О движении затопленной струи бинарной смеси в вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516

О движении затопленной струи бинарной смеси в вязкой жидкости

Виктор К. Андреев*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, Красноярск, 660036, Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Наталья Л. Собачкина^

Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Киренского, 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 18.01.2011, окончательный вариант 25.03.2011, принята к печати 10.04.2011

Изучено инвариантное 'решение задачи о движении затопленной струи бинарной смеси в вязкой теплопроводной жидкости. Движение происходит под действием продольного градиента давления в смеси. Вязкая жидкость и смесь не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений. Найдено стационарное решение задачи и доказано, что оно не является предельным при £ ^ то при различных заданных перепадах давления в смеси. В изображениях по Лапласу получено точное аналитическое решение. Даны примеры численного восстановления полей скоростей, температур и концентрации в зависимости от геометрических и физических параметров смеси и жидкости.

Ключевые слова: бинарная смесь, затопленная струя, градиент давления, стационарное решение, преобразование Лапласа.

1. Постановка задачи

Данная работа посвящена изучению сопряженной начально-краевой задачи, возникающей при движении затопленной струи бинарной смеси в вязкой жидкости под действием градиента давления в смеси. Цель заключается в исследовании инвариантного решения поставленной задачи, построении точных решений, а также численном решении задачи.

Уравнения термодиффузионного движения в отсутствие массовых сил в цилиндриче-

* andr.icm@krasn.ru tsobachkinanat@mail.ru (¡5 Siberian Federal University. All rights reserved

скои системе координат r, у, z имеют вид

v v2 1 ( 2 u

Ut + uur + - uv + WUz--— = - pPr + v I Ди - Г2 vv - Г2

v uv 1 ( 2 v

Vt + uvr + - vv + wvz + — =---pv + v I Av + -2 uv - -2

v1

wt + uwr +— w™ + =--pz + v Aw,

r P (1)

u1

ur +---+ - vv + Wz =0,

v

вt + u$r + - в™ + w0 z = хДв, r

v

ct + ucr +— c™ + wcz = dAc + r

где u, v, w — проекции вектора скорости на оси r, у, z соответственно; p — давление; 0, c — отклонения температуры и концентрации от их равновесных значении во, со; р — плотность; v — кинематическая вязкость; х — температуропроводность; d — коэффициент диффузии; a — параметр термодиффузии (нормальной термодиффузии соответствуют значения a < 0, а для аномальной a > 0); Д = d2/dr2 + r-1d/dr + r-2d/dy2 + d2/dz2 — оператор Лапласа.

Система (1) допускает двухпараметрическую подгруппу непрерывных преобразований, порождаемую операторами

д д , д „д „, . д ду, д* + + вдС - pf(t)др,

A, B — постоянные, f (t) £ C— произвольная функция [1]. Инвариантное решение следует искать в виде

u = u(r, t), v = v(r, t), w = w(r, t), p = -pf (t)z + D(r, t), в = Az + T (r,t), с = Bz + K (r,t).

Из четвертого уравнения системы (1) следует, что u(r, t) = g(t)/r с некоторой функцией g(t). Далее положим g(t) =0 и, сверх того, предположим, что и v(r, t) = 0. Тогда первое уравнение из (1) показывает, что D есть функция только времени, D(r, t) = D(t), и представление решения при наших предположениях таково:

u = 0, v = 0, w = w(r, t) p = -pf (t)z + D(t),

(2)

в = Az + T (r,t), с = Bz + K (r,t).

Применим решение (2) для описания однонаправленного движения бинарной смеси в вязкой теплопроводной жидкости, причем смесь занимает область в виде круглой цилиндрической трубы радиусом a. Пусть wj (r, t) — осевые скорости смеси и жидкости (j = 1, 2), pj = -pjfj(t)z + Dj(t) — их давления, = Ajz + Tj(r, t) — распределения температур, ci = Biz + K(r, t) — распределение концентрации в смеси (рис. 1). Здесь j = 1 соответствует слою смеси, а j = 2 — вязкой жидкости. Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела r = a линейно зависит от температуры и концентрации

ст(в, c) = сто - (в - во) - ctc(c - co), (3)

где стд > 0 — температурный коэффициент, стс — концентрационный коэффициент (обычно стс < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации), во, co — некоторые постоянные средние значения.

На поверхности раздела при г = а выполнены следующие условия [2]: ш\(а,1) = '2 (а,Ь), Т1(а,Ь) = Т2(а,Ь), к\Т\г (а,Ь) = &2 Т2Г (а,Ь), Кг (а,Ь) + а\Т\г (а,Ь) = 0, и, кроме того, Л\ = А2 = А,

(4)

h

f2(t)= pfi(t)--,

p2a

V2(t) = Vl(t) + - [ao - ae(Ti(a, t) - в0) - ac(K(a,t) - c0)], (5)

a

h =-aeA - acBi, p = p\/pi\

M2w2r(a,t) - piwlr(a,t) = h, (6)

где kj — коэффициенты теплопроводности смеси и жидкости. Граничные условия при r = ж таковы:

|w2(ro,t)| < ж, |T2 (ж, t) | < ж, (7)

т.е. рассматривается затопленная струя.

На оси симметрии ставятся условия ограниченности

|w1(0,t)| < ж, |T1 (0,t)l < ж, |K(0,t)l < ж. (8)

В начальный момент времени t = 0 в жидкости и смеси внезапно возникают распределения температур 0j = Ajz и концентрации ci = Biz. Таким образом, начальные условия имеют вид

wj (r, 0) = 0, Tj(r, 0) = 0, K(r, 0) = 0. (9)

Выпишем уравнения на искомые функции Wj, Tj, K:

-

Wjt = fj (t) + Vj (wjrr + — Wjr^j ;

(10)

Tjt = Xj (rjrr + 1 Tjr^J - Awj; (11)

Kt = di ( Krr + r Krj + aid J Tirr + - Tir J - Biwi. (12)

В (10)—(12) при ] = 1 переменная г изменяется в пределах от 0 до а, а при ] = 2 — а < г < то. Таким образом, нужно решить задачу (10)—(12) с граничными условиями (4), (6)—(8) и начальными условиями (9).

При этом давление восстанавливается по формулам pj (г, 2) = — pj / + р(2), причем функции /(¿), /2(2) и 1*2 (¿) связаны равенствами (5) и должны задаваться /1(4) и

ад).

Замечание 1. Далее ищем классическое решение, при /j € С [0,искомые функции Wj ,Tj, К € С1[0, г0] по переменной € С2(0,а)р С1(0,а], а функции ад2,Т2 €

С2 (а, 6) р С 1[а, 6) р С (а, 6] по переменной г.

Замечание 2. Движение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в цилиндрической трубе конечного радиуса было подробно изучено в работах [3,4].

2. Стационарное решение

0/

Для такого решения все искомые функции не зависят от времени; обозначим их через (r), TQ(r), K0(r). Кроме того, /i(t) = = const, Di(t) = = const. Выпишем соответ-

ствующую краевую задачу: при 0 < r < a

о// I 1 0/ fi .

w 1 + - w 1 =--;

r vi

T0 '' + - T0 ' = Aw 0; r X 1

K0'' + 1 K0 ' = (B - wi;

r \a 1 x1 )

0

|w0(0)| < to, IT0(0)| < TO, |K0(0)| < to;

(13)

(14)

(15)

(16)

при a < r < to

0

0

/20.

w2" + - w2' = — ; r V2

/тЮ// , 1 rp 0 A 0. T2 + - T2 = — w2; r X2

|w0(to)| < TO, |T20(to)| < TO

(17)

(18) (19)

причем, согласно (5)

M2 w°' (a) — p 1®0 '(a) = h, w-°(a) = wQ(a), T0(a) = T20(a), k 1 T0' (a) = k2T20' (a), K0 ' (a) + a 1T? ' (a) = 0,

/20 = /0 — A, P2a

D = D0 + - [СТ0 — (T0(a) — 00) — ac(K0(a) — со)]

(20)

(21) (22)

Общие решения систем (13)—(18) легко найти (учтены условия ограниченности (16)):

о C /ir w 1 = C 1 —

02 _ rp0

4v1 ' T

= — /0^ + C2,

X Л 4 64V1)+ 2

1

w0 = C4 , T0 = C5,

с постоянными Ci,..., C5. Они определяются из граничных условий (19), (20).

Далее предполагается, что h = 0, т.е. рассматривается движение только под действием перепада давления, и термоконцентрационные эффекты на поверхности раздела во внимание не принимаются. Легко показать, что единственным решением задачи (13)-(20) есть покой:

W0 = W0 = 0, T0 = T0 = const, K0 = const, (23)

при этом f0 = f0 =0.

3. Определение возмущений скоростей

Для решения нестационарной задачи применяется метод преобразования Лапласа.

Можно видеть, что при заданной функции fi(t) задачи для скоростей wi,w2, температур Ti,T2 и концентрации K решаются последовательно. Начально-краевая задача для функций Wj (r,t) имеет вид

Wit = Wirr + 1 Wir^ + fi(t), 0 <r < a; (24)

W2t = V2^W2rr + 1 W2r^ + f2(t), a < r < ж; (25)

w1 (r, 0)=0, W2(r, 0)=0, (26)

Wi(a,t) = W2(a,t), ^2W2r (a,t) — piwir (a,t)=0, (27)

Iw^t) < ж, |w2(^o,t)| < ж. (28) Положим (при условии существования fj,Wj,Wjr,Wjrr)

сю

Wj (r,p) = J wj (r,t)e-pt dt, (29)

0

тогда задача (24)-(28), где f2 = pfi, сводится к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений

1 ~ Р ~ fi(p) п „ „

wirr +— wir--wi =--, U < r < a;

r Vi Vi , ч

1 _ 1 (30)

, 1 ~ p ~ Мр) „ „

w2rr +— w2r--W2 =--, a < r < ж;

r V2 V2

wi(a,p) = w2(a,p), ^2w2r (a,p) = цi wir (a,p), (31)

|wi(U,p)| < ж, lw2(<x>,p)l < ж. (32)

Общие решения уравнений (30) легко выписать:

wi = Cil0 (M Л + if; (33)

* = С2/0 (Дг) + С=Ко(Дг) + Ш. (34)

Из граничных условий (31), (32) и асимптотических разложений функций (г), К(г) при

1 АЛ _

г ^ ТО (/^ (г) ~ ^2=^, К; (г) ^ у 2"е Г) получим

fi(p)(p - № л/p a Ci =-^—L, C2 = 0,

C3 = —

fi(p)(p - !)ТУ MV Z

Д

где

Д = 1o U/—a ) + —Vli U/—a ) K0[J — a

(35)

(36)

(37)

y = «i/«2, v = V1/V2, Ij, Kj — функции Бесселя первого и третьего рода мнимого аргумен-

та.

После некоторых преобразований получим следующие выражения для функций Wl(r, р), W2(r,p):

wi(r, p)

W2(r,p)

fi(p)

fi (P)

1 +

(p - i)Ki (Д ^^^yjiF r)

W -P a Ki [у P a + TV MV £ a MV -P a

(p - 1) T- Ma P a) Ko U/V2

Мл P a Ka /£ a + Tv Ii л/-P a K^/-p

(38)

(39)

Можно показать, что покой (23) не является предельным при 2 ^ то, соответствующим формулам (38), (39) нестационарного движения. Действительно, пределы в фигурных скобках в (38), (39) при р ^ 0 равны р. Следовательно,

lim pwj (r, p) = p lim fi (p).

p^O p^O

(40)

Последний предел не обязан равняться нулю, даже если градиент давления /1(2) ^ 0 при 2 ^ то. Приведем два примера.

Пусть градиент давления в смеси /1(2) = ехр(—а2), тогда изображением по Лапласу является функция /(р) = (р + а)-1 и

lim

j(r, t) = lim pWj (r,p) = P = 0.

(—р—>о ' а

Пусть теперь градиент давления имеет разрыв первого рода:

fi (t)

(41)

exp(-at) - 1, 0 < t < t* exp(-at), t ^ t*

его изображением является функция fi(p) = (p + a)-i + p-i(exp(-pt*) - 1). В этом случае

lim Wj (r, t) = lim pWj(r,p) = (--t* ) p = 0.

t^TO p^o ya J

a

p

r

p

a

w

Это неудивительно, так как здесь нет тормозящего влияния твердой стенки. Таким образом, происходит эволюция затопленной струи под действием перепада давления в смеси. Он же порождает нестационарное движение и окружающей жидкости. Результаты, характеризующие данные выводы, представлены на рис. 2-4.

Рис. 2. Профиль скоростей й\ и для /±(т) = ехр(—ат) в различные моменты времени: 1) т = 0,08; 2) т = 5,08; 3) т = 10, 08; 4) стационарное решение

1 1 1

\

\ / 1

\/ -

Л

/ \

/ * 3

/ \ I-

1 1

<1 \ 1 ,

1 1 - 1 1 1 ' 1 ] 1 ! 1 1 ' 1

-3 5 -3 -2 5 -2 -1 5 -1 -0.5 0

Рис. 3. Профиль скорости й\ в струе в различные моменты времени: 1) т = 0, 08; 2) т = 5,08; 3) т = 8, 08; 4) стационарное решение

Рис. 4. Профиль скорости W2 в окружающей струю жидкости в различные моменты времени: 1) т = 0, 08; 2) т = 5, 08; 3) т = 8,08; 4) стационарное решение

4. Определение возмущений температур

Начально-краевая задача для функций Т; (г, 2) имеет вид

Тц = Х1 ( Т1гг + г Т1г ) — ^1(г,2), 0 < г < а;

Т24 = Х2 (Т2ГГ + г Т2^ — ^2 (г, г), а < г < то;

Т1(а, 2) = Т2(а, 2), ^Т^ (а, 2) = ^Т2Г (а, 2), |Т1 (0,*)| < то, Тг(то,*)| < то, Т1(г, 0)=0, Т2(г, 0)=0.

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

Применение преобразования Лапласа к задаче сводит ее к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений

~ 1 ~ р ~ А

ТТ1ГГ +— Т1г--Т = — Wl, 0 < г < а;

г Х1 Х1

~ 1 ~ р ~ А

Т2гг + - -~2г--Т~2 = — W2, а < г < то;

г Х2 Х2

Т~1(а,р) = Т~2(а,р), кТ~1г (а,р) = Т~2Г (а,р), к = — ;

^2

(47)

(48)

(49)

|Т~1 (0,р)| < то, |Т~2(то,р)| < то.

(50)

Здесь й1(г,р), й2(г,р) находят по формулам (33)-(37). Общие решения уравнений (47), (48) имеют вид

Т1(г,р)=0- ^ -рХ1(1ы- №1оШ1г

Ыг,р) = Ыо( ^2 г) + В3Ко( ^г)- (51)

АШ АС3 ко (Лг

Р2 РХ2(1/Х2 - 1/^2)

при VI = Х1, Щ = Х2, т. е. числа Прандтля смеси и жидкости не равны единице. Из граничных условий (49), (50) находим ^1, В2,

VX (HiKi( Д а) + H3 Ko(^ a))

Di =-^--^-^, D2 = 0, (52)

Ai

VXа) - + Hih(Да))

где

D =- V а/-^^' (53)

Д1 , /£а) KiU£а) + kIiU^а) K°Uйа Ь (54)

Hi = A(fi(p) - f 2(p)) + ACi Tf rp\ - AC3 Kf Г£\ ,

1 p2 PXl(l/Xl - 1/vi) \\J Vi ) PX2(1/X2 - 1/V2) 0 VV v2 /'

H Af 2(p) AC3 K ( rp\ (55)

H2 = — + PX2(1/X2 - 1/V2) VV V2 b) ' (55)

s/PXi (1/Xi -I/Vi)^ h{\IZа) + VpX2(l/X2-l/v2)y/V2 а)'

Если VI = Х1, V2 = Х2, то решение (51) нужно изменить так:

ыг,р)=Diioij'Pr) - ACir

P2 2y/pJViXi

ii J^ r

T2(r,p) = D2lo^jrj + D3Ko^-r ) -

ЛШ ac*_ Ki (Mr

2 Vp/v2 X2 VV V2

Как и в предыдущем пункте, показываем, что Mm pTj(r,p) = const.

p^0

5. Определение возмущения концентрации

Начально-краевая задача для функции К (г, 2) имеет вид (предполагается, что В1 = 0)

TV- Jib- , 1 тМ , a1, Aa1«1

К = «1 Krr + - Kr +--IK +--w1;

r X1 X1

K (r, 0) = 0; Kr (a, t) + a1T1r (a, t) = 0; |K(0, t)| < to.

(57)

(58)

(59)

(60)

Применяя к начально-краевой задаче (57)-(60) преобразование Лапласа, получим для изображения К(г,р) задачу

К„ + - К — — K = —— T1 — — w1 = F(r,p), 0 < r < a; r «1 X1 X1

(61)

Kr (a,p) + a1T1r (a,p) = 0;

(62)

IK(0,p)| < to.

Решение уравнения (61) с учетом (63) имеет вид

r

+ У yF (y,p)

if (r,p) = L1 /„( A/«- r ) +

^£ rWJ «1 и— ^ «1 y )ko

dy

(63)

(64)

с постоянной L1, определяемой из граничного условия (62):

L = -

/и J-г a

1

yF (y,p)

^ 5 " MV «19>+

+/о|,/31 У K1 ,/a

dy + a^/ -p1 IT'(a,p) J-.

(65)

И здесь lim pK(r,p) = const.

Замечание 3. Интеграл в (64) — частное решение уравнения (61), может быть вычислен явно с учетом формул (51) для T1(r, p) и (33) для w1(r,p). Именно он равен

a1 -1V1AC1 / / МЛ + "1-1^1 / А ГГг p(v1 — X1)(«1 — V1) 0 VV vW «1 — X1 VV X1

где C1, D1 определяются формулами (35) и (52) соответственно. Это дает другое представление изображения К(r,p), удобное для его численного обращения. Если ¿1 = V1 или «1 = X1, то интеграл в (64) очевидным образом изменяется, см. формулы (56).

r

а

Рис. 5. Профиль температур Т1 и Т2 для / (т) = ехр(—ат) различные моменты времени: 1) т = 0,08; 2) т = 3,08; 3) т = 10, 08; 4) стационарное решение

Рис. 6. Профиль концентрации К для /.(т) = ехр(-ат) в струе в различные моменты времени: 1: т = 0, 08, 2: т = 3, 08, 3: т = 10, 08, 4: стационарное решение

6. Численные результаты

Полученные формулы (38), (39), (51), (64) в изображениях по Лапласу были использованы для численного нахождения полей скоростей, температур и концентрации при заданном перепаде давления в смеси. На рис. 2-6 показана эволюция безразмерных профилей ско-

ростей, температур и концентрации в струе и в окружающей струю жидкости (£ = г/а, т = Vit/а2 — безразмерное время). Основными критериями подобия в рассматриваемой задаче являются

Р = Р1/Р2, V = V1/V2, х = Х1/Х2, k = fci/&2, Pri = Vi/xi, Pr2 = V2/X2, Sci = Vi/di,

где p, v, x, k — отношения соответствующих физических параметров смеси и вязкой жидкости, Pri, Рг2 — числа Прандтля смеси и жидкости, Sci — число Шмидта смеси. На рис. 3, 4 приведены профили скоростей для Д(т), заданной по формуле (41). Результаты численного обращения преобразования Лапласа подтверждают вывод о том, что стационарное решение не является предельным при больших временах. В расчетах использовались следующие значения параметров: а = 1,0, p = 0, 5, v = 0, 02, х = 0,01, k = 0, 5, Pri = 0, 2, Pr2 = 1,4, Sci =0, 5, а =1, 0, t* = 1, 0.

Работа поддержана интеграционным проектом СО РАН № 65.

Список литературы

[1] В.К.Андреев, Ю.А.Гапоненко, Математическое моделирование конвективных течений, Учебное пособие, Красноярск, КрасГУ, 2006.

[2] В.К.Андреев, В.Е.Захватаев, Е.А.Рябицкий, Термокапиллярная неустойчивость, Новосибирск, Наука, 2000.

[3] В.К.Андреев, Н.Л.Собачкина, Свойства решений начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе, Препринт № 1, Красноярск, ИВМ СО РАН, 2009, 40 с.

[4] Н.Л.Собачкина, О совместном движении бинарной смеси и вязкой жидкости в теплоизолированной цилиндрической трубе, Вычислительные технологии, 2011 (принята к печати).

On Motion of a Flooded Jet of Binary Mixture in a Viscous Fluid

Victor K. Andreev Natalya L. Sobachkina

The invariant solution to the problem of motion of a flooded jet of binary mixture in a viscous heatcon-ducting fluid is investigated. The motion is induced by longitudinal pressure gradient in a mixture. The problem reduces to solving a conjugate initial-boundary value problem for parabolic equations. Stationary solution of problem is determined and it is shown that this solution is not the limiting one at different pressure gradients values. Using Laplace transformation properties the exact analytical solution was obtained. Some examples of numerical reconstruction of the velocities, temperatures and concentration fields depending on geometric and physical parameters were considered.

Keywords: binary mixture, flooded jet, pressure gradient, stationary solution, Laplace transformation.