О модуле упругости вязкого теплопроводного газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

і fli і мін

J ЩКУСТИКА

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2010, 4

С. С. Воронков

Псковский государственный политехнический институт

Россия, 180000, г. Псков, ул. Л. Толстого, 4, e-mail: voronkovss@yandex.ru

О модуле упругости вязкого теплопроводного газа

Получена 01.03.2010, опубликована 18.03.2010

Установлено, что в потоке вязкого теплопроводного газа с поперечным сдвигом нарушается линейный закон Гука, связывающий изменение давления с относительной объемной деформацией. Получена формула для модуля объемной упругости, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен. Показано, что амплитуда изменения модуля объемной упругости пропорциональна квадрату скорости потока и обратно пропорциональна амплитуде и частоте возмущения плотности. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: модуль объемной упругости, вязкий теплопроводный газ.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из основных физических свойств жидкостей и газов является сжимаемость, которая определяется, как способность вещества изменять свой объем под действием всестороннего давления. Традиционно считается, что сжимаемость газов достаточно точно описывается линейным приближением, согласно которому изменение давления связано с относительной объемной деформацией законом Гука

. ^dV ^du dp

dp = -E---= -E— = E—, (1)

V up W

где: p — давление, E — модуль объемной упругости газа, V, u, p — объем, удельный объем, плотность газа соответственно. Модуль объемной упругости E представляет собой коэффициент пропорциональности.

Помимо модуля упругости газа, для характеристики сжимаемости используют также коэффициент сжимаемости и скорость звука, которые следующим образом связаны между собой

„1 2 E

Р = -,a =-, (2)

E p

где: в — коэффициент сжимаемости, a — скорость звука, p — плотность.

Линейная зависимость между изменением давления и изменением объема справедлива при постоянстве модуля упругости газа. Модуль упругости покоящихся газов зависит от их давления, и при постоянстве этого параметра является постоянной

величиной. Поэтому для покоящихся газов линейный закон Гука достаточно точно описывает связь между изменением давления и изменением объема.

Но для движущегося потока вязкого теплопроводного газа с поперечным сдвигом эта линейная зависимость между изменением давления и изменением объема нарушается, так как модуль упругости, как будет показано, зависит от процессов, происходящих в этой среде (скорости потока, частоты и интенсивности возмущения, градиентов скорости и температуры и др.).

2 2 a2 = as +

1. МОДУЛЬ ОБЪЕМНОИ УПРУГОСТИ

В [1] получена формула для скорости звука в потоке вязкого газа с учетом диссипации энергии и теплообмена:

V ■ (а2 gradp - gradp)+ {к - 1)ф

др , дt

где as — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; р, р — давление и плотность газа; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен

ф=£(хК 1+АМГ V

дx ^ дx) дy ^ дy) дz ^ дz )

(3)

+

( ды' 12 ґ ду 1 2 ґ дм'' 121 ( ду ды л

I — I + + I + — +

1дх. ) 1дУ ) кдг ) удх ду)

+

+

(дм ду 1 (ды дw12 2 ( ды ду дм ^

• +

ду дг)

+ 1-------+-

\дг дх

3

++ дх ду дг)

Т — температура газа; V — вектор скорости газа с проекциями и, V, н на оси декартовой системы координат х, у, z соответственно; X — коэффициент теплопроводности; /л — коэффициент динамической вязкости; t — время; к — показатель адиабаты.

Найдем модуль объемной упругости, учитывая полученное выражение для скорости звука (3):

Е = ра2 = ра^2 + р

V ■ (а2^¡гайр - ^айр)+ (к - і)ф

др

ді

(4)

Анализ выражения (4) показывает, что модуль объемной упругости можно представить в виде

Е = Es + Еп, (5)

где: Ез = ра2 — адиабатный модуль объемной упругости,

Еп = р-

V ■ {а1 ^¡гайр - ^айр)+ (к - і)ф

др

ді

— нелинейная добавка модуля объемной

упругости, обусловленная диссипацией энергии и теплообменом в потоке вязкого теплопроводного газа с поперечным сдвигом.

2

2

2

Из (5) следует, что модуль объемной упругости с учетом нелинейной добавки является локальной функцией параметров потока, изменяющейся от точки к точке в потоке. Качественный анализ зависимости нелинейной добавки модуля объемной упругости от различных факторов показывает

Еп = I

(6)

где: И — характерный размер, ратр — амплитуда возмущения плотности, ш —

круговая частота возмущения плотности.

То есть нелинейная добавка прямо пропорциональна квадрату скорости потока и обратно пропорциональна амплитуде и частоте возмущения плотности.

С учетом (5) найдем, согласно (1), характер изменения давления при изменении плотности

dp = Ез^ + Еп— . (7)

р р

Из выражения (7) следует, что в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом нарушается линейный закон изменения давления в зависимости от изменения плотности. Так как нелинейная добавка модуля объемной упругости является локальной функцией параметров потока, малые возмущения плотности будут приводить к непропорциональным изменениям давления.

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

При рассмотрении распространения звука в потоке вязкого газа принцип суперпозиции не применим, так как уравнения, описывающие эти процессы, нелинейные, и будет происходить взаимодействие основного потока с акустическим полем. Поэтому использовать полученную формулу (4) для определения модуля объемной упругости без знания характеристик потока вязкого газа не представляется возможным.

Для описания процесса распространения акустических возмущений в потоке вязкого газа привлекалась математическая модель, включающая уравнения неразрывности, Навье-Стокса в двухмерном приближении, энергии и состояния [1].

Численное решение системы дифференциальных уравнений в частных производных осуществлялось по явной конечно-разностной двухшаговой схеме Браиловской, описанной в [1].

Моделировался процесс распространения акустических возмущений в потоке вязкого газа (воздуха) в плоском канале. В качестве начальных условий задавалось стационарное ламинарное течение с параболическим распределением скоростей. Акустическое возмущение задавалось на входе в канал в виде гармонического сигнала с амплитудой возмущения плотности ратр. Исходная система уравнений

(неразрывности, Навье-Стокса, энергии и состояния) не содержит в явном виде скорости звука, но она учитывает сжимаемость и акустические волны. Поэтому,

определив численно частные производные давления по плотности, можно будет судить о справедливости полученной формулы (4). Модуль объемной упругости определялся по формуле

др Ар р1 - р

Е = ра =р— = р— = р

(8)

др Ар р1 -р

где р1, р1, р, р — значения давления и плотности на разных временных слоях в фиксированной точке канала.

Расчеты проводились в плоском канале. Количество узлов по оси х (вдоль канала) принималось 1=51, количество узлов по оси у (поперек канала) ]=11. Шаг по пространственной переменной Ах = Ау = 10-2 м . Шаг по времени Аt = 2 х10-5 с . Амплитуда возмущения плотности варьировалась в пределах ратр = 10-10...10-11 кг/м3. Частота звука принималась (основной режим) у = 1250 Гц. Максимальная скорость потока на оси канала принималась (основной режим) итах=0,1 м/с, число Рейнольдса при этом равно 441.

На рис. 1 приведен характерный закон изменения модуля объемной упругости в фиксированный момент времени вдоль канала вблизи стенки (]=3). Приведены модуль объемной упругости с учетом диссипации энергии и теплообмена: Е1Ъ9., который

определялся по формуле (8), и адиабатный модуль объемной упругости Esi 59, который определялся по формуле Ез = ра^. Адиабатный модуль объемной упругости практически постоянен и равен 1, 414 -105 Па. Модуль объемной упругости с учетом диссипации энергии и теплообмена Е 59 на определенных участках претерпевает разрывы. Скачки происходят относительно адиабатного модуля объемной упругости.

10

20

30

40

50

Рис. 1. Е159 — модуль объемной упругости с учетом диссипации энергии и теплообмена, Па; Ез159 — адиабатный модуль объемной упругости, Па;

1 — номер узла конечно-разностной сетки по оси х

Полученные результаты вычислительного эксперимента по характеру изменения модуля объемной упругости (рис. 1) соответствуют выведенной формуле (4).

На рис. 2 приведена зависимость амплитуды изменения модуля объемной упругости АЕ от максимальной скорости потока. Как видно, эта зависимость близка к параболической, что подтверждает качественную зависимость (6). Амплитуда изменения модуля упругости определялась как разность между модулем объемной упругости и адиабатным модулем объемной упругости АЕ3059 = Е30 59 -Es3059 при ¡=30 (см. рис. 1) для различных моделируемых режимов.

Рис. 2. АЕ — амплитуда изменения модуля объемной упругости, Па; — максимальная скорость потока на оси канала, м/с

ип

На рис. 3 приведена зависимость амплитуды изменения модуля объемной упругости от амплитуды возмущения плотности. Зависимость обратно пропорциональная. С уменьшением амплитуды возмущения плотности амплитуда изменения модуля упругости возрастает.

Рис. 3. АЕ — амплитуда изменения модуля объемной упругости, Па; Р атр — амплитуда возмущения плотности, кг/м3

На рис. 4 приведена зависимость амплитуды изменения модуля объемной упругости от частоты возмущения плотности. Зависимость обратно пропорциональная.

V

Рис. 4. АБ — амплитуда изменения модуля объемной упругости, Па; V — частота возмущения плотности, Гц

Полученные результаты вычислительного эксперимента (рис. 2, 3, 4) подтверждают качественную зависимость (6), согласно которой нелинейная добавка модуля объемной упругости газа пропорциональна квадрату скорости потока и обратно пропорциональна амплитуде и частоте возмущения плотности.

Амплитуда изменения модуля упругости зависит от скорости потока, амплитуды и частоты возмущения и изменяется в фиксированный момент времени как вдоль канала, так и поперек — рис. 5.

Рис. 5. Плоский канал. і — номер узла конечно-разностной сетки по оси х; ] — номер узла конечно-разностной сетки по оси у; «+» — области в плоском канале, в которых в данный момент времени значение модуля объемной упругости больше адиабатного модуля объемной упругости на величину амплитуды изменения модуля упругости, соответственно «-» — области в плоском канале, в которых в данный момент времени значение модуля упругости меньше адиабатного значения на величину амплитуды

изменения модуля упругости

На рис. 6 приведен характерный закон изменения модуля объемной упругости поперек канала в сечении 1=30 в фиксированный момент времени.

Изменение модуля объемной упругости поперек канала будет порождать, согласно выражению (7), поперечные градиенты давления, вызывающие вихревые движения, что необходимо учитывать при рассмотрении перехода к турбулентности [2].

2 + б 8 10

}

Рис. 6. EJ 59 — модуль объемной упругости с учетом диссипации энергии и теплообмена, Па; Ез^9 — адиабатный модуль объемной упругости, Па;

] — номер узла конечно-разностной сетки по оси у

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Установлено, что в потоке вязкого теплопроводного газа с поперечным сдвигом нарушается линейный закон Гука, связывающий изменение давления с относительной объемной деформацией.

- Получена формула для модуля объемной упругости, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен.

- Модуль объемной упругости в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом в определенные моменты времени претерпевает разрывы.

- Показано, что амплитуда изменения модуля объемной упругости пропорциональна квадрату скорости потока и обратно пропорциональна амплитуде и частоте возмущения плотности.

- Модуль объемной упругости изменяется как вдоль, так и поперек канала, что порождает поперечные градиенты давления, вызывающие вихревые движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронков С. С. О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.eita.org, 2004, 5.

2. Воронков С. С. О скорости звука и переходе к турбулентности. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.eita.org, 2007, 18.