занятую бинарной смесью, — область с вязкой теплопроводной жидкостью, Г — поверхность раздела. Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры 9 и концентрации с, причём для многих жидких сред он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью [1]

а(9, с) = ао - ^(9 - 9о) - «2(с - со),

где а0 = а(90,с0), > 0 — температурный коэффициент, ж2 — концентрационный коэффициент (обычно ж2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации).

Будем считать, что в начальный момент времени смесь заполняет слой -11 < у < 0, а вязкая жидкость — слой П2: 0 < у < 12. Система находится в покое, и при Ь = 0 во всем пространстве мгновенно создаются поля температур 9у = Лу х и концентрации с1 = Вх, где Лу ,В — постоянные, ] = 1, 2. Термоконцентрационный эффект вызывает однонаправленное движение системы, в которой поверхностью раздела останется плоскость у = 0. В такой интерпретации решение задачи будем искать в виде

Щ = Щ (У,Ь), 9 у = Л у х + Ту (у,Ь), с1 = Вх + К1(у,Ь).

Функции щ , Ту, К1 можно назвать возмущениями состояния покоя смеси и жидкости.

В данном предположении система уравнений термодиффузионного движения имеет следующий вид:

щг = ц Щуу, (1)

ТИ = ХзТууу - ЛЩ, (2)

Кц = (1^1уу + а^^уу - Bul (3)

при -11 < у < 0 (] = 1), 0 < у < 12 (] = 2). Здесь V — коэффициент кинематической вязкости, Ху — коэффициент температуропроводности, ( 1 — коэффициент диффузии, а1 — параметр термодиффузии, индекс у означает дифференцирование по поперечной координате у.

На поверхности раздела выполнены условие равенство скоростей и динамическое условие

щ(0,Ь) = и2(0,Ь), р2^и2у(0,Ь) - р1ЩЩу(0,Ь) = -Ж1Л - ^2В = Н, (4)

где р1, р2 — плотности в слое П1, П2 соответственно. Условие непрерывности температур и равенства потоков тепла имеет вид

№у (0,Ь) = ВДу (0,1), Т1(0,Ь) = Т2(0,Ь), (5)

здесь к1,к2 — коэффициенты теплопроводности в слое , П2 соответственно. Ещё одно условие — отсутствие потока вещества через границу раздела

К1у (0,Ь) + а1Т1у (0,Ь) = 0. (6)

В равенстве (2) Л = Л1 = Л2 (следствие равенства температур при у = 0).

К условиям (4)-(6) необходимо добавить условия на твёрдых стенках у = -1\, у = /2:

щ{-1ъг) = 0, И2(М) = 0 - (7)

условия прилипания,

г1(-г1,^) = о, Г2(/2,*) = о - (8)

задание нулевых возмущений температуры,

(К1у + а^у)

=0

у=-к

отсутствие потока смеси сквозь твердую стенку. Для полной постановки задачи примем начальные условия

щ(у, 0) = 0, Т(у, 0) = 0, К1(у, 0) = 0. (10)

Все физические характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации.

Уравнения (1)-(3) с граничными условиями (4)-(10) образуют три последовательно решаемые задачи для функций (щ, «2), (Т1,Т2), К1.

2. Стационарное течение

Предположим, что все параметры, характеризующие течение в слоях, не зависят от времени, тогда начальные условия (10) не учитываются. В этом случае краевая задача (1)—(9) значительно упрощается. Её решение показывает, что в системе реализуется течение типа течения Куэтта и распределение температуры в слоях описывается полиномами третьего порядка

Щ = + у), «0 = - £), (11)

Т0(у) = - (£ + у2) + а1у + «2,

где

Х1 \611 2

Т0(у) = — (-^ + ^ + к«1у + «2, (12)

Х2 \ 6/2 2 /

Н/

а =--т-тг", Н = -(^А + Ж2 В1),

+ 1)

аА^/2 - х) аА/^к/ + х)

а1 = ~т;—71->\—, а2 —

3Х1(к + /) ' 2 3х1(к + 1) постоянные, найденные из граничных условий. Здесь введены обозначения / = /1//2, х

Х1/Х2, к = ^1/^2, ^ = ^1/^2.

Интегрирование уравнения для определения концентрации даёт зависимость

(В - ОА) а (£ + £) + * + Ь2.

а б в

Рис. 1. Стационарные профили скоростей (а), температур (б) и концентрации (в)

Из граничного условия на поверхности раздела определим, что Ъ1 = — а\а\. Граничное условие на твёрдой стенке выполняется только при В = 0. Значит, стационарное распределение концентрации в слое имеет место только при отсутствии её градиента в начальный момент времени в направлении движения. При В = 0 распределение концентрации может быть только нестационарным. Постоянную Ъ2 определим, если зададим среднюю концентрацию в сечении х = 0

о

У ко Шу = 0.

-1г

Таким образом, стационарное распределение концентрации (В = 0) в слое описывается многочленом третьего порядка

о

^о «1А / У3 , У2^ , агаА12 [ 1 I2 — х ,

К = — НАЧ У1 + -2) — а1а1У + "ХТ" 11— «№+) 1. (13

Для построения стационарных профилей скоростей, температур и концентрации перейдём к безразмерным переменным, определяемым формулами

о

« = У • й' = — Т • Т = К = — ОААк'0 (14)

Стационарное распределение скоростей, температур и концентрации представлено на рис. 1. Для расчётов была выбрана система этанол — вода и бензол с физическими свойствами х = 1.104, I = 1, V = 2.965, р = 1.104, а1 = 0.26, к = 3.082.

3. Решение нестационарной задачи

Для исследования нестационарных процессов при решении линейных начально-краевых задач в математике, механике и технике хорошо зарекомендовали себя операционные

методы на основе интегрального преобразования Лапласа, которое определяется формулой

сю

f (p) = / e-p7(t) dt, (15)

0

где f (p) — изображение функции f (t), f (t) — оригинал для f (p). Как правило, перевод в область изображений производится по переменной времени.

Основное свойство преобразования Лапласа, используемое далее, заключается в следующем предельном соотношении.

Теорема. Если f (t) является оригиналом и f (p) — изображение f (t), то

lim pf (p) = f (0),

p^-c

г^е p —^ то внутри угла | argp| < n/2 — # и f (0) = ^lim^ f (t); если, кроме того, существует lim f(t) = f(то), то

lim pf (p) = f (то)

г^е p — 0 внутри того же угла.

Доказательство утверждения и условие применимости формулы (15) описано в [5].

3.1. Определение нестационарного поля скоростей

В результате применения преобразования Лапласа к равенствам (1), (4), (7) приходим

к краевой задаче для изображений скорости Uj(y,p)

p

u/--ut = 0, —Zt < y < 0, Ui(—Zi,p) = 0,

vi

p

Uo--U2 = 0, 0 < y < I2; U2(Z2,p) = 0,

H

U"(0,p) = u2 (0,p), ß2u'2(0,p) — ^1U/i(0,p) = —. (16)

p

Здесь и далее штрих означает дифференцирование по у. Решение задачи (16) находится в виде

л/^ H rp>~

Ui(y,p) =--ATw/ 2 , sh\/ V7 (li + y), —li <y< 0,

ß2 Vp3 Wi (p) ch vV- i11 V vi 4 Vv2 H t^V/pVrT li 1 IT n Ч П/

u2(y,p) =--^ ^v v (l2 — У), 0 < у < l2,

ß2 VT3 Wi (p) s^pv2 T l2 V v2

где

Wi(p) = -ß= + th A /^li cth A /pz2. V v V Vi V V2

С учётом асимптотических представлений shx ~ x + x3/6, ch ж ~ 1 + x2/2 при ж — 0 и равенства pv = ß получим

lim pui(y,p) = — - T

p^0 ' ß2 (pv +1)

1+y

= ui(y), (17)

Ит рЙ2(у,р) =--,Я11, л

Р^0 + 1)

1 - У

¿2

= «2 (у).

:18)

Таким образом, согласно теореме 1, с ростом времени решение задачи (16) выходит на стационарный режим и0(у), и°(у), определяемый равенством (11).

3.2. Определение температурных возмущений

Применение преобразования Лапласа к формулам (2), (5), (8) приводит к краевой задаче для изображений возмущений температур

Т" - — Т Х1

р ~ А«1(у,р)

х1

, —¿1 <у< 0,

гТ// Р Т _

Т 2--Т 2 =

2 х2

А«2(у,Р) Х2

, 0 < у < ¿2,

^(0,р) = ТТ2(0,р), кТ (0,р) = Т2 (0,р), Т1(-/1,р) = 0, Т2 (¿2, р) = 0. Решение задачи (19) определяется в виде

Т(у,р) = ¿1 бЬ,/ —у + ¿2 сЬА/ — у+ х1 х1

49)

А

Vрх-1

х

и1(г,р) йЬ

-¿1

— (у - г) х1

Тг(у,р) = ¿3 вЬА/ —у + ¿4 сЬА/ — у+ х2 х2

(20)

А

Х2\[рХ

-1 2

и2 (г,р) йЬ

'— (у - г) х2

(21)

Коэффициенты = ¿¿(р), г = 1, 4, находятся из граничных условий и задаются формулами

= с'(р)- в2<р>, = и й, Мь, ь3 = -к=ь1 - сь

ИЪ(р) V Х1 -X

¿4 — ¿2 -

-, [ и1(г,р) бЬ , /-^г^г.

х^рх- I Vх1

-¿1

В формулах (22) введены обозначения

кА / х2 (* I р

в1 (р) =--4 — и1(г,р) сЬ , — г^г,

х1 V р J V х1

-¿1

(22)

в2(р) = - А^^¿2 /«1(г,р) бЬ

х^л/рхТ1 I V х1

У

У

о

A

X2V/pX-T sWpx-1 l

u2(z,p) sh

p

— (l2 — z) X2

dz,

W2(p) = + th, /^li cth, /^¿2. л/х V xi V X2

(23)

Покажем, что lim Tj(y, t) = T?°(y). Для этого достаточно вычислить пределы limpTj(y,p)

t

p—0

В качестве примера приведём расчёты для ^ = 1. С этой целью, используя (22), несколько преобразуем выражение (20):

Т1(У,р = , ^ 1—/—г, — (У +11)+ ^(р) с^^РХТ11г УХ1

A

Xiv7^"1p

ut(z,p) sh

-¿i

'— (y — z)

Xi

dz.

(24)

Далее, учитывая равенства (17), (18), (23) при p — 0 (shx ~ x, chx ~ 1, x — 0) получим

W2(p) ~ k +l, pGi(p) ~ — kA

pG2 (p)

л/Х A

XiVX- tp

u0(z) dz,

-ii

XiWpx-1

0 ¿2 — J^ u0(z)zdz + xJ u0(z)(l2 — z) dz -i1 0

Подстановка эквивалентных выражений в (24) даёт

f ( )= AHlil2(3fcl + lil + 2X)(y + li) AHli Г + y2 + yli + ¿t p— i(y,p) 6ß2Xi(ß + l)(k +1) ß2 Xi(ß + ZK6li 2 2 6

что совпадает с TT0(y) из формулы (12).

Аналогично показывается, что limpT2(y,p) = T2 (y). Таким образом, температурные

p—^0

возмущения с ростом времени выходят на стационарный режим, определяемый формулами (12).

2

y

0

3.3. Определение возмущения концентрации

При анализе задачи для определения возмущения концентрации (3), (6), (9) удобно ввести замену Р = К1 + а1Т1. Тогда начально-краевая задача преобразуется к виду

Р = ^ + а Туу - Вм1,

Ру (0,*) = 0, Ру (-/ь*) = 0,

р (у, 0) = 0.

Решение задачи в изображениях по Лапласу будет следующим:

y

~ /Р /Р d i /

F(y,p) = D 1 sh w — y + D2 ch w — y +W— h(z,p) sh

V d 1 V d 1 V p j

' -ii

'dt(y - z)

dz,

(25)

где

h = -apTi + 1, Dj = Dj(p), j = 1, 2. d d

После подстановки (25) в граничные условия находим

D1(p) = — /— f h(z,p) ch,/-^zdz, pd1 ' -ii

I— _ о _

d1 p p D2(p) = — W — cthw — l1 I h(z,p) chw — zdz. p d1 d1 ' -ii

Далее для исследования функции F(y,p) рассмотрим limp_P1(y,p). Для этого перепишем (25) в виде

~ [Z СЧ di (y +11) о rf

F(y, p) = — W----=- h(z,p) ch л — z dz+

Vp sh, /dil i Vd1

p 1 -ii

dp i h(z,p) sh

'dt(y—z)

dz.

Учитывая limpu 1(y,p) = u0(y), limpT\(y,p) = T°(y) и асимптотические разложения shx, chx при x ^ 0, получим (см. теорему)

lim pF1(y,p)

p^0

a 1aAl2 a 1a1l 1

"8X7

,

+ a1a2, если В = 0, если B = 0.

Постоянные a,a1,a2 определены выше.

Так как K1 = F — a1T1, то получим, что с ростом времени возмущение концентрации выходит на стационарный режим при условии отсутствия её градиента в начальный момент времени, т.е. limpKK1 (y,p) = K°(y), где K°(y) определяется формулой (13).

4. Результаты численных расчётов

Полученные формулы в изображениях по Лапласу были использованы для численного нахождения полей скорости, температур и концентрации. Численные расчёты проводились в безразмерных переменных (14). При этом безразмерное время вводилось

соотношением т = -ртс.

¿2

-ii

Рис. 2. Нестационарные профили скорости (а), температуры (б) и концентрации (в) в разные моменты времени

Результаты численного обращения преобразования Лапласа, приведённые на рис. 2, подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим. При этом время выхода для скорости, температуры и концентрации различно. Для скорости оно составляет т3 = 8, для температуры — т3 = 68, для концентрации — т3 = 1000.

Автор выражает благодарность д-ру физ.-мат. наук, профессору В.К. Андрееву за помощь в постановке задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы

[1] Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рявицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. 280 с.

[2] Андреев В.К. Эволюция совместного движения двух вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое под действием нестационарного градиента давления // ПМТФ. 2008. T. 49, № 4. C. 94-107.

[3] Совачкина Н.Л. О совместном движении бинарной смеси и вязкой жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе // Вычисл. технологии. 2011. T. 16, № 4. C. 120-133.

[4] Лемешкова Е.Н. Прямая и обратная задача о совместном движении трёх вязких жидкостей в плоских слоях // Журн. СФУ. Математика и физика. 2011. T. 4, № 3. C. 363-370.

[5] Лаврентьев М.А., Шават Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

Поступила в 'редакцию 25 февраля 2013 г., с доработки — 22 апреля 2013 г.