О скорости звука и переходе к турбулентности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2007, 18

С. С. Воронков

Псковский государственный политехнический институт

Россия, 180000, г. Псков, ул. Л. Толстого, 4, e-mail: voronkovss@yandex.ru

О скорости звука и переходе к турбулентности

Показано, что при числах Рейнольдса, соответствующих переходу к турбулентности, в центре канала и вблизи стенки возникают зоны акустической проводимости, в которых скорость звука выше адиабатного значения. Акустические возмущения, присутствующие в потоке, с большей скоростью распространяются по зонам проводимости, что приводит к возникновению поперечных градиентов давления в канале и возникновению симметричных вихревых структур. Приводятся результаты вычислительного и натурного экспериментов.

В [1] получена формула для скорости звука в потоке вязкого газа с учетом диссипации энергии и теплообмена:

где a — скорость звука, — адиабатное значение скорости звука, p и р — давление и

плотность газа, V — вектор скорости газа с проекциями u, v, w на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно, Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен в потоке, k — показатель адиабаты, t — время.

Анализ полученной формулы показал [1, 2], что если в покоящемся газе вторым членом в правой части формулы можно пренебречь и считать процесс распространения звука адиабатным, то в движущемся потоке вязкого газа с поперечным сдвигом возникает интенсивная диссипация энергии, и пренебречь вторым членом в формуле (1) не представляется возможным. Но полученная формула не позволяет непосредственно вычислить значение скорости звука (как, например формулы Ньютона или Лапласа), так как в правую часть формулы входят производные, зависящие от параметров потока и возмущения. Для исследования влияния диссипации энергии и теплообмена на скорость звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом был проведен вычислительный эксперимент, моделирующий распространение акустического возмущения в ламинарном потоке вязкого газа в плоском канале в двумерном приближении [1, 2]. Математическая модель, описывающая процесс распространения, включала уравнения неразрывности, Навье-Стокса, энергии и состояния. Для решения системы дифференциальных уравнений в частных

Получена 15.06.2007, опубликована 17.09.2007

(1)

dt

производных использовалась явная двухшаговая конечно-разностная схема Браиловской. В результате проведения вычислительного эксперимента [1, 2] установлена зависимость скорости звука в сдвиговом течении вязкого газа от интенсивности возмущения, частоты, скорости потока. Скорость звука с учетом диссипации энергии и теплообмена на определенных участках претерпевает разрывы. Амплитуда изменения скорости звука в сдвиговом течении обратно пропорциональна амплитуде возмущения плотности и возрастает с увеличением скорости потока. В работах [1, 2] показано, что амплитуда изменения скорости звука зависит от амплитуды возмущения плотности, скорости потока, частоты и изменяется в фиксированный момент времени как вдоль канала, так и поперек (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 знаком «+» обозначены области в плоском канале, в которых в данный момент времени значение скорости звука больше адиабатного значения на величину амплитуды скорости звука; знаком «-» — области в плоском канале, в которых в данный момент времени значение скорости звука меньше адиабатного значения на величину амплитуды скорости звука. Амплитуда изменения скорости звука зависит от скорости потока по закону, приведенному на рис. 2 [1].

Максимальная скорость потока, м/с

Рис. 2

Этот закон, как следует из рис. 2, близок к квадратичному. Анализ изменения скорости звука в плоском канале — рис. 1 — показывает, что в определенные моменты времени в центре канала и вблизи стенки возникают зоны — «каналы» акустической проводимости, в которых скорость звука выше адиабатного значения. Причем превышение скорости звука над адиабатным значением, как следует из рис. 2, зависит от скорости потока. С увеличением скорости потока, и соответственно, числа Рейнольдса, так как число Рейнольдса определяется по формуле

где и — среднерасходная скорость потока, I — характерный размер, V — коэффициент кинематической вязкости;

будет возрастать амплитуда скорости звука. Акустические возмущения, присутствующие в потоке, будут с большей скоростью распространяться по зонам проводимости, что приведет к возникновению поперечных градиентов давления в канале и возникновению завихренности потока.

Представляется важным учет установленных закономерностей при анализе перехода ламинарного режима течения в турбулентный в сдвиговом течении вязкого газа и жидкости. Современная теория перехода к турбулентности, как правило, рассматривает процесс перехода в приближении несжимаемости среды, что автоматически исключает из рассмотрения установленные закономерности. Первоначально теория гидродинамической устойчивости (уравнение Орра-Зоммерфельда), описывающая начальную стадию перехода, была разработана для несжимаемой жидкости. Модель несжимаемой жидкости широко используется в гидродинамике. Преимущество этого приближения заключается в упрощении исходной системы уравнений. Если для полной системы уравнений в 3-х мерном случае (уравнения неразрывности, Навье-Стокса, энергии и состояния) имеем 6 неизвестных переменных (и, V, Н — проекции скорости газа на оси декартовой системы координат х, у, 2 соответственно, р — давление, р — плотность, Т — температура), то для несжимаемой жидкости количество неизвестных переменных уменьшается до 4 — и, V, н, р. При этом отпадает необходимость в уравнении энергии, что значительно упрощает исходную систему уравнений.

Все реальные жидкости сжимаемы. Меньше сжимаемость у капельных жидкостей (коэффициент сжимаемости воды Р = 4,7 -10-10М / Н), больше сжимаемость у газов (коэффициент сжимаемости воздуха Р = 7,2 -10-6М /Н ). Газы в первом приближении при умеренных скоростях также можно рассматривать как несжимаемые. Это следует из того, что изменение плотности в газах зависит от числа Маха (М = и / а ) [3]:

При скоростях воздуха и<50 м/с, относительная ошибка за счет не учета сжимаемости не превышает 1%. Но модель сжимаемой жидкости, помимо переменного

Яв

и • I

(2)

V

(3)

р0 2

значения плотности, включает в себя и акустические волны. Предполагая жидкость несжимаемой, мы исключаем акустические волны.

В середине XX века начато исследование влияния сжимаемости жидкости на переход ламинарной формы течения в турбулентную [4, 5, 6]. Влияние сжимаемости определяется в основном, как отмечает Шлихтинг, числом Маха. Было установлено [4, 5, 6], что для теплоизолированной стенки влияние сжимаемости на устойчивость пограничного слоя при умеренных числах Маха незначительно.

Подход, применяемый к разработке теории устойчивости сжимаемой жидкости [4], остался аналогичным тому, который применяется в несжимаемом случае. Возмущения рассматриваются как малые, и осуществляется линеаризация исходной системы уравнений. В случае сжимаемой жидкости добавляются [4, 5] возмущения плотности и температуры (или энтропии). Но при линеаризации исходных уравнений, в особенности уравнения энергии, происходит разрыв связей между основным потоком и акустическими волнами, реализуемых через скорость звука. Установленная нами зависимость скорости звука в потоке вязкого газа от диссипации энергии и теплообмена ставит под сомнение правомерность такого подхода.

Для проверки установленного в вычислительном эксперименте механизма возникновения завихренности потока, связанного с зависимостью скорости звука от параметров потока, был проведен натурный эксперимент, представляющий собой модифицированный опыт Рейнольдса — рис. 3. В классическом опыте Рейнольдса [6] в поток воды по центру стеклянной трубы вводилась подкрашенная струйка жидкости для визуального контроля режима движения жидкости. При числах Рейнольдса Яв < 2000, как установил Рейнольдс, подкрашенная струйка движется параллельно стенкам трубы, не перемешиваясь. Этот режим движения жидкости получил название ламинарного. При увеличении числа Рейнольдса течение перестает быть упорядоченным, возникает сильное перемешивание, струйка расплывается и равномерно окрашивает всю движущуюся жидкость, что соответствует турбулентному режиму. Для понимания механизма возникновения турбулентности важна промежуточная область между ламинарным и турбулентным режимами — область перехода. На сегодня нет окончательного понимания механизма перехода к турбулентности, что требует проведения дополнительных исследований в этой области, являющейся одной из наиболее сложных. Как отмечает Бетчов [7]: «Одной из наиболее сложных проблем в механике жидкости и, вероятно, во всей современной физике является проблема перехода».

Цель проведения эксперимента заключалась в выявлении характера распространения возмущений, вносимых в поток искусственно при числах Рейнольдса, соответствующих области перехода. В вычислительном эксперименте установлено (рис. 1), что в центре канала и у стенок существуют зоны акустической проводимости, в которых скорость звука выше адиабатного значения на величину амплитуды скорости звука. Причем эти зоны располагаются симметрично относительно оси канала — рис. 1. Следовательно, при внесении искусственных возмущений в поток подкрашенные

струйки будут искажаться также симметрично относительно оси. Поэтому в эксперименте планировалось выяснить:

1. возникают ли при внесении искусственных возмущений в поток симметричные вихревые структуры в области перехода;

2. если вихревые структуры возникают, то как они будут себя вести при уменьшении числа Рейнольдса. Амплитуда скорости звука, как показано на рис. 2, зависит от скорости потока, и соответственно, от числа Рейнольдса. Можно ожидать, что при малых значениях числа Рейнольдса вихревые структуры будут отсутствовать.

Вода в напорный бак подается из водопровода. Объем напорного бака составляет V = 0,023 м3. В отличие от классического опыта Рейнольдса, в нашей установке создаются две подкрашенные струйки, расположенные у стенок трубы на расстоянии 3 мм. Для этого используются две медицинские иглы с внутренним диаметром 0,4 мм. Внутренний диаметр трубы составляет йт = 14 мм, длина трубы /=1,2 м. Для

устранения жесткой связи между напорным баком и трубой используется резиновая вставка, исключающая передачу вибраций от бака к трубе. Расход жидкости регулируется вентилем. Для измерения объемного расхода используется мерная емкость и секундомер. По известному расходу вычисляется среднерасходная скорость воды и, соответственно, число Рейнольдса.

2

Рис. 3. Модифицированный опыт Рейнольдса I - ламинарный режим; II - переходный режим;

1 - напорный бак, заполненный водой; 2 - емкость с чернилами; 3 - трубки для подачи чернил; 4 - две медицинские иглы; 5 - резиновая вставка; 6 - труба из оргстекла;

7 - вентиль; 8 - мерная емкость

Режим движения жидкости фиксировался визуально. При естественном переходе при числах Рейнольдса Яв < 2000 режим движения ламинарный. Струйки движутся параллельно, не перемешиваясь, как показано на рис. 3. В области чисел Рейнольдса

2000...3000 наблюдается переход от ламинарного режима движения жидкости к турбулентному. При числах Рейнольдса Яв > 3000 наблюдается развитый турбулентный режим движения.

Искусственное возмущение вносилось в поток резким единичным ударом по баку. При этом в области чисел Рейнольдса 2000.3000 возникают симметричные вихревые структуры, показанные на рис. 3 (II - переходный режим), сносящиеся затем вниз по потоку. Здесь важно подчеркнуть симметричность возникающих вихревых структур, обусловленных возникновением каналов акустической проводимости. При числах Рейнольдса Яв < 1000 вихревые структуры не возникают, и подкрашенные струйки движутся параллельно, не перемешиваясь. Это объясняется тем, что амплитуда скорости звука зависит от скорости потока — рис. 2, и соответственно, от числа Рейнольдса. При этих числах Рейнольдса среднерасходная скорость воды не превышает

0.07.м/с и амплитуды скорости звука незначительны.

Во второй половине ХХ века в ряде работ, которые анализируются в [8], было установлено влияние акустических возмущений на переход пограничного слоя. Авторы работы [8], проанализировав имеющиеся данные о влиянии акустических возмущений на переход пограничного слоя, пришли к выводу: «.имеющиеся в настоящее время теоретические и экспериментальные данные показывают, что распределенная генерация волн Толмина-Шлихтинга в пограничном слое акустическим полем, как и следовало ожидать, мала по сравнению с трансформацией звука на локальных неоднородностях». Недооценка влияния акустических возмущений на переход к турбулентности обусловлена непониманием механизма воздействия. Установленная зависимость скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом от диссипации энергии и теплообмена позволяет по иному взглянуть на влияние акустических возмущений на переход к турбулентности.

Выводы

1. При описании перехода к турбулентности даже при числах Маха, значительно меньших единицы, М<<1, необходимо учитывать сжимаемость среды и акустические волны. Линеаризация исходных уравнений в теории гидродинамической устойчивости сжимаемой жидкости ведет к разрыву связей между основным потоком и акустическими возмущениями, выражаемых в зависимости скорости звука в сдвиговом течении от диссипации энергии и теплообмена. Поэтому от линеаризации исходных уравнений при анализе перехода к турбулентности необходимо отказаться.

2. Установлено, что при числах Рейнольдса, соответствующих переходу к турбулентности, в центре канала и вблизи стенки возникают зоны - «каналы» акустической проводимости, в которых скорость звука выше адиабатного значения. Акустические возмущения, присутствующие в потоке, с большей скоростью распространяются по зонам проводимости, что приводит к возникновению поперечных градиентов давления в канале и возникновению симметричных вихревых структур.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронков С. С. О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом.

Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2004, 5.

2. Воронков С. С. Зависимость скорости звука в потоке вязкого газа от различных

факторов. Сборник трудов XVI сессии Российского акустического общества, М.: ГЕОС, 2005, т. 1, 262-265.

3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. 5-е изд. М.: Наука, 1978, 736 с.

4. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Ин. литература, 1958,

194 с.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971,

350 с.

6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

7. Турбулентность. Принципы и применения. Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. М.: Мир, 1980, 535 с.

8. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в

пограничном слое. Новосибирск: Наука, 1982, 151 с.