Научная статья на тему 'Совместное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости под действием термоконцентрационных сил'

Совместное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости под действием термоконцентрационных сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
71
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА / БИНАРНАЯ СМЕСЬ / ТЕРМОКОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ЭФФЕКТ / INITIAL-BOUNDARY PROBLEM / LAPLACE TRANSFORMATION / BINARY MIXTURE / THERMOCONCENTRATION EFFECT

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ефимова Марина Викторовна

Исследовано однонаправленное движение двухслойной системы жидкостей с общей поверхностью раздела в слое, ограниченном твёрдыми стенками. Источником движения являются термоконцентрационные эффекты на поверхности раздела. Найдено решение начально-краевой задачи для определения скорости, температуры и концентрации в слоях. Показано, что в стационарном случае в системе реализуется течение типа течения Куэтта. С ростом времени возмущения скорости и температуры выходят на стационарный режим. Для концентрации это справедливо только в случае, если её продольный градиент равен нулю.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Flow of a binary mixture and a viscous liquid under the thermoconcentration forces

One-dimensional flow of a two layer fluid system bounded by the interface and rigid walls is studied. The motion is generated by the thermoconcentration forces. The solution of the initial boundary value problem for determining the velocity, temperature and concentration in the layers is obtained. It is shown that Couette flow realizes in the stationary case. The perturbations of the velocity and temperature converge to stationary solution when time is increasing. The same statement for concentration is valid if longitudinal gradient for concentration vanishes.

Текст научной работы на тему «Совместное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости под действием термоконцентрационных сил»

Вычислительные технологии

Том 18, № 3, 2013

Совместное движение бинарной смеси и вязкой

теплопроводной жидкости под действием

термоконцентрационных сил*

М. В. ЕФИМОВА

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия

e-mail: [email protected]

Исследовано однонаправленное движение двухслойной системы жидкостей с общей поверхностью раздела в слое, ограниченном твёрдыми стенками. Источником движения являются термоконцентрационные эффекты на поверхности раздела. Найдено решение начально-краевой задачи для определения скорости, температуры и концентрации в слоях. Показано, что в стационарном случае в системе реализуется течение типа течения Куэтта. С ростом времени возмущения скорости и температуры выходят на стационарный режим. Для концентрации это справедливо только в случае, если её продольный градиент равен нулю.

Ключевые слова: начально-краевая задача, преобразование Лапласа, бинарная смесь, термоконцентрационный эффект.

Введение

Конвекция, приводящая к переносу массы, тепла и других физических величин, представляет собой явление, важное как в фундаментальной науке, так и в плане практического применения. При изучении этого явления отдельное внимание уделяется исследованиям термоконцентрационных эффектов, вызывающих конвективные течения. Так, в [1] приведена постановка начально-краевой задачи, описывающей движение двух несмешивающихся вязких теплопроводных жидкостей с общей поверхностью раздела. В основном данная монография посвящена исследованию устойчивости соответствующих течений. В работе [2] анализировалось движение двух вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое под действием перепада давления. Однонаправленное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе под действием градиента давления рассмотрено в [3]. В приложениях часто возникают ситуации совместного движения трёх жидкостей, контактирующих по некоторым поверхностям; одна из таких задач изучалась в [4].

В настоящей работе исследуется сопряжённая начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном движении бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела под действием термоконцентрационных сил.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00283) и проектов № 38, № 116 фундаментальных исследований СО РАН.

1. Постановка задачи

Рассмотрим совместное движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела. Обозначим через П1 область, занятую бинарной смесью, — область с вязкой теплопроводной жидкостью, Г — поверхность раздела. Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры 9 и концентрации с, причём для многих жидких сред он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью [1]

а(9, с) = ао - ^(9 - 9о) - «2(с - со),

где а0 = а(90,с0), > 0 — температурный коэффициент, ж2 — концентрационный коэффициент (обычно ж2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации).

Будем считать, что в начальный момент времени смесь заполняет слой -11 < у < 0, а вязкая жидкость — слой П2: 0 < у < 12. Система находится в покое, и при Ь = 0 во всем пространстве мгновенно создаются поля температур 9у = Лу х и концентрации с1 = Вх, где Лу ,В — постоянные, ] = 1, 2. Термоконцентрационный эффект вызывает однонаправленное движение системы, в которой поверхностью раздела останется плоскость у = 0. В такой интерпретации решение задачи будем искать в виде

Щ = Щ (У,Ь), 9 у = Л у х + Ту (у,Ь), с1 = Вх + К1(у,Ь).

Функции щ , Ту, К1 можно назвать возмущениями состояния покоя смеси и жидкости.

В данном предположении система уравнений термодиффузионного движения имеет следующий вид:

щг = ц Щуу, (1)

ТИ = ХзТууу - ЛЩ, (2)

Кц = (1^1уу + а^^уу - Bul (3)

при -11 < у < 0 (] = 1), 0 < у < 12 (] = 2). Здесь V — коэффициент кинематической вязкости, Ху — коэффициент температуропроводности, ( 1 — коэффициент диффузии, а1 — параметр термодиффузии, индекс у означает дифференцирование по поперечной координате у.

На поверхности раздела выполнены условие равенство скоростей и динамическое условие

щ(0,Ь) = и2(0,Ь), р2^и2у(0,Ь) - р1ЩЩу(0,Ь) = -Ж1Л - ^2В = Н, (4)

где р1, р2 — плотности в слое П1, П2 соответственно. Условие непрерывности температур и равенства потоков тепла имеет вид

№у (0,Ь) = ВДу (0,1), Т1(0,Ь) = Т2(0,Ь), (5)

здесь к1,к2 — коэффициенты теплопроводности в слое , П2 соответственно. Ещё одно условие — отсутствие потока вещества через границу раздела

К1у (0,Ь) + а1Т1у (0,Ь) = 0. (6)

В равенстве (2) Л = Л1 = Л2 (следствие равенства температур при у = 0).

К условиям (4)-(6) необходимо добавить условия на твёрдых стенках у = -1\, у = /2:

щ{-1ъг) = 0, И2(М) = 0 - (7)

условия прилипания,

г1(-г1,^) = о, Г2(/2,*) = о - (8)

задание нулевых возмущений температуры,

(К1у + а^у)

=0

у=-к

отсутствие потока смеси сквозь твердую стенку. Для полной постановки задачи примем начальные условия

щ(у, 0) = 0, Т(у, 0) = 0, К1(у, 0) = 0. (10)

Все физические характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации.

Уравнения (1)-(3) с граничными условиями (4)-(10) образуют три последовательно решаемые задачи для функций (щ, «2), (Т1,Т2), К1.

2. Стационарное течение

Предположим, что все параметры, характеризующие течение в слоях, не зависят от времени, тогда начальные условия (10) не учитываются. В этом случае краевая задача (1)—(9) значительно упрощается. Её решение показывает, что в системе реализуется течение типа течения Куэтта и распределение температуры в слоях описывается полиномами третьего порядка

Щ = + у), «0 = - £), (11)

Т0(у) = - (£ + у2) + а1у + «2,

где

Х1 \611 2

Т0(у) = — (-^ + ^ + к«1у + «2, (12)

Х2 \ 6/2 2 /

Н/

а =--т-тг", Н = -(^А + Ж2 В1),

+ 1)

аА^/2 - х) аА/^к/ + х)

а1 = ~т;—71->\—, а2 —

3Х1(к + /) ' 2 3х1(к + 1) постоянные, найденные из граничных условий. Здесь введены обозначения / = /1//2, х

Х1/Х2, к = ^1/^2, ^ = ^1/^2.

Интегрирование уравнения для определения концентрации даёт зависимость

(В - ОА) а (£ + £) + * + Ь2.

а б в

Рис. 1. Стационарные профили скоростей (а), температур (б) и концентрации (в)

Из граничного условия на поверхности раздела определим, что Ъ1 = — а\а\. Граничное условие на твёрдой стенке выполняется только при В = 0. Значит, стационарное распределение концентрации в слое имеет место только при отсутствии её градиента в начальный момент времени в направлении движения. При В = 0 распределение концентрации может быть только нестационарным. Постоянную Ъ2 определим, если зададим среднюю концентрацию в сечении х = 0

о

У ко Шу = 0.

-1г

Таким образом, стационарное распределение концентрации (В = 0) в слое описывается многочленом третьего порядка

о

^о «1А / У3 , У2^ , агаА12 [ 1 I2 — х ,

К = — НАЧ У1 + -2) — а1а1У + "ХТ" 11— «№+) 1. (13

Для построения стационарных профилей скоростей, температур и концентрации перейдём к безразмерным переменным, определяемым формулами

о

« = У • й' = — Т • Т = К = — ОААк'0 (14)

Стационарное распределение скоростей, температур и концентрации представлено на рис. 1. Для расчётов была выбрана система этанол — вода и бензол с физическими свойствами х = 1.104, I = 1, V = 2.965, р = 1.104, а1 = 0.26, к = 3.082.

3. Решение нестационарной задачи

Для исследования нестационарных процессов при решении линейных начально-краевых задач в математике, механике и технике хорошо зарекомендовали себя операционные

методы на основе интегрального преобразования Лапласа, которое определяется формулой

сю

f (p) = / e-p7(t) dt, (15)

0

где f (p) — изображение функции f (t), f (t) — оригинал для f (p). Как правило, перевод в область изображений производится по переменной времени.

Основное свойство преобразования Лапласа, используемое далее, заключается в следующем предельном соотношении.

Теорема. Если f (t) является оригиналом и f (p) — изображение f (t), то

lim pf (p) = f (0),

p^-c

г^е p —^ то внутри угла | argp| < n/2 — # и f (0) = ^lim^ f (t); если, кроме того, существует lim f(t) = f(то), то

lim pf (p) = f (то)

г^е p — 0 внутри того же угла.

Доказательство утверждения и условие применимости формулы (15) описано в [5].

3.1. Определение нестационарного поля скоростей

В результате применения преобразования Лапласа к равенствам (1), (4), (7) приходим

к краевой задаче для изображений скорости Uj(y,p)

p

u/--ut = 0, —Zt < y < 0, Ui(—Zi,p) = 0,

vi

p

Uo--U2 = 0, 0 < y < I2; U2(Z2,p) = 0,

H

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

U"(0,p) = u2 (0,p), ß2u'2(0,p) — ^1U/i(0,p) = —. (16)

p

Здесь и далее штрих означает дифференцирование по у. Решение задачи (16) находится в виде

л/^ H rp>~

Ui(y,p) =--ATw/ 2 , sh\/ V7 (li + y), —li <y< 0,

ß2 Vp3 Wi (p) ch vV- i11 V vi 4 Vv2 H t^V/pVrT li 1 IT n Ч П/

u2(y,p) =--^ ^v v (l2 — У), 0 < у < l2,

ß2 VT3 Wi (p) s^pv2 T l2 V v2

где

Wi(p) = -ß= + th A /^li cth A /pz2. V v V Vi V V2

С учётом асимптотических представлений shx ~ x + x3/6, ch ж ~ 1 + x2/2 при ж — 0 и равенства pv = ß получим

lim pui(y,p) = — - T

p^0 ' ß2 (pv +1)

1+y

= ui(y), (17)

Ит рЙ2(у,р) =--,Я11, л

Р^0 + 1)

1 - У

¿2

= «2 (у).

:18)

Таким образом, согласно теореме 1, с ростом времени решение задачи (16) выходит на стационарный режим и0(у), и°(у), определяемый равенством (11).

3.2. Определение температурных возмущений

Применение преобразования Лапласа к формулам (2), (5), (8) приводит к краевой задаче для изображений возмущений температур

Т" - — Т Х1

р ~ А«1(у,р)

х1

, —¿1 <у< 0,

гТ// Р Т _

Т 2--Т 2 =

2 х2

А«2(у,Р) Х2

, 0 < у < ¿2,

^(0,р) = ТТ2(0,р), кТ (0,р) = Т2 (0,р), Т1(-/1,р) = 0, Т2 (¿2, р) = 0. Решение задачи (19) определяется в виде

Т(у,р) = ¿1 бЬ,/ —у + ¿2 сЬА/ — у+ х1 х1

49)

А

Vрх-1

х

и1(г,р) йЬ

-¿1

— (у - г) х1

Тг(у,р) = ¿3 вЬА/ —у + ¿4 сЬА/ — у+ х2 х2

(20)

А

Х2\[рХ

-1 2

и2 (г,р) йЬ

'— (у - г) х2

(21)

Коэффициенты = ¿¿(р), г = 1, 4, находятся из граничных условий и задаются формулами

= с'(р)- в2<р>, = и й, Мь, ь3 = -к=ь1 - сь

ИЪ(р) V Х1 -X

¿4 — ¿2 -

-, [ и1(г,р) бЬ , /-^г^г.

х^рх- I Vх1

-¿1

В формулах (22) введены обозначения

кА / х2 (* I р

в1 (р) =--4 — и1(г,р) сЬ , — г^г,

х1 V р J V х1

-¿1

(22)

в2(р) = - А^^¿2 /«1(г,р) бЬ

х^л/рхТ1 I V х1

У

У

о

A

X2V/pX-T sWpx-1 l

u2(z,p) sh

p

— (l2 — z) X2

dz,

W2(p) = + th, /^li cth, /^¿2. л/х V xi V X2

(23)

Покажем, что lim Tj(y, t) = T?°(y). Для этого достаточно вычислить пределы limpTj(y,p)

t

p—0

В качестве примера приведём расчёты для ^ = 1. С этой целью, используя (22), несколько преобразуем выражение (20):

Т1(У,р = , ^ 1—/—г, — (У +11)+ ^(р) с^^РХТ11г УХ1

A

Xiv7^"1p

ut(z,p) sh

-¿i

'— (y — z)

Xi

dz.

(24)

Далее, учитывая равенства (17), (18), (23) при p — 0 (shx ~ x, chx ~ 1, x — 0) получим

W2(p) ~ k +l, pGi(p) ~ — kA

pG2 (p)

л/Х A

XiVX- tp

u0(z) dz,

-ii

XiWpx-1

0 ¿2 — J^ u0(z)zdz + xJ u0(z)(l2 — z) dz -i1 0

Подстановка эквивалентных выражений в (24) даёт

f ( )= AHlil2(3fcl + lil + 2X)(y + li) AHli Г + y2 + yli + ¿t p— i(y,p) 6ß2Xi(ß + l)(k +1) ß2 Xi(ß + ZK6li 2 2 6

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

что совпадает с TT0(y) из формулы (12).

Аналогично показывается, что limpT2(y,p) = T2 (y). Таким образом, температурные

p—^0

возмущения с ростом времени выходят на стационарный режим, определяемый формулами (12).

2

y

0

3.3. Определение возмущения концентрации

При анализе задачи для определения возмущения концентрации (3), (6), (9) удобно ввести замену Р = К1 + а1Т1. Тогда начально-краевая задача преобразуется к виду

Р = ^ + а Туу - Вм1,

Ру (0,*) = 0, Ру (-/ь*) = 0,

р (у, 0) = 0.

Решение задачи в изображениях по Лапласу будет следующим:

y

~ /Р /Р d i /

F(y,p) = D 1 sh w — y + D2 ch w — y +W— h(z,p) sh

V d 1 V d 1 V p j

' -ii

'dt(y - z)

dz,

(25)

где

h = -apTi + 1, Dj = Dj(p), j = 1, 2. d d

После подстановки (25) в граничные условия находим

D1(p) = — /— f h(z,p) ch,/-^zdz, pd1 ' -ii

I— _ о _

d1 p p D2(p) = — W — cthw — l1 I h(z,p) chw — zdz. p d1 d1 ' -ii

Далее для исследования функции F(y,p) рассмотрим limp_P1(y,p). Для этого перепишем (25) в виде

~ [Z СЧ di (y +11) о rf

F(y, p) = — W----=- h(z,p) ch л — z dz+

Vp sh, /dil i Vd1

p 1 -ii

dp i h(z,p) sh

'dt(y—z)

dz.

Учитывая limpu 1(y,p) = u0(y), limpT\(y,p) = T°(y) и асимптотические разложения shx, chx при x ^ 0, получим (см. теорему)

lim pF1(y,p)

p^0

a 1aAl2 a 1a1l 1

"8X7

,

+ a1a2, если В = 0, если B = 0.

Постоянные a,a1,a2 определены выше.

Так как K1 = F — a1T1, то получим, что с ростом времени возмущение концентрации выходит на стационарный режим при условии отсутствия её градиента в начальный момент времени, т.е. limpKK1 (y,p) = K°(y), где K°(y) определяется формулой (13).

4. Результаты численных расчётов

Полученные формулы в изображениях по Лапласу были использованы для численного нахождения полей скорости, температур и концентрации. Численные расчёты проводились в безразмерных переменных (14). При этом безразмерное время вводилось

соотношением т = -ртс.

¿2

-ii

Рис. 2. Нестационарные профили скорости (а), температуры (б) и концентрации (в) в разные моменты времени

Результаты численного обращения преобразования Лапласа, приведённые на рис. 2, подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим. При этом время выхода для скорости, температуры и концентрации различно. Для скорости оно составляет т3 = 8, для температуры — т3 = 68, для концентрации — т3 = 1000.

Автор выражает благодарность д-ру физ.-мат. наук, профессору В.К. Андрееву за помощь в постановке задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы

[1] Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рявицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. 280 с.

[2] Андреев В.К. Эволюция совместного движения двух вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое под действием нестационарного градиента давления // ПМТФ. 2008. T. 49, № 4. C. 94-107.

[3] Совачкина Н.Л. О совместном движении бинарной смеси и вязкой жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе // Вычисл. технологии. 2011. T. 16, № 4. C. 120-133.

[4] Лемешкова Е.Н. Прямая и обратная задача о совместном движении трёх вязких жидкостей в плоских слоях // Журн. СФУ. Математика и физика. 2011. T. 4, № 3. C. 363-370.

[5] Лаврентьев М.А., Шават Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

Поступила в 'редакцию 25 февраля 2013 г., с доработки — 22 апреля 2013 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.