CC BY
43
УДК 517.956.6
Л.И. Сербина
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Приведено решение начально - краевой задачи фильтрации неустановившегося одномерного движения грунтовых вод, описываемой уравнением Буссинеска. Исследованы различные частные случаи основного уравнения, в частности сводящиеся к уравнению Лаврентьева - Бицадзе с нелокальными краевыми условиями. Сформулирован ряд краевых задач и построены их решения.
Аппроксимация обобщенного нелинейного уравнения Буссинеска. В классической теории фильтрации неустановившееся одномерное движение грунтовых вод со слабоизменяющей -ся свободной поверхностью и с горизонтальным водоупором описывается обобщенным уравнением Буссинеска:
кп
дк д
а— = к— дt дХ
, дк к—
. дХ.
(1)
где постоянные а и к означают водоотдачу и коэффициент фильтрации; к = к(Х, t) - уровень грунтовой воды в точке Х — 0 в момент времени ^ к0 - коэффициент фильтрации слабопроницаемого водоупора мощности М0; w = ^(Х, t) - разность между инфильтрацией и испарением; Н0 - напор воды в нижележащем водоносном пласте. Любое регулярное решение уравнения (1) удовлетворяет уравнению
д2 к , д
к-
дк к — дt
к
М0 дt
дк д^
--------1--------
дt
(2)
де дХ
Предположим, что к = дк/ дt в среднем прямо пропорционально расходу грунтовой воды на прогнозируемом участке 0 < Х < I с постоянным коэффициентом /:
дк
э7
уа дй ^к(Х ’t )Х'
(3)
Гипотеза (3) позволяет за приближенное решение уравнения (2) принять точное решение следующего уравнения:
дt
дХ
2
1
а
ко дк д^
Мо дt дt
(4)
где 8 () = | к (Х, t )Х .
Для широкого класса мелиоративных задач прогнозирования динамики грунтовых вод можно положить, что
ку8 )» е|^ - sign(t* -1), (5)
где т=еотГ>0, е= еотГ>0, и - экстремальное время, когда расход грунтовой воды в слое 0 < Х < I достигает максимального значения, а затем падает до значения, не нарушающего экологию зоны аэрации.
Из (4) в силу (5) получим уравнение
д2к 2
= ек* - Ат sign(t* -1)
д2к
к0 дк 1 д^
0 - + —
(6)
дt2 ' 'дХ2 а М0 дt а дt
Уравнение (6) на евклидовой плоскости точек (Х, t) является уравнением смешанного типа: оно эллиптично при , гиперболично при <и и параболично на критической линии
и = 0.
Заменой переменных
у = t -1*, х = Х/л/е, и(х, у ) = к(хл/е, у +1*) (7)
2
0
уравнение (6) приведем к виду
Э2м I m Э2м , Эм
+ signу|у|г • —у + Ъ — = /(х,у), (8)
Эу Эх2 Эу
где Ъ =----^, / (х, у ) = — — ^(хл/с, у + i,).
s • M 0 s Эу
Для уравнения (8) на основании (3) и (5) получим нелокальное условие
Э r
— f м(х, у )х = А|у|г sign у . (9)
эу 0
Здесь использованы обозначения r = l/4с , A = — -\[с /kg.
Итак, уравнение (8) смешанного эллиптико-гиперболического типа является линейной математической моделью динамики грунтовых вод, адекватно отражающей явление конечности скорости распространения любого возмущения в пористых средах.
Введение новой независимой переменной V = м • exp (Ъу/2) позволяет записать уравнение (8) и условие (9) в виде
sign у|уГ ихх + иуу —(ъ V4 )v = / (х у )exp (ъу/2); (10)
^exp(—^)f V(х, у )х = ^|у|Г sign у. (11)
Эу 2 0
В случае горизонтального непроницаемого водоупора (k0=0) в (8)-(11) можно положить Ъ=0. Тогда условие (11) совпадает с (9), а уравнение (10) примет вид
sign у|у|г
•V хх + V уу
/(х,у), 0 < х < r . (12)
Нелокальная начально-краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
Рассмотрим уравнение (12) в случае, когда г=0, /х,у)=0 в прямоугольной области W й ={( х,у): 0 < х < a,—na < у < ¡5}, где а и ¡5 - заданные положительные числа, n = 1,2,3... Уравнение Лаврентьева-Бицадзе
sign у • ихх + иуу = 0 (13)
описывает динамику грунтовых вод, при отсутствии внешнего воздействия на поток.
Введем обозначения: W+= {(х, у) :0 < х < а,0 < у < ¡b} - эллиптическая, а
W — = {( х, у): 0 < х < а, — па < у < 0} - гиперболическая части области Wn; Aj - треугольная область, ограниченная отрезком AB: 0 £ х £ а прямой у = 0, характеристиками
АС: х + у = 0 и ВС:х — у = а уравнения (13); W = W+uAj u AB ; Wп - замыкание облас-
ти W п.
В дальнейшем под решением м(х, у) уравнения (13) в области Wп будем понимать такое решение, которое обладает следующими свойствами:
1) м(х,у)е С2(w+)nС1 (W)nс(Wn);
2) м(х, у) в замыкании Wn представимо в виде м(х, у) = / (х — у)+ /2 (х + у), где /i и /2 -непрерывные функции.
В работе исследуется следующая смешанная задача S.
З а д а ч а S. Найти решение м(х, у) уравнения (13), удовлетворяющее условиям
Э а
— f м(х, у) = m(у), 0 < у < b ; (14)
эу 0
м(х,—na) = hn (х), м(х, Ъ) = к(х), 0 £ х £ а ; (15)
м(а, у ) = Ф а (у), — an £ у £ р ; (16)
м(0,у) = Ф0 (у), — an £ у £ 0, (17)
где m(у), hn (х), h(х), Ф0 (у), Фа (у) - заданные функции, m(у)е С1[0,Р],
Ф а (у )е С[— an р ], Ф 0 (у)е С[— an,0L hn (х), h(х )е С[0, а].
Краевые условия (15)-(17) являются локальными, а условие (14) представляет собой нелокальное условие типа условия А.А. Самарского.
Лемма 1 . Пусть существует решение м(х, у) задачи S. Тогда для любой точки х е [0, а] справедливо
n
м(х,0) = X{ak [Фа (х — ka)+ Ф0 (— х — (k — Ф)] —
k=1
— ak +1 [Ф а (— х — (k — 1)а )+Ф 0 (х — ka )]} + Hn (х ), (18)
[1, k ° 1 (mod2); [— hn (а — х), n ° 1 (mod2);
где a k = i , ч Hn = i /
[0, k ° 0 (mod2), [ hn (х), n ° 0 (mod2).
Доказательство леммы 1 можно провести методом математической индукции, опираясь на теорему о среднем значении для одномерного волнового уравнения.
э э
С помощью леммы 1 и равенства — (м2 — м2)+ 2 — (мхму ) = 0, справедливого для любой
Эх Эу
гармонической в области W+ функции м(х, у), можно доказать следующую теорему единственности решения задачи S.
Т е о р е м а 1. Пусть м(х, у) - решение однородной задачи, соответствующей задачи S, которое непрерывно дифференцируемо всюду в W +, за исключением угловых точек границы W+
, и обладает тем свойством, что мх (0, у), мх (а, у )е L2 (0, р). Тогда м(х, у)° 0.
Решение смешанной задачи S будем искать в классе функций, обладающих тем свойством, что мхх(х,у)е L[0, а] для любого у е (0,Р).
Пусть м = м(х, у) - решение задачи S. Тогда для любого у е (0, Р) в силу условия (14) имеем
а э 2 а
1 мхх (х у № = ——у1u(х, у ^ = — m/(у).
0 Эу 0
Отсюда следует, что искомое решение удовлетворяет краевому условию с локальным смещением [1]:
мх (а, у) — мх (0, у ) = — m'(у), 0 < у < Ъ . (19)
Через t(х) обозначим правую часть равенства (18). Решение м(х, у) задачи S, согласно
(15), (16) и (19), должно быть решением в области W+следующей краевой задачи для уравнения Лапласа:
мхх + муу = °. (20)
З а д а ч а Sj. Найти регулярное в области W+ решение м(х, у) уравнения (13) из класса С (W+), которое удовлетворяет условию гладкости мх (х, у)е С (0 £ х £ а, 0 £ у £ Ъ) и краевым условиям: м(х,0) = т(х), м(х, Р) = ^х), 0 £ х £ а ; м(а, у) = Фа (у),
мх (а у)—мх(0, у ) = mi (у), 0 < у < р, где mi (у ) = — m /(у).
При достаточно гладких входных данных t (х), h(х ), Ф а (у) и m1 (у) существование решения задачи S1 доказывается методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, ядро которого однозначно определяется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения (20) в области W+.
Решение задачи S в области W — строится как гладкое продолжение решения задачи S1 из
области W + в решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения.
Прикладные задачи, приводящие к задачам с нелокальным условием (14), требуют разработки приближенных методов решения этих задач. Поэтому мы остановимся на демонстрации
метода Фурье решения задачи Si, ограничиваясь случаем, когда a = ¡ = 1, h(x) = 0 , ф a (y)° 0, mi( y) ° 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1.
Пусть требуется найти регулярное в области W+ = {(x, y) :0 < x < 1, 0 < y < i} решение u(x, y) уравнения (20) из класса C(w + ), такое, что ux е C(0 < x < 1, 0 < y < 1) и
u(x,0) = t(x), 0 < x < 1; (21)
u(1,y) = 0, 0 < y < 1; (22)
ux (0, y)-ux (1, y) = 0, 0 < y < 1; (23)
u(x,1) = 0,0 < x < 1, (24)
где t(x )e C[0,1]n C2 ]0,1[.
Найдем класс нетривиальных решений задачи (21)-(24) для уравнения (20), представимых в виде
u( x, y ) = U (x )V (y). (25)
Подставляя (25) в (20) и принимая во внимание (21)-(24), получим
U"(x)+lU (x) = 0, 0 < x < 1; (26)
U (1) = 0; (27)
U '(0) = U '(1); (28)
V"(y)-IV (y ) = 0; (29)
V (1) = 0. (30)
В уравнении (26) введем новые независимые переменные:
X(t) = U(x), x = 1 -1. (31)
Тогда в силу (26)-(28) получаем
X"(t)+ IX(t) = 0, 0 < t < 1; (32)
X (0) = 0, X '(0) = X '(1). (33)
Известно [2,3], что числа 1к = (2лк)2, k=0,1,..., и функции
X 0 (t ) = t, X 2k-1 (t ) = t cos(2pkt), X2к (t) = sin (2pkt) соответственно являются собственными значениями, собственными и присоединенными функциями задачи (32)-(33).
Следовательно, связь (31) позволяет утверждать, что система собственных и присоединенных функций задачи (26)-(28) задается следующим образом:
U0 (x) = 1 - x, U2к-1 (x) = (1 - x) cos(2pkx), U2k (x) = - sin (2pkt). (34)
Пусть 70 (t) = 2, 72k-1 (t) = 4cos(2pkt), Y2k (t) = 4(1 -1)sin(2pkt), к = 1,2,... - система соб-
ственных и присоединенных функций задачи
Y " (t)+1Y (t ) = 0, Y (0) = Y (1), Y '(1) = 0.
Отсюда после замены t = 1 - x получаем систему собственных и присоединенных функций:
V0 (x) = 2, V2к-1 (x) = 4 cos(2pkx), v2к (x) = -4x sin(2pkx), к = 1,2,... задачи, сопряженной за-
даче (26) - (28).
По условию t(x) е C[0,1]. Из базисной системы (34) следует, что функцию t(x) можно разложить в биортогональный ряд [2, 3]
t ( x ) = 10U 0( x ) + ±[U 2к (x) + 12k-1U2k-1(x)] (35)
к=1
где t0 = (t,V0)0; t2k = (t, V2k )0; t2k-1 = (t, V2k-1)0. Здесь (•, •) означает скалярное произведение в L2 [0,1].
При l > 0 общее решение уравнения (29) имеет вид
V (y) = C1ch(j1y)+ C2sh(VXy), (36)
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Удовлетворив (36) условию (30) и дополнительному условию V (0) = 1, получим
V (у) = sh(VÄy)-cth(Vl) ch(j1y). (37)
Из (37) при l = 1k = (2pk)2, к = 0,1,... приходим к следующей системе функций, удовлетворяющих (29) и (30):
V0 (у) = 1 - У, Vk (y) = sh(2pky) - cth(2pk)ch(2pky), к = 1, 2, ... (38)
Решение задачи (21) - (24) для уравнения (20) будем искать в виде ряда
¥
U(X, у) = T0U0 (х)V0 (у) + kU2k (x)Vk (У) + t2k- ()] , (39)
k=1 где vk (х,у) = и2k-1(x)Vk(У) - 24hU2k (х)zk (У) .
Непосредственным вычислением, как и в случае уравнения теплопроводности [2, 3], можно убедиться, что функция u( х, у), задаваемая формулой (39), будет решением уравнения (20) и будет удовлетворять условиям (21), (22) тогда и только тогда, когда
zk(0) = ^ zk(1) = ^ zk (у ) - hzk( у) = -Vk( у) . (40)
Действительно, пусть Uk (X, у) = t2kU2k (X) Vk (у) +t2k-1vk (X, у) . Легко видеть, что
Duk = t 2 k U2k ( x)Vk (у ) + U2k ( x )Vk( у )] + t 2k-1 U2k-1( x)Vk ( у ) -- 2yßkU2k (x)zk (у) + U2k-1(x) Vk(у) - 24hU2k (x)zk (у)].
Отсюда в силу свойств систем функций (34) и (38) получаем
Duk (x,у) = t2k-1[Vk (U2k-1 + 1kU2k-1 )- 2yf1kU2k (zk - hzk )],
U2k-1 + 1kU2k-1 =-241kU2k . (41)
Поэтому Duk = -2t2k-1^hU2k\Fk + zk + hzk] = 0. Из (41) следует (40).
Поскольку функция t(x)e c[0,1]nC2 ]0,1[ и представима в виде (35), то легко видеть, что (39) удовлетворяет условиям (21)-(24). Из (39) имеем
lim uy = v(x) = -t0U0 (x)+XiVk'(0)[^2kU2k (x) + )2k-1U2k-1 (x)]-2V]t2k-1U2k (x)zk (0)}.
у ®+0 k=1
После того как найдены t (x), v(x), решение u(x, у) задачи S в области W - определяется как решение смешанной задачи
u(x,0) = t(x), uy (x,0) = v(x), 0 < x < 1; (42)
u(0, у ) = 0, u(a, у ) = 0, - an < у < 0 (43)
для одномерного волнового уравнения
u уу = u xx . (44)
В случае, когда n=1, функция t (x) = -h (1 - x) и решение задачи S в области А1 находится как решение задачи Коши (42) для уравнения (44). Оно имеет вид
u(x, у )=-h1( - x - уh1(1 - x + у) + 2 x Ы R (45)
22
x - у
Из (45) в силу (44), принимая во внимание, что t (0) = - h (1) = 0, t (1) = -h (0) = 0, легко видеть, что
u
f x x'x
2 ’ 2
v2 2y
1 + x x -1
Y (x), u= Y (x), 0 < x < 1, (46)
где 2^0 (х) = -к1 (1 - х) -1v(t), 24*1 (х) = -к1 (1 - х) +1 v(t) .
0 1 Решение задачи 8 в любой точке (х, у)е О-, лежащей вне области Дь определяется с помощью формулы (46) и теоремы о среднем значении для уравнения (44).
X
X
1. НахушевА.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.
3. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1284-1295.
Поступила 3.06.2003 г.
