Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности по отысканию начального распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 4. С. 667-679

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10 УДК 517.956.47

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ОТЫСКАНИЮ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

А. Р. Зайнуллов

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, Россия, 453103, Стерлитамак, проспект Ленина, 49.

Аннотация

На основании формулы решения первой начально-граничной задачи для неоднородного двумерного уравнения теплопроводности изучена обратная задача по отысканию начального распределения. В явном виде строится решение прямой начально-граничной задачи. Единственность решения прямой начально-граничной задачи доказана на основании свойства полноты системы собственных функций соответствующей однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Доказана теорема существования решения прямой начально-граничной задачи. На основе решения этой задачи исследуется обратная задача, установлен критерий единственности решения обратной задачи. Существование решения обратной задачи эквивалентно сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, первая начально-граничная задача, обратная задача, спектральный метод, единственность, существование, интегральное уравнение. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1451

1. Введение

Рассмотрим уравнение теплопроводности

Lu = ut - a2(uxx + uyy) = F(x,y,t) (1)

в параллелепипеде

D = П x (0 ,T), П = {(x,y) | 0 <x<l, 0 <y<q}

и следующие задачи для него.

Первая начально-граничная задача. Найти в области D функцию u(x,y,t), удовлетворяющую следующим условиям:

u(x,y,t) е C(D) n Cx2'2;i1(D); (2)

© 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования

Зайнуллов А. Р. Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности по отысканию начального распределения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 4. С. 667-679. doi: 10.14498/vsgtu1451. Сведения об авторе

Артур Рашитович Зайнуллов ([email protected]), аспирант, каф. математического анализа.

.14498/vsgtu1451

Lu = F(x, y, t), (x, y, t) e D; (3)

u(0, y, t) = u(l, y, t) = 0, 0 < y < q, 0 < t < T, (4)

u(x, 0,t)= u(x, q, t) = 0, 0 < x < l, 0 < t < T, (5)

u(x,y, 0) = (f(x,y), 0 ^ x ^ l, 0 ^ y ^ q, (6)

где ^>(x, y) и F(x, y, t) — заданные функции.

Обратная задача. Найти функции u(x,y,t) и ip(x,y), удовлетворяющие условиям (2)-(6) и, кроме того, дополнительному условию

u(xo,yo,t) = h(t), 0 <to < t < ti < T, (7)

где (xo,yo) — заданная фиксированная точка прямоугольника П; to и t1 — заданные действительные числа; F(x,y,t), h(t) — заданные функции.

Отметим, что указанная обратная задача изучена в [1, с. 119] для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями второго рода и доказана теорема её единственности при xo = 0 и x0 = l/n.

В данной работе в явном виде строится решение прямой начально-граничной задачи (2)—(6) и на основе решения этой задачи исследуется обратная задача (2)—(7). В известных книгах по уравнениям математической физики [2-6] единственность решения начально-граничных задач доказывается методом интегралов энергии. Здесь, следуя [7, с. 111], [8], единственность решения задачи (2)-(6) доказана на основании свойства полноты системы собственных функций соответствующей однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Также указаны достаточные условия относительно функций <p(x, y) и F(x,y,t), при которых решение поставленной задачи существует и оно определяется в виде суммы двойного ряда Фурье, так как в указанных книгах не приводятся обоснование сходимости ряда Фурье в классе функций (2).

На основании этих результатов установлен критерий единственности решения задачи (2)-(7) для любой точки (x0,y0) прямоугольника П при l = q. 2. Единственность и существование прямой задачи

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(6), удовлетворяющее условиям

nmx nmx

iim ux sin —-— = iim ux sin —-— = 0,

x—0+ l x—yl— l

T ■ nny . nny ^

iim uy sin—— = iim uy sin—— = 0, (8)

У—0+ y l y—l— y l

то оно единственно.

Доказательство. Пусть ß^nn — собственные значения и Xmn(x,y) — соответствующие им собственные функции спектральной задачи:

Vxx + Vyy + ß2v = 0, (x, y) e П, (9)

v\ n= vi ,= 0, vi .= vi =0, (10)

lx=0 lx=l ' ly=0 I y=q ' v '

которые определяются по формулам

2

Xmn(x,y) = l sin ßmx sin ^пУ,

№"тп — + , — ; , — ; , т,п — 2, ... .

пт пп

T, Vп — 7

Наряду с этой системой рассмотрим систему

¿тп(х, У) — 2 [Хтп(х, у) + Хпт(х, у)] , (11)

которая обладает свойством симметрии

¿тп(х, У) — ¿пт(х, у).

Система (11) является решением спектральной задачи (9) и (10), обладает свойствами ортогональности и полноты в пространстве Ь2(П). Рассмотрим интеграл

/1—е Я—5

У и(х, у, Ь^) ¿тп(х, у)(х(у, (12)

где е, 5 — достаточно малые положительные числа.

Дифференцируя равенство (12) при £ е (0,Т) и учитывая уравнение (1), получим

Я—е Я—5

^тп(£) — I / щ(х,у,1)Етп.(х,у)йхйу — (■1-е г1—5

I аи + р (х, у, ь)) ¿тп

/5

Я—е Я—5 г\—е 1—5

I ихх Ятпх, у)(х(у + а /5 .1 е -)5

/1-е Я—5

/ Р(х, у, £) ¿тп(х, у)йхйу —

•2

а

/1—е Я—5

У (а2Аи + Р(х, у, ^¿тп(х, у)(х(у —

А—5 п1—е г1—5

/ ихх2тпх,у)(х(у + а2 / иуу ¿тп(х,у)(х(у+

.)5 .)е .15

— а2 (II + 12)+ Ртп(£), (13)

где

/1—е г1—5

у,1)2тп(х,у)(1хйу. (14)

С учетом граничных условий (4), (5), X(0) — X(I) — 0, У(0) — У(д) — 0 проинтегрируем по частям интегралы 1\ и 12 в области П:

Я—5 Я—е

1\ ^У иххЯтп(х,у)(1х —

— ^ (у(^Пх2тп (х, у)\1—е - ^ их (¿тп(х, у))'х —

Г1—5 / г_£ / г_£

^У (1уЫх2тп(х,у)\££ - и(х,у,г) (¿тп(х,у))' +

+ и(х,у,г) (¿тп(х,у))"х ((х),

/1-е п—о

с!х J иуу2тп(х,у)дьу =

= ^ йх^ПуZmn(x, у) |0—0 - ^ Пу ^тп(х, у))'у йу^ =

= I йх^ПуZmn(x, у) |0—0 - и(х,у,Ь) (^тп(х,у))'у11—° +

А-&

+ ^ п(х,у,Ь)(^тп(х,у))уу йу

Из (13) с учетом полученных значений интегралов 1\ и /2 при е ^ 0, 5 ^ 0, следует

у'(Ь) = а2 JJ их у, г) ((^тп(х, у))"х + (^тп(х, у))уу^) йхйу + Fmn(t) = = -^па2 Ц и(х, у, t)Zmn(x, у)йхйу + ^тп(г) =

= №тпа ^тп(г) + Ртп^^

откуда

^тп(г) + №тпа ^тп(г) = Ртп(г). (15)

Общее решение уравнения (15) определяется по формуле

С1

Утп(г)= ¥тп (8)в—^п «2 ^ + Стпв-^4, (16)

Jo

где Стп — произвольные постоянные. Для определения их воспользуемся граничным условием (6) и формулой (12):

Утп(0) = JJ u(x,y,0)Zmn(x,y)dxdy = JJ $(x,y)Zmn(x,y)dxdy = $тп.

П П (17)

Удовлетворяя (16) начальному условию (17), найдем Стп = $тп и

¡■г

Утп(г) = $тп в-»™*4 + Fmn(s)e—^na2(t—s)ds. (18)

■)0

Отсюда следует единственность решения задачи (2)—(6), так как если положить <р(х,у) = 0, F(х,у,г) = 0, то (ртп = 0, Fmn(s) = 0, и из (18) получим утп(г) = 0, что на основании (12) равносильно равенству

JJ и(х, у, t)Zmn(x, y)dxdy = 0,

и в силу полноты системы Zmn(x, у) в пространстве £2(П) функция и(х, у, г)=0 почти всюду в П и при любом г € [0, Т]. Тем самым единственность решения задачи (2)-(6) доказана. □

Теорема 2. Если ((х,у) е С4 (П), Г (х, у, Ь) е С22(П) П С(0,Т) и

((0, у) = <р(1, у) = ((х, 0) = ((х, ]) = 0, (19)

(Х(0, у) = (Х(1, у) = (x(x, 0) = (x(x, ]) = 0,

('у(0, у) = ('у (I, у) = ('у (х, 0) = ('у(х, ]) = 0,

Г(0, у, Ь) = Г(], у, Ь) = Г(х, 0, Ь) = Г(х, ], Ь) = 0, (20)

Гх(0, у, Ь) = Рх(], у, Ь) = ГХ(х, 0, Ь) = ГХ(х, ], Ь) = 0, ру(0, у, Ь) = Гу(], у, Ь) = Гу(х, 0, Ь) = Гу(х, ],Ь)=0

для всех (х,у,Ь) е О, то существует 'решение задачи (2)-(6) и оно предста-вимо в виде суммы ряда

гти(х,у) (21)

г г- г

и(х,у,Ь) =^тпе-р2гппаЧ + Гтп(в)в-^2тпа2(г-з)ёб

с коэффициентами, которые определяются по формулам (17) и (14).

Доказательство. Решение задачи (2)-(6) выше формально построено в виде суммы ряда (21), где коэффициенты (тп, Гтп(Ь) определяются по формулам (17) и (14). Если ряд (21) равномерно сходится на О, так же как ряды, полученные из него почленным дифференцированием один раз по переменной Ь и по два раза по х, у, то его сумма будет удовлетворять в области О условиям (2)-(6).

Предварительно проинтегрируем по частям интегралы (17), (14) два раза по х и два раза у и, учитывая (19), (20), получим

(тп = Л ^(х,у)2тп(х,у)йхйу =

- вШ ЦпуЛу (р(х,у)БШ

] ./о Jo

1 Г1 Н

+ 1вш ЦтуЛу <р(х,у)вт ^пхс!х = ] .)о -)о

1 1

оо А ГI

= —2 7 I ЦпуЛу (ХХ вт цтхйх—

цт ]

оо

11 ¡'1 ¡'1

--27 ^п ^туЗу (ХХ вш цпхйх =

цп ] Jo Уо

1 1 цт]

Я ГI

= -—^у I вт Цтх<!х (ХХ ^п ЦпуЛу—

1 1 п п

--"2 7 I ^ ЦпхЛх ("Х 8Ш ЦтуЛу =

цп ]

11

% ] -У0 -)0

г1 г1

вт цтхйх / (Ху ^п упуйу+

1,2 ..2 ] ^/

цтцп ] ¿0 л0

11 Г1 Г1

+ 2 2 7 I ^ ЦпхЛх (рХу в1п ЦтуЛу =

цтцп ] ■)0 -)0

1 1

^п 1 ■]П

$Хху2 №тх иnydxdy+

11

+ 2 2Т 11 $ХХ'2 ^п Ипх й1п №mydxdy = ИтИп 1 ^ Уп

1 /V 2,2^ ! \л л ^ фпгп

$ x'yZmn(x,y)dxdy = —г^-гл;, (22)

,,2 ,,2 ^хУ уу—у _4 т2П2'

Ит-)п п т П

Fmn(t) = JJ F(x,y,t)Zmn(x,y)dxdy =

= 1 [ 81п ,nydy [ F(х, у, t)sin |lmXdx |

/0 ./0

+ 1 I sin ,mydy I F(х, у, ^ sin ,nxdx = 1 Уо ./о

I

11 [1 ¡'1

=--2 sin ,пуг!у sin ,mXdx-

Ит 1 -'о .'о

11 [1 [1 --2 1 sin ,туг!у F"x sin ,nXdx =

Ип 1 '0 '0

11 ¡'1 ¡'1

=--sin ,mxdx F"x sin ,пус1у-

Ит 1 ■>0 ■>0

11 Г1 Г1

—у I sin ,nxdx Рхх sin ,mydy =

Ип 1

00 sin |nydy+

11 г1 1 1 ' - 1 ^222

ИтИп 1 ./0 ./0

11

11

+ 2 Т I sin |nXdx FXУ sin |mydy =

ИтИп 1 ■)0 ./0

^ 2,2

,2 ,2 1 / /„ " ху

И-тИ-п 1

F2y2 sin |тх sin иnydxdy+

П

+ 21 2 1 Fxy sin Ипх sin Итydxdy = ИтИ'п 1 У Уп

= ,.2 ,,2 [[ ^у^п^,^^ = и т2п2 . (23) ИтИп ^ -)П п т П

Поскольку $ху и Fxy(t) непрерывны в П, в силу неравенства Бесселя следующие ряды сходятся:

о л л

|2 ^ 2 / / л„2,2\2.

^ О Я Л

Е |$ттш2 < 2 ($х?)2^у,

т,п=1 1 70 70

2 Л Л

Е (t)|2 < т (F2y2(t))2dxdy. ¿=1 1 ]0 -10 у

Подставив (22) и (23) в ряд (21), получим

14 Е 1 г *

т,п=1

Теперь оценим

(■г

¿4 ж 1 г ¡-г

и(х,у,Ь) = -4 Е 3 ^е-^"^ + р«п¿8 п т п I ¿0

^тп(х, у).

(24)

[ Р^пП(в)е-^""2(г-')йв = тах («)| [ е-^а2И-*)^ =

= \\FmnУс(1 - е-^2*) < /2 ||р(4ПУс

^тап0,2 а2п2 т2 + п2'

Ряд (24) при любых (х, у, Ь) € О мажорируется сходящимся рядом

тп\\С

¿4 ж 1 ¿6 ж 1 ж II Р(4)

1 |_(4) | + _ у"^ 1 \\Ртп

п4 т2п2 п6а2 ^ т2 + п2 ^ т2п2 '

т,п=1 т=1 п=1

Тогда ряд (21) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в О. Следовательно, функция и(х, у, Ь) непрерывна в О как сумма равномерно сходящегося ряда (21).

Теперь докажем возможность почленного дифференцирования ряда (21) по переменным х, у два раза и по Ь один раз в О. Для этого покажем, что полученные при почленном дифференцировании ряды сходятся абсолютно и равномерно на О0 = О П {Ь ^ Ь0 > 0}, где Ь0 — достаточно малое положительное число. Формально из (24) почленным дифференцированием составим следующие ряды:

иТ.Т. -

,4 ж 2 /

п4 т2п2\*тп

т,п=1 4

+ £ Ртп(ф-^2^2тп(х, у), (25)

I4 ж ц2

иУУ = П4 т2п2\ *тпе

т,п=1

V цп . (4) р-^тпа2г, 2^/ т2п2\ *тпе +

+ £ Ртп(з)е-^па2(-^ 2тп(х, у), (26)

]4 ж 2 2 / и = —V цтпа (4) р-ц2тпа2г,

и = п4 ^ т2п2 I *тп +

т,п=1 4

+ /г Р(4пМе-^2«-'^ + Р2пЩ) ^тп(х, у). (27)

,)о цтпа /

Ряды (25)—(27) при любых (х, у, Ь) € Бо мажорируются соответственно рядами

/4 го 1 /5 го 1 го II Р(4) ||

_ У 1 ь(4) |и2 р-^ппа 1 + _1_V (28)

п4 ^ т2п2 1(тп^те + п5а2 ^ т(т2 + п2) ^ п2 , (28)

т,п=1 т=1 п=1

/4 го 1 /5 го 1 го || р(4)||

1_ V 1 Ь(4) \а2 е-^тпа2г _1_ V ^тП 1|С (29)

п4 ^ т2п2 + п5а2 ^ п(т2 + п2) ^ т2 , ( )

т,п=1 п=1 т=1

,4 2 го 1 074 го .. го и 7^(4) ц

V 1 \т(4) \и2 р-^па2г + ^ V — V (30)

п4 ^ т2п2 ^тп^тпе + п4 ^ т2^ п2 ' ( )

т,п=1 т=1 п=1

Ряды (28)-(30) сходятся абсолютно. Тогда ряды (25)-(27) на основании признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно на Б. Следовательно, функции ихх, иуу, щ € С (Б) и, подставляя ряды в уравнение (21), убеждаемся в том, что функция и(х,у,Ь), определяемая рядом (21), является его решением в Б. □

3. Критерий единственности решения обратной задачи

Рассмотрим теперь обратную задачу (2)-(7). Полагая в формуле (21) х = хо, у = уо с учётом условия (7), получим относительно неизвестной функции ((х, у) уравнение

го

Е (р(£,п)2тп(£,п)^(1пе-^тпа2*гтп(хо,уо) = т,п=1

го

= Н(Ь) - Е ^тп(Ь~) ^тп(хо, уо~) = Ы*), *о < Ь < *1. (31)

т,п=1

Теорема 3. Если Zmn(x0,y0) = 0 при всех т,п € N то решение интегрального уравнения (31) единственно в Ь2(Л).

Доказательство. Следуя [1, с. 119], [7,9], в силу линейности уравнения (31) достаточно показать, что оно имеет только нулевое решение при Но(Ь) = 0. Положив в (31) Н(Ь) = 0 и Г(х,у,Ь) = 0, имеем

ГО Г Г

Е / (p((,n)Zmn((,n)d(dl1e-^nа2^тп(хо,уо) = 0.

т,п=1'' -'П

Рассмотрим в комплексной полуплоскости И,е г ^ а, где а € (0,Ьо) — постоянная, функцию комплексной переменной

го

Ф(г)= Е (тпе-^22Zmn(xо, уо). (32)

т,п=1

Так как при И,е г ^ а

2 2 2 2 |(PmnZmn(xо,Уо)e-^na 21 < Се-»™а а, (33)

где C = const > 0, то в этой полуплоскости ряд, стоящий в правой части соотношения (33), сходится равномерно. Учитывая, что каждый член этого ряда является аналитической функцией при Re z ^ а, и применяя теорему Вейерштрасса, получаем, что функция $(z) является аналитической при Rez ^ а. Поскольку в силу (32) $(z) = 0 на отрезке [to,t^ действительной оси t из области аналитичности $(z), то на основании теоремы единственности для аналитических функций следует $(z) = 0 при Re z ^ а. Отсюда следует равенство при всех t ^ t0:

те

Е ^mne-^m"a2tZmn(xo,yo) = 0. (34)

m,n=1

Умножим равенство (34) на e(^1ia^2f' и в полученном равенстве, переходя к пределу при t ^ найдем

Фи = 0. (35)

С учетом (35) умножим равенство (34) на e(^12a",2f' и в полученном равенстве, переходя к пределу при t ^ получим

<PnZl2(xo,yo) + f2lZ2l(xo,yo) = 2ф 12Z 12(X0, Уо) = 0. Отсюда с учетом того, что Z12(xo,yo) = 0, имеем

Ф12 = Ф21 = 0. (36)

Снова учитывая (35) и (36), умножая равенство (34) на e(^22°a,2t и переходя к пределу при t ^ в полученном равенстве, найдем

Ф22 = 0. (37)

Затем, учитывая равенства (35)—(37), умножим равенство (34) на e(^13a^2f' и, переходя к пределу при t ^ то, будем иметь

Ф13 = Ф31 = 0. (38)

Затем в силу (35)—(38) получим

Ф23 = Ф32 = 0.

Рассуждая далее аналогично вышеизложенному, получим

фтп = 0, m,n = 1, 2,.... (39)

Из равенства (39) в силу полноты системы функций {Zmn(x,y)}m,n^1 в пространстве L2(n) следует, что ip(x,y) = 0 почти всюду в П. Отсюда в силу непрерывности функции <p(x, y) на П получим, что <p(x, y) = 0. □

Тогда из теорем 3 и 2 следует единственность решения обратной задачи (2)-(7).

Пусть при некоторых xo = xo/l, yo = yo/l и m = p, n = s £ N нарушено условие теоремы 3:

Zps(xo, y0) = sin npX0 sin nsy0 + sin nsX0 sin npy0 = 0. (40)

Тогда обратная задача (2)-(7) при h(t) = 0 и F(x, y,t) = 0 имеет ненулевое решение

ups(x,y,t) = ZPs(x,y)e-(^psa)2 \ fps(x,y) = ups(x,y,0) = ZPs(x,y). Из уравнения (40) найдем рациональные значения

Xo = h/p, yo = k2/p, ki,k2 £ N, ki <p,k2 < p,

или

x0 = k3/s, y0 = k4/s, k3,k4 £ N, k3 < s,k4 < s,

при которых нарушается условие теоремы 3, т.е. нарушается единственность решения задачи (2)-(7).

Следовательно, установлен следующий критерий единственности решения обратной задачи (2)-(7).

Теорема 4. Условия Zmn(x0,y0) = 0 при всех m,n £ N необходимы и достаточны для единственности решения обратной задачи (2)-(7).

Рассматриваемая обратная задача может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Действительно, поменяв местами порядок интегрирования и суммирования в левой части уравнения (31), получим интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Gf = JJ^ G(t, С, r¡MZ, n)díán = ho(t), to < t < ti, (41)

с гладким ядром

те

G(t,C,n)= E e-^"a2tZmn((,n)Zmn(xo,yo)

m,n=1

в параллелепипеде П x [to, ti]. Следовательно, интегральный оператор G, рассматриваемый действующим из ¿2(П) в L2[to,ti], вполне непрерывен. Задача решения уравнения (41) в этой паре пространств некорректна. 4. Заключение

В заключение отметим, что обратные задачи для уравнений параболического типа, как правило, являются некорректными. Для их решения обычно привлекается теория некорректных задач, разработанная в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и их учеников [10-12]. В данной работе, в отличие от других работ, предлагается спектральный метод для обоснования единственности решения обратной задачи (2)-(7).

Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97003-р_поволжье_а).

ORCID

Артур Рашитович Зайнуллов: http://orcid.org/0000-0003-2657-4101

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 208 с.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. Н. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 1966. 724 с.

3. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. 432 с.

4. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физмат-лит, 2000. 398 с.

5. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978. 392 с.

7. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с.

8. Сабитов К. Б. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка// Докл. РАН, 2009. Т. 427, №5. С. 593-596.

9. Зайнуллов А. Р. Обратные задачи для уравнения теплопроводности // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2015. №6(128). С. 62-75.

10. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

11. Лавретьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

12. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных .задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

Поступила в редакцию 10/Х/2015; в окончательном варианте — 12/Х1/2015; принята в печать — 19/Х1/2015.

3añHynnoB A. P.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 667-679 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1451

MSC: 35G16, 35R30

AN INVERSE PROBLEM FOR TWO-DIMENSIONAL EQUATIONS OF FINDING THE THERMAL CONDUCTIVITY OF THE INITIAL DISTRIBUTION

A. R. Zaynullov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University,

49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation.

Abstract

The inverse problem of finding the initial distribution has been studied on the basis of formulas for the solution of the first initial-boundary value problem for the inhomogeneous two-dimentional heat equation. The uniqueness of the solution of the direct initial-boundary value problem has proved with the completeness of the eigenfunctions of the corresponding homogeneous Dirichlet problem for the Laplace operator. The existence theorem for solving direct initial boundary value problem has been proved. Inverse problem has been investigated on the basis of the solution of direct problem, a criterion for the uniqueness of the inverse problem of finding the initial distribution has been proved. The existence of the inverse problem solution has been equivalently reduced to Fredholm integral equation of the first kind.

Keywords: heat equation, first initial-boundary value problem, inverse problem, spectral method, uniqueness, existence, integral equation.

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1451

Acknowledgments. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-01-97003-r_povolzh'e_a).

ORCID

Artur R. Zaynullov: http://orcid.org/0000-0003-2657-4101

REFERENCES

1. Denisov A. M. Elements of the theory of inverse problems, Inverse and Ill-Posed Problems Series. Utrecht, VSP, 1999. iv+272 pp. doi: 10.1515/9783110943252.

2. Tikhonov A. N.; Samarskii A. A. Equations of mathematical physics, International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics, vol. 39. Oxford etc., Pergamon Press, 1963, xvi+765 pp.

© 2015 Samara State Technical University. Please cite this article in press as:

Zaynullov A. R. An inverse problem for two-dimensional equations of finding the thermal conductivity of the initial distribution, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 667-679. doi: 10.14498/vsgtu1451. (In Russian) Author Details:

Artur R. Zaynullov ([email protected]), Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.

3. Sobolev S. L. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka, 1992, 432 pp. (In Russian)

4. Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. M., Fizmatlit, 2000, 398 pp. (In Russian)

5. Koshlyakov N. S., Smirnov M. M., Gliner E. B. Differential equations of mathematical physics. Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1964, xvi+701 pp.

6. Godunov S. K. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka, 1978, 392 pp. (In Russian)

7. Sabitov K. B. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Fizmatlit, 2013, 352 pp. (In Russian)

8. Sabitov K. B. A boundary value problem for a third-order equation of mixed type, Dokl. Math., 2009, vol.80, no. 1, pp. 565-568. doi: 10.1134/S1064562409040292.

9. Zaynullov A. R. Inverse problems for the heat equation, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2015, no. 6(128), pp. 62-75 (In Russian).

10. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya. Solutions of ill-posed problems, Scripta Series in Mathematics. New York etc., John Wiley & Sons, 1977, xiii+258 pp.

11. Lavrent'ev M. M., Romanov V. G., Shishatskij S. P. Ill-posed problems of mathematical physics and analysis, Translations of Mathematical Monographs, vol. 64. Providence, R.I., American Mathematical Society, 1986, vi+290 pp.

12. Ivanov V. K., Vasin V. V., Tanana V. P. Theory of linear ill-posed problems and its applications, Inverse and Ill-Posed Problems Series. Utrecht, VSP, 2002 xiii+281 pp. doi: 10.1515/9783110944822.

Поступила в редакцию 10/X/2015; в окончательном варианте — 12/XI/2015; принята в печать — 19/XI/2015.