О нарушении линейного закона Гука при возникновении турбулентности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

КУСТИКА

шашг

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2015, 11

С. С. Воронков

Псковский государственный университет

Россия, 180000, г. Псков, пл. Ленина, 2, e-mail: voronkovss@yandex.ru

О нарушении линейного закона Гука при возникновении турбулентности

Получена 26.10.2015, опубликована 17.11.2015

Получено аналитическое выражение уточненного закона Гука для газов, связывающего изменение давления с изменением плотности. Установлено влияние акустических возмущений плотности на устойчивость ламинарного режима течения вязкого теплопроводного газа в плоском канале. Это влияние учитывается через нелинейную добавку давления, входящую в уточненный закон Гука и порождающую поперечные градиенты давления в канале. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: закон Гука, турбулентность, вязкий теплопроводный газ.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема возникновения турбулентности привлекает внимание инженеров и ученых с конца XIX века, но окончательного решения пока не получено. Вот что пишет по этому поводу известный исследователь турбулентности В. В. Струминский [1]: «Другие важные исследования, начатые также еще Рейнольдсом, относятся к проблемам устойчивости течения как проблеме возникновения турбулентности. Выводы линейной теории устойчивости только качественно соответствуют экспериментам Шубауэра и Скрэмстеда. Расчеты критических чисел Рейнольдса по линейной теории приводят к значениям, которые почти на два порядка отличаются от экспериментальных. Начатые исследования по применению нелинейной теории пока далеки от завершения». В работах Власова, Гиневского, Полякова, Качанова, Козлова, Левченко [2, 3, 4] и др. установлено влияние акустических возмущений на возникновение турбулентности в пограничном слое, но неясен механизм воздействия. Рассмотрим эти факты с позиции установленного в работах автора нарушения линейного закона Гука, связывающего изменение давления с относительной объемной деформацией [5].

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Полученная в работе [6] формула для скорости звука в вязком теплопроводном газе с учетом диссипации энергии и теплообмена свидетельствует о нарушении линейного закона Гука, связывающего изменение давления с относительной объемной деформацией, что является причиной возникновения турбулентности. Покажем это. Получим уточненный закон Гука.

Формула для скорости звука в потоке вязкого теплопроводного газа с учетом диссипации энергии и теплообмена запишется [6]:

V ■ (а^ ^уаёр - ^уаёр)+ (к - 1)ф

Ф , (1)

дг

где а6, — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; р, р — давление и плотность газа; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен

д Л дТ Л д Л дТ Л д Л дТ Л

2 2 а = ав +

ф=— \ X— 1+—

дх ^ дх) ду

X—

ду

X— 1 +

дг ^ дг )

+ ц

' ди Л2

+

^ду Л2

дх ) I ду

+

)

' дн Л2 )

(

(

+

дн + ду ду дг

( ди + дн I дг дх

+

ду + ди дх ду

2

+

)

(ди ду дw — + — + —

Кдх ду дг

)

Т — температура газа; V — вектор скорости газа с проекциями и, у, н на оси декартовой системы координат х, у, г соответственно; X — коэффициент теплопроводности; ц — коэффициент динамической вязкости; I — время; к — показатель адиабаты.

Традиционно считается, что сжимаемость газов достаточно точно описывается линейным приближением, согласно которому изменение давления связано с относительной объемной деформацией законом Гука

ар = - в^ = - к^ = Е—,

V и р

(2)

где: р — давление, Е — модуль объемной упругости газа, V, и, р — объем, удельный объем, плотность газа соответственно. Модуль объемной упругости Е представляет собой коэффициент пропорциональности.

Помимо модуля упругости газа для характеристики сжимаемости используют также коэффициент сжимаемости и скорость звука, которые следующим образом связаны между собой:

п 1 2 Е

В = —, а = —,

Е Р

где: Р — коэффициент сжимаемости, а — скорость звука, р — плотность.

(3)

2

2

Подставляя выражение для модуля объемной упругости через скорость звука (3) в (2), для закона Гука получим

dp = E— = a2 dp. Р

(4)

Запишем уточненный закон Гука как сумму линейной и нелинейной составляющих, подставляя выражение для скорости звука (1) в (4):

dp = dps + dpn = a2s dp + (v • (a^ gradp - gradp)+ (k - 1)ф ^jdt,

(5)

где dps = a2dp — линейная составляющая изменения давления в законе Гука, dpn = (v•(as2gradp-gradp)+(k - 1)ф)dt — нелинейная составляющая изменения давления в уточненном законе Гука.

Из выражения (5) следует, что в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом нарушается линейный закон Гука изменения давления в зависимости от изменения плотности. Так как нелинейная добавка в уточненном законе Гука (5) является локальной функцией параметров потока, малые возмущения плотности будут приводить к непропорциональным изменениям давления, порождающим турбулентные пульсации.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В качестве математической модели при проведении вычислительного эксперимента принята модель, подробно описанная в [6]. Это уравнения: неразрывности, Навье-Стокса в проекциях на оси х и у, энергии и состояния. В этой системе из пяти уравнений неизвестных 5 величин: p, р, T,u,v — давление, плотность, температура, проекции скорости потока на оси х и у. Моделируется распространение возмущения плотности в ламинарном потоке вязкого теплопроводного газа в плоском канале с параболическим профилем скорости — рис. 1.

Рис. 1. Плоский канал. i — номер узла конечно-разностной сетки по оси x; ] — номер

узла конечно-разностной сетки по оси у

Количество узлов конечно-разностной прямоугольной сетки по оси у принимается 11, количество узлов по оси х — 101. Шаг конечно-разностной сетки принимается равномерным по осям х и у: Ах = Ау = 10-3 м. Шаг по времени определялся из условия

устойчивости и принимался равным Аг = 2 -10-6 с. Численное решение системы конечно-разностных уравнений осуществлялось по двухшаговой схеме Браиловской, описанной в [6].

Дополнительно анализировался закон изменения нелинейной добавки ёрп в уточненном законе Гука — выражение (5) — рис. 2

1.5 ю *

Номер узпагю oat у

Рис. 2. Изменение нелинейной добавки давления dpn по сечению канала при различных i=20, 30, 40; амплитуда возмущения плотности составляла pamp = 10"10 кг/м3; максимальная скорость потока на оси канала Um = 10м/с

Анализ полученного закона изменения нелинейной добавки dpn по сечению канала показывает, что закон близок к параболическому и при малых амплитудах возмущения плотности одинаков в различных сечениях канала. Закон изменения dpn в этом случае определяется параметрами потока в установившемся течении — значениями градиентов скоростей, давлений, плотности и температур. При увеличении максимальной скорости потока на оси канала изменение размаха нелинейной добавки давления dpn (разность между значениями dpn в точках j=2 и j=6 — рис. 2) увеличивается по следующему закону — рис. 3

Анализ полученной зависимости на рис. 3 показывает, что при увеличении скорости потока увеличивается и нелинейная добавка dpn в уточненном законе Гука — выражение (5).

В вычислительном эксперименте анализировалось влияние гармонического акустического возмущения плотности на входе в канал на устойчивость ламинарного потока. Возмущение плотности задавалось на входе по всему сечению канала в виде pamp ■ cos(2nn / NTP), где n — шаг по времени (количество шагов в приведенном расчете принималось 100), NTP=40000 — период возмущения, соответствующий

частоте 12,5 Гц. Число Рейнольдса составляло 2205. На последующих рисунках приводится сравнение двух режимов при значениях амплитуды возмущения плотности ратр = 10 ^кг/м3 и при отсутствии возмущения ратр = 0.

Дйрп

/

К

Ма

ит

, м/с

сальная скорость потока, ]

Рис. 3. Изменение размаха нелинейной добавки давления ёрп

На рисунке 4 в сечениях 1=60-80 наблюдается возникновение пульсаций давления по длине канала. Из сравнения рисунков 4-5 и рисунков 6-7 следует, что акустические возмущения плотности порождают пульсации давления как вдоль канала — рис. 4, так и поперек — рис. 6. Как следует из сравнения рисунков 8-9, профиль скорости по сечению канала практически не изменился и остается параболическим. На рисунке 10 в сечениях 1=60-80 наблюдается возникновение поперечной составляющей скорости V по длине канала под действием возмущения плотности, в отличие от рис. 11, где возмущение плотности отсутствует. Из сравнения рисунков 12-13 отчетливо видно: под действием возмущения плотности на рисунке 12 в сечениях 1=60-80 наблюдается возникновение пульсаций нелинейной добавки давления йрп по длине канала. Как следует из сравнения рисунков 14-15, параболический закон изменения нелинейной добавки давления ёрп по сечению канала нарушается при 1=65-70 и возникают пульсации ёрп по сечению канала - рис. 14. Из рисунка 16 следует, в отличие от рис. 17, что создание возмущения плотности на входе порождает в поперечном сечении канала (1=10) между точками ]=2 и ]=3 градиент давления значительной величины Ар = 1 Па и вызывающий пульсации потока в поперечном направлении — составляющая скорости V на рис. 10.

Проведенный вычислительный эксперимент свидетельствует о влиянии акустических возмущений плотности на устойчивость ламинарного режима течения вязкого теплопроводного газа в плоском канале. Это влияние осуществляется через нелинейную добавку давления ёрп, входящую в уточненный закон Гука (5), и порождающую поперечные градиенты давления в канале.

Рис. 4. Изменение давления по длине канала в момент времени n = 100, pamp = 10 4 кг/м3

j>i,i '

I pi,< 1.009996 10' й Pi .г Pi .и

\ \

\ \

\ \

\ \

20 40 60 80 100 i

Номйр узпапо сш к

Рис. 5. Изменение давления по длине канала в момент времени п = 100, ратр = 0

Рис. 6. Изменение давления по сечению канала в момент времени п = 100, ратр = 10-4 кг/м3

Рис. 7. Изменение давления по сечению канала в момент времени п = 100, ратр = 0

Рис. 8. Изменение скорости и по сечению Рис. 9. Изменение скорости и по сечению канала в момент времени п = 100, канала в момент времени п = 100,

ратр = 10 4 кг/м3 ратр = 0

Рис. 10. Изменение скорости V по длине канала в момент времени п = 100, ратр = 10~4 кг/м3

Рис. 12. Изменение нелинейной добавки давления ёрп по длине канала в сечении ]=6 в момент времени п = 100, ратр = 10 4 кг/м3

Рис. 11. Изменение скорости V по длине канала в момент времени п = 100, ратр = 0

Рис. 13. Изменение нелинейной добавки давления ёрп по длине канала в сечении ]=6 в момент времени п = 100, ратр = 0

ф1у

фП40 фи;; фпто

\ /

\ \ / /

4 б

Номер э^тапо оси у

Рис. 14. Изменение нелинейной добавки Рис. 15. Изменение нелинейной добавки давления ёрп по сечению канала в момент давления ёрп по сечению канала в момент времени п = 100, ратр = 10 4 кг/м3 времени п = 100, ратр = 0

/ \

/ У \ у

V-"

'0 20 40 60 80 100

п

Шаг по Бремени

Рис. 16. Изменение разности давлений в точках ]=2 и ]=3 во времени в фиксированном сечении канала 1=10,40,67; ратр = 10-4 кг/м3

Рис. 17. Изменение разности давлений в точках ]=2 и ]=3 во времени в фиксированном сечении канала 1=10,40,67; ратр = 0

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Получено аналитическое выражение для уточненного закона Гука, связывающего изменение давления с изменением плотности в потоке вязкого теплопроводного газа.

- Проведенный вычислительный эксперимент свидетельствует о влиянии акустических возмущений плотности на устойчивость ламинарного режима течения вязкого теплопроводного газа в плоском канале. Это влияние учитывается через нелинейную добавку давления, входящую в уточненный закон Гука и порождающую поперечные градиенты давления в канале.

ЛИТЕРАТУРА

1. Турбулентные течения: труды Всесоюзной школы по проблемам турбулентных течений жидкостей и газов, 25-29 декабря 1974 г. Звенигород / Б. Д. Хахалин, В. И. Семко, А. Н. Смоляков и др.; Отв. ред. В. В. Струминский. — М. : Наука, 1977. - 252 с.

2. Власов Е. В., Гиневский А. С. Влияние акустических возмущений на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный. - Учен. Зап. ЦАГИ, 1971, т. II, № 2, с. 1-10.

3. Поляков Н. Ф. Индуцирование гидродинамических волн в ламинарном пограничном слое продольным звуковым полем. - В кн.: Симпозиум по физике акустико-гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1975, с. 216-223.

4. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. - Новосибирск: Наука, 1982. - 151 с.

5. Воронков С. С. О модуле упругости вязкого теплопроводного газа. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2010, 4.

6. Воронков С. С. О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2004, 5.