Диагональные полигоны над полугруппами изотонных преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина

Том 12 Выпуск 1 (2011)

УДК 512.579, 512.534.5

ДИАГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИГОНЫ НАД ПОЛУГРУППАМИ ИЗОТОННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Т. В. Апраксина (г. Москва)

Аннотация

В данной работе находятся условия цикличности диагональных полигонов над полугруппами изотопных преобразований частично упорядоченного множества и полугруппой непрерывных преобразований отрезка числовой прямой.

Ключевые слова: полигон над полугруппой, диагональный полигон, полугруппа изотопных преобразований, полугруппа непрерывных преобразований

Правым полигоном над полугруппой Б (см. [1]) называется множество X, на котором действует полугруппа Б, т.е, определено отображение X х Б м X, (х, в) м хв и выполняется тождество х(в£) = (хв)£ для х € X, в,1 € Б. Левый полигон определяется двойственным образом. Биполигон над полугруппами Б и Т - это множество X, являющееся левым полигоном над Б и правым полигоном над Т, прпчем (вх)£ = в(х£) для всех х € X, в € Б, £ € Т. Очевидно, Бх Б Б

дующим образом: (х,у)в = (хв,ув), и левым полигоном относительно действия в(х,у) = (вх, ву). Эти полигоны назовем диагональным правым, и диагональным

Б

ваетея множество X = Б х Б, на котором определено действие полугруппы Б слева и справа по вышеуказанным правилам. Диагональный правый полигон называется циклическим, если существует порождающая его пара элементов, т.е. (а0,в0)Б = Б х Б для некоторых а0,в0 € Б. Циклический диагональный левый полигон и диагональный биполигон определяются аналогично, а именно: Б(а0,в0) = Б х Б и Б(а0,в0)Б = Б х Б соответственно.

В работе [2] было доказано (см. теоремы 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2, 3.3), что диагональный правый полигон (Б х Б)^, диагональный левый полигон ^(Б х Б)

и диагональный биполигон , (Б х Б ), являются циклическим и, если Б = Тх, Рх или Вх, где X — бесконечное множество, Тх — полугруппа преобразований множества X, Рх — полугруппа частичных преобразований, а Вх — полугруппа бинарных отношений на множестве X. Цель настоящей работы - получить условия цикличности диагональных полигонов над полугруппами изотопных преобразований частично упорядоченного множества и полугруппой непрерывных преобразований отрезка числовой прямой.

Для произвольного множества X через Тх мы обозначаем полугруппу всех преобразований множества X, т.е. отображений а : X м X с умножением х(ав) = (ха)в. Пусть X - частично упорядоченное множество. Отображение а : X м X называется изотопным, если оно сохраняет порядок, т.е, х ^ у ^ ха ^ уа для любых х, у € X. Нетрудно видеть, что множество Ох всех изотонных отображений а : X м X образует полугруппу относительно операции умножения отображений. Также ясно, что Ох является подполугруппой полугруппы Тх. Частичным отображением множества X называется отображение а : X! м X, где X! С X. Множество X! называется областью определения отображения а и обозначавтея ёош а. Через Рх обозначим полугруппу всех частичных преобразований. Частичное а € Рх отображение называется изотопным, если Ух, у € ёош ах ^ у ^ ха ^ уа (см, [4]), Частичные изотонные преобразования множества образуют полугруппу, которую мы обозначим РОх,

Следующая теорема показывает, что цикличность диагональных левых и Б х Б Б

нов (Б х х Б).

П

Теорема 1. Если диагональные полигоны (Б х Б)$ или $ (Б х Б) являются циклическими, то полигоны (Б х ... х Б), и $ (Б х ... х Б) для любого натураль-

П П

ного числа п также являются циклическими.

Доказательство. Ясно, что доказательство для $(Б”) аналогично доказательству для (Б”),, поэтому достаточно рассмотреть случай диагонального правого полигона (Б”),.

Пусть (в0,£0) — порождающая пара диагонального правого полигона (Б х Б),, т.е, Уа,Ь € Б Зр : в0р = а, £0Р = Ь. Убедимся, что (в0в0, в0£0, £0в0, £0£0) — порождающая четверка для диагонального правого полигона (Б х Б х Б х Б),. По условию имеем, что для некоторого к € Б в0к = а, £0к = Ь, Аналогично, в0/ = с, £01 = 1 для некоторого I € Б. Кроме того, существует такое р, что в0р = к, £0р = 1- Отсюда получается, что в0в0р = а, £0в0р = Ь, в0£0р = с, £0£0р = 1-Таким образом, полигон (Б х Б х Б х Б), является циклическим с порождающей четверкой (в0в0, в0£0, £0в0, £0£0).

Применяя эти рассуждения несколько раз, нетрудно показать, что все диагональные правые полигоны (Б2"),, а значит и все полигоны (Б”),, являются циклическими. □

Рассмотрим теперь диагональные полигоны над полугруппами изотопных преобразований частично упорядоченных множеств. Как обычно, линейно упорядоченное множество мы называем цепью. Полученные далее утверждения о диагональных полигонах над такими полугруппами можно рассматривать как естественное развитие исследований из [2]. Для любого множества X и элемента а € X обозначим через ва константное отображение X м X, соответствующее этому элементу, т.е. хва = а при всех х € X.

Теорема 2. Если X — бесконечная цепь, то диагональные полигоны (Ох х Ох )О и Ох (ОХ х Ох) не являются, циклическими.

Доказательство. Пусть диагональный правый полигон (Ох х Ох)о над полугруппой Ох изотонных преобразований бесконечной цепи X является циклическим, Тогда существует порождающая пара (а0,в0).

Следовательно, Уа, в З7 : а07 = а, в07 = в.

Пусть а и Ь — различные элементы цепи X и а < Ь, Возьмем в качестве а и в константные отображения, а именно: ха = а, хв = Ь при всех х € X. Найдем 7 € Ох такое, что а07 = а и в07 = в. Тогда ха07 = а и хв07 = Ь при всех х € X. Так как а < Ь, то ха0 < хв0 (действительно, если ха0 ^ хв0, то ха07 ^ хв07, т.е, а ^ Ь - противоречие.

Аналогичным образом найдем такое 6 € Ох, что а06 = вь и в06 = ва. Имеем: ха06 = Ь > а = хв06, поэтому ха0 > хв0 - противоречие.

Пусть теперь диагональный левый полигон Ох (Ох х Ох) над полугруппой Ох изотонных преобразований бесконечной цепи X является циклическим и пусть (а0,в0) ~ порождающая пара. Тогда Уа,в З7 : 7а0 = а, 7в0 = в-

Пусть а и Ь — различные элементы цепи X и а < Ь, Возьмем в качестве а тождественное отображение: а = 1х, а в качестве в _ константное отображение, а именно: в = ва. Тогда З7 : 7а0 = 1х, 7в0 = ва. Для элементов а, Ь имеем: а = а 7а0, Ь = Ь7а0 и а = а 7в0 = Ь7в0.

Пусть р = а7, д = 67.

Теперь положим а = 1х, в = вь. Найдем такое 6 € Ох, что 6а0 = 1х, 6в0 = вь. Таким образом, имеем: а = а6а0, Ь = Ь6а0 и Ь = а6в0 = Ь6в0-

Положим теперь р = а6, = Ь6,

Так как а = ра0 = р'а0 < Ь = да0 = д'а0, то р; < д. Но тогда получается, что Р;во ^ ?в0; то есть Ь ^ а — протпворечпе, □

Сформулируем условия, при которых, диагональный правый полигон над полугруппой частичных изотонных преобразований является циклическим.

Теорема 3. Пусть X — частично упорядоченное множество. Диагональный правый полигон (РОх х РОх)РОх является, циклическим в том и только том случае, если, множество X содержит подмножества X!, X2 такие что:

(г) X! = X2 = X,

(И) х ^ у при х € X!, у € X2 и у € X!, х € X2.

Доказательство. Необходимость. Пусть (РОх х РОх)РОх — диагональный правый полигон и (а0,в0) _ его порождающая пара. Тогда существует отображение 7 € РОх такое, что: 7а0 = 7в0 = 1х. Из этих равенств получаем, что doша0 = doшво = X, т.е. а0, в0 € Ох. Пусть Xа0 = X!, Xв0 = X2. Так как 7а0 = 1х, то а0 взаимно однозначно отображает ^а XI. Аналогично этому в0 _ взаимно однозначное отображенпе X на X2,

Докажем, что отображения а0 : X м X! и в0 : X м X2 являются изоморфизмами частично упорядоченных множеств. Ясно, что это достаточно проверить для а0. Пусть х, у € X и х ^ у. Тогда ха0 ^ уа0 ввиду изотонностп отображения а0, Пусть элементы и, V € X!, Обозначим «7 = х ^7 = у. Так как отображение 7 изотонно, то х ^ у, следовательно, «7 ^ V7, Поскольку и, V € X! = та0, то и = ха0, V = уа0 при некоторых х,у € X. Имеем: х = ха07 = и7 ^ V7 = уа07 = у, т.е, х ^ у, что и требовалось доказать.

Докажем, что множества X!, X2 те содержат общих элементов, т.е. X! П X2 = 0. Предположим, что это не так, тогда существует х € X! П X2, Значит, существуют и, V € X такие, что х = иа0 = vв0. Возьмем любые элементы а,Ь € X, такие что а = Ь (если таких элементов нет, то X — антицепь и до-

( а 0 , в0 )

диагонального полигона (РОх х РОх)РО , то 36 : а06 = ва, в06 = вь при

некотором 6 € РОх, Имеем иа06 = а, vв06 = Ь, Отсюда видно, что иа0 = vв0, а это противоречит сделанному предположению.

Докажем теперь, что если х € X!, у € X2, то элемен ты х и у несравнимы.

Действительно, пусть х € X!, у € X2 и, например, х < у. Найдем отображение ф € РОх такое, что аоф = ву, в0ф = вх. Возьмем элементы и, V € Xтaкиe, что иа0 = х, vв0 = у- Имеем: у = иа0ф = хф, х = vв0ф = уф, откуда видно, ф

Достаточность. Пусть X!, X2 — подмножества, удовлетворяющие требуемым условиям и а0 : X м X!, в0 : X м X2 — соответствующие изоморфизмы частично упорядоченных множеств. Докажем, что (а0,в0) _ порождающая пара диагонального правого полигона (РОх х РОх)РОх- Пусть а!,в!— произвольные элементы, а!,в! € РОх, Положим А = domа!, В = doшвь Определим частичное отображение а правилом:

Так как Аа0 С X!, Вв0 С X2 и X! П X2 = 0, то а определено корректно.

а

Пусть х € X, тогда ха0а определено в том и только том случае, если ха0 € Аа0, т.е, х € А Таким образом, dom (а0а) = А. Аналогично получаем, что doш (в0а) = В, Если х € А, то ха0а = ха0а-!а! = ха!; а значит, а0а = а!. Аналогично получаем, что в0а = вь Следовательно, (а0,в0)а = (а!,в!) □

ха-!а!, если х € Аа0, хв0"!в!, если х € Вво, неопределено, если х € Аа0 и Вв0.

Теорема 4. Пусть X — частично упорядоченное множество. Диагональ-

Ох

циклическим в том, и только том случае, если, множество X содержит два подмножества X!, X2 такие что:

(г) X! = X2 = X

(И) для, любых двух изотопных отображений ф : X! м X и ф : X2 м X существует продолжение 6 : X м X, т.е. такое изотопное отображение, что 6|хх = ф 6|х2 = ф-

Доказательство. Необходимость. Пусть (Ох х Ох)о — циклический

( а 0 , в0 )

Ох, Найдем такое отображение 7 € Ох, что 7а0 = 7в0 = 1х. Также, как в Теореме 3, доказывается, что отображения а0 : X м X! и в0 : X м X2 являются изоморфизмами.

Положим X! = Xа0, X2 = Xв0. Нами доказано, что X!,X2 = X, т.е. выполнено условие (1).

Пусть ф : X! м X и ф : X2 м X — изотопные отображения. Тогда отображения аоф, в0ф € Ох, Так как (а0,в0) _ образующий элемент полигона (Ох х Ох)О , то существует отображение 6 € Ох такое, что а06 = аоф, в06 = воф. Если х € X!, то х6 = уа06 = уаоф = хф, Следовательно, 6|х = ф- Анало-

6| х = ф

Достаточность. Пусть выполнены условия (1), (11). Ввиду условия (1) существуют изоморфизмы а0 : X м X! и в0 : X м X2, Докажем, что (а0,в0) — порождающая пара диагонального правого полигона (Ох х Ох)о ■

Пусть а!,в! € Ох Очевидно, что отобр ажение а-!а! является изотон-ным отображением X! в X, а в0"!в! _ изотонным отображением X2 в X, значит, аоа = а^. Положим ф = а-!а!, ф = во^вь Ввиду условия (11) ф и ф продолжаются до изотопного отображения 6 : X м X. Пусть х € X. Тогда ха! = хаоа-!а! = хаоф = ха06. Следовательно, а! = а06. Аналогично в! = в06

(Ох х Ох)о является циклическим. □

Следствие 1. Пусть X — частично упорядоченное множество. Если диагональный правый полигон над полугруппой изотопных отображений, (Ох х Ох)О — циклический, то диагональный правый полигон над полугруппой частичных изотопных отображений, (РОх х РОх)РОх также является, циклическим.

Доказательство. Достаточно доказать, что условия (1), (И) Теоремы 4 влекут несравнимость элементов из X!, X2. Действительно, если X! П X2 = 0 и, допустим, что г € X! П X2, тогда пара отображений ф = ви|х1 , Ф = в^|х2 при и = V не может быть продолжена до изотопного отображения 6 : X м X

(иначе г6 = и = V), а если, скажем, элементы из X!, X2. были бы сравнимы и х < у при х € X!, у € X2, то не имеет продолжения 6 тара ф = ву|х , Ф = вх|х2

х6 = у, у6 = х

отображения 6). □

Пусть теперь X - топологическое пространство. Все непрерывные отображения а : X м X образуют полугруппу, которую мы обозначим через Сх. Полугруппа Сх интенсивно изучалась многими авторами - см. обзор Магил-ла [3]. Рассмотрим свойства диагональных полигонов над этой полугруппой в случае, когда X = [0,1] - отрезок числовой прямой. Мы докажем, что диагональный правый полигон (Сх х Сх)Сх является циклическим, а диагональный левый полигон Сх (Сх х Сх) - нет.

Теорема 5. Диагональный правый полигон (Сх х Сх)Сх над полугруппой Сх непрерывных преобразований отрезка X является циклическим.

Доказательство. Пусть а0 : X м X! и в0 : X м X2 — непрерывные и взаимно однозначные отображения отрезка [0,1] на отрезки X! и X2 соответственно, причем X! П X2 = 0. Докажем, что (а0,в0) _ порождающая пара диагонального правого полигона (Сх х Сх)Сх, Пусть (а!,в!) _ произвольная пара непрерывных отображений. Определим отображение 6 : X! и X2 м X, полагая:

6 = Г ха-!а!, если х € X!, х6 =\ хв-!въ еслих € X2.

а0 в0

так как они взаимно однозначны и X — компакт.

66 должаетея до непрерывного отображения X м X, которое мы также будем обозначать 6. При любом х € X имеет место включение ха0 € X!, Следовательно, ха06 = ха0а-!а! = ха!; откуда получаем, что а06 = а!. Аналогично доказывается, что в06 = вь Таким образом, (а0,в0)6 = (а!,в!) □

Теорема 6. Диагональный левый полигон Сх (Сх х Сх) над полугруппой Сх непрерывных отображений отрезка X — не циклический.

Доказательство. Предположим, что этот полигон циклический. Тогда существует порождающая пара, скажем, (а0 ,в0)- Для каждого а € (0,1) найдем непрерывное отображение такое, что 7аа0 = 1х, 7ав0 = ва. Пусть /а = 1ш7а. Так как 7„а0 = 1х, то 7а является непрерывным взаимно однозначным отображением X на /а, Следовательно, /а является отрезком и 7„ : X м /а — гомеоморфизм. В то же время х7„в0 = а при всех х € X, следовательно, 1ав0 = {а}.

О

Обозначим через /а внутренность от резка /а. Заметим, что /а П Д = 0 при а = Ь — это следует из того, что 1ав0 = {а} , а 1ьв0 = {Ь}. Это влечет, что

ОО

П Д = 0 при а = Ь, Таких непересекающихся интервалов на отрезке [0,1]

О

может быть лишь счетное число. Но по построению множество интервалов /а

имеет мощность континуума. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы, □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Kilp М., Knauer U,, Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories, // Berlin — New York: W, de Gruyter, 2000,

[2] Gallagher P., Ruskuc N, Generation of diagonal acts of some semigroups of transformations and relations // Bull, Austral, Math, Soc, 2005, V.72, P, 139146.

[3] Magill K.D.Jr. A survey of semigroups of continuous selfmaps. Semigroup Forum. 1975/1976. V. 11. P. 189-282.

[4] Ярошевич В.А. О свойствах полугрупп частичных изотопных преобразований квазиупорядоченных множеств // Вестник МГАДА. 2011. Вып. 3(9). С. 139-144. ”

НИУ "МИЭТ"

Поступило 12.05.2011