CC BY
15
2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(26)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.579
О СИСТЕМАХ ОБРАЗУЮЩИХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ПОЛИГОНОВ НАД ПОЛУГРУППАМИ ИЗОТОННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Т. В. Апраксина
Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва, Россия E-mail: taya.apraksina@gmail.com
Исследуются диагональные полигоны (автоматы) над полугруппами изотонных преобразований частично упорядоченного множества и непрерывных отображений топологического пространства в себя. Найдено необходимое условие цикличности диагонального правого полигона над полугруппой непрерывных отображений компакта в себя. Доказано отсутствие счётного множества образующих диагонального биполигона над полугруппой изотонных отображений множества натуральных чисел в себя. Изучаются связи между понятиями изотонности и непрерывности.
Ключевые слова: полигон, диагональный полигон, непрерывные отображения, изотонные отображения, система образующих.
Введение
Изотонные (то есть сохраняющие порядок) отображения X ^ Y, где X и Y — частично упорядоченные множества, изучались многими авторами. При X = Y получаем множество O(X) изотонных отображений X ^ X, которое является полугруппой относительно композиции х(ав) = (ха)в, где х G X, а, в G O(X). В случае, если рассматриваются частичные отображения а : Xi ^ X, где Xi С X, понятие изотонности может быть определено разными неэквивалентными способами [1]. Другое обобщение понятия изотонного отображения состоит в переходе от частичного порядка к квазипорядку или вообще произвольному бинарному отношению [1]. Вместе с тем можно заметить, что понятие изотонного отображения является частным случаем непрерывного отображения X ^ Y, если X и Y наделить топологиями, естественным образом связанными с заданными на X и Y частичными порядками. Для конечных множеств X и Y это установлено в [2], а в общем случае — в п. 1 настоящей работы.
Полугруппа C (X) непрерывных отображений X ^ X (где X — топологическое пространство) также подвергалась интенсивному изучению с алгебраической точки зрения. Этой полугруппе посвящён обстоятельный обзор [3]. Один из центральных вопросов этой теории — в каких случаях топологическое пространство X определяется с точностью до гомеоморфизма своей полугруппой C(X)? М. Торнтон [4] дал абстрактную характеризацию полугрупп, изоморфных полугруппе непрерывных отображений C(X). Он рассмотрел гомоморфизмы этих полугрупп и показал, что любой изоморфизм между полугруппами C(X) и C (Y) индуцируется гомеоморфизмом или
дуальным гомеоморфизмом (это понятие определяется для некоторого класса Т0-про-странств) между топологическими Т0-пространствами X и У. Ранее Л. М. Глускин [5] доказал аналогичное утверждение для частично упорядоченных множеств с нетривиальными порядками. Б. С. Нурутдинов [6] рассматривал аналогичные вопросы опреде-ляемости топологического пространства другими полугруппами отображений, в частности полугруппами замкнутых отображений.
Далее рассматриваются полигоны над полугруппами. Хорошо известно, что полигон над полугруппой является алгебраической моделью автомата, где элементы множества X — состояния, а Б — входные сигналы (см., например, [7]). В п. 2 и 3 изучаются полугруппы непрерывных/изотонных отображений с точки зрения их диагональных полигонов и биполигонов. Ранее автором было доказано, что для отрезка числовой прямой с обычной топологией диагональный правый полигон над полугруппой С (X) непрерывных отображений X ^ X является циклическим. В п. 2 приводится условие на компакт X, необходимое для цикличности полигона (С(X) х С(X))с(х). В п. 3 рассматривается диагональный биполигон над полугруппой О(М) всех изотонных преобразований N ^ N. Доказано отсутствие счётной системы образующих этого полигона.
1. Изотонность и непрерывность
В [2] Р. Стонг исследовал конечные топологические пространства X. Он определил их для х Е X как пересечение всех открытых множеств, содержащих х, и отношение ^ на X по правилу х ^ у ^ их С иу .В случае конечного множества X пересечение любой совокупности открытых множеств открыто. Поэтому все их открыты. Однако данная конструкция может быть легко перенесена и на бесконечные множества X.
Пусть X — произвольное частично упорядоченное множество, не обязательно конечное. Введём на X топологию, приняв множество подмножеств вида их = (-га, х] = = {у Е X : у ^ х} за базу открытых множеств (тот факт, что это база топологии, проверятся непосредственно). Назовем эту топологию порядковой топологией. Обычно порядковая топология рассматривалась для линейно упорядоченных множеств, но и в случае частично упорядоченного множества получается топология. Легко видеть, что антисимметричность отношения ^ равносильна тому факту, что X является Т0-пространством. Можно расссматривать квазипорядок вместо порядка, тогда от аксиомы Т0 придётся отказаться.
Утверждение 1. Пусть X, У — частично упорядоченные множества и а : X ^ У — отображение. Наделим X и У порядковыми топологиями. Тогда а изотонно в том и только в том случае, если оно непрерывно.
Доказательство. Необходимость. Пусть а изотонно. Возьмём любой элемент у Е У. Так как {(-га,у] : у Е У} — база топологии в У, то достаточно доказать, что (-га,у]а-1 открыто в X. Пусть х Е (-га,у]а-1. Тогда ха ^ у. Если х' ^ х, то из изотонности а получаем, что х'а ^ у, а значит, (-га,х] С (-га,у]а-1. Таким образом, (-га,у]а-1 = и (-га,х], то есть (-га,у]а-1 открыто.
ха^у
Достаточность. Пусть а непрерывно и х ^ х' для некоторых х,х' Е X. Пусть V = (-га,х'а]. Множество V открыто в У, а так как а непрерывно, Уа-1 открыто в X. Имеем х' Е Уа-1. Отсюда следует, что существует элемент базы и, такой, что х' Е и и и С Уа-1. Имеем и = (-га, и] для некоторого и Е X. Так как х' Е и, выполняется х' ^ и. Это влечёт х ^ и, а значит, х Е и. Но иа С V. Следовательно, ха ^ х'а. ■
Следствие 1. Пусть X — частично упорядоченное множество, рассматриваемое как топологическое пространство с порядковой топологией. Тогда С(X) = 0(Х).
2. Диагональные полигоны над полугруппой непрерывных отображений
Напомним понятие полигона над полугруппой. Правым полигоном [8] над полугруппой Б называется множество X, на котором действует полугруппа Б, то есть определено отображение X х Б М X, (ж, в) М- жв, такое, что выполняется тождество (жв)в' = ж(вв') для ж € X, в, в' Е Б. Левый полигон У над полугруппой Б определяется двойственным образом, то есть как отображение У х Б М У, (в, у) М ву, причём в(в'у) = (вв')у для у Е У, в, в' Е Б. Если множество X является левым полигоном над полугруппой Б и правым полигоном над полугруппой Т, то оно называется биполи-гоном в случае, когда выполняется условие (вж)£ = в(ж£) при ж Е X, в Е Б, £ Е Т. Если Б — полугруппа, то множество Б х Б является правым полигоном над Б относительно действия (ж,у)в = (жв,ув) при всех ж, у, в Е Б, левым относительно действия в(ж, у) = (вж, ву), а также биполигоном. Назовем их правым, левым диагональными полигонами, а также диагональным биполигоном и будем обозначать (Б х Б),$, ^(Б х Б), ^(Б х Б)$ соответственно. Диагональный (би)полигон называется циклическим, если он порождается одним элементом (то есть одной парой (а, Ь) Е Б х Б).
Раннее автором изучались свойства диагональных полигонов над полугруппой непрерывных отображений в случае, когда X — отрезок числовой прямой. Доказано, что диагональный правый полигон (С(X) х С(X))с(х) является циклическим [9], а диагональный левый полигон с(х)(С(X) х С(X)) не является счётно порождённым [10]. В случае произвольного компакта можно получить необходимое условие цикличности диагонального полигона.
Утверждение 2. Пусть X — компакт и IX | > 1. Если диагональный правый полигон (С(X) хС(X))с(х) циклический, то X содержит непересекающиеся подпространства X1,X2, гомеоморфные пространству X.
Доказательство. Предположим, что выполнены условия утверждения. Тогда существует пара (а, в) Е С(X) х С(X), порождающая диагональный правый полигон. Если 1х — тождественное отображение X М X, то (а,в)т = (1х, 1х) при некотором 7 Е Сх. Отсюда следует, что а, в — инъективные отображения. Пусть X1 = X«, X2 = = Xв. Очевидно, а : X М XI, в : X М X2 —непрерывные биективные отображения, а так как X — компакт, а — гомеоморфизм между X и XI. Аналогично получаем, что в — гомеоморфизм между X и X2. Осталось доказать, что XI П X2 = 0. Пусть это не так. Тогда жа = ув при некоторых ж, у Е X. Возьмём два различных элемента а, Ь Е X, и пусть ба,бь — константные отображения, то есть жба = а и жбь = Ь при всех ж Е X. Очевидно, что отображения ба,бь непрерывны. Следовательно, (а,в)8 = (ба,б&) при некотором 8 Е Сх. Имеем: а = жба = жа8 = ув8 = убь = Ь, что противоречит выбору элементов а и Ь. ■
Следует отметить, что не все компакты являются таковыми. Например, в компакте X = -|о, 1,1,1 (с обычной топологией действительных чисел) нет двух непере-
секающихся гомеоморфных X подпространств.
3. Диагональные биполигоны над полугруппой изотонных отображений
В работе [11] доказано, что диагональный правый полигон (Б х Б)$, диагональный левый полигон $ (Б х Б) и диагональный биполигон $ (Б х Б)$ являются циклическими, если Б = Т(X), Р(X) или В(X), где X — бесконечное множество, Т(X) —
полугруппа всех отображений X ^ X, Р(X) —полугруппа частичных отображений, а В (X) —полугруппа бинарных отношений на множестве X. Аналогичный вопрос возникает для полугруппы О^) всех изотонных (сохраняющих порядок) отображений а : X ^ X, где X — частично упорядоченное множество. Ранее автором были исследованы диагональные полигоны над полугруппой О^) и получены условия цикличности и конечной порожденности этих полигонов [9]. Там же доказано, что ни для какой бесконечной цепи X диагональные полигоны над полугруппой О^) не могут быть циклическими. Основной результат данной работы обобщает упомянутый результат в случае, когда X — множество натуральных чисел N с обычным порядком, а именно доказано, что диагональный биполигон над полугруппой изотонных отображений О^) не имеет счётной системы образующих.
Определение 1. Пусть а, /: N ^ N — изотонные отображения. Назовём пару (а, в) правильной, если выполняются следующие условия:
0) ш = ^ г/3 = 3/3 при г = 3;
(II) га = З/ при любых г, 3 (т. е. 1ша П т/ = 0);
(III) для любого к существует /, такое, что /а = к или // = к (т. е. та и т/ =
Замечание 1. Если пара (а, /) принадлежит порождающему множеству (множеству образующих), но не является правильной, то существует правильная пара (а,/3), такая, что (а,/3)7 = (а,/) при некотором 7 Е О^). Поэтому в системе образующих пару (а, /) можно заменить на пару (а,/3). Далее будем считать, что система образующих состоит только из правильных пар.
Следующая лемма показывает, что в системе образующих любую пару можно заменить на правильную пару.
Лемма 1. Пусть а, / : N ^ N — изотонные отображения, такие, что т а, т/ — бесконечные множества. Тогда существуют изотонные отображения а3, 3, образующие правильную пару, такие, что (а, /3)7 = (а, /) при некотором изотонном отображении 7.
Доказательство. По отображениям а, / построим множество М троек (р, ¿,е) для некоторых р, £ Е N следующим образом: М = {(р, ¿, 0) : ¿а = р} и {(р, ¿, 1) : ¿/ = р}. Множество М упорядочим лексикографически: (р, ¿,е) < (р',£',е'), если и только если р < р', или р = р', £ < ¿', или р = р', £ = ¿', е < е'.
Докажем, что для каждого р0 Е N существует лишь конечное число троек (р0, ¿, е) Е Е М. Действительно, если таких троек бесконечно много, то либо троек вида (р0,£, 0), либо троек вида (р0,£, 1) бесконечно много. В первом случае |1ша| < га, во втором случае |1ш < га — то и другое противоречит условию леммы. Так как число троек (р0,£,е) Е М конечно для каждого р0 Е N множество М упорядочено по типу натурального ряда. Для тройки (р, ¿,е) Е М пусть N(р,£,е) обозначает номер этой тройки по порядку в М. Очевидно, для любого £ Е N имеем (¿а,£, 0), (£/,£, 1) Е М. Это позволяет определить отображения а, /3 : N ^ N по формулам ¿а = N(¿а,£, 0), £3 = N(¿/, ¿, 1). Проверим, что а, /3 — изотонные инъективные отображения. Ясно, что достаточно осуществить проверку для а. Пусть £ < ¿'. Тогда ¿а ^ ¿'а. Если ¿а < ¿'а, то (¿а, ¿, 0) < (¿'а, ¿', 0), а значит, N (¿а, ¿, 0) < N (¿' а, ¿', 0), то есть ¿а < ¿'а. Если ¿а = ¿'а, то (¿а, ¿, 0) < (¿'а, ¿', 0), откуда N(¿а^, 0) < N(¿'а,^, 0), то есть ¿а < ¿'а.
Проверим, что (а, /3) —правильная пара. Условие (1) следует из инъективно-сти отображений а, /3. Проверим выполнение условия (11). Пусть га = 3/3. Тогда N (га,г, 0) = N (3/, 3,1). Но это невозможно, так как (га,г, 0) = (3/, 3,1). Пусть к Е N. Рассмотрим тройку с номером к. Если это тройка (р^, 0), то ¿а = р, то есть (р, ¿, 0) = (¿а^, 0), а значит, ¿а = N(¿а^, 0) = к. Если тройка с номером к имеет вид
(р, ¿, 1), то аналогично получаем, что ¿в = к. Таким образом, к Е 1ш а и тв, то есть выполнено условие (111). Теперь построим отображение 7 : N ^ N. Пусть в Е N и (р, ¿,е) — в-я по порядку тройка из М, то есть в = N(р, ¿,е). Тогда полагаем в7 = р. Ясно, что таким образом отображение 7 определено корректно. Докажем, что 7 изо-тонно. Пусть в < в'. При этом в = N(р, ¿,е), в' = N(р'^',е'). Имеем (р, ¿, е) < (р'^',е'). Отсюда получается, что р ^ р'. Так как р = в7 и р' = в'7, то выполняется в7 ^ в'7. Этим доказана изотонность отображения 7.
Осталось доказать, что <57 = а и /37 = в. Пусть £ Е N тогда ¿а = N(¿а,£, 0). Отсюда ¿(57 = N(¿а,£, 0)7 = ¿а. Таким образом, <7 = а. Аналогично доказывается, что /?7 = в. ■
Приведём пример, иллюстрирующий лемму 1.
тт 1 тт /1 2 3 4 5 6 -Л „ /1 2 3 4 5
Пример1. Пусть а 55789 ...) , в =^4 4 4 7 8
Тогда а даёт следующие тройки для множества М: (2,1, 0), (5, 2, 0), (5, 3, 0), (7, 4, 0), (8, 5,0), (9, 6,0), ...; в даёт (4,1,1), (4,2,1), (4,3,1), (7,4,1), (8,5,1), ...
Перенумеруем их и упорядочим: (2,1, 0), (4,1,1), (4, 2,1), (4, 3,1), (5, 2,0), (5, 3, 0),
(7,4,0), (7,4,1), ...
7 8
Следовательно,
5= Л 2 3 4 5 ••• \ з_/1 2 3 4 ••• \ =/1 234567 а = I 1 к а ч п I , в = I о а л о I , ^ =
1 5 6 7 9 2 3 4 8 2 4 4 4 5 5 7
Положим теперь, что правильные пары изотонных преобразований а, в : N ^ N взаимно однозначно соответствуют последовательностям е = (е^ е2, е3,...) из нулей и единиц, в которых бесконечно много как нулей, так и единиц. Действительно, для каждого к Е N пусть ка — позиция, которую в последовательности е занимает к-й по счёту нуль, а кв — позиция к-й по счёту единицы. Нетрудно проверить, что тогда а, в являются изотонными преобразованиями, составляющими правильную пару. Последовательность е восстанавливается по правильной паре (а, в) однозначно:
е,; =
0, если г Е 1ш а,
1, если г Е 1ш в.
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
если а = , Р = о Ч И в 1П ,то
1 5 6 7 9 2 3 4 8 10
е = 1000111010...
Пусть е = (е1, е2, е3, . . .) — последовательность из нулей и единиц.
Определение 2. Позицией элемента е, назовём индекс г и будем писать ров(е,) = г.
Определение 3. Элементарным прореживанием последовательности нулей и единиц называется одновременное удаление г-й по счёту единицы и г-го по счёту нуля (для какого-либо г), прореживанием — применение элементарных прореживаний конечное или бесконечное число раз.
Далее будем писать е^ = 0т, если е^ — т-й по счёту нуль в последовательности е. Аналогично этому т-ю по счёту единицу в е будем обозначать 1т. Например, последовательность е = 0010110110011 можно записать так: е = 01021103121304141505061б 17. Пусть дана последовательность е из нулей и единиц, в которой бесконечно много нулей и бесконечно много единиц. Операцию прореживания последовательности е можно проиллюстрировать следующим образом. Если ¿1 < ¿2 < ¿3 ... — возрастающая последовательность натуральных чисел, то возьмём в е те единицы и нули, которые имеют номера ¿1, ¿2, ¿з,..., сохраняя их порядок в е. Полученная последовательность п будет последовательностью, полученной из е прореживанием. Например, если ¿1 = 1, ¿2 = 3, ¿3 = 6, ¿4 = 7, ..., то прореживание е даёт п = 0101011...
Лемма 2. Пусть е,п — последовательности из нулей и единиц, соответствующие правильным парам (а, /) и (а', /'), причём а' = 7а5, /' = 7/$ при некоторых 7, 5 Е О(^. Тогда последовательность п можно получить из последовательности е прореживанием.
Доказательство. Так как а' = 7а5 инъективно, то 7 также инъективно. Пусть г7 = ¿i (г = 1, 2, 3,...). Очевидно, ¿1 < ¿2 < ... Так как 7а5 и 7/5 образуют правильную пару, то
1) т (7а) П т (7/) = 0;
2) 5 инъективно на множестве т (7а) и 1ш (7/).
Следовательно, г7а = ров(0^), г7/ = ров(1^). Таким образом, в последовательности е выделяются нули и единицы с номерами ¿1, ¿2, ¿3,... Отображение 5 переведёт эту последовательность взаимно однозначно. ■
С помощью лемм 1 и 2 рассуждениями, близкими к диагональному методу Кантора, доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Диагональный биполигон о(н)(О(^ х О(^)о(н) не имеет счётного множества образующих.
Доказательство. Предположим, что М = {(а1, /1), (а2,/2), (а3, /3),...} — счётное множество образующих диагонального биполигона о(н)(О(^ х О(^)о(н). Выберем среди них такие пары, для которых 1ш аi, твi — бесконечные множества. Получаем множество М'. Множество М' конечно или счётно: М' = {(а^, ), (а2, /2), (а'3, /3),...}. Ввиду леммы 1 можно считать, что все (а^ Е М — правильные пары. Пусть е(^(г = 1, 2, 3,...) — соответствующие этим парам последовательности из нулей и единиц. Положим А = {е(1), е(2),...}. Тогда А конечно или счётно. Пусть В = А х N. Ясно, что В — счётное множество. Имеем В = {Ь^ Ь2, Ь3,...}. Построим последовательность р1,р2,р3,... натуральных чисел рекурсивно. Пусть Ь,1 = (е,т). Число р1 выберем таким, чтобы р1 > 1 и р1 > а, где а — количество нулей 0^ таких, что г ^ т и pos0i < рое 1т. Если в последовательности е имеет место ров0т > рое 1т, то а = 0 и можно положить р1 = 2.
Пусть числа р1,р2,... ,рй-1 уже построены, причем pi > г при г = 1, 2,... , к - 1. Рассмотрим . Пусть = (е,т). Сначала выбираем, если это возможно, р1 нулей, лежащих от 0т до 1т: 041 = 0т, 04з, 04з, ... , 0^ . Автоматически будут выбраны единицы 1*1 = 0т, 1 ¿2, 1*3, ... , 1*р . Ясно, что существует лишь конечное число способов выбора нулей 0*1 = 0т, ... , 0* . Далее выбираем, если это возможно, р2 нулей между 141 и 1*2: 0^ +1, 0Ч+2, ... , 0*п+Р2. Это также можно сделать лишь конечным количеством способов. Пусть выбраны нули 0* + +р. +1, ... , 0* + +р. +р., предшествующие элемен-
ту lt.. Так как p1 + ... + pi > i, то определено ti+1, и если i < k — 1, то можно выбрать следующую последовательность из нулей pi+1 между lti и lt .
Последние выбранные нули —это 0íp1+...+pfc_2+1, ..., 0^+...+^+^, они предшествуют элементу ltk-1. Так как p1 + .. .+pk-1 > k —1, то tk также определено. Обозначим через c максимальное количество нулей между ltk_ 1 и ltk при всевозможных выборах нулей и единиц вышеописанным способом. Ввиду конечности количества способов выбора имеем c = œ. Полагаемp^ = max{c +1, k +1}. Итак, последовательность p1,p2,p3,...
построена. Пусть n = 0P110Р210Рз 1... (здесь 0p обозначает CL^J)). Докажем, что после-
p
довательность n не может быть получена из какой-либо последовательности e(i) G A с помощью прореживания. Действительно, пусть n получается из e(i) путем прореживания, то есть выделения нулей и единиц с номерами t1,t2,..., где t1 < t2 < ... Тогда существует такое k, что (e(i),t1) = bk. Имеем (pos lk-1) < (pos 0P1+...+Pk) < (pos ltk). Из условия pk = max{c + 1, k +1} имеем p¿. ^ c +1. Значит, между ltk_ 1 и ltk всего нулей меньше чем pk. Получили противоречие. Следовательно, последовательность n не получится из e(i) прореживанием. Последовательность n соответствует некоторой правильной паре (<£, ф) через образующие: ^ = y^S, ф = YÄS для некоторых y, S G O(N). Так как im ^ и imф бесконечны, то же верно для ai, ßi. Следовательно, (ai,ei) G M'. Если e' — соответствующая этой паре последовательность из нулей и единиц, то e' G A, то есть e' = e(i) при некотором i G N. По лемме 2 получаем, что n полуается из e(i) прореживанием. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. ■
Следствиями из теоремы l являются аналогичные утверждения для диагональных левого и правого полигонов.
Следствие 2. Диагональный левый полигон o(n)(0(N) x O(N)) не имеет конечной или счётной системы образующих.
Следствие 3. Диагональный правый полигон (O(N) x 0(N))o(n) не имеет конечной или счётной системы образующих.
Заключение
При исследовании диагональных полигонов над полугруппами изотонных преобразований частично упорядоченного множества доказано отсутствие их счётнопорож-дённости в случае множества натуральных чисел для левого, правого и биполиго-нов. Найдены условия цикличности правого диагонального полигона над полугруппой непрерывных отображений в случае компакта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ярошевич В. А. О свойствах полугрупп частичных изотонных преобразований квазиупо-рядоченных множеств // Вестник МГАДА. 2011. Вып. 3(9). С. 139-144.
2. Stong R. E. Finite topological spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. No. 123. P. 325-340.
3. Magill K. D. Jr. A survey of semigroups of continuous selfmaps // Semigroup Forum. 1975/1976. V. 11. P. 189-282.
4. Thornton M. C. Semigroups of isotone selfmaps on partially ordered sets //J. London Math. Soc. 1976. V. 14. No. 3. P. 545-553.
5. Глускин Л. M. Полугруппы изотонных преобразований // Успехи матем. наук. 1961. №16:5(101). С. 157-162.
6. Нурутдинов Б. С. Топологии пространств, описываемые полугруппами отображений // Вестник МГУ. Сер. Математика, Механика. 1973. №4. С. 24-29.
7. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994.
8. Kilp M., Knauer U., and Mikhalev A. V. Monoids, acts and categories. Berlin; New York: de Gruyter, 2000.
9. Апраксина Т. В. Диагональные полигоны над полугруппами изотонных преобразований // Чебышевский сб. 2011. №12:1. С. 10-16.
10. Апраксина Т. В. Цикличность и конечнопорожденность диагональных полигонов над полугруппами преобразований // Мат. вестн. педвузов и ун-тов Волго-Вятск. региона. 2012. №14. С. 51-58.
11. Gallagher P. and Ruskuc N. Generation of diagonal acts of some semigroups of transformations and relations // Bull. Austral. Math. Soc. 2005. V. 72. P. 139-146.
