О законе возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

^шЛшззш

J Щ КУСТИКА

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www.ejta.org

2016, 6

С. С. Воронков

Псковский государственный университет

Россия, 180000, г. Псков, пл. Ленина, 2, e-mail: voronkovss@yandex.ru

О законе возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе

Получена 20.11.2016, опубликована 06.12.2016

Показано, что полученный уточненный закон Гука для вязкого теплопроводного газа фактически представляет собой закон, описывающий возникновение турбулентности в этой среде. Отмечается, что при анализе возникновения турбулентности в пограничном слое необходимо учитывать сжимаемость среды и диссипацию энергии в потоке. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: турбулентность, вязкость, закон возникновения турбулентности, вязкий теплопроводный газ.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема возникновения турбулентности на протяжении многих десятилетий привлекает внимание ученых и инженеров, так как понимание механизма возникновения турбулентности позволит повысить точность расчетов инженерных систем и оборудования. Эта проблема далека от своего разрешения и требует дополнительных исследований. Полученный в работах автора уточненный закон Гука для вязкого теплопроводного газа позволяет по иному взглянуть на механизм возникновения турбулентности.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Полученный в работе [1] уточненный закон Гука для вязкого теплопроводного газа фактически представляет собой закон, описывающий возникновение турбулентности в этой среде. Покажем это. Выпишем уточненный закон Гука [1]:

Жр = dps + Жрп = а2Жр + (^ V •(а]%гаЖр- ^уаЖр) + (к -1)ф) Ж, (1)

где dps = а2Жр — линейная составляющая изменения давления в законе Гука; Жрп = (V • (а2 §гаЖр - §гаЖр)+ (к - 1)ф)ё^ — нелинейная составляющая изменения давления в уточненном законе Гука; ^ — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; p, р — давление и плотность газа; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен:

а Л дТ Л д („ дТЛ д Л дТ Л

Ф = —\ х— | + — X— дх

+—I X—1 +

+ |

ди дх

дх ) ду ^ ду ) дг ^ дг ) ду ) ( дм Л2

\2 (я,Л2

+

+ 1

кду ) \дг )

+

^ ду ди^ дх ду

+

+

2 2 2 ' дн ду I ди дн Л 21 ди ду дн

+ — ду дх)

+ 1 — + -\дг дх

3

■ + — + дх ду дх,

Т — температура газа; V — вектор скорости газа с проекциями и, у, н на оси декартовой системы координат х, у, г соответственно; X — коэффициент теплопроводности; | — коэффициент динамической вязкости; г — время; к — показатель адиабаты.

Этот закон следует непосредственно из уравнения для давления в вязком теплопроводном газе, полученного в работе [2],

ёр 2 ёр

ёг

- а2 ёр = {к - 1)Ф .

ёг

(2)

Полные производные в уравнении (2) представляют собой сумму локальной и конвективной производных и расписываются:

ёр др ,

— = — + V • ета<3 р,

ёг дг

ёр др .

— = — + V • етаёр. ёг дг

(3)

(4)

Из уравнения (2), и соответственно, из закона возникновения турбулентности (1) следует, что в вязком теплопроводном газе при возникновении градиентов скорости, например, в пограничном слое, в струйных течениях и др., будут возникать пульсации давления, порождающие турбулентность.

2

>

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Приведем математическую модель, описывающую процесс возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе в трехмерной постановке, включающую: 1. Уравнение неразрывности [3]

ёр + рё1уУ = 0. ёг

2. Уравнение Навье-Стокса в проекциях на оси х, у, ъ [3, 4]

(5)

ёи др д

р— = —- +—

ёг дх дх

2|| — -1 ёУУ

\дх 3 ,

+ -

д_ ду

(

|

ди ду ду дх

Л

+

д_ дг

( ди д№ | — + —

удг дх _

(6)

dv dp д

р— = —— + —

dt dy dx

^ dv ди^ dx dy

+ -

д_ ду

(

2|

dv _ I divV дУ 3 ,

+

д_ dz

f

|

Y

dv dw — + —

dz dy)

(7)

dw dp d

р— = _ — +—

dt dz dx

f dw du

I — + —

I dx dz

+ -

_d_ dy

f

I

dv dw

X

+

dz dy)

+

_d_ dz

2|| — _1 divV

I dz 3 ^

(8)

3. Уравнение энергии [5]

р — + pdivV = Ф, dt

(9)

где de = cvdT, cv — изохорная теплоемкость. 4. Уравнение состояния для совершенного газа

p = pRT, (10)

где R — газовая постоянная.

В этой системе из шести уравнений неизвестных 6 величин: p, р, T, и, v,w, (при

условии, что | = const и Х = const).

Для повышения точности численных расчетов в качестве неизвестных

используются консервативные переменные [4]: р, pu, pv, pw, а также температура T и

давление p. Систему уравнений (5-10) удобно записать в векторном виде

dU dF + dG + OD-Q dt dx dy dz

(11)

где векторы U, F, G, D представляют собой упорядоченные наборы комбинаций основных переменных [4].

Численное решение системы уравнений (11) осуществлялось по двухшаговой схеме Браиловской [4]

Un+1 = Un _

Un+1 = Un _

8F" 8G" 8D" +-+ -

8x 8y 8z

At,

5Frn+1 5FFn 5G,n+1 5Gn 5D,n+1 bDZ 1 +—— + —1— + —- + —1— + - r

At,

5х 5х 5у 5у 5z 5z где I и V — индексы соответственно невязких и вязких членов функций F, G и D;

— и — представляются центральными разностями, ¥"+1 = ^ (1) и т. д. 5у 5z

(12) (13)

5x'

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Процесс возникновения турбулентности в пограничном слое или процесс перехода к турбулентности ламинарного режима течения состоит из ряда более простых процессов, последовательно сменяющих друг друга. Эти процессы в настоящее время достаточно хорошо изучены экспериментально и их интерпретация в различных научных школах отличается незначительно. Приведем интерпретацию процесса перехода в пограничном слое, данную в работе [ 6]: «Таким образом, процесс перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентное состояние при малой интенсивности внешних возмущений состоит из трех условно разделяемых этапов: генерации волн пограничного слоя, их усиления по законам линейной теории и нелинейного разрушения ламинарного режима течения. Каждому этапу в перечисленной последовательности соответствует характерная область в пространстве по мере возрастания расстояния от передней кромки модели. Отметим, что последняя, нелинейная, область развития процесса перехода относительно малопротяженна, и характер ее в значительной степени определяется свойствами исходного течения, внешних возмущений и процессами, происходящими в предыдущих двух областях». Предлагаемая в работе [6] последовательность стадий перехода схематически приведена на рис. 1.

Линейная область Не-

линейная область

Рис. 1. Схема основных стадий процесса перехода в пограничном слое.

Рисунок взят из работы [6]

В работе [7] дается следующая последовательность стадий перехода в пограничном слое: «С увеличением расстояния по х мы наблюдаем последовательно следующие стадии: область слабых двумерных колебаний, область смешанных двух- и трехмерных колебаний, появление продольных вихрей и переход к турбулентному течению». Появление продольных вихрей в пограничном слое было установлено в экспериментах Клебанова и др. [7] — рис. 2.

Рис. 2.

Стационарные продольные вихри,

возникающие при колебаниях в пограничном слое и обусловленные нелинейными явлениями (по измерениям Клебанова). Рисунок взят из работы [7]

Установлено, что появляется завихренность в направлении оси х, которая периодически меняется по оси г. С ростом координаты х размер стационарных продольных вихрей увеличивается, и в основном течении появляются компоненты скорости у(х,у,г) и w(x,y,z), как показано на рис. 2. Направление вращения продольных вихрей противоположно друг другу.

Как отмечает Драйден [8]: «Проблема перехода есть не что иное, как проблема возникновения турбулентности и, в настоящее время еще не ясно, можно ли из всего многообразия проявлений начала турбулентности выделить какой-то один процесс, считая его основным. Различные исследователи пытались применять различные подходы в поисках той основной идеи или того ключевого принципа, который мог бы открыть двери к пониманию данного явления. Было много споров относительно возможности решения этой проблемы с помощью линейных теорий; особенно широкая полемика касалась роли и значения линеаризованной теории неустойчивости ламинарного течения». Сегодня ясно, что линейная теория устойчивости ламинарного режима течения носит ограниченный характер.

Покажем, что основная идея или ключевой принцип, позволяющий понять механизм возникновения турбулентности в пограничном слое, заключен в полученном законе возникновения турбулентности (1).

В работах Качанова, Козлова и Левченко [6] установлена важная роль передней кромки пластины в формировании вихревых волн пограничного слоя - волн Толмина-Шлихтинга (смотри рис. 1), но до конца не ясен механизм возбуждения этих волн. Рассмотрим механизм генерации этих волн, привлекая закон (1). Качественный анализ

дп дп ду ду

закона показывает: возникновение градиентов скорости потока —, —, —,— на

дх ду дх ду

передней кромке пластины вследствие прилипания потока на стенке пластины ( п = 0,у = 0), порождает возмущения давления ёр в плоскости ху, которые генерируют вихревые волны. При нарушении однородности потока по размаху пластины, по мере увеличения координаты х, будут возникать возмущения давления ёр по направлению г, которые будут порождать составляющую скорости w, что приведет к зарождению продольных вихрей — рис. 2. Слияние продольных вихрей приведет к скачкообразному изменению градиентов скорости, что, в свою очередь, вызовет скачкообразное изменение возмущений давления ёр и, соответственно, переход к турбулентности.

Так как на конечном этапе перехода к турбулентности процесс становится трехмерным, возникают продольные вихри с составляющей скоростью w вдоль координаты г (рис. 2), задачу возникновения турбулентности в пограничном слое необходимо рассматривать в трехмерной постановке.

В качестве начальных условий задавалось стационарное распределение поля скоростей и и V в пограничном слое несжимаемой жидкости на плоской пластине в двумерном приближении [5].

Количество узлов конечно-разностной прямоугольной сетки по осям х, у и г принимается 11. Шаг конечно-разностной сетки принимается равномерным по осям х, у

и г: Ах = Ау = Аг = 0,25 • 103 м. Расчет выполняется для фрагмента погранслоя, начиная с расстояния от передней кромки пластины х/=0,1 м. Шаг по времени определялся из условия устойчивости и принимался равным Аг = 2,5 -10"7 с. Количество шагов по времени принималось п = 100.

Анализировалось влияние сжимаемости на характеристики погранслоя. Рассчитаны два режима: с учетом сжимаемости среды и при допущении несжимаемости.

Сравнение рисунков 3 а и 3б показывает, что в сжимаемом потоке, даже при задании постоянного давления на границах расчетной области, давление в расчетной области осциллирует, в отличие от несжимаемой среды, где давление постоянно.

а) сжимаемая среда б) несжимаемая среда

Рис. 3. Изменение давления вдоль пластины в сечении к=6 в момент времени п = 100

Аналогично давлению изменяется плотность в расчетной области — сравнение рисунков 4а и 4б.

а) сжимаемая среда

б) несжимаемая среда

Рис. 4. Изменение плотности вдоль пластины в сечении к=6 в момент времени п = 100

Закон изменения скорости и в поперечном сечении погранслоя слабо зависит от сжимаемости среды — сравнение рисунков 5а и 5б.

Номер уз па по оси у Номер уз па по оси у

а) сжимаемая среда б) несжимаемая среда

Рис. 5. Изменение скорости и в поперечном сечении погранслоя в сечении к=6 в

момент времени п = 100

Как следует из сравнения рисунков 6а и 6б, профиль скорости V в сжимаемом погранслое начинает изменяться под влиянием пульсаций давления и плотности в большей степени на внешней границе погранслоя (/=8).

е—

41.]

/

// / V —

/ /у /

У*

Номер узпапв оску

а) сжимаемая среда

Чо 0.5

К

ь - о.з

0.1

//

/ и 1

/ >

/ Г/- 1

> / / 1

Ноглер узгапо осну

б) несжимаемая среда

Рис. 6. Изменение скорости V в поперечном сечении погранслоя в сечении к=6 в

момент времени п = 100

В сжимаемом погранслое возникает циркуляция потока вдоль оси г, рисунок 7а. В отличие от несжимаемой среды, рисунок 7б, где значение скорости н в 1012 раз меньше.

а) сжимаемая среда

б) несжимаемая среда

Рис. 7. Изменение скорости н вдоль оси г в сечении г=5 в момент времени п = 100

Сравнение полей скоростей для сжимаемой и несжимаемой сред в плоскости уг, рис. 8а и 8б, показывает, что в сжимаемом потоке возникает завихренность вдоль оси х. Такое поведение погранслоя в большей степени соответствует реальным течениям, в которых возникают продольные вихри, рисунок 2, зафиксированные экспериментально.

5-

+ * 1 1 1 1 1 * + *

♦ 1 » 1 } * 1 + 1 *

V ч * * » 1 / *

\ \ т 1 + Т Т ?

* + 1 1 1 f 1 ! \ *

1 1 * 1 ! * 1 * \

/ / * * * * 1 \ ч

/ * / } * > V V.

" * г г г 1 \

—I—

10

а) сжимаемая среда

б) несжимаемая среда

Рис. 8. Поле скоростей в сечении погранслоя =5 в момент времени п = 100

Из анализа рисунка 9а следует, в отличие от рис. 9б, что в сжимаемом погранслое между точками у'=2 и ]=3 возникают осциллирующие пульсации градиента давления значительной величины Ар = 2 — 4 Па . В несжимаемом погранслое эти градиенты отсутствуют.

а) сжимаемая среда

б) несжимаемая среда

Рис. 9. Изменение разности давлений в точкаху=2 и]=3 вдоль пластины в сечении к=6

в момент времени п = 100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Показано, что основная идея или ключевой принцип, позволяющий понять механизм возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе, заключен в полученном законе возникновения турбулентности (1), из которого следует, что при возникновении градиентов скорости, например, в пограничном слое, в струйных течениях и др., будут возникать пульсации давления, порождающие турбулентность.

- Проведенный вычислительный эксперимент позволяет отметить, что при анализе возникновения турбулентности в пограничном слое необходимо учитывать сжимаемость среды и диссипацию энергии в потоке. Допущение о несжимаемости среды исключает связь между пульсациями давления и градиентами скорости, описываемые уравнением (2).

- Задачу возникновения турбулентности в пограничном слое необходимо рассматривать в трехмерной постановке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронков С. С. О нарушении линейного закона Гука при возникновении турбулентности. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www. ejta. org, 2015, 11.

2. Воронков С. С. О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом. Электронный журнал «Техническая акустика», http ://www. ejta.org, 2004, 5.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

4. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. - 616 с.

5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 712 с.

6. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. - Новосибирск: Наука, 1982. - 151 с.

7. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. - М.: Мир, 1971. - 350 с.

8. Драйден Х.Л. Переход ламинарного течения в турбулентное. В книге: Турбулентные течения и теплопередача. - М: Изд. Иностранной литературы, 1963. - 563 с.