Нестационарное движение плоских слоев вязких жидкостей с общей границей раздела Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 12, № 5, 2007

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКИХ СЛОЕВ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ С ОБЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА*

В. К. Андреев Институт вычислительного моделирования СО РАН,

Красноярск, Россия Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия e-mail: [email protected]

An unidirectional motion of two immiscible viscous fluid layers with common interface is investigated. An initial value problem is posed. A priori estimates and uniqueness of the solution are obtained. The general solution was found by Laplace transformation method. Asymptotical solution behavior is discussed for the case of a linear initial velocity.

1. Постановка задачи. Интеграл энергии и априорные оценки

Предположим, что имеются два слоя вязких несжимаемых жидкостей толщины 1\ и /2 соответственно, контактирующие через поверхность раздела y = 0 (рис. 1).

Будем считать движение однонаправленным, градиент давления в жидкостях отсутствует, так что uj = (uj(y,t), 0,0), pjx = 0. Поэтому движение определяется только под действием начального поля скоростей. Тогда в уравнениях Навье—Стокса конвективное ускорение равно нулю и совместное движение этих слоев описывается решением следующей начально-краевой задачи:

uit = viuiyy (-li < y < 0); (1)

ui^ 0) = uio(y); (2)

UiHi,t) = 0; (3)

U2t = v2u2yy (0 < y < /2); (4)

u2 (y, 0) = u2o(y); (5)

U2(/2,t) = 0; (6)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант НШ № 587.3.2006.1).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

У

к

<

Рис. 1. Схема области течения

«1(0,*) = «2(0,*), t> 0; (7)

(0,*) = (0,*), *> 0. (8)

Условия (3) и (6) представляют собой условия прилипания на неподвижных стенках; (7) — равенство скоростей, а (8) — равенство касательных напряжений на поверхности раздела; ^1>2 = ^1)2/р1)2, ^1)2 — динамические вязкости, р1>2 — плотности жидкостей — известные постоянные.

Получим априорные оценки решения задачи (1)-(8), когда условия (7) и (8) выполнены для всех * > 0, т. е. для гладкого решения. Умножим уравнение (1) на р1и1, (4) — на р2м2 и проинтегрируем по у от —/1 до нуля (от нуля до /2). Складывая полученные равенства и используя граничные условия (3), (6)-(8), приходим к соотношению

1 д_ 2

Р1 I «2 ¿у + Р2 / «2 ^у

0 12 ^У и2у ^у — ^2 У «2у ¿у. (9)

-1х 0

Поскольку правая часть в (9) не положительна, то полная энергия в системе монотонно убывает и

0 12

ЕСО = 2 Р1У и1(у,*) ¿у + 1 р^ «2(у,*) < -11 0 0 12

< Е(0) = 1 р^ м^у) ¿у + 2 Р2 У «20(у) ¿у- (10)

- 1 0

Из (10), в частности, вытекает единственность решения задачи (1)-(8): если м10 = м20 = 0, то и м1(у,*) = м2(у,*) = 0.

Под словами "гладкое решение" понимается классическое решение рассмотренной задачи, при котором (7) и (8) выполнены для всех * > 0 и выполнены условия согласования для начальных значений

Ию(0) = «20 (0), ^1«10у (0) = ^2«20у (0), МюНО =0, «20( — Ь) = 0. (11)

На самом деле равенство (9) позволяет установить асимптотическое поведение гладкого решения при * ^ то. Действительно, в силу условий (3) и (6) для м1(у,*), м2(у,*)

0

- 1

справедливы неравенства Пуанкаре

0 2 0 h 2 h J u2(y,t) dy < J <(y,t) dy, J u'(y,t) dy < | J u2y(y,t) dy. (12) -1 1 - li 0 0 Используя (12), из (9) выводим неравенство

0 12 dE(t) <- ^ i u?(y,t) dy - ^ i u2(y,t) dy <-4iE(t),

^ " У у * I

-11 0

где $ = шт^/-2, /-2). Интегрируя последнее неравенство, найдем

Е(£) < Е(0) е-454 (13)

для всех £ > 0, что существенным образом уточняет просто условие ограниченности энергии (10).

Чтобы получить оценки для и (у,£), необходимо оценить интегралы

0 ¿2

/ «2„ / < *

- ¿1 0

Заметим, что из (9) следуют лишь неравенства

4 0 4 ¿2

г Г 2 ^ ^ Е(0) [ Г „ , . ^ Е(0)

J J «1у < -, J J и2у <

0 - ¿1 0 0

для всех £ > 0.

Пусть и (у, £) — решение уравнения = , у € [а, Ь], тогда имеет место тождество

4 ь ь 4 ь

Г. Г. Г. Г. Ь Г.

dt + v / u0y dy, (14)

J у (и2 + ^2«Уу) + V у ^у = 2^ )

0 а а 0

где и0(у) = и (у, 0). Оно вытекает из равенств 4 ь

У J (щ - ^Муу)2 = 0, = — ) - 1 — («У).

0 а

Положим сначала в (14) и = и1, а = —/1, Ь = 0, V = и все умножим на р1; затем возьмем и = и2, а = 0, Ь = /2, V = ^ и все умножим на р2. После сложения приходим к другому интегральному тождеству для задачи (1)-(8):

4 0 4 ¿2

Р^/ (и2* + Vl2Ulyy) + Р2 У У (и24 + V2м2yy) 0 -11 0 0 0 ¿2 0 ¿2

«2У ^у + ^^ «2У ^у = ^^ и20у ^у + ^2 У и20у ^у. (15)

- 1 0 - 1 0

При выводе (1) были учтены граничные условия (3), (6)-(8). Следовательно, для всех * > 0

0 12

/27 Е1 I 2 Е1

М1у ¿у < — , Щу ¿у < — , (16)

J ^2

- 1 0

где Е1 — правая часть (1).

Используя оценки (13) и (16), получим

У / 0 \ 1/2 / 0

М1(у,*) = 2 J м1(у,*)м1у(у,*) ¿у < 2 I J м2 ¿у

- 1 - 1

1/2

«1у ¿у I <

Р1^1

Поэтому

Аналогично,

|«1 (у, *) | < С1б

-Л

|«2 (у, *) | < С2в

(17)

(18)

где с2 = 2[2Е(0)Е1/(р2^2)]1/2.

Следовательно, справедлива Теорема 1. Гладкое решение задачи (1)-(8) при * ^ то стремится к стационарному (нулевому) решению, причем справедливы оценки скорости сходимости (17) и (18), равномерные по у из интервалов (—/1, 0), (0,/2).

Как будет показано в дальнейшем, выход решения задачи (1)-(8) на нулевое при * ^ то имеет место и когда не выполнены условия (11), т.е. и для неклассического решения.

2. Решение в изображениях по Лапласу

Для получения более точной информации о поведении Uj(у, *) применим к задаче (1)-(8) преобразование Лапласа:

Щ (у,р)

е-РЧ(у,*) ^ (3 = 1, 2)

(19)

(условия применимости формулы (19) см., например, в [1]). В результате приходим к краевой задаче для изображений Щ(у,р) :

V!

Р

1

Vl

р

М'--«1 = —- «10 (у) (—/1 < у < 0);

«1 (—¿1, р) = 0;

М2'--«2 = — «20(у) (0 < у < /2);

(20)

(21) (22)

оо

«2 (¿2, р) = 0;

(23)

«1(0,р) = «2(0,р);

(24)

^1М1(0,р) = (0, р),

(25)

где штрих означает дифференцирование по у.

Общее решение уравнений (20) и (22) находится без труда:

М1(у,р)

С — Я) (у + /1) — 1

w сьл/р7^1 /1 V ^

v/pVl

м10(г) эЬ

-11

У1 (у — г)

¿г; (26)

М2(у,р) = СвЦ/ —у + Р сЦ/ —у--I М20(г) эЬ

V У2 V У2 ^ J

У2(у—г)

¿г, (27)

где введены обозначения

С (р) = -У + ^

Р(р) = ^ — ^(р)] ^^ + /мю(г) вЬ./*^, w (р) у У1 ^рУТ 7 V ^

^ (р)

v/pv2s^v/p7V2 /2

М20(г) эЬ

5 (/2 — г)

¿г— [ мш(г) вЦ

v/pVl 3 V У1

-¿1

С(р) = — ^М10(г) с^£

(28)

W (р) = —^ + сЛ,/ —/2 Л,/ —/1, ^ = ^1/^2, V = У1/У2.

'У У V2 V Vl

Оригиналы щ(у,*) (3 = 1, 2) восстанавливаются по формуле

а,+гю

uj (у,*) = 7^/ (у,р) ¿р.

2пг

(29)

у

1

1

0

- ч

а-ю

Очевидно, что в общем случае для произвольных м10(у), м20(у) выписать решения в явном виде с помощью этой формулы затруднительно.

3. Линейное начальное поле скоростей

Предположим, что начальные функции и10(у), и20(у) представляют собой поля скоростей типа течения Куэтта:

«ю(у) = v,

u20 (y) = v2 ( 1 - In

(30)

с некоторыми постоянными Поскольку = то при £ = 0 скорость терпит

разрыв на поверхности раздела у = 0 (не выполнены условия (7) и (8)). При £ > 0 этот разрыв скоростей будет "диффундировать" в глубь обеих жидкостей по формулам (29), которые для начальных данных (30) могут быть существенно упрощены.

Вычисляя значения интегралов, входящих в соотношения (28), получим

Ui(y,p) = — ( 1 + f ) + sh p V li.

x

- (y + li) vi

(V2 - vi) cth J — I2 - A /■— ( V2 +

V2 V P V I2 li

X

p ch , I — l Л —^ + cth , — I2 th, — li ■i V yv V V2 V Vi

-i

(31)

u2 (y, P) = — ( 1 - f ) + sh W — (y - l2) p l2 v2

-V (V2 - V.) + ./ * £ + ^

v V P \l2 li

th4/^li Vi

X

X

P sh, I — l2 1 —^ + cth д — l2 th д — li

■2 V V V V V2 V Vi

-i

(32)

Можно проверить, что явные выражения (31) и (32) удовлетворяют краевой задаче (20)-(25). Поскольку в (31) y < 0, то lim рй,(у,р) = v,(1 + у/1,); в (32) y > 0

р—те

и lim pU2(y,p) = v2(1 — y/l2), что и должно быть согласно свойствам преобразования

р—те

Лапласа. Для нахождения пределов lim Uj (y,t) следует вычислить lim pUj (y,p). Ис-

t—те р—>0

пользуя асимптотические соотношения shx ~ x, thж ~ ж, chж ~ 1, cthx ~ 1/x при x ^ 0, из (31) находим при p ^ то:

vi

PUi(f,P) ~ у (У + li) +

(v2 - vi)

l2

= (у + li)

Vi li

V2 _ / j2 + № P V l2 li

Vi (^ + li АО li (^ + li/l2)

- (у + li) = Vi

0,

СЮ

откуда lim рм,(у,р) = 0. Точно так же и lim pU2(y,p) = 0. Это означает, что при t

р—0 t—те

скорости в слоях стремятся к нулю: происходит торможение жидкости за счет трения ее о стенки и диффузии поверхности раздела.

Замечание 1. Как следует из формул (26) и (28)

Ui(f,P)

F(p) - G(p)

W(p)chy^р/v, l:

sh

— (y + li) + Ui4 Vi

где и1ч — интегральное слагаемое в (26). Учитывая формулы (28), легко видеть, что при р ^ 0 ри1(у,р) ^ 0 Vу € (—/1, 0). Аналогично и рй2(у,р) ^ 0 Vу € (0,/2).

Тем самым решение нашей задачи при больших временах стремится к покою и в общем случае, когда не выполнены условия согласования (11).

i

4. Решение для полуограниченных слоев

Для получения такого решения достаточно в формулах (31) и (32) устремить /1 и /2 к бесконечности. В результате получим после некоторых преобразований

ЫУ.Р) = ^ + ■ e^1 •, fcfo.p) = * ■ ^^^^^^ . (33)

p (- + U/Vu) p y/u (1+ ju/^/v) p

Поскольку оригинал изображения e-ap/p (a > 0) есть 1 — erf (a/2^/t) [1], где

z

erf z = — e-T2 dr

n J

0

— интеграл ошибок (интеграл вероятностей), то при y < 0

(y,t) =-1 , , r---- > (34)

1 + u/yju

а при y > 0

u2 (y,t) = -1 . , r-"--, (35)

1 + u/yju

т. е. получаем автомодельное решение. Видно, что это решение совпадает с решением, найденным в [2, с. 217-219].

Если обе жидкости одинаковы (^ = 1, V = 1), то скорость вдоль поверхности раздела есть + )/2. При = —в этом случае

М1(у,= ^ етГ(—уЬ), М2(у,= —^ ^Ъ). (36)

Рис. 2. Профиль скорости в случае одинаковых жидкостей в разные моменты времени, 0 < ¿1 < ¿2 <tз

С ростом времени для фиксированного y скорости Uj(y,t) стремятся к нулю. Таким образом, поверхность раздела диффундирует в глубь обеих жидкостей, вызывая замедление, которое ведет к состоянию покоя в любой данной точке.

В общем же случае из (34) и (35) при t ^ то скорости стремятся к одному пределу (v2 + ^v-1/2v,) /(1 + ^v-i/2) и жидкости в каждой данной точке двигаются с постоянной скоростью.

Следует отметить, что находить значения Uj(y,t) для любых y, t из (26)-(29) предпочтительнее методом численного обращения Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности [3].

На рис. 2 представлен профиль скорости в случае, когда обе жидкости одинаковы, v2 = -v, = 2, t фиксировано и в (29) Uj(y,t) определяются по формулам (33). Результаты численных расчетов совпадают с теоретическими выводами по формулам (36).

Замечание 2. Изученная задача (1)-(8) может быть интерпретирована и по-другому. Пусть имеются два твердых стержня длины li и l2, контактирующих между собой при y = 0. Тогда u,(y,t) — температура первого стержня, а u2(y,t) — второго, причем v,, v2 теперь коэффициенты температуропроводности, а — коэффициенты теплопроводности, u10(y), u20 (y) — начальные распределения температур в стержнях. Условия (2) и (6) означают, что на концах поддерживается нулевая температура.

Следует отметить, что решение подобной задачи отсутствует в известных справочниках по теплопроводности [4-6].

Список литературы

[1] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

[2] Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 399 с.

[3] Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974. 224 с.

[4] Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982. Ч. 1. 327 с.

[5] Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982. Ч. 2. 304 с.

[6] Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М.: Энергия, 1971. 560 с.

Поступила в редакцию 21 марта 2007 г., в переработанном виде — 14 июня 2007 г.