Об одной обратной задаче для двумерного уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-95

ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ABOUT ONE INVERSE PROBLEM FOR TWO-DIMENSIONAL EQUATION OF HEAT

CONDUCTIVITY

А.Р. Зайнуллов 1 A.R. Zaynullov 1

1 Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, Россия, 453103, г. Стерлитамак,

проспект Ленина, 49

Sterlitamak Branch of Bashkir State University, 49, Prospekt Lenina St, Sterlitamak, 453103, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация. На основании формулы решения второй начально-граничной задачи для неоднородного двумерного уравнения теплопроводности изучена обратная задача по отысканию начального распределения. В явном виде строится решение прямой начально-граничной задачи. Единственность решения прямой начально-граничной задачи доказана на основании свойства полноты системы собственных функций соответствующей однородной задачи Неймана для оператора Лапласа. Доказана теорема существования решения прямой начально-граничной задачи. На основе решения этой задачи исследуется обратная задача, установлен критерий единственности решения обратной задачи. Существование решения обратной задачи эквивалентно сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Resume. The inverse problem of finding the initial distribution has been studied on the basis of formulas for the solution of the second initial-boundary value problem for the inhomogeneous two-dimensional heat equation. The uniqueness of the solution of the direct initial-boundary value problem has proved with the completeness of the eigenfunctions of the corresponding homogeneous Neumann problem for the Laplace operator. The existence theorem for solving direct initial boundary value problem has been proved. Inverse problem has been investigated on the basis of the solution of direct problem, a criterion for the uniqueness of the inverse problem of finding the initial distribution has been proved. The existence of the inverse problem solution has been equivalently reduced to Fredholm integral equation of the first kind.

Ключевые слова:уравнение теплопроводности, вторая начально-граничная задача, обратная задача, спектральный метод, единственность, существование, интегральное уравнение.

Keywords^eat equation, second initial-boundary value problem, inverse problem, spectral method, uniqueness, existence, integral equation

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение теплопроводности

Lu = ut - а\ихх + иуу) = F(х, y,t) (1)

в параллелепипеде:

D = Пх (0,T), П = {(х, y) |0< х < l,0 < y < q}

и следующие задачи.

Вторая начально-граничная задача.Найти в области D функцию и(х, y,t), удовлетворяющую условиям:

и(х, y, t) е C(D) п (D и S) п С™(D)); (2)

Lu = F(х, y, t), (х, y, t) е D; (3)

Ux(0,y,t) = ux(l,y,t) = 0, 0,< y < q, 0,< t,< T, (4)

иу (1,0,0 = иу (X, д,X) = 0,0 ,< X< I, 0 ,< Х,< Т, (5)

и(х,у,0) = <(х,у), 0,< х < 1,0,< у,< д, (6)

где <(х, у) и ¥(х, у, X) — заданные функции, S — боковая поверхность параллелепипеда.

Обратная задача.Найти функции и(х, у, X) и <р(х, у), удовлетворяющие условиям (2-6) и, кроме того, дополнительному условию

и(х0,у0,Х) = ну),0< Х0 < X < Х1 < Т, (7)

где (х0, у0) — заданная фиксированная точка прямоугольника П, хо и ^ — заданные действительные числа, ¥(х, у, X), Н(Х) — заданные функции.

Отметим, что указанная обратная задача изучена [1, с. 119] для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями второго рода и доказана теорема её единственности при х0 =0 и х0 = I/ж .

Данная работа является продолжением исследований автора [9], где изучена обратная задача с граничными условиями первого рода. В этой работе в явном виде строится решение прямой начально-граничной задачи с условиями (2-6) и на основе решения этой задачи исследуется обратная задача с условиями (2-7). В известных книгах по уравнениям математической физики [26] единственность решения начально-граничных задач доказывается методом интегралов энергии. Здесь, следуя [7, 8], единственность решения задачи с условиями (2-6) доказана на основании свойства полноты системы собственных функций соответствующей однородной задачи Неймана для оператора Лапласа. Также указаны достаточные условия относительно функций <р(х, у) и ¥(х, у, X), при которых решение поставленной задачи существует и оно определяется в виде суммы двойного ряда Фурье, так как в указанных книгах не приводится обоснование сходимости ряда Фурье в классе функций (2).

На основании этих результатов установлен критерий единственности решения задачи (2-7)

для любой точки (х0, у0) прямоугольника П при I = д .

2. Единственность и существование прямой задачи

Теорема 1. Если существует решениезадачи с условиями (2-6), то оно единственно.

2

Доказательство. Пусть Цтп — собственные значения и !ш (х,у) — соответствующие им собственные функции спектральной задачи:

^ + % + Ц2V = 0,(X у) еЦ (8)

и=0 = = 0, и=0=и=д =0, (9)

которые определяются по формулам:

Х00(х,у) = ^, т = п = 0;

фд

х0п(x, у) = ^^ ЦnУ, т = 0 п е Н

Хт0 (^ у) Цтх- т е ^ П = 0';

2

Хтп (X, у) =^=С°8 ЦтхСО® ЦnУ, ^ П е Н

2 2 2 ж т ж п

ц = ц +ц , ц =-, ц =-,т,п = 0,1.....

I д

Наряду с этой системой рассмотрим систему

2™ ^у)х™(х, у)+(х,(10)

которая обладает свойством симметрии:

2тп (х У) = 2„т (х У)-

Система (10) является решением спектральной задачи (11) и (9), обладает свойствами ортогональности и полноты в пространстве £2 (П), при это норма II 2„т 11^ (п) =1. Рассмотрим интеграл

итп (О

= Л и(х, У' ^"п (х, У) йхйу- (11)

Введем вспомогательную функцию

- М-8 м—5

и™ (<) = I Г и(х,У'()2т (х,у) ФхФу, (12)

где 8, 5 — достаточно малые положительные числа.

Дифференцируя равенство (12) при , е (0, Т) и учитывая уравнение (1), получим

(и"П (г))' = £ £ и, (х, у,,)2пш (х, у) ФхФу = £ £ (а2Ди +

(•/—8 1*^—5

где

1 Г—8Г$—5

+ Е(х y, Г» гт (х у) Лф = а £ £ их,гтп (х у) Лф +

+а£ £ иуу2™ (х у) фхфу+£ £ р (х у,,)2тп(х у) фхфу =

= а\11 +12) + (13)

I; Е(х, у, ,)2пт (х, у) ФхФу. (14)

С учетом граничных условий (4, 5), 2'(0,у) = 2'(/,у) = 0, 0,< у < 2' (х,0) = 2'(х,;) = 0, 0, < х,< / проинтегрируем по частям интегралы I и I . Тогда получим:

11= Г ФI1 —ихх2тп (x, у) фх = 1$ их2тп (x, у) |8—8 —|/ °их (2тп (х, у))хфх] =

= ф(их2тп(x,у) |8—8 —u(x,у,,)(2шп(x,у)) |8—8 +£ -u(x,у,,)(2"п (ху))ххфх)

12 = £ 8фхГ 5иуу2шп (x, у) фу = £ 8фх[иу2тп (х у) |;—5 —|8; °иу (2тп (x, У))уФУ) =

= £ ф(^иу2тп (х, у) |;—5 —и(х у,()(2тп (х:, у))у |;—5 +£ Su(x, У, ()(2„п (X, У))ууФУ^)-

Подставляя значения интегралов 1Х и 12 в (13) и переходя к пределу при 8 ^ 0, 5 ^ 0,

и'(,) = а2 Л и(х, У,, )((2тп (х, у))хх + (2тп (х, У))уу) фхфу + ^ (,) = = -¿У и(хУ,,)2тп (хУ^> фхфу + ^ ® = -^па\п (,) + Етп (,1

и' (1) + д2 а2и (1) = Е (1). (15)

тп У/ г~тп тп У/ тп У/ (15)

Общее решение уравнения (15) определяется по формуле

и (,)= Г'е ^)е^2тпа2(,—^ ж + с е^2тпа2' (16)

тп V У £ тп V у тп 5 4 '

где Стп — произвольные постоянные. Для определения их воспользуемся граничным условием (6) и формулой (12):

итп (0) = Л ^ У,0)2тп (х У) ФхФУ = Л ^ У)2™ (^ У) ^ = ^ - (17)

Удовлетворяя (16) начальному условию (17), найдем Ст = фт и тогда окончательно находим функцию

итп (О = ф„„е^"а2' + £ Fan (18)

Из формулы (18) следует единственность решения задачи с условиями (2-6), так как если положить ф(х, у) = 0, ^(х, у, 0 = 0, то фт = 0, ^ (5) = 0 и из (18), получим и^ (/) = 0, что на основании (12) равносильно равенству

Лп и(х, у,/)^ (х, у) ёхёу = 0, и в силу полноты системы Zmn (х, у) в пространстве (П) функция и(х, у,/) = 0 почти всюду в П и при любом / е [0,Г]. Тем самым, единственность решения задачи доказана.

Теорема 2. Если ф(х,у) е С4(П), ^х,у,/) е С^ф и 8) и

ф'х (0, у) = ф'х (I, у) = 0, 0,< у < д, ф'х (х,0) = ф'х (х, д) = 0, 0, < х < I,

фу (0, у) = фу (I, у) = 0,0 ,< у < д, ф'у (х,0) = фу (х, д) = 0,0 ,< х,< I, а9)

^х'(0,у,/) = К(1,у,/) = 0, 0,< у,< д, FXx,0,t) = ^(х,д,/) = 0, 0,< х,< I,

^(0, у, /) = % (I, у, /) = 0,0,< у,< д, Е'у (х,0,/) = (х, д, /) = 0,0,< х,,< I (М)

для всех (х, у, /) е Б , то существует решение задачи с условиями (2-6) и оно представимо в виде суммы ряда

1 1 ™ ( 2 2 \ и(х,у,/) = ^(ф00 + ЗД)) +1 Е[ф„0 е-'"1"' + ^(ОJ2т0(х,у) +

(х, у) (21)

1 ^ ( 2 2 Л ^

+1ZI ' + F0n (t) 1 Z0„ (х, у) + X

2 n=1 V J m,n=1

22

ф e^™" t + F (t)

тгтп mn V У

с коэффициентами, которые определяются по формулам (17) и

Fmn(t) = Яп it F(х,у,s)e~"Vmn(t~S)ds Zmn (х,у) dxdy, m,n = 0,1,... . (22)

Доказательство.Решение задачи с условиями (2-6) выше формально построено в виде суммы ряда (21), где коэффициенты фтп, Fmn (t) определяются по формулам (17) и (22). Если ряд

(21) равномерно сходится на D , также как ряды полученные из него почленным дифференцированием один раз по переменной t и по два раза по х, у, то его сумма будет удовлетворять условиям (2-6).

Предварительно проинтегрируем по частям интегралы (17), (22) два раза по X, у , и учитывая условия (19), (20), получим

mmn = Яп ф(Х у^т, (X у) dxfy Г 008 Цп.у ^i0 ф(X у) COS |mxdx +

+ _^ £cos ^ydyi^^, у) cos |nxdX = —1—^ i^cos Цnуdу£ф'XX cos |imxdx -

фдj0 j0 I тфд

11 гд , f ,, , 11

М- 2 yfig igcos I ту ау^"ф"хх cos InX dX = i>cos ImX ^i^X cos 1пУ Ф -

--T"^i'cos !nxdxilmXX cos 1ту = 21 2 io cos ImXdXiogфX4х)yyC0S 1пУФ

+ 21 2 io cos InXdXiogфXXyyC0S 1ту dV = 21 2 ^ i¿фXXУyC0S ImXcos dxdy

iJпфX4XyyC0S цпх cos ^mydxdy = |21|г Я^ХХУУ^ (х,у) d)dy = ^ ^Jnr, (23)

ГГ Г(х, у, ')2т (х, у) ¿хфу = ^ £ С°8 цяу фу £ Г(х, у,') С°8 итхфх + п ,^/д ^ ^

+ £ ^тУФУ £оЕ (х У, ')С°8 Ц„хфх =--^"7= Г008 ^пуфу£0р'' СО8 ^тхфх -

^ ТЛ £° 008 ^туфу£аг'х''' 008 ^пхфх = — 1 (0 С°8 ^-тхФх\1Ехх С°8 ^пуду —

^"/Т !0 008 ^^ ЦК С°8 ^тУФУ =22^ £ С°8 ^тхФх [ ^у2 008 МпУ ФУ

+ 21 2 {о С°8 ^пхФх\Ч0Е14ууСО8 ^тУФ = 21 2 ^ Цп^УУ008 ^т" С°8 МпУ ФхФУ

Ж 4Ч£ £ ххуу »тип^Ч* }П ххуу

+ КхУуС°8 ^ С°8 ^тУфхфУ = ^гЛ ЕххУу2тп ^ у) фхфу = ^(пГ. (24)

ТТ т(2^^(2^г\(4) 17(4) (Л 7Г ^

Поскольку Фхх, фуу, Фххуу гхх (1Ь Гуу (1Ь Гххуу\1) и непрерывны в П , то в силу неравенства Бесселя

следующие ряды сходятся:

ад О / О / /1/

Е | ф"2) | 2< 2£ху, Е | фФ2п | 2< |£¿«у, Е | Ф"П | 2< ,4£1ЧСФххуу)2

т,п=\ т,п=1 14 т,п=1 14

Е | Г%(,) < 2 ¡Х^Х,))2 ¿хфу, Е, | Г%(,) ? < ^(ГУ«))2 ¿хфу,

ад л ,

Е^ГОГ ^/Ч££Ч(гхху(,))2¿хфу.

т,п=\ Щ

Подставив (23) и (24) в ряд (21), получим

u(x, У,,)=-(Ф00 + Г00(')) - 2 Е

4 2 л т=1 т

^ ЕА 1^0+Ф0т)е-^та2'+г?«+Г®« \ 2т0(х, у)—

42/;

2л2

/ 2д2

ад 1 / 22 Л

ЕЕ4( (Ф2 + ФмУе ^"" ' + Г<?(,) + Г» )20п(х,у) +

ад 1

Е-4

_4 2 2

л т,п=1 т п

22

Ф(4)е —т"а ' + Г^О

2тп (х У).

(25)

Теперь оценим

—и а ('—^

Ф

-mwí|Г:;2(s)|¡'e-и2ma2('—s'ds-

2 2

игт^с (1—е-^та'0) /2 игт^с

22 ита

<

2 2 2

а л т

£гт:(*)е

ит"2 ('—syds

тах

0 ^^

|Гo(2п\s)|jyи2ma2('—s)ds =

лт^ (1—е^т" '")<■_ /2 игтс

2 2 ита

2 2 2 ал т

ее

ф;

тах

0 <;<Т

|Г^;п,(s)||'oe-^2пa2i'—s)ds-

п=1

_11^2)|С (1 -д2

2 2 Ц п"

2 2 2 а % п

[гП2\ф-ц2т"2('-^ = тах | ^02)(5) | 1Уц2та2('-5)Ж

2 2

«1С (1 -ед2 ||^2)||с

22 ц па

2 2 2 а % п

-Ц а (/-5

;|^т:)(5)|£е-цтпа ^ =

2 2

11^"4>|С (1 -е-^'о) 1

(4)

тп I 1С

2 2 Ц тпа

2 2 2 2 а % т п

/2 д2

где 11^ |С = тах | |,/ = {2,4},т,п = 0,1,....

0<5<Т

Ряд (25) при любых (х, у, I) е Б мажорируется сходящимся рядом

42/д

I

(

+

2% т=1

д

л(1 ф"20 i +1 ф02) 1)+нгт

т а %

2 Л| Г(2)

(2) I I Л)

К 1С , ||^0(:1с

ш'

т~

42/д у/ Т I

2% п=1

ф02) I +1 фп2) 1)+-У 2

2 О I ^0(2) I С ,1 I ^2)|

п

а %

22 ч п п //

+ /V V ^!ф(4)|+ _/!д!V 1 V1С

+ 4 I 2 2 1 фтп 1 + 6 2 I 2 2 ^^ 2 2 .

% тп % а т= т « 1 тп

,2 + 2 / д

(26)

Тогда ряд (21) в силу признака Вейерштрасса сходится равномерно в Б . Следовательно, функция и(х, у, I) непрерывна в Б , как сумма равномерно сходящегося ряда (21).

Теперь докажем возможность почленного дифференцирования ряда (21) по переменным х, у два раза и по ' один раз в Б. Для этого покажем, что полученные при почленном

дифференцировании ряды сходятся абсолютно и равномерно на Б0 = Б П {' > '0 >0} , где /0 —

достаточно малое положительное число. Формально из (25) почленным дифференцированием составим ряды:

42/,

» ..2

т

■л 2 I ■ 2

2% т=1 т

У ( (ф(20 + ф02))е-Цта ' + ) + ^(/))7т0(х,у) +

+ 14( (ф0п +фп20))е + ^(/) + F%(t) )^(х,у) -

п=1

12 2 <ю , , 2

1 У ^ Цтп

_4 ^^ 2 2

% т,п=1 т п

ф(4) е_Цтп° ' + ^(/)

^ тп (X, У),

(27)

+

+

и —

хх

42/,

д ¿4((ф(20 +ф02"))е^Цта2' + ^С) + FV(t) )7т0(х,у) +

+ 14( (ф£ +фп?)е"1^' + ^(/) + ^(/) )^(х,у) -

/ 2д2

„4 2 2

% т,п=1 т п

22

ф"4) е_Цтп° ' + ^Ч/)

^ тп (X, У),

(28)

и =

уу

п=1

2

Ц

тп

Е -т (-ит« 2(Ф:

--> 2 / - 2 2л т=1 т

2 2 _ _

2 а2(ф® + Ф02т)е^ ' — а2и(,(Г(3(') + Г"!«)) + ^Ч') + Г_®(') )2;0(х,у) —

42/;

2л2

ад 1 А 22 ___ Л

ЕЕ4( — и2а2(Ф02„) +Фп20)е -1"" ' — а2ип(^(') + Г?(')) + Г?(') + Г™«) )^(х,у) +

где

>2 2 / ч

Е

_4 ^^ 2 2

л т,п=1 т п

22

— и2 а2Ф(4) е итпа ' — а2ц2 г(4) (') + г_(4)(')

г^тп ттп г^тп тп \ / тп \ /

2тп (х У)-

(29)

гтк+к>(') = Д/х^Чх,У,')2;п(х,у)фхфу, к,И е {0,2},т,п = 0,1,.... Ряды (27-29) при любых (х, у,') е 00 мажорируются соответственно числовыми рядами

+ Щ Е4 1(|ф02п)| + |фп20)|)е ""^'о +-

2л п= п

/4

2 2 АИ^^Ис + | | Г^Т | |с )\ +

/2 Ч2

Е

4 ¿—1 2 2

л т,п=1 т п

22

I Ф(тп I еа '0 +

1

22 2 2 т2 п2

ал( ( + 7}

цгт^онс

(30)

42/;

-.2 Е 2 I ч ~Гт0 2л т=1 т

ЧЕцГ[(I ф^0| + |ф0(|)е+-

-(||гтпоНс + иГСоНс) \+

+ #$Е4"((I Ф0п | + | Ф% I ^е-цп"2'0 + ^

2л п=1 п 1 - —

(||Г0(п2,(')||с +I|г"lп\')IC) \ +

/ у

ЕЕ

4 2 2

л т,п=1 т п

22

I фО I е -тпа '0 +-

-2—-КС )|С

2 2 т2 п2

а л2^+

(31)

— Е4 1ита2(\ ф20 |+|Ф0т I ) '1';а2'0 + 44 (||гm2o)(')| с +| I г;^ с )+|Fm2¿(')l+|гc2m(')|\+

2..2

^ П I Т7(2') I

2л т=1 т

+ ^22- Е 4 (и 2 а 2(| Ф02) | + |Фп20) I )е ~Цпа2'0 +(^(т с +| I ^(Щ с )+|Гo"^>(')| + |Г"п)(')| \ +

2л п=1 п 1 — - 1

лт

22

/2 Ч2

ад 1 Е-г-

4 ^^ 2 2

л т,п=1 т п

22

и (па2 I ф(4п I е-итп"0 +

и2

тп

22 2 т2 п2

л т+^

иг;?«) I с +lгm^c')l

(32)

Ряды (30-32) сходятся. Тогда ряды (27-29) на основании признака Вейерштрасса сходятся равномерно на О . Следовательно, функции ихх,иуу,и' еОД и подставляя ряды в уравнение (21), убеждаемся в том, что функция и(х,у,'), определяемая рядом (21), является его решением в О.

п=1

1

2

и

тп

2

/

2

2

и

тп

3. Критерий единственности решения обратной задачи

Рассмотрим теперь обратную задачу с условиями (2-7). Полагая в формуле (21) х = х0, у = у0 с учётом условия (7), получим относительно неизвестной функции ф(х, у) уравнение:

1 ^ 2 2 1 1 Фоо + £ ЯЛ" Г Z mn & Л) ^Г (х0, y) = h(t) --F00(/) -

4 m,n=0 4

m+n>0

да

- £ ¡'0К„ (*)е^ ^(х0,у0) = й0(/), /0 < Г< (33)

т,и=0 т+и>0

где

1/2, т >0, и = 0, = ] 1/2, т = 0,и>0, 1, т >0, и >0.

Теорема 3. Если ^ (х0, у0) ^ 0 при всех т, п е N > то решение интегрального уравнения (33) единственно в

Доказательство. Следуя [1, с. 119], [7, 9], в силу линейности уравнения (33) достаточно показать, что оно имеет только нулевое решение при ^ (х) = 0. Положив в (33) И(Т) = 0 и

¥ (х, у, X) = 0, имеем

1 да 2 2

1Ф00 + £ ^тп ^ФЙ, Л) ^тп & Л) X (х0 , у0 ) = 0. (34)

4 т,и=0

т+п>0

Рассмотрим в комплексной полуплоскости Яе х > а, где постоянная а е (0,х0), функцию комплексной переменной

1 ф 2 2 Ф(*) =1Ф00 + £ ^n Ф™^ ' Zmn(-VУ,)- (35)

4 m,n=0

m+n>0

Так как при Re z > a

2 2 2 2

Фт^ (Wo^'K Ce^" (36)

здесь C = const > 0, то в этой полуплоскости ряд, стоящий в правой части соотношения (36), сходится равномерно. Учитывая то, что каждый член этого ряда является аналитической функцией при Re z >а, и применяя теорему Вейерштрасса, получаем, что функция Ф(z) является аналитической при Re z >а. Поскольку в силу (35) Ф(z) = 0 на отрезке [t0,t] действительной оси t из области аналитичности Ф(z), но на основании теоремы единственности для аналитических функций следует Ф(z) = 0 при Re z >а. Отсюда следует равенство при всех t > t0 . Переходя здесь к пределу при t ^ , получим

Фоо = 0. (37)

В силу (37) равенство (34) принимает вид

® 2 а2(

ХЛтп Фтпe^ Zmn (Х0 > ^0) = 0. (38)

m,n=0 m+n>0

2

^ ™ (^01«) t

Умножим равенство (38) на e и в полученном равенстве, переходя к пределу при

t ^ , получим

<P01Z01(xo. Уо) + РloZlo(xo, Уо) = 2P01Z01(x0^ Уо ) = Отсюда с учетом того, что Z10 (x0, y0 ) ф 0, имеем

Р01 = Р10 = 0. (39)

2

(р< л) X

Снова с учетом (39), умножив равенство (38) на е и, в полученном равенстве переходя

к пределу при t ^ +да, найдем

р„ = 0. (40)

2

(ц ~а) t

Затем, учитывая равенства (39"40), умножим равенство (38) на e и, переходя к

пределу при t ^ да , будем иметь

Р02 = Р20 = 0- (41)

Затем в силу (39) - (41), получим:

Р12 = Р21 = 0-

Рассуждая далее аналогично вышеизложенному, получим

ртп =0, m, n = 0,1,2, .... (42)

Из равенства (42), в силу полноты системы функций {Z mn (X У)} m, п > 0 в пространстве

^(П) ,

следует, что р(x, y) = 0 почти всюду в п . Отсюда в силу непрерывности функции р(x, y) на П получим, что р(х, y) = 0.

Тогда из теорем 3 и 2 следует единственность решения обратной задачи 1.

~ x0 ~ У0

Пусть при некоторых x0 ——, У0=— и m = p, п = 5 eN нарушено условие теоремы 3, то есть

Zps (X, Уо ) = cos жp х0 cos Ж S У + cos ж s х0 cos жp у0 =0. (43)

Тогда обратная задача с условиями (2-7)при h(t) = 0 и F (x, y, t) = 0 имеет ненулевое решение:

-(ц а)2t

ups(x, У, t) = Zps(x, У) e ps , рps(x, У) = ups(x, У, 0) = ZpS (x, У).

Из уравнения (43) найдем рациональные значения

~ 1 k ~ 1 k , , .. ,

X =--+ , Уо =--+ , k, k e N, k < p, k2 < p,

2 p p 2 p p

или

x0 = — + —, ~ = — + —, k,К e N, k < s, k4 < s,

2s s 2s s

при которых нарушается условие теоремы 3, то есть нарушается единственность решения задачи 1.

Следовательно, установлен следующий критерий единственности решения обратной задачи с условиями (2-7).

Теорема 4. Условия Zmn (x0, y0) ^ 0 при всех m, п e N необходимы и достаточны для единственности решения обратной задачи с условиями (2-7).

Рассматриваемая обратная задача может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Действительно, поменяв местами порядок интегрирования и суммирования в левой части уравнения (33), получим интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Gp = G(t, r) р(|, r) d| dr = h0(t), t0 ,< t< t„ (44)

с гладким ядром

да 22

G(t, I, r) = 1 + £ Ь mmX^ 'Zm„ (|, r) Zmn (X0, У0)

m,n=0 m+n>0

в параллелепипеде Пх [t0, t1]. Следовательно, интегральный оператор G, рассматриваемый

действующим из ^2(П) в Z2 [t0, ^ ], вполне непрерывен. Задача решения уравнения (44) в этой паре пространств некорректна.

В заключение отметим, что обратные задачи для уравнений параболического типа, как правило, являются некорректными. Для их решения обычно привлекается теория некорректных

задач, разработанная в работах Тихонова А.Н., Лаврентьева М.М., Иванова В.К. и их учеников [1012]. В данной работе, в отличие от других работ, предлагается спектральный метод для обоснования единственности решения обратной задачи (2-7).

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИ — Поволжье, № 14-01 - 97003.

Список литературы

1. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач / А.М. Денисов. - М.: Изд-во МГУ, 1994. -

208 с.

Denisov A.M. Introduction to Inverse Problems / A.M. Denisov. - M.: Izd. MGU, 1994. - 208 p.

2. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.Н. Самарский. - М.: Физматлит, 1966. - 724 с.

Tikhonov A.N. Equations of mathematical physics / A.N. Tikhonov, A.N. Samaraski. - M: Izd. Fizmatlit, 1966. - 724 p.

3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1966. - 444 с. Sobolev S.L. Equations of mathematical physics / S.L. Sobolev. - M: Nauka. 1966. - 444 p.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. -М.: Высшая школа, 2003. - 256 с.

Vladimirov V.S. Equations of mathematical physics / V.S. Vladimirov, V.V. Zharinov. - M.: Visshaya shkola, 2003. - 256 p.

5. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

Koshlakov N.S. Partial differential equations of mathematical physics / N.S. Koshlakov, E.B. Gliner, M.M. Smirnov. - M.: Visshaya shkola, 1970. - 712 p.

6. Годунов С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. 2-е изд. - М.: Наука, 1979. - 392 с.

Godunov S.K. Equations of mathematical physics / S.K. Godunov. 2-nd iss. - M.: Nauka, 1979. -

392 p.

7. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики / К.Б. Сабитов. - М.: Физматлит, 2013. -

352 с.

Sabitov K.B. Equations of mathematical physics / K.B. Sabitov. - M: Izd. Fizmatlit, 2013. - 352 p.

8. Юнусова Г.Р. Обоснование единственности и существования начально-граничной задачи для уравнения мембраны методом спектрального анализа / Г.Р.Юнусова // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия "Физико -математические и технические науки". - Уфа: Гилем, 2009. Вып. 6. - C. 176-181.

Unusova G.R. Justification for existence and uniqueness of solutions of the initial - boundary value problem for the equation of the membrane method of spectral analysis / G.R. Unusova // Trudi Sterlitamakskogo fifliala Akademii nauk RB. Seriya "Phiziko-matematicheskie i tehnicheskie nauki". -Ufa:Gilem, 2009. Issue 6. - P. 172-181.

9. Зайнуллов А.Р. Обратные задачи для уравнения теплопроводности / А.Р. Зайнуллов // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучнаясерия. - 2015. - №6 (128). -С. 62-75.

Zaynullov A.R. Inverse problems for the heat equation. / A.R. Zaynullov // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennonauchnayaseriya. - 2015. - №6. - P. 62-75.

10. ТихоновА.Н.Методырешениянекорректныхзадач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука: Главнаяредакцияфизико-математическойлитературы, 1979. — 285 с.

Tikhonov A.N., Arsenin V.J. Methods of solving ill-posed problems / A.N. Tikhonov, V.J. Arsenin. -M .: Nauka: Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoi literaturi, 1979. - 285 p.

11. Лавретьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лавретьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. - М.: Наука, 1980. — 286 с.

Lavrent'ev M.M.Ill-posed problems of mathematical physics and analysis / M.M. Lavrent'ev, V.G. Romanov, S.P. Shishatskiy. - M.: Nauka. 1980. - 286 p.

12. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978. — 206 с.

Ivanov V.K. The theory of linear ill-posed problems and its applications / V.K. Ivanov, V.V. Vasin, V.P. Tanana. - M.: Nauka, 1978. - 206 p.