Об идемпотентных элементах полугруппы увеличивающих монотонных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.65, 517.17, 512.56

ОБ ИДЕМПОТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ПОЛУГРУППЫ УВЕЛИЧИВАЮЩИХ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

А. Л. Крюкова

Вологодский государственный педагогический университет, кафедра алгебры, геометрии и теории обучения математике E-mail: [email protected]

В некоторых специальных классах упорядоченных топологических пространств получена характеризация округлений как крайних точек множества неувеличивающих изотонных отображений, доказана их устойчивость по Хайерсу - Уламу.

Ключевые слова: округление, топологические частично упорядоченные пространства, крайние точки, устойчивость по Хайер-су-Уламу.

On Idempotent Elements of Semigroup of Increasing Monotonous Mappings

A. L. Kryukova

Vologda State Pedagogical University,

Chair of Algebra, Geometry and Theory

of Learning Mathematics

E-mail: [email protected]

In some special classes of ordered topological spaces we characterize roundings as extreme points of set of non increasing isotonic mappings, and establish their stability in Hyers-Ulam sense.

Key words: rounding, ordered topological spaces, extreme points, stability in Hyers - Ulam sense.

ВВЕДЕНИЕ

В практике компьютерных вычислений одна из наиболее часто встречающихся операций — это округление (промежуточных) результатов. Истоки аксиоматической теории округлений содержатся в работе и. КцИбсИ [1], который определил их как отображения линейно упорядоченного множества в его подмножество, удовлетворяющие некоторым естественным требованиям (аксиомам). Понятие интервального округления было сформулировано и представлено в работах [2, 3]. В данной работе округления изучаются в рамках общей теории топологических частично упорядоченных пространств.

Будем рассматривать в частично упорядоченном пространстве (X, <) совокупность /Е(X) всех отображений ^ пространства X в себя, для которых выполнены следующие два условия:

1) х < ^(х),

2) ^(х1) < ^(х2), если XI < х2.

Таким образом, 1Е(X) — это множество всех увеличивающих возрастающих отображений X в себя.

Отображение ^ е 1Е(X) называется замыканием [4] (или округлением), если оно идемпотентно, т. е. удовлетворяет условию

3) ^(х)) = ^(х).

Мы покажем, что если X — подмножество линейного пространства, и упорядоченность задается выделением «положительного» конуса, то всякое замыкание — крайняя точка выпуклого множества 1Е(X). Для случая, когда X — прямая с естественным порядком, будет доказано и обратное утверждение. Поскольку крайние точки множества, при выполнении некоторых дополнительных топологических условий, порождают это множество (в смысле теорем Крейна - Мильмана, или Шоке), это указывает на важную роль замыканий в структуре пространства увеличивающих возрастающих отображений.

В последнем разделе работы рассматривается устойчивость множества замыканий по Хайерсу -Уламу.

Напомним, что общее (неформальное) определение устойчивости по Хайерсу - Уламу класса отображений, выделяемого некоторым условием, звучит следующим образом [5, с. 77]: «отображения, почти удовлетворяющие данному условию, близки к отображениям, в точности ему удовлетворяющим». В применении к замыканиям, которые выделяются из /Е(X) свойством идемпотентности, это означает следующее.

Пусть упорядоченное пространство (X, <) наделено метрикой р, согласованной с порядком. Будем

© Крюкова А. Л., 2011

27

говорить, что класс всех замыканий на (X, <) устойчив по Хайерсу - Уламу в классе Т С /Е(X) [5], если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что если / е Т и р(/(/(х)), /(х)) < 6 для всех х, то р(/(х),^(х)) < е для всех х, где ^ — некоторое замыкание.

Мы докажем, что для случая X = К множество замыканий устойчиво в классе всех непрерывных слева отображений из /Е(X).

1. ЗАМЫКАНИЯ И КРАЙНИЕ ТОЧКИ

Пусть X — выпуклое подмножество линейного вещественного пространства X, а упорядочение задается выпуклым конусом К С X: х < у, если у — х е К. В этих условиях /Е(X) обладает выпуклой структурой, т. е. является выпуклым подмножеством линейного пространства всех отображений из X в X.

Теорема 1. Всякое замыкание в (X, <к) является крайней точкой в /Е(X).

Доказательство. Пусть ^ — произвольное замыкание. Если оно не является крайней точкой, то найдутся отображения /1,/2 е /Е(X) такие, что ^ = 2(/1 + /2).

Докажем, прежде всего, что неподвижные точки отображения ^ являются неподвижными для функций /1 и /2. В самом деле, если ^(х) = х, то /1 (х) — х = х — /2(х). Но левая часть этого равенства принадлежит К, а правая принадлежит —К. Так как пересечение К и —К равно {#}, то обе части равны нулю, т. е. /г(х) = х, где г = 1, 2.

Поскольку точка ^(х) всегда неподвижна для замыкания ^, то для произвольного х е X имеем: /г(^(х)) = ^(х). Так как х < ^(х), то /(х) < /г(^(х)) = ^(х). Таким образом, оба отображения / мажорируются отображением ^. Значит, в равенстве /1(х) — ^(х) = ^(х) — /2(х) правая часть принадлежит К, а левая принадлежит —К. Снова, применяя свойство К П (—К) = {#}, заключаем, что обе части равны нулю. Таким образом, / = ^ и ^ является крайней точкой. □

Рассмотрим теперь в качестве исходного пространства (X, <) вещественную прямую К с обычным порядком и топологией. В этом случае полугруппа /Е(К) состоит из всех неубывающих функций на К, удовлетворяющих условию /(х) > х.

Заметим, что теорема 1 уже в этой ситуации не допускает обращения. В самом деле, рассмотрим функцию 7(х), определенную равенствами: 7(х) = 0 при х < 0, 7(х) = 1 при х е [0; 1], 7(х) = х при х > 1. Так как 7(7(— 1)) = 7(0) = 1 = 0 = 7(—1), то 7 не является идемпотентной. С другой стороны, 7 — крайняя точка множества /Е(К). В самом деле, пусть 7 = 1 (а + в), где а, в е /Е(К). В частности, а(х)+ в(х) = 0 при х < 0. Если а(х) > 0 при каком-нибудь х < 0, то Нш а(х) > 0, откуда

х—0 —

Нш в(х) < 0. Следовательно, найдется х < 0 такой, что в(х) < х, а это невозможно. Мы доказали,

х—0 —

что а(х) < 0 при х < 0. Разумеется, то же верно и для в(х), поэтому условие а(х) + в(х) = 0 влечет а(х) = в(х) = 0, т. е. обе функции совпадают с 7(х) на (—го, 0). Далее, на отрезке [0,1] выполнено условие а(х) + в(х) = 2, поэтому если а(1) > 1, то в(1) < 1, что невозможно. Итак, а(1) = 1 откуда а(х) < 1 и аналогично в(х) < 1 для всех х е [0,1]. Следовательно а(х) = в(х) = 1, т. е. обе функции совпадают с 7(х) на [0,1]. Наконец, так как а(х) > х, в(х) > х и а(х) + в(х) = 2х на [1, го), то а(х) = в(х) = х = 7(х) и на этом интервале.

Функцию 7(х) можно, однако, «несущественно» изменить таким образом, что она станет идемпотентной. Для этого достаточно положить 7(0) = 0. Мы покажем, что это общий факт: если функция является крайней точкой в /Е(К), то, изменяя ее значения на некотором (не более чем счетном) множестве точек разрыва, можно получить идемпотентную функцию. Алгоритм изменения весьма прост: функцию достаточно сделать непрерывной слева.

Заметим, что крайняя функция в любой точке непрерывна хотя бы с одной стороны. В самом деле, если Нш /(х) < /(х0) < Нш /(х), то / = 1 (/1 + /2), где каждая из функций / совпадает

х —— Х0 — х —^Хо + 2

с / везде, кроме точки х0, а в этой точке отличается от /(х0) на ±е, причем е достаточно мало. Обозначим для краткости через /Е1 (К) множество всех функций из /Е(К), которые в каждой точке разрыва непрерывны либо слева, либо справа.

Для любой монотонной функции /(х) обозначим через V/(х) функцию, непрерывную слева и совпадающую с /(х) во всех ее точках непрерывности. Нетрудно видеть, что отображение V : / ^ V/ сохраняет /Е(К) и является аффинным. Будем называть две функции /1, /2 эквивалентными, если

V/l = V/2. Мы покажем, что крайние точки множества /Е(К) — это те и только те функции из /Е1(К), которые эквивалентны идемпотентным.

Лемма 1. Функция /(х) е /Е1 (К) является крайней точкой множества /Е(К) тогда и только тогда, когда таковой является V/(х).

Доказательство. Пусть / не является крайней, тогда найдутся функции /1 = /2 из /Е(К) такие, что / = 1 (/1 + /2). Так как оператор V аффинный, то V/ = 1 (V/ + V/2). Если V/ = V/, то V/ не является крайней, что и требуется.

Предположим, что V/ = V/2, тогда обе функции /г совпадают с / в общих точках непрерывности (а также в точках непрерывности слева). Пусть х0 — произвольная точка. Так как сколь угодно близко слева от нее находятся общие точки непрерывности (множество точек разрыва монотонной функции счетно), то /г(х0) > Ишх—хо— /г(х) = Ншх—хо— /(х) = /(х0). Так как /(х0) = 2(ЛМ + /2(х0)), то /г(х0) = /(х0) = Ишх—хо — /г(х). Мы доказали, что функции /г непрерывны слева — /г = V/г, /1 = /2

— противоречие.

Обратно, пусть функция V/(х) не крайняя, тогда V/ = 1 (#1 + #2), #1 = #2. Проведенное рассуждение показывает, что функции не могут совпадать с / во всех точках непрерывности. Следовательно, изменив их произвольным образом на множестве точек разрыва, мы получим несовпадающие функции. Но если положить их в этих точках равными /(х), получим равенство / = 1 (#1 + #2), показывающее, что / — не крайняя точка. □

Доказанный результат позволяет ограничить наши рассмотрения функциями из /Е(К), являющимися непрерывными слева. Обозначим множество всех таких функций через Ь/Е (К).

Напомним, что подмножество М выпуклого множества N называется его гранью, если из условий х е М, х = ау + (1 — а)г, у, г е N, а е (0; 1), следует, что у, г е М.

Лемма 2. Ь/Е(К) является а) выпуклой гранью множества /Е(К); б) подполугруппой в /Е(К).

Доказательство. а) пусть /(х) — непрерывная слева функция, а у и г из /Е(К) таковы, что / = ау + (1 — а)г, где а е (0;1). Докажем, что и у, г е Ь/Е (К). Допустим противное: хотя бы одно из неравенств Нш у(х) < у(х0) и Нш г(х) < г(х0) является строгим. Домножив первое из

х—хо — х—хо —

неравенств на а, второе на (1 — а) и сложив результаты, мы получим

а Нш у(х) + (1 — а) Нш г(х) < ау(х0) + (1 — а)г(х0),

х—хо— х—хо —

а это значит, что Нш /(х) = /(х0), что противоречит непрерывности слева функции /. Аналогично

х—хо—

доказывается выпуклость множества Ь/Е (К).

б) достаточно показать, что композиция двух возрастающих непрерывных слева отображений также непрерывна слева. Пусть /, ^ из Ь/Е (К). Фиксируя х0 е К и е > 0, положим у0 = / (х0) и для него найдем такое а > 0, что неравенство у0 — а < у < у0 влечет ^(у0) — е < ^(у) < ^(у0). С другой стороны, ввиду непрерывности слева функции /(х) в точке х0 найдется такое 6 > 0, что неравенство х0 — 6 < х < х0 влечет неравенство у0 — а < /(х) < у0. Отсюда следует, что для таких значений х выполнено неравенство ^(/(х0)) — е < ^(/(х)) < ^(/(х0)) < е. □

Известно, что грань грани — грань. В частности, крайние точки (= одноточечные грани) множества Ь/Е (К) являются крайними точками и для /Е (К).

Приведем конструкцию идемпотентного отображения из Ь/Е (К). Пусть К — замкнутое подмножество в К. Определим функцию /к : К ^ К, полагая /к(х) = т£{у е К : х < у}.

Теорема 2. Отображение К ^ /к устанавливает биекцию между множеством идемпотент-ных элементов полугруппы Ь/Е(К) и множеством всех неограниченных сверху замкнутых подмножеств прямой.

Доказательство. Так как множество К предполагается неограниченным, отображение /к определено корректно. Из замкнутости К следует, что /к(х) е К для любого х. Очевидно, что /к(х) = х, если и только если х е К. Отсюда следует, что отображение /к идемпотентно. Проверим, что оно непрерывно слева в произвольной точке х0 е К. Если х0 / К, тогда ввиду замкнутости К найдется интервал, содержащий х0, для всех точек х которого {у е К : у > х} = {у е К : у > х0} и, значит, /(х) = /(х0), т. е. / постоянна на некотором интервале, содержащем х0. Пусть х0 е К,

тогда f(x0) = x0, f(x) > x = x0 — (x0 — x) = f(x0) — (x0 — x) при x < x0, и потому lim f (x) > lim (f (x0) — (x0 — x)) = f (x0). Обратное неравенство очевидно.

x ^ x о — x ^ x о

Так как K является множеством неподвижных точек для /к, то отображение K ^ /к инъективно. Докажем его сюръективность.

Пусть f е L/E(R) — идемпотентное отображение; обозначим через K множество его неподвижных точек. Так как f(x) > x для любого x, то множество K неограничено сверху. Покажем, что оно замкнуто. Пусть xn ^ x, xn е K. Если среди xn есть бесконечно много чисел, больших x, то можно считать (заменяя последовательность подпоследовательностью), что x < xn для всех n. В этом случае неравенство x < f (x) < f (xn) = xn влечет f (x) = x, т. е. x е K. Если же xn < x для всех, кроме конечного числа номеров, то по непрерывности слева получим, что f (x) = lim f (xn) = limxn = x, и снова x е K. Замкнутость доказана.

Остается показать, что f = /к. Для любого x точка f (x) принадлежит множеству Mx = {у е K : x < у}. Если в этом множестве есть элемент у < f(x), то неравенства x < у < f(x) дают — f (x) < f (у) = у < f (x) — противоречие. Следовательно, f (x) — наименьший элемент множества Mx, т. е. f (x) = inf {у е K : x < у} = /к (x)}. □

Пусть G — некоторое семейство функций на некотором множестве A и пусть А0 — выделенное подмножество в А (например, граница, если ситуация топологическая). Функция f е G называется А0-крайней, если из того что f = af + (1 — a)f2, где а е [0; 1], а функции f е G совпадают с f на A0, следует, что fi = f2 = f.

Лемма 3. Пусть G — множество всех неубывающих непрерывных слева функций на интервале А = [а, b]. Обозначим через А0 границу интервала, т. е. двухточечное множество {a,b}.

Функция f (x) является А0-крайней в G тогда и только тогда, когда она принимает не более двух значений.

Доказательство. Если f (x) постоянна на [а, b], то она является А0-крайней. В самом деле, пусть f = afi + (1 — a)f2, тогда у функции fi(x) на концах значения совпадают с f(а) = f(b), а она монотонна — значит она постоянна и совпадает с f(x). Аналогично, f2(x) также совпадает с f(x).

Пусть f (x) принимает два значения p, q: f (а) = p < q = f (b), тогда существует x0 е [a, b] такая, что f (x) = f (a) при x е [a, x0], f (x) = f (b) при x е (x0, b].

Так как на отрезке [a, x0] функция fi (x) не убывает, то функция f2 (x) = 2f (x) — fi (x) = = 2f(a) — fi(x) не возрастает. Но она и не убывает — значит постоянна. Поскольку f2(a) = f(a), заключаем, что f2(x) совпадает с f (x) на [a, x0]. То же верно для fi (x). Аналогично для полуинтервала (x0, b].

Мы доказали, что если множество значений функции содержит не более двух элементов, то она является А0-крайней. Докажем обратное.

Зафиксируем числа p < q и обозначим через Gp>q множество тех функций из G, для которых f (a) = p, f (b) = q. Разумеется, это выпуклое подмножество в G.

Для функции f е Gp>q определим меру д на отрезке [a, b], ставя каждому полуинтервалу [u, v) в соответствие д([и, v)) = f (v) — f (u) и продолжая стандартным образом на все борелевские множества. Функция f однозначно определяется мерой д, поскольку f (x) = p + ^([a, x)). Тем самым мы получаем аффинную биекцию множества Gp>q на множество M всех счетно-аддитивных мер на отрезке [a, b] таких, что д(^,Ь]) = q — p. Разумеется, крайние точки переходят в крайние точки. Но крайними точками множества M являются меры с одноточечным носителем, поскольку оно аффинно изоморфно множеству всех вероятностных мер.

Если носитель меры д равен {x0}, то д(^, x)) = 0 при x < x0, д(^,x)) = q — p при x > x0. Значит, соответствующая функция f (x) = p + д(^, x0)) принимает два значения: p и q.

Мы доказали, что для любых p, q крайними точками множества Gp>q являются функции с двухэлементными множествами значений. Пусть теперь f — произвольная А0-крайняя точка множества G. Положим p = f(a), q = f(b), тогда f по определению является крайней точкой множества Gp>q. Следовательно, множество значений функции f содержит не более двух элементов. □

Теперь мы можем доказать, что крайние точки множества L/E(R) — это, в точности, ее идемпо-тентные элементы.

Теорема 3. Функция / е Ь/Е (К) является крайней точкой выпуклого множества Ь/Е (К) тогда и только тогда, когда /(/(х)) = /(х).

Доказательство. Так как Ь/Е (К) С /Е(К), то к / (х) е Ь/Е (К) применима теорема 1: если / (х)

— идемпотентна, то она является крайней в /Е(К), а потому и в Ь/Е (К).

Пусть теперь /(х) не идемпотентна, докажем, что она не является крайней точкой. По условию (неидемпотентности) найдутся такие и, V, что /(и) = V и V < /(V). Рассмотрим два случая.

1. Если на отрезке [и, V] функция принимает более двух значений, тогда, согласно лемме 3, найдутся отличные от / непрерывные слева неубывающие функции /г(х) на этом отрезке такие, что /(х) = 2(/1 (х) + /2(х)), /г(и) = /(и), /г(V) = /(V). Продолжим их на все К, считая, что вне [и, V] они совпадают с /.

Проверим выполнение условия /г(£) > £. Для тех значений £, которые лежат вне отрезка [и, V], условие выполнено просто потому, что /г(£) = /(£). При £ е [и, V] из неубывания /г следует, что /г (£) > /г (и) = V > £. Таким образом, /г е Ь/Е (К), и так как / равна их полусумме на К, то / не является крайней.

2. Предположим, что /(х) принимает только два значения на [и, V]. Это значит, что /(х) = V для всех х е [и; х0] и /(х) = /(V) для всех х е (х0; V], где х0 — некоторая точка интервала (и, V).

Если /(х) = V для всех х < и, то определим функции /г(х), полагая /1 (х) = V — е, /2(х) = V + е при х < х0 и считая, что /г(х) = /(х) при х > х0. Ясно, что /(х) = 1 (/1 (х) + /2(х)) и функции /г непрерывны слева. Они являются неубывающими при е < /(V) — V и удовлетворяют условию /г(х) > х при е < V — х0.

Если же /(х) принимает значения, меньшие V, то т£{х : /(х) = V} = и1 > —го. Рассмотрим два случая:

1) /(и1) < V. В этом случае строим /г(х) аналогично предыдущему: на полуинтервале (и1,х0] полагаем /1(х) = V — е, /2(х) = V+е, а в остальных точках /г(х) = /(х). Они являются неубывающими при е < шт^ — /(и1), /(V) — V}, и удовлетворяют условию /г(х) > х при е < V — х0.

2) /(и1) = V. Для любого е > 0 найдется в силу непрерывности /(х) слева такая точка и2, что /(и2) > V — е. Взяв е < V — х0, получим /(и2) > х0. Следовательно, /(/(и2)) > /(V) > /(и2). Заменим точки и, V точками и2,/(и2). На отрезке (и2,/(и2)) функция принимает больше двух значений (на самом деле, бесконечно много, так как этот участок содержит интервал (и2,и1), на котором /(х) < V и Нш /(х) = V). Применяя уже доказанное, получим, что /(х) не является крайней точкой. □

х—их

Теперь мы можем получить полное описание множества крайних точек /Е(К).

Теорема 4. Функция / е /Е(К) является крайней точкой выпуклого множества /Е(К) тогда и только тогда, когда она не имеет двусторонних разрывов и эквивалентна идемпотентному элементу из /Е(К).

Доказательство. Пусть функция / е /Е(К) является крайней точкой выпуклого множества /Е(К). Тогда, как отмечалось ранее, она в каждой точке непрерывна хотя бы с одной стороны. Согласно лемме 1 функция V/(х) также является крайней. Но V/ из Ь/Е (К) и, следовательно, является крайней точкой этого множества, поэтому она идемпотентна в силу теоремы 3. Таким образом, / эквивалентна идемпотентному элементу множества /Е(К).

Обратно, пусть функция / не имеет двусторонних разрывов и эквивалентна идемпотентному элементу # из /Е(К). По теореме 1 # — крайняя точка множества /Е(К). В частности, # не имеет

двусторонних разрывов, так что по лемме 1 V# — крайняя точка множества /Е(К). Далее, из определения эквивалентности V/ = V# — крайняя точка множества /Е(К). Снова, применяя лемму 1, заключаем, что / — крайняя точка множества /Е(К). □

Таким образом, чтобы построить произвольный экстремальный элемент /(х) множества /Е(К), нужно выбрать замкнутое неограниченное справа множество К С К и рассмотреть функции /к(х) = т£{у е К : х < у}, (х) = т£{у е К : х < у} (они отличаются лишь в счетном мно-

жестве Кг «изолированных справа» точек множества К ). Функция / должна совпадать с каждой из функций /к и на К \ Кг, а в точках х е Кг ее значения произвольным образом выбираются из

пары {/к(х),#к(х)}.

Рассмотрим теперь выпуклое множество С/Е (К) всех непрерывных функций из /Е (К). Так как множество неподвижных точек отображения /к совпадает с К, то К является и множеством значе-

ний функции /к. Следовательно, /к может быть непрерывным лишь в том случае, если K связно, т. е. представляет собой замкнутый луч [с, го), где с е R (либо всю прямую — тогда отображение тождественно). Другими словами, непрерывные идемпотентные элементы полугруппы C/E(R) — это функции fc, определенные следующим образом:

fc (x) = с, если x < с, и fc (x) = x, если x > с. (1)

Следствие. Пусть C/E (a, b) множество неубывающих непрерывных функций f (x) на отрезке [a,b], удовлетворяющих условию f(x) > x при всех x е [a, b]. Его единственными крайними точками являются сужения на [a, b] функций fc(x) = x из (1), где с е [a,b].

Доказательство. Каждую функцию f е C/E (a, b) продолжим на R, полагая f (x) = f (a) при x < a, f (x) = f(b) при b < x < f(b), f (x) = x при x > f(b). Тогда f ^ f является аффинным и инъективным отображением C/E(a,b) в L/E(R).

Докажем, что если f — крайняя точка в C/E(a,b), то f — крайняя точка в L/E(R). Действительно, пусть f = 2(gi + g2), где gj е L/E(R). Обозначая через f сужение функции gj на интервал [a,b], получим, что f (x) = 2(fi(x) + f2(x)).

Ясно, что функции fj(x) являются неубывающими, и fj(x) > x. Докажем, что они непрерывны. В самом деле, если lim fi(x) = m < M = lim fi(x), lim f(x) = 2(m + lim f2(x)) < 2(M +

x ——x0 — x ——x0 + x ——x0 — 2 x ——x0 — 2

+ lim f2(x)) = lim f (x). Это противоречит непрерывности f (x). Таким образом, функции fj(x)

x—x0 + x—x0 +

принадлежат C/E (a,b). Так как f (x) — крайняя точка в C/E (a, b), то fi = f2 = f.

Мы доказали, что gi(x) и g2(x) совпадают с f (x) на [a, b]. Докажем теперь совпадение в остальных точках прямой.

При x < a имеем gj(x) < gj(a) и в то же время gi(x) + g2(x) = 2f (x) = 2f (a), откуда следует, что gi(x) = f (a) = f (x).

При b < x < f (b) из монотонности следует, что gj(x) > f (b) и так как gi(x)+g2(x) = 2f (x) = 2f (b), то gj (x) = f (b) = /(x).

При x > f (b) мы имеем по условию, что gj(x) > x, и в то же время gi (x) + g2(x) = 2/(x) = 2x, поэтому gj(x) = x = f (x).

Итак, gi(x) = g2(x) = f(x), т. е. f(x) — крайняя точка в L/E(R). По теореме 4, f (x) — идемпо-тентная функция. Но f (x) непрерывна, поэтому f (x) = fc при некотором с е R. □

2. УСТОЙЧИВОСТЬ

Определение устойчивости по Хайерсу - Уламу дано во введении. Мы рассматриваем вещественную прямую R как упорядоченное метрическое пространство со стандартным порядком и обычной метрикой p(x, у) = |x — у|.

Теорема 5. Класс всех замыканий на прямой устойчив по Хайерсу - Уламу в классе непрерывных слева отображений из /E(R).

Доказательство. Пусть е > 0 и пусть непрерывное слева отображение / е /E(R) удовлетворяет условию

|f(f (x)) — f(x)| < е-

Обозначим через E множество неподвижных точек отображения f: E = {x : f(x) = x}. Докажем, что E замкнуто. В самом деле, пусть xn ^ x0, xn е E для всех n. Так как / непрерывно слева, то для любого е > 0 найдется 5 > 0 такое, что f (xn) > f (x0) — е при x0 — 5 < xn < x0 .Из монотонности то же справедливо при xn > x0. Таким образом, xn = f (xn) > f (x0) — е, когда x0 — 5 < xn, т. е. для всех достаточно больших номеров. Переходя к пределу, получим x0 > f(x0) — е, и значит x0 > f(x0), ввиду произвольности е.

Дополнение U к E открыто и потому является объединением непересекающихся интервалов (интервалов смежности): U = U°=i(aj,bj). Покажем, что на произвольном интервале смежности /i = (aj,bj) можно определить монотонно возрастающее отображение ^ : /j ^ /j, обладающее свойствами: (a) ^(x) > x для любого x е /j; (b) ^j(^j(x)) = ^j(x); (c) ^j(aj) = aj, ^j(bj) = bj; (d) |^i(x) — f (x)| < е для любого x е /j.

Положим с = inf{/(x) : aj < x} и допустим вначале, что с > aj. Возьмём d = с, покажем, что

f (d) — d < е. (2)

В самом деле, выбрав x е (aj, с), имеем: d < f (x), f (d) < f (f (x)) < f (x) + е. Взяв нижнюю грань по

x, получим f (d) < d + е. Из определения следует также, что

d < f (x) + е для любого x > aj. (3)

Если же с = aj, то в качестве d можно взять любую точку из /j такую, что |f (d) — aj| < е, тогда условия (2) и (3) будут также выполнены.

Определим возрастающую последовательность dn, полагая d0 = a, di = d, dn+i = f (dn). Пусть d; = lim dn, тогда по условию непрерывности слева f (d;) = limf (dn) = limdn+i = d;. Так как между aj и bj нет неподвижных точек отображения /, то d; = bj.

Отображение ^ мы зададим условиями:

^i(aj ) = aj, ^(bj ) = bj

и

<£j(x) = dn+i при x е (dn,dn+i] (n = 0,1,...).

Тогда монотонность и выполнение условий (a),(b),(c) очевидны.

Проверим (d). При x е (aj,d) имеем f (x) < f (d) < d + е; с другой стороны, ^(x) = d < f (x) + е, в силу (3), т. е. |f (x) — ^j(x)| < е.

Пусть теперь x е (dn,dn+i], n > 1, тогда

f (x) > f (dn) = dn+i = <£j (x)

и

f (x) < f (dn+i) = f (f (dn)) < f (dn) + е = dn+i + е = ^j(x) + е.

Таким образом, и в этом случае |f(x) — ^j(x)| < е. Условие (d) доказано.

Из определения сразу следует, что ^ непрерывно слева во всех точках интервала /j, отличных от его левого конца aj.

Построенные на каждом интервале отображения ^ мы объединим в одно отображение ^, полагая ^(x) = x при x е E и ^(x) = ^j(x) при x е /j. То, что ^ является замыканием, непосредственно вытекает из нашей конструкции. Неравенство |^(x) — f (x)| < е доказано при x / E и очевидно при x E.

Проверим непрерывность слева отображения ^. Пусть x0 - произвольная точка. Если x0 / E, то x0 — внутренняя точка одного из интервалов смежности /j и непрерывность слева следует из непрерывности слева ^j. Если x0 е E, то либо x0 является правым концом одного из интервалов смежности /j, либо существует последовательность точек xn < x0, сходящаяся к x0 .В первом случае непрерывность слева следует из непрерывности слева ^ в правом конце. Во втором случае — сразу по определению — ^(xn) = xn ^ x = ^(x). Таким образом, скачок слева у монотонной функции ^ отсутствует, т. е. она непрерывна слева. □

Библиографический список

1. Kulisch U. An axiomatic Approach to Rounded // Исследования по математическому анализу и мето-

Computations // Numer. Math. 1971. № 18. P. 1-17. дике преподавания математики : сб. науч. тр. Вологда,

2. Kaminsky T. E., Kreimvich V. Natural requirements 2000. С. 23-36.

for natural roundings lead to a hardware-independent . „ , „ „ .. r„„

. , , .. 4. Биркгоф Г. Теoрия решеток. М., 1984. 567 с.

characterization of standard rounding procedures // Notes

on intuitionistic fuzzy sets. 1998. Vol. II, № 3. P. 57-64. 5. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.,

3. Каминский Т. Э. К теории интервальных округлений 1964. 168 с.